山东省德州市023年高一年级下册期末考试数学试卷（含解析）

高一数学试题

2023.7

命题人：刘兆辉王安拓徐庆明马俊卿赵乐王妍

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，第I卷1—3页，第

n卷页，共150分，测试时间120分钟.

注意事项：

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.

第I卷选择题（共60分）

一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合要求的.）

1.复平面内复数z所对应的点为（-2,-1）,则|z+i|=（）

A.0B.2C.72D.1

2.如图所示，梯形A'3'C。是平面图形ABC。用斜二测画法得到的直观图,

A'D'=2B'C'=ZA'B'=],则平面图形"CD中对角线AC的长度为（）

A.72B.73C.y/5D.5

3.第七次全国人口普查数据显示，德州市各区县常住人口数据如下图所示，则这些区县的

人口数据的75%分位数为（）

口德城区

□天衢新区

口陵城区

口齐河县

□乐陵市

□禹城市

□临邑县

□宁津县

□夏津县

□平原县

口武城县

□庆云县

A.43.86B.48.8C.55.92D.52.36

4.如图所示正八边形A8C0EFG",。为正八边形的中心，且。4=1,则下列选项正确的是

()

B.0E在。"上的投影的数量为正

2

C.OA-OC=—DH

2

D.ODOG=—

2

5.=贝sin(20+=()

I4)2-sin。I2)

A.-B.-C.-D.-

4488

6.长方体4BC。-ABC。中，4B=8C=4,AA=1,则二面角4-8。-£的余弦值为()

A.--B.-旦C.-D.显

9999

7.根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法

就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算

筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不

一样多的概率为（）

纵式：1IIIII1111muTnm1

横式：---==-----

123456789

8.如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面

均相切，若43=12,则该模型中一个小球的体积为（）

A

c

A.37tB.—C.隔D.见包

216

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.）

9.己知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.7,10.0,10.0,10.0,10.3,

乙种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.6,9.7,10,0,10.2,10.5,则（）

A.甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数

B.甲种的样本方差大于乙种的样本方差

C.甲种样本的70%分位数小于乙种样本的70%分位数

D.甲乙两种水稻近五年的总方差为0.072

10.设函数f（x）=sin（0x+'J®>O）在区间（0,兀）恰有两个零点,则0可能是（

)

57

A.-B.2C.-D.

333

11.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中不放回的随机取两次，每次

取1个球，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件8表示“第二次取出的球的数

字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件。表示“两次取出的球的数

字之和是奇数“，则（）

A.A与B是互斥事件B.C与。互为对立事件

C.B发生的概率为gD.B与C相互独立

12.如图（1）所示，ABC和，48都是直角三角形，AB=BC=>/^,NCAD=30。，如图

（2）所示，把A3C沿AC边折起，使.A3C所在平面与,,ACC所在平面垂直，连接80,

下列说法正确的是（）

（1）（2）

A.AB上平面BC。

B.8。与平面AC。的夹角的正弦值为恒

10

C.三棱锥外接球的表面积为16%

D.点C到平面480的距离为巫

5

第n卷非选择题（共90分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

--1

13.已知6是单位向量，且“力=5，则向量2。_匕与劝的夹角为.

14.如图，PAL平面为正方形，且必=A£>,E,F分别是线段PA,CD的中点,

则异面直线E尸与AC所成的角为.

15.如图所示是某电路子模块，位置1,2,3随机接入3个电子元件48,C,不同位置的

元件是否正常工作不受其它元件影响.当1号位置正常工作，同时2号位与3号位中至少有

一个位置正常工作，该电路子模块才能正常工作.若电子元件A,B,C正常工作的概率分别

为0.6,0.7,0.8当接入电子元件后，则该电路子模块能正常工作的概率最大值

是_____________

16.已知正方体的棱长均为2.以4。中点为球心，指为半径的球面与侧

面4BCG的交线长为

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程

或演算步骤

17.先后抛郑一枚质地均匀的骰子，第一次抛郑的点数记为机，第二次抛郑的点数记为".

⑴求机=〃的概率；

（2）求用＞〃的概率.

18.已知/'（x）=sin（x-兀）sin（x-+cosxsin

⑴求函数〃x）的最小正周期和对称中心；

JT3冗

（2）当xe时，求函数的最值.

OO

19.某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组（满分150分）：

[65,75),[75,85),[85,95),[95,105),[105,115),[115,125),[125,135),[135,145),整理得到如图

所示的频率分布直方图.

(1)求第七组的频率；

(2)用样本数据估计该地的500名学生这次考试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间

的中点值作代表)；

(3)现从500名学生中利用分层抽样的方法从[95,105),[105,115)的两组中抽取5个人进一步

做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率.

20.如图：三棱台ABC-的六个顶点都在球。的球面上，球心位于上下底面所在的两

个平行平面之间，/%=网=CG=而，ABC和△ABC分别是边长为G和20的正三

角形.

(1)求三棱台ABC-AB©的表面积；

(2)计算球。的体积.

21.从①指"sinA=&；②“sinB-g6cosBcosC=Gccos%；③1+f咚=即；

1+cosBtanCc

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在锐角.ABC中，a,Sc分别是

角A,B,C的对边，若.

⑴求角8的大小；

(2)求sinA+sinC取值范围；

(3)当sinA+sinC取得最大值时，在ABC所在平面内取一点O(。与B在AC两侧)，使得

线段OC=2,D4=1,求△88面积的最大值.

(注：若选择多个条件，按第一个解答计分)

22.已知直三棱柱ABC-A&G中，侧面AA8避为正方形，AB=3C=2,E,F分别为AC和

CG的中点，。为棱AB|上的动点(包括端点).与E,若平面41田与棱8C交于点G.

(1)请补全平面A4E与棱柱的截面，并指出点G的位置;

(2)求证：8尸，平面44E；

(3)当点。运动时，试判断三棱锥£>-£FG的体积是否为定值?若是，求出该定值及点。到平

面EFG的距离；若不是，说明理由.

1.B

解析：因为复数z所对应的点为所以z=-2-i,

所以z+i=—2,

所以.

故选：B.

2.C

解析：由直观图知原几何图形是直角梯形ABC。，如图，

由斜二测法则知/W=AE=2,BC=B'C'=\,AB1BC,

所以AC=y/AB2+BC2=V22+l2=后■

故选：C

3.D

解析:把德州市各区县常住人口数据从小到大排列：22.33,31.81,35.37,41.91,45.81,

46.68,47,33,47.34,48.8,55.92,57.64,69.53,因为12x75%=9,

所以第75百分位数为数据从小到大排列的第9、10两个数的平均数，即48・8；5.92=5236.

故选：D

4.C

解析:如图所示的正八边形被过。的线段分成八个全等的等腰三角形,每个顶角均为

84

A选项，根据相等向量定义，应该是=A选项错误；

3兀

B选项，由图所示，0旦。”的夹角含有三个等腰三角形的顶角，故为二，

于是OE在0〃上的投影的数量为|OE|cos?=-乎，B选项错误；

C选项，ZAOC=2x^=|,连接AC,则为等腰直角三角形，故AC=0=kc],

又,川=2,故|OA_OC|=|CA卜卜&=#x2=#WM,C选项正确；

3兀

D选项，结合图形可知OROG的夹角为邛，根据数量积的定义，

4

OD-OG=1x1xcos—■=-9D选项错误.

42

故选：C

2sin。

解析：因为tan2”含^。cos。

cos化简可得

cos20-sin202—sin。

cos20

2sin6^(2-sin0)=cos26^-sin20=l-2sin26,即sin。=；,

且6w(0,,则sin(26+])=cos26=1—2sin?6=1—2x(；)=(.

故选：D

6.A

取30中点。，连接A。、CyO,因为A|B=A。，CiB=CiD,

所以AOJ_60,C}O1BD,

所以N40G即为二面角A-BD—G的平面角，连接4G,AC,

因为长方体A8CO—AqG2中，AB=BC=^AAi=\f

所以A0=C0=2&,AAl=CCi=lf

所以4。=。0=3,又因为A£=4亚,

AO?9+9-327

在△AOG中,cos/AOC]

240xC。-2x3x39

7

所以二面角A的余弦值为

故选：A.

7.B

解析：用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，

共可以摆出9x9=81个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有1x1=1种，

个位和十位上的算筹都为2有2x2=4种，个位和十位上的算筹都为3有2x2=4种,

个位和十位上的算筹都为4有2x2=4种，个位和十位上的算筹都为5有2x2=4种,

共有4x4+1=17种，所以个位和十位上的算筹不一样多的有81-17=64种，

所以个位和十位上的算筹不一样多的概率为臀.

O1

故选：B

8.C

解析：如图所示，

设。为大球的球心，大球的半径为R,大正四面体的底面中心为E,棱长为AB=12,高为K

C。的中点为F,连接Q4,OB,OC,OD,0E,BF,

则BE=2BF=^X12=4A/5,正四面体的高/?=AE=A/4B2-B£：2=逅）＜12=4后

333

因为嚓四面体=4%一级，所以gxS八仙=4X+SA"CXR,所以R=；h=&,

设小球的半径为厂，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，

且小正四面体的高力小=力-2R=2«,所以,•="!■%、=LX2#=迈，

14小42

3

所以小球的体积为:兀/=3兀="兀.

故选：c

9.ACD

解析：对于A,-(9.7+10.0+10.0+10.0+10.3)=10.0,

无="(9.6+9.7+10.0+10.2+10.5)=10.0=万正确；

对于B,因为甲、乙平均值都为10,所以际=(9-7-1。)+0。3二10),

(9.6-10)*23+(9.7-10)2+(10.2-10)2+(10.5-10)2

S乙-

5

显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，错误；

对于C,70%x5=3.5,故甲种样本的70%分位数为10.0,

乙种样本的70%分位数为10.2,所以甲种样本的70%分位数小于乙种样本的70%分位数,

正确；

对于D,甲乙两种水稻近五年的总方差为0.072〃J。。*OOZfo,

故甲乙两种水稻近五年的总方差为

2_(9.6-10)2+2x(9.7-10)2+4x(10.0-10)2+(10.3-10)2+(10.2-10f+(10.5-10)2_

S-------------------------------------------------------------------------0.072

10

正确.

故选：ACD

10.BCD

解析：由xw(o,7t),得+

因为〃x)=sin"+今)®＞0)在区间((),兀)恰有两个零点,

7rCQ

所以2兀＜丽+—43兀，解得一＜＜y＜一,

333

所以BCD选项符合题意，

故选：BCD

11.BCD

解析：由题意，不放回的随机取两次，共有6x5=30种情况,

A=｛（2,1）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,5）,（4,6）,

（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）｝共15个基本事件，

B=｛（2,1）,（3,1）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,（1,3）,（2,3）,（4,3）,（5,3）,（6,3）,

（1,5）,（2,5）,（3,5）,（4,5）,（6,5）｝共15个基本事件，故P⑻吟=；,故C正确;

显然事件A与8有交事件，不是互斥事件，故A错误；

C=｛（1,3）,（1,5）,（2,4）,（2,6）,（3,1）,（3,5）,（4,2）,（4,6）,

（5,1）,（5,3）,（6,2）,（6,4）｝共12个基本事件，故尸（0=*|，

£>=｛（1,2）,（1,4）,（1,6）,（2,1）,（2,3）,（2,5）,（3,2）,（3,4）,（3,6）,（4,1）,（4,3）,（4,5）,

（5,2）,（5,4）,（5⑹,（6,）（6,3）,（6,5）｝共18个基本事件，

所以C与。互为对立事件，故B正确；

事件8C=｛（3,1）,（5,1）,（1,3）,（5,3）,（1,5）,（3,5）｝共6个基本事件，

所以*BC）H=P（8）P（C）,

所以8与C相互独立，故D正确.

故选：BCD.

12.AC

解析：因为平面平面ACD,平面ABCc平面AC7AAC,

ACD为直角三角形，8,AC,二。。，平面ABC,

ABu平面ABC,：.CD_L43,

AfiC为直角三角形，AB1BC,CD,3。£=平面86。,8门3。=。

/.AB/平面BCD.

故选项A正确.

B

D

取AC中点E,连接BE,DE,AB=BC=76,BE±AC,

因为平面ABC工平面AC£),平面ABCc平面AC7)=AC,3Eu平面ABC,

8E_L平面ACD,NBDE即为80与平面AQC所成角

AB=BC=y[6,AABC=90,ZCAD=30,

:.BE=6,CD=2,DE=5BD=M

6屈

:.smZBDE=—

BDVio-io

即8。与平面AC。的夹角的正弦值为叵.

10

故选项B错误.

取AD中点尸，连接EF,则防〃CD,

又C£>J_平面ABC,，EF_L平面ABC,

易知E为A8C外心，则三棱锥B-ACD的外接球球心在直线EF上,

又48=90,则F为,-ACD外心，F为三棱锥3-AC。的外接球球心

外接球半径R=AF=-AD=-y/AC2+CD2=-712+4=2,

222

则三棱锥8-AC£)外接球表面积S=4万六=16%

故选项C正确.

由于AB2平面SCO,A8u平面ABD,

所以平面BCD,平面A8D,过点C作C〃_L8O于H,

，CH_L平面4町，

CH即为点C到平面48。距离,

AC=2>/3,CD=2,BD=M

,”V6x22后

..C/7=--,--=------.

V105

点C到平面ABD的距离为名叵

5

故选项D错误.

综上，选项AC正确.

13.史

3

解析：设向量2〃-/?与2/2-4的夹角为，，

皿c（2。-今（26-4）5a-b-2a2-2b2

则cos0=—ii-jr~=/=/=，

一母.[2。-414a2+b2-4a'ba2+4b2-4a-b

代入g,a2=|a|2=1,4/?2=4|/?|2=4,

”,口八5a-b—2a~—2b~1「八-i

解得：cos"]I=一「，又、n£[0,可,

\J4a2+b2-4a-b-y]a2+4Z?2-4a-b2

所以向量2〃-8与2。-〃的夹角为y.

故答案为：.

71

14.-##30

6

解析：如图，取4拉的中点G,分别连接尸G,EG,AF,则AC7//G,

通过异面直线所成角的性质可知/EFG（或其补角）就是异面直线EF与AC所成的角.

设AP=2,贝|JAE=GQ=DF=1,==舟

因为PA_L面ABC。，A/u面ABC。，则石4_LA产，

则斯==6，

EF2+FG2-EG2y/3

EG=FG=712+12=V2»在口E/7G中，由余弦定理得cos/EFG=

2EFFG2

又Q<NEFG<n,所以NEFG=gJr故异面直线所与AC所成的角为7:T.

66

故答案为：--

0

15.0.704

解析：由题意，当正常工作的概率最大的电子元件C在1号位置时，

电路子模块能正常工作的概率最大，

且不同位置的元件是否正常工作不受其它元件影响，

由相互独立事件概率公式，W0.8x[1-(1-0.6)(1-0.7)]=0.704,

故答案为：0.704

取8片中点E,CG中点F，中点G,A2中点。，

由题意可得，AE=RF=h+l=#>，OE=OF=J(9+1=卡,

在平面gBCG内取一点尸，使得GP=及，则OP.z+⑼=&,

且GE=GF=6,所以以AA中点为球心，而为半径的球面与侧面瓦BCG的交线

是以G为圆心，夜为半径的圆弧EPF,且NB|GE=NGGF=45。，则NEG尸=90。，则圆

弧£PF的长为幻2兀、&=也兀.

42

故答案为：】生兀.

2

17.⑴，

O

解析：(1)由题意可知，数组(〃?,〃)表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间

C=｛（〃?,〃）W，〃e｛1,2,3,4,5,6｝｝共有36个样本点.

记事件“机=”，，为A,则A=｛（1』）,（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）｝,

所以"（4）=6,

,、n(A)61

从而P(A)=-^=^=Z；

366

(2)记事件“加＞"”为B,则

B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5))

,所以“(3)=15,

从而P(8)=，兴=!|=得.

"(12)3612

（kll兀11）

18.（1）7=兀，—•-\,keZ

\ZOL）

（2）最大值为匕虫，最小值为5.

22

解析：（1）/（力=sin（x—兀）sin（x—+cosxsin（5一x）=sinxcosx+cos2x

=—sin2x+—cos2x+—=sin（2x+—,所以函数,«x）的最小正周期丁=与=兀；

令2/；=1丘2得》省-$丘2,所以函数〃x）的对称中心为佟段,；）,AeZ；

（2）因为xe称，所以2X+：€[0,兀],

_88」4

11+V2

所以sin(2x+?e[0,l],则

2,2

所以当2x+5=0或2/：=兀时，即x=-J或“争时，/（x）min=l

44002

当2x+1=[,即x=S时，/（x）=匕也.

428v/nm2

即函数f（x）的最大值为今&，最小值为g.

19.(1)0.080

⑵102分

⑶|.

解析：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为:

1-（0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0,004）x10=0.080；

（2）用样本数据估计该地500名学生这次考试成绩的平均分为：

70x0.004x10+80x0.012x10+90x0.016x10+100x0.030x10+110x0.020x10+

120X0.006X10+130X0.008X10+140XO.（XMX]0=102（分）；

（3）由频率分步直方图可知[95,105）的频数为500x0.030x10=150,[105,115）的频数为

500x0.020x10=100,所以两组人数比值为3:2,

按照分层抽样抽取5人，则在[95,105）,[105,115）分别抽取3人和2人,

记[95,105）这组三人的编号为AB,C,[105,115）这组两人的编号为“也

故从5人随机抽取2名，共10种情况，为：

设事件M=”从5个人中随机抽取两人，抽取到的两人不在同一组”

则加=｛（44）,（4幼,（氏4）,（8,6）,笆,°）,（。,。）｝,共6种情况.

故P（M）=\=|,

即从这5个人中随机抽取两人，则抽取到的两人不在同一组的概率为.3.

9Vm+156

NU.（]）■

4

⑵竽,

解析：（1）如图

设点。「。2分别是正和△ABC的中心，球的半径为R,且a，a，o三点共线，正三棱

台ABC-ABC的高为002，

在等边.ABC中，由AB=J5,得A。=AB=1,

同理，得4。2=2,

如下图，过点A作则在AA尸中，4P=1，M=厢，"=aa=Jio—1=3,

所以正三棱台ABC-ABG的高为3,在直角梯形O02MW中,

0幽手4=3,0/="=1,0«=3,

所以出=冬’所以正三棱台4BC-MG的斜高为岑'

正三棱台A8C・侧面积为g(6+2g)x3x与=当I,

又因为正三棱台ABC-A4G上下两底的面积之和为

—xV3x5/3xsin—+—x2A/3Xxsin—="近

23234

所以正三棱台A8C・AB©表面积为9m+156

4

(2)在RtAOO|A中，OO；+O1A2=R2,

即00：+1=R2,在RtA。。2A中，OO；+a吊=上，

即(3-Oq)2+4=R。两式联立解得：R<,

所以球。的体积为：丫=±兀配=生匣.

33

21.⑴84

⑵(|,6

(3)省+1.

解析：(1)若选①：由正弦定理得幽幽竺=sinA,即八［05304=00/1(1+0»8)

1+cosB

因为0<A苫,所以sinAwO,

所以6inB=l+cosB,整理得sin(B-^)=；,

又因为。＜8唠则一/5-所以吟

若选②：因为〃sin3-J§hcos3cosc=V3（?cos2B,

由正弦定理得sinAsinB=\/3sinBcosBcosC+\/3sinCcos2Z?,

即sinAsinB=V3cosB(sinBcosC+sinCcosB)=gcosBsin(8+C),

所以sinAsinB=V3cosBsinA,

由Aw(O,7r),得sinAwO,

所以sinB=VJcosB,即tanB=\/3，

因为B《O，S，所以84；

若选③：因为1+股=网，所以cos5sinC+sinBcosC2sirt4

tanCccosBsinCsinC

sin（B+C）_2sirt4

L|J——，

cosBsinCsinC

2sin4

又因为A+a+C=7T,所以

cosnsinCsinC

又因为sinA＞0,所以COSB=L

2

因为Be（0，S，所以84；

0＜A＜-

77T7T

（2）在锐角，/RC中，由（1）得，c，，工＜A＜7,

八2兀,兀62