2023-2024学年上海市徐汇区高二上期末数学试卷附答案解析

2023-2024学年上海市徐汇区高二上期末数学试卷一、填空题(第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分)1.(4分)设A是一个随机事件，则P(A)的取值范围是_.3.(4分)抛掷3枚质地均匀的硬币，最多1枚正面朝上的概率为 4.(4分)一 5.(4分)管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出1000条鱼，在鱼身处打上一个不会掉落的印记，再放回水库，一个月后再次捕捞1000条鱼，发现其中有20条有印记的鱼，问：这个水库里大概有条鱼.6.(4分)在30°二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是10cm,则这个点到二面角的棱的距离为7.(5分)用斜二测画法画一个水平放置的边长为12的正三角形的直观图，则该直观图的面积为.8.(5分)某个品种的小麦麦穗长度(单位：cm)的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、9.(5分)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA₁=16.若侧面AA₁B₁B水平放置时，液面恰好过AC,BC,AiCl,B₁Ci的中点.当底面ABC水平放置时，液面高10.(5分)根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10℃即为入冬.将连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本，现有3组样本①,②,③,依次计算得到结果如下：①平均数x<4且极差小于或等于3;②平均数x<4且标准差s≤4;③众数等于5且极差小于或等于4,则3组样本中一定符合入冬指标的样本组号是11.(5分)如图，在正四棱柱ABCD-A1B₁C1D₁中，底面ABCD是正方形，且AB=2,AA1=4,经过顶点A和Ci各作一个平面与平面CB₁D₁平行，前者与平面ABCD交于l,后者与平面ABB1A1交于2,则异面直线1与L所成角的余弦值为λ₂OA₂+λ₃OA₃+λ₄OA₄,其中O≤λi≤1(i=1,2,3,4),则动点P扫过的区域的体积二、选择题(本大题共4题，满分20分)13.(5分)已知直线a,b和平面α,若a//α,则“b⊥a”是“b⊥α”的()条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要14.(5分)某家大型超市近10天的日客流量(单位：千人次)分别为：3.4、3.6、5.6、1.8、3.7、4.0、2.5、2.8、4.4、3.6.下列图形中不利于描述这些数据的是()A.散点图B.条形图C.茎叶图D.扇形图15.(5分)甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较(成绩均为整数满分100分),乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为()16.(5分)已知点M为正方体ABCD-AIB₁C1D₁内部(不包含表面)的一点.给出下列两qi:过点M有且只有一个平面与AAi和B₁C1都平行；q₂:过点M至少可以作两条直线与AA1和B₁C₁所在的直线都相交.则以下说法正确的是()A.命题qi是真命题，命题q2是假命题B.命题qi是假命题，命题q2是真命题C.命题qi,qz都是真命题D.命题qi,q2都是假命题三、解答题(本大题共有5题，满分76分)17.(12分)某中学有高一年级学生600人，高二年级学生400人参加知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取100名学生，对其成绩进行统计分析.得到如下图所示的频率分布直方图.(1)求从该校高一年级、高二年级学生中各抽取的人数；(2)根据频率分布直方图，估计该校这1000名学生中竞赛成绩在60分以上的人数.18.(16分)在直四棱柱ABCD-A1BIC1D₁中，AB//CD,AB⊥BC,AA₁=AB=BC=2,CD(1)求直四棱柱ABCD-A1B₁C1D₁的侧面积；(2)设点G在A₁D上，且试判断直线AG19.(16分)甲乙两人进行某项比赛.(1)若比赛结果有胜利、失败、平局三种，已知甲获胜的概率为0.4,甲不输的概率为一局定胜负和三局两胜两种比赛方式比较，试问哪种比赛方式对甲更有利?说明你的理20.(16分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD,DE//BF,AD=DE=2,(1)求证：AC⊥EF;(2)在线段DE上是否存在点G,使得直线BG与AD所成角的余弦值)若存在，求出点G到平面ACF的距离，若不存在，请说明理由.21.(16分)如图，圆台O₁O₂的轴截面为等腰梯形AiACC1,AC=2AAI=2A1C1=4,B为底面圆周上异于A,C的点.(1)若P是线段BC的中点，求证：CiP//平面A₁AB;(2)若AB=BC,设直线I为平面A₁AB与平面C₁CB的交线，点QEl,BCi与平面QAC所成角为α,求sina的最大值.2023-2024学年上海市徐汇区高二上期末数学试卷一、填空题(第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分)【解答】解：因为A是一个随机事件，则P(A)的取值范围是(0,1).故答案为：(0,1).,3.(4分)抛掷3枚质地均匀的硬币，最多1枚正面朝上的概率为【解答】解：抛掷3枚质地均匀的硬币，恰好一枚正面朝上的概率)没有正面朝上的概率)因为这两个事件互斥，所以最多1枚朝上的概率；4.(4分)一个球的体积)则此球的表面积为4π.【解答】解：设球的半径为R,则∵球的体积解之得R=1由此可得球的表面积为S=4πR²=4π故答案为：4π5.(4分)管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出1000条鱼，在鱼身处6.(4分)在30°二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是10cm,则这个点到7.(5分)用斜二测画法画一个水平放置的边长为12的正三角形的直观图，则该直观图的所以直观图△A’B’C′的高×空=3G8.(5分)某个品种的小麦麦穗长度(单位：cm)的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7,则这组数据的第80百分位数为10.8.11.2、11.7,共有12个，所以12×80%=9.6,所以这组数据的第80百分位数是第10个数即：10.8.故答案为：10.8.9.(5分)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=16.若侧面AAIB₁B水平放置时，液面恰好过AC,BC,AiCl,B₁C1的中点.当底面ABC水平放置时，液面高为12.【解答】解：设△ABC的面积为a,底面ABC水平放置时，液面高为h,侧面AA₁B₁B水平放置时，水的体积当底面ABC水平放置时，水的体积为V=S△ABCh=ah,于是ah=12a,解得h=12,所以当底面ABC水平放置时，液面高为12.故答案为：12.10.(5分)根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10℃即为入冬.将连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本，现有3组样本①,②,③,依次计算得到结果如下：①平均数x<4且极差小于或等于3;②平均数x<4且标准差s≤4;③众数等于5且极差小于或等于4,则3组样本中一定符合入冬指标的样本组号是①③对于①,假设有数据大于或等于10,由极差小于或等于3,得到此数据中最小值为10-3=7,此时数据的平均数必然大于7,∴此组数据全部小于10,一定符合入冬指标；对于②,举反例：1,1,1,1,11,平均数x=3<4,且标准差s=4,对于③,众数为5,极差小于等于4,则最大数不超过9,一定符合入冬指标.故答案为：①③.11.(5分)如图，在正四棱柱ABCD-A1B₁C1D₁中，底面ABCD是正方形，且AB=2,AA1=4,经过顶点A和C1各作一个平面与平面CB₁D1平行，前者与平面ABCD交于l,后者与平面ABBIA₁交于l2,则异面直线与2所成角的余弦值为【解答】解：设平面CB₁D₁∩平面ABCD=m,因为α//平面CB₁DI,所以m//ll,又因为平面ABCD//平面A1B₁C1D₁,且平面CB1D₁∩平面A1B1C1D₁=B₁D1,所以B₁D₁//m,B₁D₁//li,因为平面ABBIAI//平面DCC1D1,且平面CBID₁∩平面DCC1DI=CDI,同理可证CD₁//lz,异面直线l与b所成的角即B₁D₁,CD₁所成的∠CD₁BI,在正四棱柱ABCD-A1B₁C1D₁中，底面ABCD是正方形，且AB=BC=2,AAi=4,B₁D₁=√2²+2²=2√2,CD₁=CB₁=√2A₂OA₂+λ₃OA₃+λ₄OA,其中O≤A≤1(i=1,2,3,4),则动点P扫过的区域的体积设该正方体的棱长为a,则a²+a²+a²=1×2,解得可得动点P扫过的区域的体积为该正方体的体积的2倍，即动点P扫过的区域的体积为二、选择题(本大题共4题，满分20分)13.(5分)已知直线a,b和平面α,若a//α,则“b⊥a”是“b⊥a”的()条件.14.(5分)某家大型超市近10天的日客流量(单位：千人次)分别为：3.4、3.6、5.6、1.8、A.散点图B.条形图C.茎叶图D.扇形图【解答】解：茎叶图、条形图、扇形图均能将数据描述出来，并且能够体现出数据的变故用来描述该超市近10天的日客流量不是很合适.15.(5分)甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较(成绩均为整数满分100分),乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为()解得x<6,即x可能的取值为0,1,2,3,4,5,16.(5分)已知点M为正方体ABCD-A1B₁C1D1内部(不包含表面)的一点.给出下列两∵点M为正方体ABCD-A1B₁CiD₁内部(不包含表面)的一点，,,AA1,由B₁C1与M可确定以平面，在该平面内过M作直线b,使b//B₁C1,则由两相交直线a与b确定平面α,使得平面α与AA1和B₁C1都平行，故命题qi是真命题；AAI和BIC₁所在的直线都相交，则不存在两面，与AA1和B₁C1所在直线为异面直线矛盾，故命题q2是假命题.三、解答题(本大题共有5题，满分76分)17.(12分)某中学有高一年级学生600人，高二年级学生400人参加知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取100名学生，对其成绩进行统计分析.得到如下图所示的频率分布直方图.(1)求从该校高一年级、高二年级学生中各抽取的人数；(2)根据频率分布直方图，估计该校这1000名学生中竞赛成绩在60分以上的人数.(2)由频率分布直方图可得竞赛成绩在60分(含60分)的频率为：所以估计该校这1000名学生中竞赛成绩在60分(含60分)以上的人数为1000×0.75=18.(16分)在直四棱柱ABCD-A1B₁C1D₁中，AB//CD,AB⊥BC,AA₁=AB=BC=2,CD=3,E为A1B的中点，点F在AiC上，且满)(1)求直四棱柱ABCD-A₁B₁C1D₁的侧面积；(2)设点G在AiD上，且试判断直线AG是否在平面AEF内，并说明理由.【解答】解：(1)根据题意，梯形ABCD中，AB//CD,AB⊥BC,(2)如图所示，过A作AH⊥CD交CD于点H,以AH、AB、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.因为E为A₁B的中点，点F在AiC,-1).19.(16分)甲乙两人进行某项比赛.(1)若比赛结果有胜利、失败、平局三种，已知甲获胜的概率为0.4,甲不输的概率为一局定胜负和三局两胜两种比赛方式比较，试问哪种比赛方式对甲更有利?说明你的理【解答】解：(1)根据题意，可得甲乙两人取得平局的概率为0.9-0.4=0.5;(2)对于甲来说，在一局定胜负的情况下，赢得比赛的概率为p,20.(16分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD,DE//BF,AD=DE=2,·(2)在线段DE上是否存在点G,使得直线BG与AD所成角的余弦值)若存在，求出点G到平面ACF的距离，若不存在，请说明理由.【解答】解：依题意，以D为原点，分别以DA,DC,DE则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,,(2)设线段DE上存在一点G(0,0,h),