2023年广东省广州市高三二模数学试卷(含答案)

2023年广东省广州市高三二模数学试卷

本试卷共5页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答

案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答

在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指

定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1+a\c.

1.若。为实数，且、.=2一1,则”

3+1

A.2B.1C.-1D.—2

2.已二知集合/{x|x=3«-2,neN*},5={6,7,10,11},则集合N8的元素个数为

A.1B.2C.3D.4

3.已知两个非零向量。，。满足I。1=3网，(a+b)lb,则cos(a,5)=

1111

A.B.一？c-3

2

4.已知。=3?,b;=2十，c=4t,则

A.c<a<bB.b<c?<aC.b<a<cD.c<b<a

5.木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升某同学制作了一

个高为40cm的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm

的球。的球面上，且一个底面的中心与球。的球心重合，则该正四棱台的

侧面与底面所成二面角的正弦值为德

孥B.；亨二

数学试题第1页（共5页）

6-已知椭圆u；：+短过点3，。）且方向向量为注（1T）的光线,经

直线V=反射后过C的右焦点，则。的离心率为

3234

A-5B-3C-4D，5

sin（2x+q））,恒成立，且/（兀）＞/用，则/Q）

7.已知函薮方（x）若

的单调递增区间为

A.1兀+卷，左兀+闺（JZ）B.［左兀一小左兀+扑心Z）

C.［左兀-?丘+昌（JZ）D.［左兀-第环:-袭（JZ）

8.已知偶函数/Q）与其导函数/'（X）的定义域均为R,且/'（x）+e-*+x也是偶函数，

若/（2。-1）＜/（。+1）,则实数。的取值范围是

A.2）B.（。,2）c.6,+00）9（-oo,0）（2,+oo）

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%,第2台加工的次品率为

3%,第3台加工的次品率为2%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床

加工的零件数分别占总数的10%,40%,50%,从混放的零件中任取一个零件，则下列

结论正确的是

A.该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08

B.该零件是次品的概率为0.03

C.如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98

D.如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为:

io.已知函数/Q）=］一鲁:的定义域是Lz,TQ,beZ）,值域为［0』］,则满足条件的

整数对Q,6）可以是

A.（-2,0）B.（-U）C.（0,2）D,（-152）

数学试题第2页（共5页）

11.已知双曲线「：x2—/=。2（。＞0）的左，右焦点分别为J1,过V的直线/与双

曲线「的右支交于点3,C,与双曲线厂的渐近线交于点/,D（A,8在第一象限,

C,。在第四象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是

A.若轴，则4BCq的周长为6。

B.若直线。8交双曲线「的左支于点E,则

I

C.△40。面积的最小值为4a2

D-|/4+|叫|的取值范围为（3。，+°°）

12.已知正四面体工一8。的棱长为2,点M,N分别为△/6C和△4?。的重心，P为

线段CW上一点，则下列结论正确的是

A.若ZP+BP取得最小值，则CP=PN

B.若CP=3PN,则。P_L平面4SC

27

C.若DPL平面ABC,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为N7r

2a

D.直线MN到平面ACD的距离为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布N（80,。2）,且

成绩在180,901上的学生人数为16,则成绩在90分以上的学生人数为

14.已知/?eN.,的展开式中存在常数项，写出〃的一个值为

在数列%｝中，a=2,a=4+。，若44=440,则正整数左=

15.

n1〃1+〃mitk斤+1

16.在平面直角坐标系X。"中，定义"（48）=E—x,|+yJV,|为N（x“），B（x,y）

两点之间的“折线距离”.已知点。（1，0）,动点P满足d（O，P）=m，点M是曲线

少=一上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为,d（P"）的最小值

为.（第一个空2分，第二个空3分）

数学试题第3页（共5页）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

设S是数列%｝的前〃项和，已知。=0,a+（_1）“S=2”.

nn3〃+ln

a

（1）求“I，2>

（2）仲a+2a,求b+b+b+…+b

n〃+ln2462n

18.（12分）

一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本.为了调查年技术创

新投入x（单位：千万元）对每件产品成本y（单位：元）的影响，对近io年的年技术创新投

入X和每件产品成本匕（i=l,2,3,…,10）的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：

II

X=6.8,y=70,E_L=3,ELIE,E工=350.

XX2"

i/=!i

（1）根据散点图可知，可用函数

b

模型片豆+“拟合歹与X的关系，

试建立y关于x的回归方程；

年技术创新投入/千万元

（2）已知该产品的年销售额加（单位：千万元）与每件产品成本y的关系为

产2y200

加=一湎+方°°.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他

成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入》为何值时，年利润的预报值最大？

（注：年利润=年销售额一年投入成本）

参考公式：对于一组数据（〃，丫），（“，丫），…，（"，丫），其回归直线Ha+P"的斜率和

1122nn

z.uv-nuv

截距的最小二乘估计分别为：8=弋二~~—a=v-p«.

/=1

数学试题第4页（共5页）

19.（12分）

记aABC的内角4,B,C的对边分别为a,h,c,已知6cos/-acos8=b-c.

（1）求才；

/J

（2）若点。在8c边上，且CD=2BD,cosB=*,求tan/BZD.

20.（12分）

如图，在直三棱柱—N8c中,&B4C93,点。是8C的中点，点、E

1111

在44上，〃。〃平面8。£,

।।

(1)求证：平面6CE_L平面88CC；

111

(2)当三棱锥夕-8QE的体积最大时，

求直线与平面sqf所成角的正弦值.

21.(12分)

已知点E(l,0),P为平面内一动点，以PE为直径的圆与歹轴相切，点尸的轨迹

记为C.

(1)求。的方程；

(2)过点/的直线/与。交于/,8两点，过点4且垂直于/的直线交X轴于点M,

过点8且垂直于/的直线交x轴于点N.当四边形的面积最小时，求/的方程.

22.（12分）

己知函数/m)ln(l+x),g。)axi+x.

(1)当尤＞—1时，/(x)Wg(x),求实数a的取值范围;

11

(2)已知〃eN*,证明:sin_+sin_+4-sin<ln2

n+1〃+2

数学试题第5页(共5页)

参考答案及评分标准

评分说明：

1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题

的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.

2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的

一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

4.只给整数分数.选择题不给中间分.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

题号12345678

答案cBDDAADB

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

9.BC10.ACD11.BD12.BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13,814.3或者弘QeN*)15.1016.g,

四、解答题：本题共6小题，共70分.

17.(10分)

(1)解：由。+(—1)〃S=2”，得a—S=2,即。-a=2,...............1分

n+ln2121

Q+S=4,即Q+Q+Q=4,..............................3分

32312

又。二o,

3

所以。=1,a=3...............................5分

12

(2)解：当〃=2%时，a+S=223①..............................6分

2k+\2k

当〃=2%-1时，a-S=221,②..............................7分

2k2k-\

①+②得。+〃+S-S=22k4-22k-\,

2k+\2k2k2k-l

得。+2。=3x22i...............................8分

2k+\2k

1

因为=a+2。,

nn+1n

所以Z?+0+0++b=(a+2a)+(〃+2〃)+(〃+2a)H--卜(a+2a)

2462n3254762n+l2n

=3x2+3x23+3x25+•••+3x22〃—i.......................9分

2xG-4〃)

=22/T+I-2........................................................10分

18.(12分)

1

(1)解：令"二一，则y关于〃的线性回归方程为y=a+Po〃，................1分

x

-lOuy

人/i350-210

依题意,得P二飞--------=200,3分

-10〃21.6—0.9

a=y—(3〃=70—200x0.3=10,4分

则y=10+200〃.5分

s200

所以y关于元的回归方程为y=10+—6分

X

200200

(2)解法1:由"1i°n+丁'得7分

年利润M=m-x—108分

苧。

一二+4+22L+K)O.9分

50025y-10

)

(y-202+90.8.10分

500-

当＞=2°时’年利润M取得最大值，此时，”=普=栽=2。，…”分

所以，当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值最大...........12分

2

200

解法2：由y=10+——，

X

年利润M=77?—x—10.......................................................7分

-2i^2°Lioo-x-io

+++8分

50025y—10

2(200、

+—10+——+X+100-X-109分

25(x)

=-8011-」、丫+90.8.....................................................10分

\x20）

112

当一=而，即x=20时，年利润M取得最大值，......................11分

x20

所以，当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值最大...........12分

19.（12分）

（1）解法1：因为bcosA-acosB=c,

人,02+C2-a2Q2+C2一枕,

由余弦定理有b------------------=b-c,2分

2bclac

化简得拉+C2-a2=bc,3分

.b2+c2-a21

由余弦定理得COSA=F^-=]4分

因为0cAe兀，

71

所以A=、.5分

解法2：因为/?COS4—QCOSB=〃-C,

a_b_c

由正弦定理

sinAsinBsinC

得sinBcosA-sinAcos8=sin8—sinC,1分

因为。=兀一（4+6）,

所以sin8cosA-sinAcos8+sin(A+8)=sin8.........................................2分

化简得sinficosA+sinficosA=sinB,.......................................................3分

因为sin8w0,

,1

所以cosA=-........................................................4分

因为0cA＜兀，

3

n

所以........5分

(2)解：由cos8=立，得sinB=Jl-cos23=^

6分

33

在△48。和△AC。中，由正弦定理得

BD_AD3AD

8分

sin0sinB提,

CDAD6AD

sinC3+^/6,9分

3

因为CD=2BD,上面两式相除得而sin（：_e]=G+#）sine,

3

、

cosO--1sin0=Y+#)sin9,

得10分

2

7

+a)sin®,

即播cos0=11分

得tan©=----==V3->/2.

2+V6

所以tanNBAD=&&12分

20.（12分）

解法一：

（1）证明：取SC】的中点尸，连接。尸，EF,

因为点。是BC的中点,

4

所以。F〃CC〃A4,DF=-CC=-AA=AE.

ii2i2i

则A,E,F,。四点共面..................................1分

因为AO〃平面BCE,平面AEEDA平面8CE=EF,

11

所以AO〃EF.............................................................2分

因为AB=AC,

所以ADL3C.........................................................................3分

在直三棱柱ABC-ABC中，CC_1_平面48C,则A£）J_CC.

iiii

又BCCCC=C,8Cu平面88CC,CCc

iiii

所以A。J_平面85CC...........................4分

ii

所以石/，平面33CC.

11

又Mu平面BCE,

1

所以平面BCE，平面BBCC..........................................5分

।11

（2）解：由（1）可知四边形AEFO是平行四边形，

所以=EF.

设BC=2。（0＜。＜3）,在RADB中，AD=\JAB^—BD^=J9—a2,

所以EF=-a?.

三棱锥3-8。石的体积

।।

Q2+

V=V=LX-BBBCEF=ay)9-a2<9

B「BC]EE-%q321112

7分

当且仅当a=j9-a；,即。=平时，等号成立.

故当三棱锥的体积最大时,8C=2a=3".8分

在Rt△AOC中，AD=JAG-CD=手.

以。为原点，所在直线为x轴，AO所在直线为y轴，。尸所在直线为z轴,

5

9分

设平面8。产的法向量为"=Q,y,z),

3。3。3c

n-BE=Q,—x-——y+-z=0,

由，—,得222

n-BC=0,

1-3/x+3z=0,

令x=l,则z=”，y=0.

所以平面5y的一个法向量为"=1,o,加TO分

11分

设直线AC与平面8—所成角为。，

则sin。=cos

所以直线AC与平面BCE所成角的正弦值为？.........................12分

।6

解法二：

(1)证明：延长。产交。的延长于点尸，连接BE,

因为AD〃平面8CE,平面ABCD平面5CE=8尸，AOu平面ABC,

1।

所以AD〃BF........................................................1分

因为AB=AC,

所以AD_LBC...........................................................2分

在直三棱柱A8C-ABC中，CC_L平面4BC,则AO,CC.

6

又BCCCC=C,BCu平面88CC,CCu平面88CC,

iii।ii

所以AO_L平面8BCC.

ii

所以BF1平面BBCC.

ii

又BFu平面BCE,

1

所以平面BCE，平面BBCC........................................................5分

iii

(2)解：由于。是8c的中点，则A是C5的中点，E是AA的中点，BF=2AD.

1

设8C=2。(0<〃<3),在Rs中，AD=\JAB?-BD2=J9-〃2,

所以BF=2yJ9-a2,

三棱锥3「8。产的体积

(i\--------42+(9—42)9

V=VBC■—BF=〃J9-。2<------------------=一

B「BqEE-BB&3211112J22

...................................................7分

当且仅当a=19一,即时、等号成立.

故当三棱锥勺一3。产的体积最大时，BC=2a=3y/2...................................8分

作CG1BC于G,连接FG,

1

因为平面BCE_L平面88CC,平面BCEn平面88CC=8。,

।।11।1।

所以CG_L平面BQE...................................9分

所以NCFG为直线AC与平面BCE所成的角...................10分

在RtA^CC中，BC=JBC2+CC2=373,CG=8。巴=«,……口分

111BC

在RI△BCF中,sinZ.CFG=—

CF6

所以直线AC与平面BCE所成角的正弦值为一.....................12分

1n

7

另法：由于。是6c的中点，则A是的中点，E是A4的中点，BF=2AD.

1

设BC=2a（0<a<3）,在Rt/\ADB中，AD=AB--BD-=J9—a?,

所以BF=2y/9-a2.

三棱锥R-BqE的体积

Q2+(9-42)

9

V=VBC-[-BF\=ad9-a2<___________

B「BC、EE-BB£32III12J22

7分

当且仅当a=j9二,即时，等号成立.

故当三棱锥3—BCE的体积最大时，BC=2a=3y/2.....................8分

।।

由于BC2=482+402,则AB_LAC.

又平面ABC±平面ACCA,平面ABC平面ACCA=AC,

1111

则A3,平面ACCA.....................9分

11

设A到平面BCE的距离为/7,

।।

由v=v,....................10分

产B-A<C}E

1-1—「39

得一".SABS=_x3x_x3x_=_

3叼3邛产3224

而S='.BC-AD=,

A6C卢214

所以力二手

11分

因为4C〃AC,

11

所以直线AC与平面BCE所成角的正弦值为sin。=刍=里..........葭分

।AC6

11

21.（12分）

（1）解法1：设点PG，）J,以PF为直径的圆的圆心为MG',V）,

8

,x+l,y

由于M为尸产的中点，则/=2-,/=-.......................1分

依题意得I"尸|=k'|,...........................2分

所以。的方程为A=4x............................4分

解法2：设点以PF为直径的圆的圆心为M,。”的半径为『，

则四|=2r.

设。M与)'轴的交点为N,过点P作尸。,V轴于点Q,

在梯形OFPQ中，r=|MN|」°)?P0=1,.............1分

则|Pfj=2r=x+L...........................2分

所以点P到点F的距离等于点P到直线x=-1的距离.

所以点尸的轨迹是以点F为焦点，x=-l为准线的抛物线.................3分

所以C的方程为W=4x............................4分

(2)解法1：根据题意，直线/的斜率存在，设直线/：y=Mx-D,/l(x,y

fy2=4x,

由1),_左(》_])消去＞'，整理得公工2-2(匕+2)x+k2=°，

2U2+27,

由韦达定理得：无+x=--------x,无，=1，...............5分

12ki12

设直线/的倾斜角为。，则|AM|=|AFUtan9|,|BN|=|87书anO|,...........6分

所以性M|+|BN1解尸|+|M|)|tanO|=|A即tan。卜..................7分

4k2+4

所以|A8|=|A曰+怛/|=1+1+卷+1=：.....................8分

由题意知四边形为梯形,

9

。(AM+|BN|)|AB|M坤网8(^2+1)2

所以四边形M4V5的面积s=---=丁=下口

9分

8(公+2公+1)

10分

时

设f=W€(0,+8),则S。)=里"+2厂+1)=8«+2+_1),

f3tf3

SfG)=8(l----)=8。-2n—3)=8”拘"+")(")

t2"，4

当o<t<JJ时,s'Q)<o；当有时,s'G)>o,

所以sG）在Q,JJ）上单调递减，在（仔,+8）上单调递增.

所以当，=|勺=邛，即％=有或上=-有时，四边形M4NB的面积取得最小值，

......................11分

此时直线/的方程为旷=6（8-1）或旷=—否（苫-1）,

BPy]3x-y—>/3=0nJc>]3x+y—>/3=0.......................12分

解法2：设直线/：x=my+i,A（*），m，

y9—4x

由《消去x,整理得)'2-4〃?)，-4=0,

x-my+\,

由韦达定理得y+y=4m，yy=-4,.............5分

12I2

所以W-丁21=J（，1+>2”_4yly2=J16/H2-4x（-4）=4，加2+1.............6分

直线AM的方程为y-y令y=o,得刀=匕+》，即M2+x,o.

11mI\mI）

......................7分

同理可得N（》+x,,0）.......................8分

所以四边形"AN8的面积

$=S颐+S.=；冲|；悭叫同=引叫M-”................9分

%一八一%\y-y|=—+1)一八一(my+1)|y-y

2m1m21i212m1m211

10

11(m2+1)2

—+m=8—+m(m2+1)=810分

2mm\m

设"MeO+oo),则SG)=8("+2"+D,s()=8S+l)d),

tt2

当0<f<且El寸，S'G)<0；当z>立时，S'G)>0,

33

所以S。)在

上单调递减，在上单调递增.

所以当/=仙|=¥，即帆=¥或帆=-】§时，四边形的面积取得最小值,

..............................11分

此时直线/的方程为x=q〉+i或％=-¥>+1,

即^3x-y->/3=0或y/3x+y->/3=0.......................12分

22.(12分)

(1)解法1：由/(x)Wg(x),得ln(l+x)<ox2+x,

若x=0,得040,aeR,......................1分

若XHO,得二——--<a,

X2

X2+2x八、