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文档简介
13.4课题学习最短路径问题课时训练一.选择题1.已知A(﹣1,1)、B(2,﹣3),若要在x轴上找一点P,使AP+BP最短,此时点P的坐标为()A.(0,0) B.(,0) C.(﹣1,0) D.(﹣,0)2.如图所示,OB是一条河流,OC是一片菜田,张大伯每天从家(A点处)去河处流边挑水,然后把水挑到菜田处,最后回到家中.请你帮他设计一条路线,使张大伯每天行走的路线最短.下列四个方案中你认为符合要求的是()A. B. C. D.3.如图所示的平面直角坐标系中,点A坐标为(4,2),点B坐标为(1,﹣3),在y轴上有一点P使PA+PB的值最小,则点P坐标为()A.(2,0) B.(﹣2,0) C.(0,2) D.(0,﹣2)4.如图,∠AOB=30°,点M、N分别是射线OB、OA上的动点,点P为∠AOB内一点,且OP=4,则△PMN的周长的最小值为()A.2 B.4 C.6 D.85.如图,在锐角△ABC中,∠ACB=50°;边AB上有一定点P,M、N分别是AC和BC边上的动点,当△PMN的周长最小时,∠MPN的度数是()A.50° B.60° C.70° D.80°6.如图.在五边形ABCDE中,∠BAE=136°,∠B=∠E=90°,在BC、DE上分别找一点M、N,使得△AMN的周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为()A.84° B.88° C.90° D.96°二.填空题7.在平面直角坐标系中,有A(3,3),B(1,﹣1)两点,现在y轴上取一点P,当P点的坐标为时,AP+BP的值最小.8.如图,已知点A(0,3),B(3.0),C(1,2).在y轴上找一点P,使PC+PB的值最小.请你估计点P的坐标是.9.如图,P为∠MON内部的已知点,连接OP,A为OM上的点,B为ON上的点,当△PAB周长的最小值与OP的长度相等,∠MON的度数为°.10.如图,在△ABC中,AB=AC=8,S△ABC=16,点P为角平分线AD上任意一点,PE⊥AB,连接PB,则PB+PE的最小值为.11.如图,等腰三角形ABC的底边BC长为5,面积是14,腰AB的垂直平分线EF分别交AB,AC于点E、F,若点D为底边BC的中点,点M为线段EF上一动点,则△BDM的周长的最小值为.12.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,AC=24,BD平分∠ABC,点E是AB的动点,点F是BD上的动点,则AF+EF的最小值为.13.如图,已知∠AOB=30°,点P在∠AOB的内部,OP=6,若OA上有一动点M,OB上有一动点N,则△PMN的周长的最小值是.三.解答题14.如图,点P、Q为∠MON内两点,分别在OM与ON上找点A、B,使四边形PABQ的周长最小.15.河的两岸成平行线,A,B是位于河两岸的两个车间(如图),要在河上造一座桥,使桥垂直于河岸,并且使A,B间的路程最短确定桥的位置的方法是:作从A到河岸的垂线,分别交河岸PQ,MN于F,G.在AG上取AE=FG,连接EB,EB交MN于D.在D处作到对岸的垂线DC,垂足为C,那么DC就是造桥的位置.请说出桥造在CD位置时路程最短的理由,也就是(AC+CD+DB)最短的理由.16.如图,AB⊥BC,AD⊥DC,∠BAD=100°,在BC、CD上分别找一点M、N,当△AMN周长最小时,求∠MAN的度数是多少?17.如图,要在街道l上修建一个奶吧D(街道用直线l表示).(1)若奶吧D向小区A,B提供牛奶如图①,则奶吧D应建在什么地方,才能使它到小区A,B的距离之和最短?(2)若奶吧D向小区A,C提供牛奶如图②,则奶吧D应建在什么地方,才能使它到小区A,C的距离之和最短?18.如图,在△ABC中,已知AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M,连接MB.(1)若∠ABC=65°,则∠NMA的度数是度.(2)若AB=10cm,△MBC的周长是18cm.①求BC的长度;②若点P为直线MN上一点,请你直接写出△PBC周长的最小值.参考答案一.选择题1.解:设直线AB的解析式y=kx+b(k≠0),将点A(﹣1,1)、B(2,﹣3)的坐标代入得:解得:所以直线AB的解析式为:y=﹣x﹣.令y=0,解得x=﹣,所以点P的坐标为(﹣,0),故选:D.2.解:要找一条最短路线,分别过OB,OC作点A的对称点,则张大伯可沿着AM走一条直线去河边M点挑水,然后再沿MN走一条直线到菜园去,同理,画出回家的路线图如下:故选:D.3.解:如图所示:作B点关于y轴对称点B′点,连接AB′,交y轴于点P,则此时AP+PB=AP+PB′=AB′的值最小,∵点B坐标为(1,﹣3),∴B′(﹣1,﹣3),∴B′C=AC=5,∴∠AB′C=45°,∴PD=B′D=1,∵OD=|﹣3|=3,∴OP=2,∴P(0,﹣2),故选:D.4.解:分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M′、N′,连接OC、OD、PM′、PN′.∵点P关于OA的对称点为C,∴PM′=CM′,OP=OC,∠COB=∠POB;∵点P关于OB的对称点为D,∴PN′=DN′,OP=OD,∠DOA=∠POA,∴OC=OD=OP=4,∠COD=∠COB+∠POB+∠POA+∠DOA=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°,∴△COD是等边三角形,∴CD=OC=OD=4.∴当M、N分别与M′、N′重合时,△PMN的周长的最小值=PM′+M′N′+PN′=DN′+M′N′+CM′=CD=4.故选:B.5.解:∵PD⊥AC,PG⊥BC,∴∠PEC=∠PFC=90°,∴∠C+∠EPF=180°,∵∠C=50°,∵∠D+∠G+∠EPF=180°,∴∠D+∠G=50°,由对称可知:∠G=∠GPN,∠D=∠DPM,∴∠GPN+∠DPM=50°,∴∠MPN=130°﹣50°=80°,故选:D.6.解:如图,作点A关于BC的对称点P,关于DE的对称点Q,连接PQ与BC相交于点M,与DE相交于点N,则AM=PM,AN=QN,所以,∠P=∠PAM,∠Q=∠QAN,所以,△AMN周长=AM+MN+AN=PM+MN+QN=PQ,由轴对称确定最短路线,PQ的长度即为△AMN的周长最小值,∵∠BAE=136°,∴∠P+∠Q=180°﹣136°=44°,∵∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P,∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q,∴∠AMN+∠ANM=2(∠P+∠Q)=2×44°=88°,故选:B.二.填空题7.解:如图所示:作B点关于y轴对称点B′点,连接AB′,交y轴于点P,则此时AP+PB最小,∵B(1,﹣1),∴B′(﹣1,﹣1),设直线AB′的解析式为y=kx+b,∵A(3,3),∴,解得,∴直线AB′的解析式为y=x,∴直线y=x与y轴的交点P为(0,0).故答案为(0,0).8.解:如图所示:在x轴上得出B点关于y轴的对称点B′点,连接B′C,交y轴于点P,此时PC+PB的值最小,由题意可得出:B′点坐标为:(﹣3,0),C点坐标为:(1,2),∴设B′C的直线解析式为:y=ax+b,解得:,∴B′C的直线解析式为:y=x+,∴x=0时,y=,即点P的坐标是:(0.1.5).故答案为:(0,1.5).9.解:如图,分别作P关于OM、ON的对称点P1、P2,然后连接两个对称点即可得到A、B两点,∴△PAB即为所求的三角形,此时△PAB周长=P1P2,根据对称性知道:∠AOP1=∠AOP,∠BOP=∠BOP2,∠P1OP2=2∠MON,OP1=OP2=OP,∵△PAB周长的最小值与OP的长度相等,∴P1P2=OP,∴OP1=OP2=P1P2,∴△P1OP2是等边三角形,∴∠P1OP2=60°,∴∠MON=30°,故答案为:30.10.解:∵AB=AC=8,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC,∴点B与点C关于直线AD对称,过C作CE⊥AB于E,交AD于P,则此时,PB+PE的值最小,且PB+PE的最小值=CE,∵S△ABC=AB•CE=16,∴CE==4,故答案为:4.11.解:如图,连接AD.∵△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,∴AD⊥BC,∴S△ABC=•BC•AD=×5×AD=14,∴AD=,∵EF是线段AB的垂直平分线,∴点B关于直线EF的对称点为点A,∴AD的长为BM+MD的最小值,∴△BDM的周长最短=(BM+MD)+BD=AD+BC=+=8.1,故答案为8.1.12.解:在射线BC上取一点E′,使得BE′=BE.过点A作AH⊥BC于H.在Rt△ACH中,∵∠AHC=90°,AC=24,∠C=30°,∴AH=AC=12,∵BD平分∠ABC,∴∠FBE=∠FBE′,∵BE=BE′,BF=BF,∴△FBE≌△FBE′(SAS),∴FE=FE′,∴AF+FE=AF+FE′,根据垂线段最短可知,当A,F,E共线且与AH重合时,AF+FE的值最小,最小值=12,故答案为12.13.解:分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接OP、OC、OD、PM、PN.∵点P关于OA的对称点为C,关于OB的对称点为D,∴PM=CM,OP=OC,∠COA=∠POA;∵点P关于OB的对称点为D,∴PN=DN,OP=OD,∠DOB=∠POB,∴OC=OD=OP=6,∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°,∴△COD是等边三角形,∴CD=OC=OD=6.∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=6.故答案为:6.三.解答题14.解:作点P关于直线OM的对称点P′,作Q关于直线ON的对称点Q′,连接P′Q′交OM于A,ON于B,则此时四边形PABQ的周长最小.15.解:利用图形平移的性质及连接两点的线中,线段最短,可知:AC+CD+DB=(ED+DB)+CD=EB+CD.而CD的长度又是平行线PQ与MN之间的距离,所以AC+CD+DB最短.16.解:作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为△AMN的周长最小值.∵∠DAB=100°,∴∠AA′M+∠A″=180°﹣∠BAD=180°﹣100°=80°,∵∠MA′A=∠MAA′,∠NAD=∠A″,且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×80°=160°,∠MAN=180°﹣160°=20°.故当△AMN周长最小时,∠MAN的度数是20°.17.解:(1)奶吧D的位置如图1所示;(2)奶吧D的位置如图2所示.18.解:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C∵∠ABC=65°,
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