2022-2023学年广东省揭阳市河婆中学高二数学理月考试题含解析

2022-2023学年广东省揭阳市河婆中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（

）A．

B．C．与相交但不垂直

D．参考答案：A2.不等式的解集是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略3.设x，y，z都是正实数，，则a，b，c三个数

()A．至少有一个不大于2

B．都小于2

C．至少有一个不小于2

D．都大于2参考答案：C略4.观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是（

）A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2参考答案：B5.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A6.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在该椭圆上，且，则点M到y轴的距离为()参考答案：B7.设袋中有60个红球，10个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.若命题，则下列选项正确的是（

）A．与都是真命题

B.与都是真命题C.与都是假命题

D.与都是假命题参考答案：B略9.若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5:3两段，则此椭圆的离心率（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B10.在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（

）.A．和

B．和C．和

D．和参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)～正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为_________________．参考答案：10

略12.已知函数f（x）=（a为常数，e为自然对数的底数）的图象在点A（e，1）处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是．参考答案：考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用导数的几何意义求出切线方程，利用分段函数与切线有三个不同的交点，得到当x＜1时，切线和二次函数有两个不同的交点，利用二次函数根的分布建立不等式关系，即可求得a的取值范围．解答：解：当x≥1，函数f（x）的导数，f'（x）=，则f'（e）=，则在A（e，1）处的切线方程为y﹣1=（x﹣e），即y=．当x≥1时，切线和函数f（x）=lnx有且只有一个交点，∴要使切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则当x＜1时，函数f（x）==，有两个不同的交点，即（x+2）（x﹣a）=x，在x＜1时，有两个不同的根，设g（x）=（x+2）（x﹣a）﹣x=x2+（1﹣a）x﹣2a，则满足，即，∴，解得或，即实数a的取值范围是．故答案为：．点评：不同主要考查导数的几何意义，以及函数交点问题，利用二次函数的根的分布是解决本题的关键．考查学生分析问题的能力，综合性较强．13.．用反证法证明：“”，应假设为

▲

．

参考答案：略14.若椭圆的离心率为，则实数___________．参考答案：8或15.双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为

．参考答案：16.有下列四个命题：①“若，则或”是假命题；②“”的否定是“”③当均不等于0时，“不等式与解集相同”是“”的充要条件；④“全等三角形相似”的否命题是“全等三角形不相似”，其中正确命题的序号是

.(写出你认为正确的所有命题序号)参考答案：②略17.若复数在复平面内对应的点在第三象限，则整数a的取值为_____．参考答案：0【分析】将复数写成a+bi（a,b∈R）的形式，然后由复数对应的点在第三象限，列出不等式，可得a的取值.【详解】复数，若复数在复平面内对应的点在第三象限，则，解得，又a为整数，则a=0,故答案为：0【点睛】本题考查复数的乘法运算和复数的几何意义，属于简单题.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，∠B=45°，AC=，cosC=，（1）求BC的长；（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度．参考答案：【考点】三角形中的几何计算．【分析】（1）先由cosC求得sinC，进而根据sinA=sin求得sinA，再由正弦定理知求得BC．（2）先由正弦定理知求得AB，进而可得BD，再在△ACD中由余弦定理求得CD．【解答】解：（1）由由正弦定理知（2）由余弦定理知=19.设若，求证：

(Ⅰ)且；(Ⅱ)方程在内有两个实根.参考答案：解析：（I）因为，所以.由条件，消去，得；由条件，消去，得，.故.

……6分（II）函数的顶点坐标为，在的两边乘以，得.又因为而又因为在上单调递减，在上单调递增，所以方程在区间与内分别各有一实根。故方程在内有两个实根.

……12分略20.设展开式中仅有第1010项的二项式系数最大.（1）求n；（2）求；（3）求.参考答案：（1）2018；（2）0；（3）4036【分析】（1）由二项式系数的对称性，可得展开式的项数，且1＝1010，解得n．（2）令x＝1，可得a0+a1+a2+…+a2018．（3）给原式两边同时求导后，再令，即可得出．【详解】（1）由二项式系数的对称性，得展开式共计2019项，，.（2）的展开式中各项系数和为，令，可得，再令，可得，所以.（3）给原式两边同时求导得到当，令，得.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，关键是分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值进行求解，考查了分析推理能力与计算能力，属于中档题．21.如图已知抛物线：过点，直线交于，两点，过点且平行于轴的直线分别与直线和轴相交于点，．(1)求的值；(2)是否存在定点，当直线过点时，△与△的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。参考答案：（1）因为在抛物线C上，所以1=2p·，得p=1．

（2）假设存在定点Q，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程为y=kx+b．联立得，当时，有．

所以()()= 由题意知，，因为△PAM与△PBN的面积相等，所以，即，也即

根据(*)式，得()2=1，解得或．所求的定点Q即为点A，即l过Q(0,0)或Q(2,2)时，满足条件．

略22.已知函数，曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线y=e2x+e垂直．（1）求a的值及f（x）的极值；（2）是否存在区间，使函数f（x）在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）若不等式x2f（x）＞k（x﹣1）对任意x∈（1，+∞）恒成立，求整数k的最大值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（e），f′（e）的值，求出a的值，从而求出f（x）的解析式，求出函数的单调区间，得到函数的极值即可；（2）画出函数f（x）的图象，结合图象求出t的范围即可；（3）问题可化为，令，（x＞1），根据函数的单调性求出k的最大值即可．【解答】解：（1）由，得．因为f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线y=e2x+e垂直，所以，解得a=1，所以，令，得x=1．因为当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故f（x）在x=1处取得极大值1，无极小值；（2）因为f（x）在（1，+∞）上单调递减，且f（x）＞0又由（1）知f（x）在（0，1）上单调递增，且，f（1）=1＞0所以由零点存在原理得f（x）在区间（0，1）存在唯一零点，函数f（x）的图象如图所示：因为函数f（x）在区间上存在极值和零点，所以由，解得．所以存在符合条件的区间，实数t的取值范围为；（3）当x∈（1，+∞）时，不等式x2f（x）＞k（x﹣1）可变形为设，（x＞1），则设φ（x）=x﹣lnx﹣2，（x＞1），则因为x＞1时，，所以φ（x）