新教材同步系列2024春高中数学第八章8.28.2.2一元线性回归模型参数的最玄乘估计第2课时对模型刻画数据效果的分析及非线性回归模型课件新人教A版选择性必修第三册

第八章成对数据的统计分析8.2一元线性回归模型及其应用8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计第2课时对模型刻画数据效果的分析及非线性回归模型学习目标素养要求1.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果数据分析2.会将非线性回归模型转化为线性回归模型求解回归方程数据分析自学导引残差的概念观测值预测值残差残差分析【预习自测】提示：不一定；越小越好．(1)残差图法在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以_______________的水平带状区域内，那么说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系．(2)残差平方和法横轴为对称轴刻画回归效果的方式越小越大越大越小【预习自测】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)残差平方和越小，线性回归模型的拟合效果越好． (

)(2)在画残差图时，横坐标为残差，纵坐标可以选为样本编号． (

)(3)R2越小，线性回归模型的拟合效果越好． (

)【答案】(1)√

(2)×

(3)×课堂互动为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：题型1线性回归分析x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散点图并求经验回归方程；(2)求出R2；(3)进行残差分析．解：(1)散点图如图所示：(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性相关关系．

刻画回归效果的三种方法(1)残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，则说明选用的模型比较合适．1．已知某种商品的价格x(单位：元/件)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：x1416182022y1210753求y对x的经验回归直线方程，并借助残差平方和与R2说明回归模型拟合效果的好坏．列出残差表：下表为收集到的一组数据：题型2非线性回归x21232527293235y711212466115325(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；(3)利用所得模型，预报x＝40时y的值．解：(1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1，c2为待定的参数．(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝lny，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性经验回归方程了，数据可以转化为x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784残差表如下：(3)当x＝40时，y＝e0.273x-3.876≈1146.非线性回归问题的处理方法(1)指数函数型y＝ebx＋a①函数y＝ebx＋a的图象如图所示：②处理方法：两边取对数得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b.(2)对数函数型y＝blnx＋a①函数y＝blnx＋a的图象如图所示：②处理方法：设x′＝lnx，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.(3)y＝bx2＋a型处理方法：设x′＝x2，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.2．为了研究某种病毒随时间x变化的繁殖个数y，收集数据如下：天数x123456繁殖个数y612254995190求y对x的非线性经验回归方程．解：作出散点图如图1所示．由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线y＝cebx的周围，则lny＝bx＋lnc.令z＝lny，a＝lnc，则z＝bx＋a.x123456z1.792.483.223.894.555.25在一次抽样检查中，抽得5个样本点，相关数据如下表所示．易错警示忽视线性相关性的分析致误x0.250.5124y1612521试建立y关于x的回归方程．易错防范：本题直接取已知数据求经验回归方程，没有画出散点图或对样本相关系数r进行相关性检验，而本题的两个变量恰好不具有线性相关关系．正解：作出散点图，如图1所示．作出散点图，如图2所示，可以看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用经验回归方程拟合．u4210.50.25y1612521素养达成1．检验回归模型的拟合效果一般有三种方法：(1)残差分析：通过残差分析发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果．其步骤是：计算残差、画残差图、在残差图中分析残差特性．1．(题型1)如果两个变量之间的线性相关程度很高，那么其R2的值应接近于

(

)A．0.5 B．2C．0 D．1【答案】D【解析】R2越接近于1，相关程度越高．故选D．2．(题型1)(多选)关于残差图的描述正确的是 (

)A．残差图的横坐标可以是样本编号B．残差图的横坐标也可以是解释变量或响应变量C．残差点分布的带状区域的宽度越窄，R2越小D．残差点分布的带状区域的宽度越窄，残差平方和越小【答案】ABD【解析】残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，则残差平方和越小，此时R2的值越大，C错误，A，B，D正确．3．(题型2)两个变量的散点图如图所示，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是 (

)【答案】B【解析】由散点图可知，此曲线类似对数型函数曲线，因此可用函数y＝a＋blnx模型进行拟合．5．(题型1)在一段时间内，某网店一种商品的销售价格x(元)和日销售量y