2023年北京重点校初二（下）期中数学试卷汇编：三角形章节综合2

第1页/共1页2023北京重点校初二（下）期中数学汇编三角形章节综合2一、单选题1．（2023春·北京海淀·八年级北大附中校考期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（

）A．1 B．2 C． D．2．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考期中）已知为数轴原点，如图，（1）在数轴上截取线段；（2）过点作直线垂直于；（3）在直线上截取线段；（4）以为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点.根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①；②；③；④上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．②④3．（2023春·北京西城·八年级北京四中校考期中）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（

）A．2，3，4 B．，3，5 C．6，8，10 D．5，12，124．（2023春·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）如图，一棵大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶着地点A距树底B的距离为，则这棵大树在折断前的高度为（

）A．10 B．17 C．18 D．205．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（

）．A．1，1，1 B．2，3，4 C．1，， D．1，2，36．（2023春·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学校考期中）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（

）A．2，3，4 B．，2 C．6，8，10 D．1，7．（2023春·北京丰台·八年级北京市第十二中学校考期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（）A． B．2 C． D．38．（2023春·北京东城·八年级汇文中学校考期中）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（

）A．1，2，2 B．1，，2 C．4，5，6 D．1，1，9．（2023春·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）如图，ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，点D是边BC上一点，若沿将ACD翻折，点C刚好落在边上点E处，则BD等于（）A．2 B． C．3 D．10．（2023春·北京东城·八年级汇文中学校考期中）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm11．（2023春·北京燕山·八年级统考期中）下列三边的长不能成为直角三角形三边的是（）A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．5，12，13二、填空题12．（2023春·北京东城·八年级汇文中学校考期中）如图，在数轴上点A表示的实数是．13．（2023春·北京燕山·八年级统考期中）一艘船以20海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船以15海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1小时后，它们相距海里．14．（2023春·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学校考期中）图1中的直角三角形斜边长为4，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，则的值为．15．（2023春·北京西城·八年级北京四中校考期中）如图，校园内有一块长方形草地，为了满足人们的多样化品求，在草地内拐角位置开出了一条路，走此路可以省m的路．16．（2023春·北京海淀·八年级北大附中校考期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．点Q在直线BC上，且AQ=2，则线段BQ的长为．17．（2023春·北京海淀·八年级北大附中校考期中）如图所示的正方形网格中，每一个小正方形的面积均为，正方形，，的顶点都在格点上，则正方形的面积为．18．（2023春·北京丰台·八年级北京市第十二中学校考期中）长方形纸片中，，，按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，则．19．（2023春·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学校考期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为．20．（2023春·北京东城·八年级汇文中学校考期中）若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，则n的值为．21．（2023春·北京海淀·八年级北大附中校考期中）“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是：三、解答题22．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考期中）如图是一块地，已知AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，且CD⊥AD，求这块地的面积．23．（2023春·北京通州·八年级统考期中）下面是小明设计的“作矩形ABCD”的尺规作图过程：已知：在中，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD．作法：如图，①分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，交AC于点P；③连接BP并延长至点D，使得PD＝BP；④连接AD，CD．则四边形ABCD是矩形．根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题：(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接AE，CE，AF，CF．∵AE＝CE，AF＝CF，∴EF是线段AC的垂直平分线．∴AP＝______．又∵BP＝DP，∴四边形ABCD是平行四边形______（填推理的依据）．∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形______（填推理的依据）．24．（2023春·北京西城·八年级北京四中校考期中）如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．(1)求△ABC的面积；(2)判断△ABC的形状；(3)求AB边上的高．25．（2023春·北京海淀·八年级北大附中校考期中）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝2，∠ABD＝15°，∠C＝60°．(1)求∠BDC的度数；(2)求CD的长．26．（2023春·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数；（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数．27．（2023春·北京西城·八年级北京四中校考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙．一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，顶端到地面的距离为．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，梯顶端到底面的距离为，求小巷有多宽？

28．（2023春·北京燕山·八年级统考期中）在12世纪印度数学家婆什迦罗的著作中，有一首诗，也称“荷花问题”：平平湖水清可鉴，面上半尺生荷花；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅”这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置2尺远，求湖水的深度．29．（2023春·北京东城·八年级汇文中学校考期中）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC、AB于点D、E.(1)求证：△ABC为直角三角形．(2)求AE的长．

参考答案1．D【分析】直接利用勾股定理求解即可．【详解】解：在平面直角坐标系中，点到原点的距离是故选D【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握“由两点的坐标求解两点之间的距离”是解本题的关键．2．C【分析】由勾股定理求得，进而得，再判断结论的正误．【详解】根据题意得，，，故正确；，，∵，∴，正确，错误；，故错误；故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理，数轴与实数的对应关系，无理数的估算，关键是由勾股定理求得．3．C【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．【详解】解：A．，以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B．，以，3，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C．，以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；D．，以5，12，12为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．4．C【分析】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．【详解】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC=5m，AB=12m，∴，∴这棵树原来的高度为：BC+AC=5+13=18（m），即：这棵大树在折断前的高度为18m，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键．5．C【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】A.，故无法构成直角三角形，不符合题意；B.，故无法构成直角三角形，不符合题意；C.，故可以构成直角三角形，符合题意．D.，故无法构成直角三角形，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．6．C【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A、由于22+32≠42，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；B、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；C、由于，能构成直角三角形，故本选项正确；D、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意．故选择：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．7．B【分析】首先由勾股定理得AB，AC，BC的三边长，从而有AB2+AC2＝BC2，得∠BAC＝90°，再根据S△ABC，代入计算即可．【详解】解：由勾股定理得：AB，AC，BC，∵AB2+AC2＝25，BC2＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴S△ABC，∴，∴AD＝2，故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理，通过勾股定理计算出三边长度，判断出∠BAC＝90°是解题的关键．8．B【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2=c2时，则三角形为直角三角形．【详解】解：A、12+22≠22，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；B、12+（）2=22，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确；C、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；D、12+12≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；故选B．【点睛】此题考查的是勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足：a2+b2=c2时，则三角形ABC是直角三角形．解答时，只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方．9．B【分析】根据勾股定理，求出BC的长度，设BD=x，则DC=4-x，由折叠可知：DE=4-x，BE=2，在RtBDE中，，根据勾股定理即可求出x的值，即BD的长度．【详解】∵∠C=90°，AC=3，AB=5BC==4，设BD=x，则DC=4-x，由折叠可知：DE=DC=4-x，AE=AC=3，∠AED=∠C=90°，∴BE=AB-AE=2．在RtBDE中，，即：，解得：x=，即BD=，故选：B．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，解题的关键在于写出直角三角形BDE三边的关系式，即可求出答案．10．D【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长.【详解】根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，在Rt△ABC中：AC==15（cm），则这只铅笔的长度大于15cm．故选D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的长度是解决问题的关键．11．B【详解】选项A，32+42=52，A选项是直角三角形；选项B，42+52≠62，B选项不是直角三角形；选项C，62+82=102，C选项是直角三角形；选项D，52+122=132，D选项是直角三角形．故选：B．12．【分析】根据勾股定理求出的长度，然后根据点A在数轴上的位置即可解答．【详解】解：如图，∵，∴，∴点A表示的实数是．故本题答案为：．【点睛】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．13．25【分析】根据题意画出图形，根据题目中AB、AC的夹角可知它为直角三角形，然后根据勾股定理解答．【详解】解：如图，∵由图可知AC=20×1=20（海里），AB=15×1=15（海里），在Rt△ABC中，BC=（海里）．故它们相距25海里．故答案为：25．【点睛】本题考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．14．16【分析】根据题意设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，根据勾股定理可得，根据图形面积可得，即可求得答案．【详解】解：设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，∴故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．15．2【分析】根据矩形的性质，得到这是个直角三角形，根据勾股定理，计算斜边长为5，直角边的和与斜边的差即为所求．【详解】如图，∵四边形是长方形，∴∠ACB=90°，∵AC=3，BC=4，∴AB==5，∴AC+BC-AB=3+4-5=2（m），故答案为：2．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，准确理解矩形性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．16．或【分析】分当Q在射线CB上和当Q在射线BC上两种情况利用勾股定理求解即可.【详解】解：如图所示，当Q在射线CB上时，∵AC=BC=1，AQ=2，∠ACB=90°，∴，∴；如图所示，当Q在射线BC上时，∵AC=BC=1，AQ=2，∠ACB=90°，∴∠ACQ=90°，∴，∴，故答案为：或.【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于能够理解Q的位置有两个.17．45【分析】根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵CM=3，CN=6，∠MCN=90°，∴MN2=CM2+CN2=32+62=45，∴正方形MNPQ的面积=MN2=45，故答案为：45．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．18．5.8cm【分析】注意发现：在折叠的过程中，BE＝DE，从而设BE即可表示AE，在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．【详解】设DE＝xcm，则BE＝DE＝x，AE＝AB－BE＝10－x，在Rt△ADE中，DE2＝AE2＋AD2，即x2＝（10－x）2＋16．解得：x＝＝5.8，故答案为：5.8cm．【点睛】此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形．19．x2＋62＝(10－x)2【分析】根据题意画出图形，由题意则有AC=x，AB=10﹣x，BC=6，根据勾股定理即可列出关于x的方程.【详解】根据题意画出图形，折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=(10﹣x)2，故答案为x2+62=(10﹣x)2．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键.20．2.【分析】根据勾股定理可得：（n＋1）2＋（n＋2）2＝（n＋3）2，再解即可．【详解】解：由题意得：（n＋1）2＋（n＋2）2＝（n＋3）2，解得：n1＝2，n2＝－2（不合题意，舍去）．故答案为2．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．21．如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．【详解】解：命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的题设是“如果两个实数相等”，结论是“那么它们的绝对值相等”，故其逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”．故答案为：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.22．【分析】连接，根据勾股定理求得的长，根据勾股定理的逆定理可得，根据，即可求解．【详解】解：连接，∵∴，∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解题的关键．23．(1)见解析(2)CP；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）先利用作法得到EF垂直平分AC，从而得到PA=PC，由于PB=PD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加上∠ABC＝90°，即可判断四边形ABCD是矩形．【详解】（1）解：矩形ABCD就是所求作的图形，如图，（2）CP；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．【点睛】本题考查矩形的判定、基本尺规作图—垂直平分线的作法、平行四边形的判定等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．24．(1)△ABC的面积为5(2)△ABC是直角三角形(3)AB边上的高为2【分析】（1）由矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可；（2）由勾股定理和勾股定理的逆定理即可得出结论；（3）由三角形的面积即可得出结果．【详解】（1）解：△ABC的面积；（2）解：由勾股定理得：AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=32+42=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°；（3）解：∵AC==2，BC=，△ABC是直角三角形，∴AB边上的高==2．【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．25．(1)45°(2)【分析】（1）由AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝60°，可求得∠ABC与∠ADC的度数，然后在Rt△ABD中，利用直角三角形的性质，求得∠ADB的度数，继而求得∠BDC的度数；（2）过点B作BE⊥CD于点E，在Rt△BCE中，由BC=2，∠C=60º，得∠EBC=30º，由此CE=，由勾股定理可求得，由等角对等边得DE=BE=，即可求得CD的值.【详解】（1）解：∵AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝60°，∴∠ABC＝90°，∠ADC＝180°−∠C＝120°．在Rt△ABD中，∵∠A＝90°，∠ABD＝15°，∴∠ADB＝75°，∴∠BDC＝∠ADC−∠ADB＝45°；（2）解：过点B作BE⊥CD于点E，在Rt△BCE中，∵BC=2，∠C=60º，∴∠EBC=30º，∴CE=，，∵∠BDC=45º，∴DE=BE=，∴CD=DE+CE=+1.【点睛】此题考查了直角梯形的性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．26．（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析【分析】（1）作出边长分别为3，4，5的三角形即可．（2）根据要求作出图形即可．（3）根据要求作出图形即可．【详解】解：（1）如图1中