点、直线、圆的位置关系-2023年中考数学一轮复习（全国通用）

考向28点直线圆的位置关系

【考点梳理】

知识点1：与圆有关的位置关系

5点与圆设点到圆心的距离为d.

(l)d<ro点在。O内；(2)d=r=点在00上；(3)上r0点在©0外.

的位胃关系

位置关系相离相切相交

图形

6.直线和

圆的位

公共点个数0个1个2个

置关系

数量关系一<∕>rd=rd<r

知识点2:切线的性质与判定

(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法).

7.切线

(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.

的判定

(3)经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

(1)切线与圆只有一个公共点.

8.切线

(2)切线到圆心的距离等于圆的半径.

的性质(3)切线垂直于经过切点的半径.______________________________________

(1)定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到

圆的切线长.

*9切线(2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心

与这一点的连线平分两条切线的夹角.

长

【题型探究】

题型一：点和圆的位置关系

1.(2023•辽宁抚顺・统考一模)在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5,最小距离为1,则此圆的半径为()

A.3B.4或6C.2或3D.6

2.（2023秋•广东广州♦九年级期末）A,B两个点的坐标分别为（3,4）,（-5,1）,以原点。为圆心，5为半径作

ΘO,则下列说法正确的是（）

A.点A,点B都在。。上B.点A在。。上，点B在。O外

C.点A在。。内，点B在。。上D.点A,点8都在。O外

3.（2021・河北唐山•统考一模）在数轴上，点A所表示的实数为3,点B所表示的实数为“，，A的半径为2.下列

说法中不正确的是（）

A.当4=1时，点8在：A上B.当2<“<3时，点8在A内

C.当〃<5时，点8在A内D.当4>5时，点8在A外

题型二：直线与圆的位置关系

4.（2022•山东荷泽•统考三模）已知在直角坐标系中，以点A（0,3）为圆心，以3为半径作A,则直线y=依+2（々≠0）

与:JA的位置关系是（〉

A.相切B.相交C.相离D.与左值有关

5.（2023春•山东青岛•九年级专题练习）在直角坐标系中，一次函数y=丘+1-2（））的图象记作G,以原点O

为圆心，作半径为1的圆，有以下几种说法：

①当G与。。相交时，），随X增大而增大；②当G与。。相切时，ζ=:

4

③当G与。。相离时，A>］或&<0.其中正确的说法是（）

A.①B.O@C.①③D.②③

6.（2022秋•九年级单元测试）如图，点A的坐标是（-2,0）,点C是以OA为直径的。B上的一动点，点A关于

点C的对称点为点P.当点C在。B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线），=履―3k（⅛>0）有且只有一个

公共点，则上的值为（）.

D.姮

CY5

题型三：切线的性质问题

7.（2023•江苏苏州・统考一模）如图，AB是。的直径，AC是O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点£>.若

C.230D.27°

8.（2023•湖北武汉•校考一模）如图,PA,总是；O的两条切线，A,2是切点，过半径。8的中点C作COLOB交

R4于点。，若PD=3,AD=5,则O的半径长为（）

C.36D.2√5

9.（2023•湖北省直辖县级单位•校考一模）如图,ABC中，AC=#，点。是AB边上的一点，O与AC、BC分

别相切于点A、E,点F为:。上一点，连AF,若四边形ACEF是菱形，则图中阴影部分面积是（）

ʌ-7Hb∙c∙VHD∙

题型四：切线的判定和性质综合问题

10.(2023・湖南衡阳•衡阳市华新实验中学校考一模)如图，与。O相切于点A,过点4作ADj_OP于点C,交

。。于点。，连接尸。交直径A8的延长线于点£

(1)求证：Po是。。的切线；

⑵若。。的半径为6,DC=4,求PD的长.

11.(2023・广东云浮•校考一模)如图，四边形ABC3内接于：。，BD是。的直径，ZBDC=WNABD,过点C作

A。的平行线交AB延长线于点E,连接AC.

(1)求证：CE是:O的切线；

(2)当tan∕BAC=g,DC=6时，求8E的长.

12.(2023•湖南娄底•校考一模)如图，在MBC中，AO平分NCA8,交BC于点ZλAB是］。的直径，连接A。、

过点力作DElAC,交AC于点E,交AB的延长线于点尺

E

D

（1）求证：DE是。的切线;

(2)求证：DA∙DF=BD∙AF;

4

（3）若。的半径为5,IanZABD=-,求8尸的长.

题型五：切线长定理

13.（2023・辽宁抚顺•统考一模）如图，PA,PB是。的切线，A、B为切点,若NP=50。，则ZABo的度数是（）

C.45°D.50°

14.（2023•全国•九年级专题练习）如图，ABC的内切圆。。与AB,BC,CA分别相切于点。，E,F,

AB=I4,8C=13,C4=9,则AQ的长是()

A.3.5B.4C.4.5D.5

15.（2023・全国•九年级专题练习）如图，O内切于RtZ∖ABC,点P、点。分别在直角边BC、斜边AB上，PQ±AB,

且尸。与O相切，若AC=2PQ,则SinNB的值为（）

题型六：三角形内接圆问题

16.（2022•山东淄博•统考中考真题）如图，在AABC中，AB=AC,点Q在AC边上，过△A8。的内心/作/ELBQ

于点£若BQ=I0,CZ）=4,则BE的长为（）

A.6B.7C.8D.9

17.（2022.四川德阳•统考中考真题）如图，点E是OABC的内心，AE的延长线和：ΛBC的外接圆相交于点Q,与BC

相交于点G,则下列结论：ΦZBAD=ZCAD;②若NBAC=60。，贝IJNBEC=I20°；③若点G为BC的中点，则

/BGD=90°：④BD=DE.其中一定正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

18.（2023・全国•九年级专题练习）如图，ZiABC的内切圆。。与AB,BC,AC相切于点。，E,F,已知AB=6,

AC=5,BC=I,则OE的长是（）

ʌ12√7r10√7r9√7n8√7

7777

题型七：圆内接四边形问题

19.（2023•四川泸州,统考一模）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，若/BOD=140。，则NC的度数是（）

C

A.70oB.80oC.100oD.110°

20.（2023・陕西西安・高新一中校考二模）如图，AB是.。的直径，Co是。的弦，NASD=50。，则/C的度数

是（）

A.120oB.130oC.140oD.150°

21.（2022.湖北十堰•统考中考真题）如图，。是等边一ΛBC的外接圆，点。是弧AC上一动点（不与A,C重合）,

下列结论：①"DB=NBDC；®DA=DC;③当。B最长时，DB=2DC;®DA+DC=DB,其中一定正确的结论

有（）

A

β

∖//O∖/

B^------ɪ

A.1个B.2个C.3个D.4个

题型八：圆和圆的位置关系

22.（2023春•九年级课时练习）如图，，A与8外切于点P,它们的半径分别为6和2,直线C。与它们都相切,

切点分别为C,D,则图中阴影部分的面积是（）

D.I6y∕3--π

3

23.（2022・湖北武汉•统考一模）如图，在平面内Ol,O1,Q两两外切，其中。的半径为8,「。2，。3的

半径都为5.用一张半径为R的圆形纸片把这三个圆完全覆盖,则R的最小值为（）

D.15

24.（2022.湖北武汉.统考模拟预测）如图，点C是OZ）的中点，以OC为半径作。O,以CZ）为直径作。0，，A8与

。。和G）0'分别相切于点4和点8,连接8。，则cos/BDC的值是（）

bcD.叵

3∙Y∙i2

题型九：园的综合问题：

25.(2023•安徽合肥•合肥市第四十五中学校考一模)如图，ABC内接于＜O,AB为。的直径，NAeB的平分

线交。于点。，连接3D.

(1)过点A作A尸，CO于点尸，过点B作8GL8于点G,求证：DF=BG;

(2)若CB=CD,求证：ABBD=2ACBC.

26.(2023・四川泸州・统考一模)如图，已知ΔABC内接于O,AB是。的直径，/C48的平分线交8C于点O,

交(。于点E,连接EB,作NBEF=Nc4£,E尸交AB的延长线于点F.

(1)求证：BC//EF；

(2)求证：EF■是:。的切线;

(3)若=10,EF=20,求O的半径和AO的长.

27.(2023•广东佛山•校考一模)如图，菱形ABCD中，AB=4,以A8为直径作。，交AC于点E,过点E作防工AD

于点F.

⑴求证：EF是:。的切线；

(2)连接。F,若/840=60。，求OF的长.

（3）在（2）的条件下，若点G是。上的一个动点，则线段CG的取值范围是什么？

【必刷基础】

一、单选题

28∙（2023∙湖北省直辖县级单位•校考一模）图1是一个“不倒翁”，图2是它的主视图，OA,OB分别与ACB所在

圆相切于点4,B.若该圆半径是8,/0=54。，则4CB的长是（）

D.10.4π

29.（2023•湖北省直辖县级单位•校考一模）如图，四边形ABCD内接于00,ZABC=I35。，AC=4,贝∣J,O的半径

A.4B.2√2C.√3D.40

30.（2023・陕西渭南•统考一模）如图，点A是O中优弧BAo的中点，ZABD=JOo,C为劣弧Bo上一点，则NBs

的度数是（）

A

A.120oB.130oC.140oD.150o

31.（2023・全国•九年级专题练习）如图,48是。的直径，点C、。在。上，若NBAC=30。，则NAZ）C的大小

C.HOoD.100°

32.（2023•全国•九年级专题练习）如图,直线y=-Gx+36与X轴、y轴分别交于A、8两点,P(l,θ),P与y

轴相切于点。，将P向上平移机个单位长度，当P与直线AB第一次相切时，则加的值是（）

C.3√3-3D.2√3-3

33.（2023春♦九年级课时练习）如图，正五边形ABCQE内接于.O,过点A作,。的切线交对角线。3的延长线于

点尸，则下列结论不成立的是（）

A.AE//BFB.AF//CDC.DF=AFD.AB=BF

34.（2023•云南•校考一模）如图，已知AB是二，。的直径，点、D是。上一点，过点。作：。的切线交AB延长线于

点、E,AC，。E于点C,连接A。.

(1)求证：Ar)平分NBAC；

(2)若AC=6,tanE=—,求-。的半径.

3

35.（2023•陕西西安♦高新一中校考二模）如图，。与ABC的边AB相切于点E,点。在边BC上，AB=AC,AO

交（。于点尸，且AOlBC于点O.

（1）求证：AC是O的切线；

（2）已知点H为，。上一点，FH=2EF，OA=√3,。的半径为1,求m7的长.

36.（2023•陕西西安•校考二模）如图，以,ABC的一边AB为直径作，O,。与8C边的交点恰好为8C的中点。,

与AC边的交点为尸，过点。作。ElAC于点E.

A

F

E

C

（1）求证：直线E>E是。的切线;

⑵若AB=5,tanZACB=2,求弦AF的长度.

【必刷培优】

一、单选题

37.（2023.江苏泰州•九年级校考期末）如图，已知点A（4,0）,B（0,3）,直线/经过A、B两点，点C（XM为直线）在

第一象限的动点，作乂OC的外接圆0",延长CM交〃于点。，则aOCQ的面积最小值为（）

Q

38.（2022春•九年级课时练习）如图，在RtC中，NC=90。，AC=BC,点。在AB上，经过点A的O与BC

相切于点。，交力B于点E,若CC=G则图中阴影部分面积为（）

CA3π

3B.l-πc3D.4------

ʌ-^?∙^τ4

39.（2022・四川泸州・四川省泸县第四中学校考一模）如图,四边形ABCO内接于O,LCB交CB的延长线于

CE=5,则AE=()

C.2√6D.4√3

40.（2022.宁夏银川.校考一模）如图，在半圆。中，AB是半圆。的直径，AB=4,OCLAB,连接8C,以BC为

直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）

D.π

41.（2022.江苏连云港•校考三模）如图，在矩形ABC。中，AB=6,AD=8,点。在对角线80上，以。B为半径

作；O交6C于点E,连接OE,若OE是。的切线，此时〔。的半径为（）

21

-TlD.To

42.（2022∙福建福州•福建省福州教育学院附属中学校考模拟预测）如图，YABa）的三个顶点4、B、。均在。上,

且对角线AC过圆心。，BC与：。相切于点8,若（。的半径为6,则。ABC。的面积为（）

A.35B.54√3C.—D.72+卫叵

55

二、填空题

43.（2023•福建福州•统考一模）已知ΛBC内接于。。，/是ABC的内心，若NBKJ=NBoC,则284C的度数是

44.（2022・福建福州•校考一模）如图，BC为O的直径，尸为CB延长线上的一点，过户作，。的切线R4,A为切

点，PA=4,PB=2,则。的半径等于.

45.（2022•黑龙江哈尔滨•校考二模）如图，A、B、C、。四个点均在。上，NAoD=70°,AO//DC,则-3的

度数为.

46.（2022.内蒙古通辽•模拟预测）如图所示，已知四边形ABC。是。的一个内接四边形，且N800=110。，则

ZDCE=

47.（2023•广东江门•校考一模）ABC中，AB=AC=I3,BC=24,点。为ΛBC的对称轴上一动点，过点。作O

与BC相切，与（。相交于点E,那么AE的最大值为.

48.（2022•浙江宁波•校考模拟预测）如图，在..ABC中，AC=BC,。是,ABC的外接圆，在劣弧BC上存在点E

满足NA£B=2Zfi4E,连结AE交BC于点。，延长AO交，:。于点G,连结BG交AE于点”，连结CH,若EG=D”,

三、解答题

49.（2023•山东东营•校考一模）如图，.A5C内接于O,A8是。的直径，AC=CE,连接AE交BC于点

延长。C至F点，使CF=C£>,连接AF.

（1）判断直线质与O的位置关系，并说明理由;

（2）若AC=I3,tanNCAE=M,求AE的长.

50.（2023•陕西汉中•统考一模）如图，。是；ABC的外接圆，AA是。的直径，尸是AO延长线上一点，连接

CD,CF,且/DCF=ZCW.

⑴求证：CF是：O的切线；

3

(2)若直径AQ=Io,CosB=g,求FD的长.

51.(2023•广东江门•校考一模)点E为正方形ABCD的边CO上一动点，直线AE与8。相交于点F,与BC的延长

线相交于点G.

(1)如图①，若正方形的边长为2,设E>E=x,△£>EG的面积为>，求》与X的函数关系；

(2)如图②，求证：CF是ECG的外接圆的切线；

(3)如果把正方形ABa)换成是矩形或菱形，(2)的结论是否仍然成立？

52.(2023•广东江门•江门市华侨中学校考--模)如图，点。在NMPN的平分线上，O与PO相交于点C.与Po的

延长线相交于点。，与PM相切于点A.

(2)若∕¾=4,PC=2,求O的半径；

(3)点G是劣弧AC上一点，过点G作O的切线分别交PM,PN于点E,F,若!PEF的周长是一Q半径的3倍，求

tanNEPF的值.

53.（2023・陕西西安•校考一模）（1）如图1一A的半径为2,AB=5,点尸为A上任意一点，则3P的最小值为

图1图2图3

（2）如图2,已知矩形ABCO,点E为AB上方一点，连接AE,BE,作所_LA8于点F,点尸是ABE尸的内心,

求—3PE的度数.

（3）如图3,在（2）的条件下，连接AP,CP,若矩形的边长A8=6,BC=A,BE=BA,求此时CP的最小值.

参考答案:

1.C

【分析】点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径=最小距离+

最大距离；②当点在圆外时，直径=最大距离-最小距离.

【详解】解：分为两种情况：

图1图2

①当点M在圆内时，如图1,

点到圆上的最小距离MJ=I,最大距离MA=5,

，直径Aβ=l+5=6,

半径r=3

②当点“在圆外时，如图2,

点到圆上的最小距离M8=1,最大距离M4=5,

直径A8=5-l=4,

，半径r=2

故选：C

【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系,注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键.

2.B

【分析】根据勾股定理，可得0A、。2的长，根据点与圆心的距离4则d>r时，点在圆

外；当d=r时，点在圆上；当"<r时，点在圆内.

【详解】解：∙.∙(9A=√32+42=5,

Oβ=√52+12=√26>5,

点A在。。上，点B在。O外.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为r,点到圆心的

距离为d,则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当"<r时，点在圆内.

3.C

【分析】根据点到圆心的距离d与半径「的大小关系即可判断点与圆的位置关系，当d>r

时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内，再判断各选项，可得答案.

【详解】解：A.当”=1时，d=2,即d=r,点8在M上，故A正确；

B.当2<α<3时，0<d<∖,即d<r,点B在：A内，故B正确；

C.当α<5时,，①a<1时，d>2,即r,点8在4外；②α=l时，d=2,即d=r,

点B在A上；③l<α<5H寸，Q<d<2,即d<r,点B在A内；故C不正确；

D.当α>5时，d>2,即d>厂，点B在A外，故D正确；

故选C.

【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键是要记住若半径为r,点到圆心的距

离为d,则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内.

4.B

【分析】直线y="+2(Zwθ)过定点(0,2),该点在A内部，因此可知直线y=fcc+2(Z*0)

与。A的位置关系是相交.

【详解】解：对于y="+2(�),当X=O时，无论k取何值，对应的y值均为2,

直线y=fcv+2(Zwθ)过定点(0,2),

A是以点A(0,3)为圆心，以3为半径的圆，

定点(0,2)在，A内部，

.∙.直线y=H+2(Z*0)与：A的位置关系是相交.

故选：B.

【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，直线与圆位置关系的判定，得出直线

y=履+2(ZHO)过定点(0,2)是解题的关键.

5.C

【分析】由一次函数解析式可得直线过点(2,1),如图1,P(2,1),A、B为直线与圆的

切点，连接OB,OP,AB,AB与OP交于点C,过B作BELy轴于E；先由勾股定理和三

角函数解放△/¾O;再由切线长定理求得AB的长；然后解MAABE求得B点坐标，便可求

得直线与圆相切时的Z值；根据一次函数与y轴交点纵坐标(1-2Q随k值的变化情况确定

直线与圆的位置关系即可解答.

【详解】解：∙.∙y=Ax+l-2M&Hθ),当时，y=l,

，一次函数经过点(2,1),

如图1,P(2,1),A、B为直线与圆的切点，连接OB,OP,AB,AB与OP交于点C,过

B作BEJ轴于E,

y

∙∙∙A点坐标(O,1),二必〃X轴,

,2

∙.∙∕¾=2,OA=1,..OP=yJp^+Ad=√5>

-I2

R/△%O中，sinZOPA=~^tcosZO∕¾=ξ^,

由切线长定理可得：PB=PA,POA.AB,

24

9

∕∙AB=2ACf∖AC=APsinAOPA=,/.AB=,

VZAOP+ZOM=90o,NA。。+NQAe=90。，：.ΛOAC=AOPA,

-414428

RtLABE中,BE=ABsinZEAB=×ξ^=-,AE=ABcosZEAB=忑X下=",

3

.*.OE=AE-AO=-,

5

.∙.B点坐标弓，]），代入y=丘+l-2k（bθ）可得：

•••直线y="+l-2M%wO）与），轴交点纵坐标为（1-2D,

45

当时，直线与圆相切，直线与y轴交点（0,--）,

45

当时，（1-2%）<-=,直线与圆相离；

33

当％<0时，（1-2A）>1,直线与圆相离：

45

当0<女<§,-§<（1-2A）<1,直线与圆相交；

4

；直线与圆相交时，0<上V],二一次函数递增，故①正确；

4

•••直线与圆相切时，上§,故②错误；

4

：直线与圆相离时，&或A<0,故③正确；

①③正确,

故选：C.

【点睛】本题考查了一次函数的图象特征，切线长定理，直线与圆的位置关系，解直角三角

形等知识；综合性强难度大，正确作出辅助线是解题的关键.

6.C

【分析】由点C的运动轨迹，可以推出点P的运动轨迹.然后根据当点C在。8上运动时，

所有这样的点尸组成的图形与直线严丘一3我(&>0)有且只有一个公共点，推出OPLPD,

然后根据勾股定理和等积法分别求出PE和OE,进而确定点P的坐标，然后代入直线厂履

-3k(⅛>0)即可求出A:的值.

【详解】解：如图，连接0P,作过点P作PE，X轴于点E,

：点P和点A关于点C对称，点C的运动轨迹是以点8为圆心，半径为1的圆，

点尸的运动轨迹是以。为圆心，以4。为半径的圆.

,.∙当点C在。B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y^kx-3k(⅛>0)有且只有一

个公共点，直线y=fcr-3%(⅛>0)过定点。(3,0),

OPLPD,

NoPo=90。，

在RrPf)中，OP=OA=2,OD=3,

22

由勾股定理得：PD=y∣θD-OP=45

由等积法，可得：OD∙PE=OP∙PD,

即：3×PE=2×√5,

解得：PE=还

3

_________4

在Rt∆OPE中，OE=SP2-PE?=-

点P的坐标为(金，-—)

33

把点P的坐标代入)，=区一3&,得:一竿=gz-3Z,

解得:公孚.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了双动点模型：主动点运动轨迹是圆，从动点运动轨迹也是圆，圆与

直线的位置关系，勾股定理，等积法.熟记相关模型，利用数形结合思想是解决此类问题的

关键.

7.A

【分析】如图所示，连接。C,先根据切线的性质得到NaR=90。，再根据三角形内角和定

理得到NCoD=36°,则由圆周角定理得到ZA=-ZCOD=18。.

2

【详解】解：如图所示，连接OC,

•••CD是。的切线，

NOC£>=90°,

,.∙ND=54。，

ZCOD=36°,

：./A=L/C。。=18。，

2

【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟知切线的性质是

解题的关键.

8.B

【分析】过点。作OMPB交PA于M,连接P。，0A,由平行线等分线段定理得到

MD=PD=3,由用OPA^RtOPB得NoPB=NoPA,由平行线的性质推出NMoP=NMPO

得到OM=PM=6,由勾股定理即可求出半径的长.

【详解】解：过点。作OMPB交必于例，连接PO,0A,

BC

'.'PB切。于点B,

，半径

VCDlOB,

：.CDPB,

：•PBCDOM,

YOC=CB,

：.MD=DP=3,

・・・以切。于A,

・・・半径。4J∙PA,

,.∙PO=PO,OA=OB,

：.RtOPgRtOPB,

・・・ZOPB=ZOPA,

•/乙MOP=4OPB,

：・ZMOP=ZOPA,

：•OM=PMaPD=2x3=6,

•：MA=RA-PM=3+5-6=2,

∙*∙OA=√OM2-M42=√62-22=4√2»

・•・。的半径长是4√Σ∙

故选：B.

【点睛】本题考查切线的性质定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，勾股定理,

平行线等分线段定理，关键是过点。作。MPB交PA于M,由平行线等分线段定理推出

DM=DP.

9.A

【分析】设AB与（。相交于点。，利用菱形的性质可得∕C=ZF,AC=CE=E利用圆

的切线性质可得NC4B=NOEC=90。，从而可得NC+NAOE=180。，进而可得

o

ΛF+ZAOE=ISOf然后求出NC=NE=60。，从而求出N3=30。，BC=2娓,BE=娓,

再在RL,BOE中，利用锐角三角函数的定义求出OE的长，/3的度数，最后根据阴影部分

面积〜BOE的面积一扇形DOE的面积，进行计算即可解答.

【详解】解：设AB与，。相交于点£»,

四边形ACE尸是菱形，

LNC=NF,AC=CE=G

)0与AC、BC分别相切于点A、E,

.∙.NCW=NoEC=90°,

.∙.zc+ZAOE=360o-(NeAB+ZOEQ=180°,

.∙.ZF+ZAOE=180°,

,ZAQE=2ZF,

.∙.NF=1*18(T=6()o,

3

.∙.ZC=ZF=60o,

.∙.ZB=90o-ZC=30°,

.∙.BC=2AC=2屈,

.-.BE=BC-CE=G

在RtBoE中,ZB=30。，

C

.∙.OE=BE-tan30o=√6X—=√2,

3

ZEOB=90°-ZB=60°,

阴影部分面积=BQE的面积-扇形OOE的面积

'BE∙OE-60”(历

1

万

-X

2√6-3

=G-F

阴影部分面积为8

故选：A.

【点睛】本题考查了菱形的性质，切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，扇形面积的计

算，熟练掌握切线的性质，以及圆周角定理是解题的关键.

10.(1)见解析

⑵

【分析】（1）由切线的性质可得NQAP=90。，再证明OPD=OPA（SSS）,得出

o

ZODP=ZOAP=909即

可求证；

（2）先由勾股定理求出OC=2√L再证明OCD〜DCP,根据相似三角形的性质求解即

可.

【详解】（1）证明：・・•孙与。。相切于点A,

：.PAlOAf

：.ZOAP=90°,

VADLOP,OA=OD9

：.AC=DC1

：•PD=PA,

在AO匹力和O∕¾中，

PD=PA

OD=OAi

OP=OP

：.-OPD^OPA（SSS）f

：.NoDP=NOAP=90。，

又・・,。。是。。的半径，

・•・PO是。。的切线；

（2）・・・。。的半径为6,

・♦.OD=6,

•：ADLOP,

：.ZDCP=ZOCD=90°,

・・・OC=∖∣OD2-DC2=√62-42=2√5,ZODC+ZDOC=90。，

由（1）得：NODP=90。，

：・NODC+/PDC=物,

J/DOC=ZPDC,

：・式）CD”DCP,

.ODOC

••--=---*

PDDC

即合乎

解得：PD=吆B

5

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形

的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

11.(1)见解析

⑵乎

【分析】(1)连接OC,根据直径所对的圆周角是直角得出SALAD,根据圆周角定理得:

ABOC=IABDC,进而得出NBoC=NABO,则*〃得出。CLEC,即可得证；

(2)由tanN3DC=而=£,得出8C=3,根据切线的性质得出NBCE=NBAC,进而在

RtMC中，勾股定理即可求解.

【详解】(1)证明：如图，连接。C,

QBD是。的直径，

.-.SAlAD,

AD//EC,

.-.CElAE,

由圆周角定理得：ZB0C=2ZBDC,

./BDC=WNABD,

.-.ZBOC=ZABD,

.∙.OC∕∕AE,

.∖OC1EC,

OC是。的半径，

；.CE是。的切线；

(2)解：IanZBAC=,NBDC=NBAC,

↑23Λ^BDC==ɪ,

CD2

.CZ)=6，

.∙.BC=3,

CE是。的切线，OC//AE

/.ZBEC=90°,

：•ZBCE=90o-/EBC=ZBDC=/BAC

:.NBCE=/BAC,

BEI

ʌ-=⅛,即EC=25E,

EC2

BE2+EC2=BC2,

/.BE2+(2BE)2=32,

：.BE=延.

5

【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理，已知正切求边长，勾股定理，综合运

用以上知识是解题的关键.

12.(1)见解析

(2)见解析

【分析】⑴连接。。，证明。。为√WC的中位线，根据平行线的性质，证明DEA8即可.

(2)根据切线的性质，直径所对的圆周角是直角，结合余角的性质，证明aEDBsZ∖E4r)即

可.

4

(3)根据三角函数，证明N4L>E=NΛ3O,结合tanNA3O=],计算sin∕AT>E,结合

/ZRs通求解即可.

【详解】(1)证明：连接0。，如图，

•・•AB是。的直径，Ao平分/C4B,

o

ΛZADB=ZADC=90fZCAD=ZBADf

JZC=ZABC,

・・・AC=ABf

.*.BD=DC,

∙/AO=OB9

E

D

・•・OO为，ABC的中位线，

：・OD//AC9

•：DElAC,

：・DEAOD,

又・・・。。是半径，

・•・OE是］。的切线.

(2)证明：TM是：。的切线，

・•・ZODB÷ZBDF=90°,

•：DO=OB9

：・ZODB=ZOBD9

JNOBD+NBDF=90。,

••.AB是。的直径，

o

ΛZADB=90t

：•∕OBD+/DAB=90°,

：∙/DAB=ZBDF,

•・•ZBFD=ZDFA1

：•4FDBs4FAD，

,DF_DB

**AF-DA*

JDA∙DF=BD.AF.

(3)解：・・・AB是.J0的直径，AO平分∕C4B,DElAC,

：.ZAED=AADB=ZADC=.ZCAD=ZBADf

：.ZADE=ZABD,

222

•：RtABO中，tanZAB。=空=:，AB=AD+BD，AB=2OA=∖09

BD3

・•・AD=8,

・•・在RtAAOB中，sinZADE=sinΛABD=—=1,

AB5

AE4

在RtZ∖ADE中，SinZADE=——=-,

AD5

32

・・・AE=y,

•：OD//AE,

：,FDoSFEA,

.OD^OF

5_BF+5

Λ32^βF+10,

y

90

•・∙DPrP----.

7

【点睛】本题考查了圆的性质，三角形相似的判断和性质，锐角三角形函数，三角形中位线

定理，熟练掌握圆的性质，锐角三角函数，三角形相似的判定和性质是解题的关键.

13.A

【分析】由以、PB是O的切线,可得Λ4=P3,根据等边对等角可得NaIB=NP胡=65。，

从而可得NABO.

【详解】解：.PA.PB是。的切线，

..PA=PB,OBlPB,ZPBO=90°

,ZP=50o,

:.ZPAB=ZPBA=∣×(180o-50°)=65°

.∙.ZABO=90°-NPBA=90°-65°=25°

故选：A

【点睛】本题主要考查的是切线的性质，解决本题的关键是由P4PB是，.。的切线,可得

PA=PB.

14.D

【分析】设A。=x,根据切线长定理得出4/=4ZλCE=CEBD=B。，求出

BD=BE=U,CF=CE=9-x,根据CE+BE=BC,代入求出X即可.

【详解】设A。=X,

・・・ASC的内切圆。。与A8,BC,CA分别相切于点。，E,F,

：,AF=ADfCE=CFfBD=BD,

YAB=14,8C=I3,G4=9,

：.BD=BE=∖4-x,CF=CE=9—x,

;CE+BE=BC=13

Λ9-x+14-x=13,

•∙-Y=5,

/.AD=5.

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，解决本题的关键是掌握切线的性

质.

15.B

【分析】设.。与RtzλABC相切于点。，E,G,与PQ相切于点凡连接。。，OE,OF,

OG,设。的半径为r,BQ=x,PE=y.根据切线的性质定理，正方形的判定定理和性质求

出CE,GQ,FQ的长度，根据相似三角形的判定定理和性质求出BC的长度，根据切线长

定理确定BE=8G,PE=PF,进而列出方程并用厂表示BQ,进而用r和y表示出PQ和BP

的长度，根据勾股定理用厂表示出y,进而求出PQ和8尸的长度，再根据直角三角形的边角

关系求解即可.

【详解】解：如下图所示，设。与RtAABC相切于点。，E,G,与PQ相切于点尸，连

接0£>,OE,OF,OG,设。的半径为r,BQ=x,PE=y.

,/。与RtZVlBC相切于点。，E,G,与PQ相切于F,PQLAB,

：.OD=OE=OF=OG=r,NoDC=NoEC=NoGQ=NoFQ=NACB=NPQB=NFQG=90。,

PF=PE=y,BE=BG.

，四边形ODCE是矩形，四边形OFQG是矩形，BP2=BQ2+PQ2.