2020年人教版八年级上册13.4-课题学习-最短路径问题课时训练-含答案

13.4课题学习最短路径问题课时训练一．选择题1．已知A（﹣1，1）、B（2，﹣3），若要在x轴上找一点P，使AP+BP最短，此时点P的坐标为（）A．（0，0） B．（，0） C．（﹣1，0） D．（﹣，0）2．如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河处流边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（）A． B． C． D．3．如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标为（4，2），点B坐标为（1，﹣3），在y轴上有一点P使PA+PB的值最小，则点P坐标为（）A．（2，0） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）4．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝4，则△PMN的周长的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．85．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°6．如图．在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A．84° B．88° C．90° D．96°二．填空题7．在平面直角坐标系中，有A（3，3），B（1，﹣1）两点，现在y轴上取一点P，当P点的坐标为时，AP+BP的值最小．8．如图，已知点A（0，3），B（3.0），C（1，2）．在y轴上找一点P，使PC+PB的值最小．请你估计点P的坐标是．9．如图，P为∠MON内部的已知点，连接OP，A为OM上的点，B为ON上的点，当△PAB周长的最小值与OP的长度相等，∠MON的度数为°．10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，S△ABC＝16，点P为角平分线AD上任意一点，PE⊥AB，连接PB，则PB+PE的最小值为．11．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为5，面积是14，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为．12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AC＝24，BD平分∠ABC，点E是AB的动点，点F是BD上的动点，则AF+EF的最小值为．13．如图，已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，OP＝6，若OA上有一动点M，OB上有一动点N，则△PMN的周长的最小值是．三．解答题14．如图，点P、Q为∠MON内两点，分别在OM与ON上找点A、B，使四边形PABQ的周长最小．15．河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC就是造桥的位置．请说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．16．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝100°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，求∠MAN的度数是多少？17．如图，要在街道l上修建一个奶吧D（街道用直线l表示）．（1）若奶吧D向小区A，B提供牛奶如图①，则奶吧D应建在什么地方，才能使它到小区A，B的距离之和最短？（2）若奶吧D向小区A，C提供牛奶如图②，则奶吧D应建在什么地方，才能使它到小区A，C的距离之和最短？18．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC＝65°，则∠NMA的度数是度．（2）若AB＝10cm，△MBC的周长是18cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．参考答案一．选择题1．解：设直线AB的解析式y＝kx+b（k≠0），将点A（﹣1，1）、B（2，﹣3）的坐标代入得：解得：所以直线AB的解析式为：y＝﹣x﹣．令y＝0，解得x＝﹣，所以点P的坐标为（﹣，0），故选：D．2．解：要找一条最短路线，分别过OB，OC作点A的对称点，则张大伯可沿着AM走一条直线去河边M点挑水，然后再沿MN走一条直线到菜园去，同理，画出回家的路线图如下：故选：D．3．解：如图所示：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点P，则此时AP+PB＝AP+PB′＝AB′的值最小，∵点B坐标为（1，﹣3），∴B′（﹣1，﹣3），∴B′C＝AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴PD＝B′D＝1，∵OD＝|﹣3|＝3，∴OP＝2，∴P（0，﹣2），故选：D．4．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M′、N′，连接OC、OD、PM′、PN′．∵点P关于OA的对称点为C，∴PM′＝CM′，OP＝OC，∠COB＝∠POB；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN′＝DN′，OP＝OD，∠DOA＝∠POA，∴OC＝OD＝OP＝4，∠COD＝∠COB+∠POB+∠POA+∠DOA＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝4．∴当M、N分别与M′、N′重合时，△PMN的周长的最小值＝PM′+M′N′+PN′＝DN′+M′N′+CM′＝CD＝4．故选：B．5．解：∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°，∵∠C＝50°，∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°，由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，故选：D．6．解：如图，作点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，则AM＝PM，AN＝QN，所以，∠P＝∠PAM，∠Q＝∠QAN，所以，△AMN周长＝AM+MN+AN＝PM+MN+QN＝PQ，由轴对称确定最短路线，PQ的长度即为△AMN的周长最小值，∵∠BAE＝136°，∴∠P+∠Q＝180°﹣136°＝44°，∵∠AMN＝∠P+∠PAM＝2∠P，∠ANM＝∠Q+∠QAN＝2∠Q，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠P+∠Q）＝2×44°＝88°，故选：B．二．填空题7．解：如图所示：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点P，则此时AP+PB最小，∵B（1，﹣1），∴B′（﹣1，﹣1），设直线AB′的解析式为y＝kx+b，∵A（3，3），∴，解得，∴直线AB′的解析式为y＝x，∴直线y＝x与y轴的交点P为（0，0）．故答案为（0，0）．8．解：如图所示：在x轴上得出B点关于y轴的对称点B′点，连接B′C，交y轴于点P，此时PC+PB的值最小，由题意可得出：B′点坐标为：（﹣3，0），C点坐标为：（1，2），∴设B′C的直线解析式为：y＝ax+b，解得：，∴B′C的直线解析式为：y＝x+，∴x＝0时，y＝，即点P的坐标是：（0.1.5）．故答案为：（0，1.5）．9．解：如图，分别作P关于OM、ON的对称点P1、P2，然后连接两个对称点即可得到A、B两点，∴△PAB即为所求的三角形，此时△PAB周长＝P1P2，根据对称性知道：∠AOP1＝∠AOP，∠BOP＝∠BOP2，∠P1OP2＝2∠MON，OP1＝OP2＝OP，∵△PAB周长的最小值与OP的长度相等，∴P1P2＝OP，∴OP1＝OP2＝P1P2，∴△P1OP2是等边三角形，∴∠P1OP2＝60°，∴∠MON＝30°，故答案为：30．10．解：∵AB＝AC＝8，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴点B与点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB于E，交AD于P，则此时，PB+PE的值最小，且PB+PE的最小值＝CE，∵S△ABC＝AB•CE＝16，∴CE＝＝4，故答案为：4．11．解：如图，连接AD．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝•BC•AD＝×5×AD＝14，∴AD＝，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝+＝8.1，故答案为8.1．12．解：在射线BC上取一点E′，使得BE′＝BE．过点A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝24，∠C＝30°，∴AH＝AC＝12，∵BD平分∠ABC，∴∠FBE＝∠FBE′，∵BE＝BE′，BF＝BF，∴△FBE≌△FBE′（SAS），∴FE＝FE′，∴AF+FE＝AF+FE′，根据垂线段最短可知，当A，F，E共线且与AH重合时，AF+FE的值最小，最小值＝12，故答案为12．13．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，∴OC＝OD＝OP＝6，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝6．∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝6．故答案为：6．三．解答题14．解：作点P关于直线OM的对称点P′，作Q关于直线ON的对称点Q′，连接P′Q′交OM于A，ON于B，则此时四边形PABQ的周长最小．15．解：利用图形平移的性质及连接两点的线中，线段最短，可知：AC+CD+DB＝（ED+DB）+CD＝EB+CD．而CD的长度又是平行线PQ与MN之间的距离，所以AC+CD+DB最短．16．解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB＝100°，∴∠AA′M+∠A″＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°，∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×80°＝160°，∠MAN＝180°﹣160°＝20°．故当△AMN周长最小时，∠MAN的度数是20°．17．解：（1）奶吧D的位置如图1所示；（2）奶吧D的位置如图2所示．18．解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C∵∠ABC＝65°，