2024届广西壮族自治区桂林市数学九年级上册期末统考试题含解析

2024届广西壮族自治区桂林市数学九上期末统考试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题3分,共30分）

n

1.在RtZkABC中，NC=90°,SinA=NZ,则NA的度数是（）

2

A.30oB.45oC.60oD.90°

2.抛物线》=%2一2%-1的对称轴为直线（）

A.%=2B.X=-2C.χ=lD.x=-l

3.在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共有60个，除颜色外其他完全相同，一同学通过多次摸球

试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率稳定在25%和45%,盒子中白色球的个数可能是（）

A.24个B.18个C.16个D.6个

4.下列有关圆的一些结论①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并

且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补.其中正确的结论是（）

A.①B.②C.③D.@

5.下列事件中，是必然事件的是（）

A.打开电视，它正在播广告

B.抛掷一枚硬币，正面朝上

C.打雷后会下雨

D.367人中有至少两人的生日相同

6.时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过10分钟，分针旋转了（）.

A.10oB.20oC.30oD.60°

7.如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：√3,堤高BC=5m,则坡面AB的长度是（）

A.IOmB.10√3mD.Syf3m

8.一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（）

ɪɪ2ɪ

A.

2334

9.四边形ABC。内接于。。，点/是ΔABC的内心，NA∕C=124,点E在Az）的延长线上,则NCoE的度数为（）

A.56oB.62oC.68oD.48°

10.抛物线y=（x-4）2-5的顶点坐标和开口方向分别是（）

A.（4,-5）,开口向上B.（4,-5）,开口向下

C.（-4,-5）,开口向上D.（-4,-5）,开口向下

二、填空题（每小题3分,共24分）

H.如图，一次函数y=χ与反比例函数y=A（左＞o）的图像在第一象限交于点A,点C在以3（7,o）为圆心,

X

2为半径的。B上，已知AC长的最大值为7,则该反比例函数的函数表达式为.

12.随即掷一枚均匀的硬币三次次，三次正面朝上的概率是.

13.如图所示，点尸为NMON平分线OC上一点，以点P为顶点的NAPB两边分别与射线OM,QV相交于点A，

B,如果NA必在绕点P旋转时始终满足。4∙QB=O产，我们就把Z4PB叫做NM。N的关联角.如果

/MON=50°,Z4PB是NMQV的关联角，那么ZAM的度数为.

ah

15.对于任何实数α,A,c,4,我们都规定符号的意义是=〃-be,按照这个规定请你计算：当χ2-3χ+l=0

ca

x+13X

时,的值为________

X—2X—1

16.一元二次方程（x-5）（x-7）=O的解为.

17.小明和小红在太阳光下行走，小明身高1.5m,他的影长2.0m,小红比小明矮30cm,此刻小红的影长为nι.

18.如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在M处，NBEF=70。，则NABE=____度.

三、解答题（共66分）

19.（10分）附加题,已知：矩形ABCO,AB=2,BC=5,动点P从点8开始向点C运动，动点P速度为每秒1个

单位，以AF为对称轴，把ΔABP折叠，所得ΔΛB'P与矩形ABCD重叠部分面积为运动时间为/秒.

（1）当运动到第几秒时点B'恰好落在Ar）上；

（2）求y关于/的关系式，以及/的取值范围；

（3）在第几秒时重叠部分面积是矩形ABCD面积的L；

4

（4）连接BD,以Po为对称轴，将ΔPCZ）作轴对称变换，得到ΔPC'O,当工为何值时，点P、B∖C'在同一直线

上？

20.（6分）已知二次函数图象的顶点在原点。，对称轴为丁轴.直线^y=履+/?的图象与二次函数的图象交于点

A(-3,2)和点8(三,〃?)(点A在点8的左侧)

(1)求，"的值及直线4解析式;

(2)若过点P(0,〃)的直线4平行于直线4且直线与二次函数图象只有一个交点Q，求交点Q的坐标.

13

21.(6分)如图，已知抛物线y=X2+—x+4,且与X轴相交于A,B两点(B点在A点右侧)与y轴交于C点.

42

(1)若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合)，则是否存在一点P,使APBC的面积最大.若

存在，请求出aPBC的最大面积；若不存在，试说明理由.

22.(8分)如图，AB是。O的直径，CD是(Do的弦，如果NACD=30。.

(1)求NBAD的度数；

(2)若AD=石，求DB的长.

23.(8分)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果.经市场调研发现：若每箱以50元的价格销售，平均每天销售

90箱；价格每提高1元，则平均每天少销售3箱.设每箱的销售价为X元(x>50),平均每天的销售量为y箱，该批

发商平均每天的销售利润w元.

(1)y与X之间的函数解析式为；

(2)求W与X之间的函数解析式；

(3)当X为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

24.(8分)已知直线y=x+3交X轴于点A,交y轴于点8,抛物线y=-x2+Z>x+c经过点A,B.

(2)点C(W/,0)在线段QA上(点C不与4,O点重合)，C£>_LOA交4B于点O,交抛物线于点E,若DE=亚AD,

求m的值；

(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，在(2)的条件下，是否存在以点O,B,M,N为顶点的四边形

为平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

25.(10分)试证明：不论加为何值，关于X的方程(>+2m+2*—(4m-l)x-7=O总为一元二次方程.

26.(10分)如图1,已知点ACa,0),B(0,b),且a、b满足&TT+(α+b+3)2=0,平等四边形ABC。的边Ao

(1)a=,b=；

(2)求。点的坐标；

V

(3)点P在双曲线了=一上，点。在y轴上，若以点A、8、尸、。为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所

X

有点。的坐标；

(4)以线段A8为对角线作正方形A尸(如图3),点7是边A尸上一动点，M是Hr的中点，MNLHT,交AB于

N,当7在AF上运动时，丝的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的

证明.

参考答案

一、选择题（每小题3分,共30分）

1、C

【解析】试题分析：根据特殊角的三角函数值可得：ZA=60o.

2、C

【解析】根据二次函数对称轴公式为直线X=-二，代入求解即可.

【详解】解：抛物线y=f-2%-1的对称轴为直线X=-£=1,

故答案为C.

【点睛】

本题考查了二次函数的对称轴公式，熟记公式是解题的关键.

3,B

【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数X频率=频数，计算白球的个数.

【详解】解：；摸到绿色球、黑色球的频率稳定在25%和45%,

摸到白球的频率为l-25%-45%=30%,

故口袋中白色球的个数可能是60X30%=18个.

故选：B.

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率的知识，具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值.

4、D

【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正确结

论.

【详解】解：①不共线的三点确定一个圆，故①表述不正确；

②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②表述不正确；

③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故③表述不正确；

④圆内接四边形对角互补，故④表述正确.

故选D.

【点睛】

本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，半圆与弧的定义，圆内接四边形的性质，熟练掌握定义与

性质是解题的关键.

5、D

【解析】分析：必然事件指在一定条件下一定发生的事件，据此解答即可.

详解：A.打开电视，它正在播广告是随机事件；

B.抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件；

C.打雷后下雨是随机事件；

D.V一年有365天，.∙.367人中有至少两个人的生日相同是必然事件.

故选D.

点睛：本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在

一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定

条件下，可能发生也可能不发生的事件.

6^D

【分析】先求出时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6。，再求10分钟分针旋转的度数就简单了.

【详解】解：V时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360。，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，

则时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：360+60=6。，

那么10分钟，分针旋转了10*6。=60。，

故选：D.

【点睛】

本题考查了生活中的旋转现象，明确分针旋转一周，分针旋转了360。，所以时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数，

是解答本题的关键.

7、A

【解析】试题分析：河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：百，

即tan/BAC=—二曲,

AC3

ΛZBAC=30o,

ΛAB=2BC=2×5=10,

故选A.

考点：解直角三角形

8、D

【解析】试题分析：先利用列表法与树状图法表示所有等可能的结果n,然后找出某事件出现的结果数m,最后计算

概率.同时掷两枚质地均匀的硬币一次，共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，两枚硬币都是正面朝上的

占一种，所以两枚硬币都是正面朝上的概率=1÷4=1.

4

考点：概率的计算.

9,C

【分析】由点I是ABC的内心知NKAC=2NZ4C,ZACB^2ZICA,从而求得

ZB=180o-2×(180o-ZA∕C),再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案.

【详解】∙.∙点I是ABC的内心

ZBAC=2ZIAC,ZACB=2ZICA

VZAZC=124°

：.DB=180。-(NB4C+ZACB)

=180o-2×(180o-ZAZC)

=68°

四边形ABCD内接于。。

.,.ZCDE=ZB=68°

故答案为：C.

【点睛】

本题考查了三角形的内心，圆内接四边形的性质，掌握三角形内心的性质和圆内接四边形的外角等于内对角是解题的

关键.

10、A

【解析】根据y=α(X-h)2+k,α>0时图象开口向上，“V()时图象开口向下，顶点坐标是Ch,k),对称轴是X=

可得答案.

【详解】由y=(x-4)2-5,得

开口方向向上，

顶点坐标(4,-5).

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，利用y=α(x-Λ)2+&,α>0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随X的增大而减小，

在对称轴的右侧，y随X的增大而增大；“V0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随X的增大而增大，在对称轴的右

侧，y随X的增大而减小，顶点坐标是(h,k),对称轴是X=/?.

二、填空题（每小题3分,共24分）

9-16

11、y=—或y=-

XX

【解析】过A作AD垂直于X轴，设A点坐标为（m,n）,则根据A在y=x上得m=n,由AC长的最大值为7,可知

AC过圆心B交（DB于C,进而可知AB=5,在Rt∆ADB中，AD=m,BD=7-m,根据勾股定理列方程即可求出m的

值，进而可得A点坐标，即可求出该反比例函数的表达式.

【详解】过A作AD垂直于X轴，设A点坐标为（m,n）,

YA在直线y=x±,

.,.m=n,

∙.∙AC长的最大值为7,

...AC过圆心B交。B于C,

ΛAB=7-2=5,

在RtΔ,ADB中，AD=m,BD=7-m,AB=5,

m2+（7-m）2=52,

解得：m=3或m=4,

k

∙.∙A点在反比例函数y=—（k>0）的图像上，

X

.∙.当m=3时，k=9；当m=4时，k=16,

916

.∙.该反比例函数的表达式为：>=—或y=一，

XX

XX

【点睛】

本题考查一次函数与反比例函数的性质，理解题意找出AC的最长值是通过圆心的直线是解题关键.

C1

12、一

8

【分析】需要三步完成，所以采用树状图法比较简单，根据树状图可以求得所有等可能的结果与出现三次正面朝上的

情况，再根据概率公式求解即可.

【详解】画树状图得：

开始

.∙.一共有共8种等可能的结果；出现3次正面朝上的有1种情况.

.∙.出现3次正面朝上的概率是:

O

故答案为

O

点评：此题考查了树状图法概率.注意树状图法可以不重不漏地表示出所有等可能的结果.用到的知识点为：概率=

所求情况数与总情况数之比.

13、155°

CRCP

【分析】由已知条件得到——,结合NAOP=NBOP,可判定AAOPs^POB,再根据相似三角形的性质得到

OPOA

NOPA=NoBP,利用三角形内角和180。与等量代换即可求出NAPB的度数.

【详解】OA-OB=OP2

.OBOP

''~δp~~δλ

YOP平分NMoN

ΛZAOP=ZBOP

Λ∆AOP(^∆POB

ΛZOPA=ZOBP

在aOBP中，NBOP=-ZMON=25o

2

.∙.ZOBP+ZOPB=180o-25o=155o

ΛZOPA+ZOPB=155o

即NAPB=I55°

故答案为：155。.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

14、O

/ɔ1

【解析】原式=2x—-1=2×—―1=0,

I2J2

故答案为0.

15、1

abx+13x

【分析】先解f-3χ+l=0变形为d—3x=-1,再根据J=〃-"，把CI转化为普通运算，然后

cax-2X-I

把V—3χ=T代入计算即可.

【详解】∙∙∙f-3χ+l=0,

：・—3x=-1>

ab

■：=Od-be,

cal

x÷l3x

*.∙

x-∑rx—1

=(x+l)(x-l)-3x(x-2)

=X2-1-3X2+6X

=-2x2+6x-l

=-2(x2-3x)-l

=-2×(-l)-l

=1.

故答案为1.

【点睛】

本题考查了信息迁移，整式的混合运算及添括号法则，

16、Xl=5,M=7

【分析】根据题意利用ab=O得到a=0或b=0,求出解即可.

【详解】解：方程(x-5)(x-7)=0,

可得X-5=0或X-7=0,

解得：xι=5,X2=7,

故答案为：xι=5,X2=7.

【点睛】

本题考查解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

17、1.6

【解析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个

直角三角形相似.

【详解】解：根据题意知，小红的身高为150-30=120（厘米），

设小红的影长为X厘米

,150120

则π——=—,

200X

解得：x=160,

二小红的影长为1.6米，

故答案为1.6

【点睛】

此题主要考查了平行投影，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出

的影长，体现了方程的思想.

18、1

【分析】根据折叠的性质，得NDEF=NBEF=70°,结合平角的定义，得NAEB=40°,由AD〃BC,即可求解.

【详解】V将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，

ΛZDEF=ZBEF=70o,

VZAEB+ZBEF+ZDEF=180°,

ΛZAEB=180o-2×70o=40°.

VAD∕/BC,

.,.ZEBF=ZAEB=40",

ΛZABE=90o-ZEBF=I0.

故答案为：L

【点睛】

本题主要考查折叠的性质，平角的定义以及平行线的性质定理，掌握折叠的性质，是解题的关键.

三、解答题（共66分）

r(0<∕≤2)

19、（1）第2秒时；（2）y=<…金);（3）第4秒时；（4）/=1或4

【分析】（1）先画出符合题意的图形如图1,根据题意和轴对称的性质可判定四边形ABPB'为正方形，可得8P的长,

进而可得答案；

分两种情况：①当时，如图根据折叠的性质可得：尸，进而可得与的关系式；②当

（2）0<r<22,SΔ4"=SΔAByf

2<t≤5时，如图3,由折叠的性质和矩形的性质可推出AE=PE,设AE=》,然后在直角△ABE中利用勾股定

理即可求得X与/的关系，进一步利用三角形的面积公式即可求出ʃ与t的关系式；

（3）在（2）题的基础上，分两种情况列出方程，解方程即得结果；

（4）如图4,当点P,8',C'在同一直线上，根据折叠的性质可得NA尸3+NCPD=90°,进一步可得NEAB=NCPO,

进而可推出ΔASPAPCD,然后利用相似三角形的性质可得关于/的方程，解方程即可求出结果.

【详解】解：（1）当点B'恰好落在AD上时，如图1,由折叠的性质可得：P=ZB=90o,AB=AB'=2,

'：四边形ABCD为矩形，；.ZBAB'=90°,

二四边形ABPB'为正方形，,BP=AB=2,

Y动点P速度为每秒1个单位，∙∙"=2,

即当运动到第2秒时点B'恰好落在AD上；

图1

(2)分两种情况：

①当()<r≤2时，如图2,PB=t,由折叠得：SMB.P=SMBP,

:∙y=S^BP=AB-PB=^×2×t=ti

②当2<f≤5时，如图3,由折叠得：NAPB=ZAPE,PB=PB'=t,

'：ADHBC,ΛZDAP=ZAPB,ʌZDAP=ZAPE,；.AE=PE，

设AE=X,则PE=X,B'E=t-x,

|A

在直角△AB'E中，由勾股定理得：22+(r-x)2=√,解得：X=

11『+4Z2+4

・•・y=SMFP=-AE.AB=-×------×2=--------,

δaep222tIt

/(0<r≤2)

综上所述：y=j∕+4

Γ2Γ(2<∕≤5)

图3

(3)①当0<f<2时，y=f=:χ2χ5,则f=∙∣(舍去)，

②当2<f≤5时，y=」l=,x2x5,解得：t.=1(舍去)，t2=4,

2/4,

综上所述：在第4秒时，重叠部分面积是矩形ABCZ)面积的,；

4

(4)如图4,点P,8',C'在同一直线上，由折叠得：ZAPB=NAPB∖NCPD=NCPD,

.∙.ZAPB+ZCPD='X180°=90°,

2

VZPAB+NAPB=90o,ΛNPAB=ZCPD,

VZS=ZC=90o,ΛMBP∖PCD,

.ABBP2t

•・寸5'解得：

"~PC~~CD

.∙.当f=l或4时，点P,B',C'在同一直线上.

图4

【点睛】

本题是矩形综合题，主要考查了矩形与折叠问题、正方形的判定与性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定和性

质、勾股定理、一元二次方程的求解和三角形的面积等知识，考查的知识点多、综合性强，属于试卷的压轴题，正确

画出图形、灵活应用数形结合和分类思想、熟练掌握上述知识是解答的关键.

1131

20、(1)ɪn=—>y=--x+1；(2)(—,—)

2348

【分析】(1)由于抛物线的顶点为原点，因此可设其解析式为y=aχ2,直接将A点，B点的坐标代入抛物线中即可求

出抛物线的解析式以及m的值，进而可知出点B的坐标，再将A,B点的坐标代入一次函数中，即可求出一次函数的

解析式.

(2)根据题意可知直线L的解析式y=-gx+"(“≠l),由抛物线与b只有一个交点，联立直线4与二次函数的解析

式，消去y,得出一个含X一元二次方程，根据方程的判别式为O可求得n的值，进而得出结果.

【详解】(1)解：假设二次函数的解析式为y=O√(Q>0),

将A(-3,2),分别代入二次函数的解析式y=ax∖a>O),

2

-

2=9a9-

得：9，解得＜

m--a

4m--

2

解得：B

3ɪ

，将A(-3,2),B代入y=Ax+匕中,

2,2

2=-3k+b

k=--

得13,,，，解得：,3.

-=-k+b

122b=l

的解析式为y=-gχ+i.

(2)由题意可知：L〃h,

可设直线4的解析式为：y=~x+b[b≠∖)

；/2过点P(°，〃)，则有：b=n.

.∙.γ=-lχ+n(π≠l).

由题意，联立直线4与二次函数的解析式，可得以下方程组:

1

y=——x+n

3

2

y=-χ,2

9

消元，得:

39

整理，得：2f+3x—9〃=0，①

2

由题意，得4与y=只有一个交点，

可得：Δ=32-4×2×(-9n)=0,

解得："=一：.

O

13

将〃=一；；代回方程①中，得工=一二.

84

311

将X=一^代入,2:y=~~χ~~中，

得

O

可得交点。坐标为(-之」).

48

【点睛】

此题主要考查了求二次函数解析式，求一次函数解析式，以及两函数的交点问题，解决问题的关键是联立方程组求解.

21、(1)存在点P,使APBC的面积最大，最大面积是2；(2)M点的坐标为(l-2√7,√7-1×(2,6)、(6,1)

或(l+2√7,-√7-1).

【分析】(D利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直

线BC的解析式，假设存在，设点P的坐标为(x,-^-x2+∣x+l),过点P作PD〃y轴，交直线BC于点D,则点D

2

的坐标为(x,-'x+D,PD=--×+2x,利用三角形的面积公式即可得出SZ∖PBC关于X的函数关系式，再利用

二次函数的性质即可解决最值问题；

1311

(2)设点M的坐标为(m,----in2+—m+l),则点N的坐标为(m,-----m+l),进而可得出MN=I-----m2+2m∣,

4224

结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论.

13

【详解】解：(1)当x=0时，y=--x2+^x+l=l,

.∙.点C的坐标为(0,1).

设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0).

将B(8,0)、C(0,1)代入y=kx+b,.

(1

8Z+b=0k=--

i>解得：\2,

b=4..

I[b=4-

.∙.直线BC的解析式为y=-yx+l.

13

假设存在，设点P的坐标为(x,--x2+-x+l)(0<x<8),过点P作PD∕∕y轴，交直线Be于点D,则点D的坐标

42

为(x,-』x+l),如图所示.

2

1311

.∖PD=----X2+—x+1-(-------x+l)=------x2+2x,

4224

XSZkPBC='PD∙OB=LX8∙(-^x2+2x)=-x2+8x=-(x-1)2+2.

224

•：-1<0,

・•・当x=l时，APBC的面积最大，最大面积是2.

V0<x<8,

，存在点P,使APBC的面积最大，最大面积是2.

131

(2)设点M的坐标为(m,-----m2+—m+l),则点N的坐标为(m,------m+l),

422

1311

ΛMN=∣-----m2+—m+1-(------m+l)I=I------m2+2mL

4224

又：MN=3,

.∙.∣--^-m2+2m∣=3.

4

当OVmV8时，有---m2+2m-3=0,

4

解得：mι=2,m2=6,

，点M的坐标为(2,6)或(6,1)；

当m<0或m>8时，有-Lm2+2m+3=0,

4

解得：Hi3=I-2√7>mι=l+2√7,

二点M的坐标为(l-2√7,√7-1)(l+2√7,-√7-1).

综上所述：M点的坐标为(1-2√7,√7-1)>(2,6)、(6,1)或(1+2J7,-√7-1).

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，综合性比较强，结合图形掌握二次函数的性质是解题的关键.

22、(1)60°；(2)3

【分析】(D根据圆周角定理得到NADB=90。，NB=NACD=30。，然后利用互余可计算出NBAD的度数；

(2)利用含30度的直角三角形三边的关系求解.

【详解】解：(1)；AB是。。的直径，

ΛZADB=90o,

VZB=ZACD=30o,

ΛZBAD=90o-ZB=90o-30°=60°；

⑵在RtAADB中，BD=√3ΛD=√3×√3=3.

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.半圆

(或直径)所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

23、(1)y=-3x+240;(2)w=-3x2+360x-96∞:(3)当X为60元时，可以获得最大利润，最大利润是1元

【分析】(1)设每箱的销售价为X元(x>50),则价格提高了(X-50)元，平均每天少销售3(x-50)箱，所以平均每

天的销售量为90-3。-50),化简即可；

(2)平均每天的销售利润=每箱的销售利润X平均每天的销售量，由此可得关系式；

h

(3)当x=-2时(2)中的关于二次函数有最大值，将X的值代入解析式求出最大值即可.

2a

【详解】(1)y=90-3(%-50)=-3x+240.

(2)W=(X-40)(-3x+240)

=-3X2+360X-9600∙

w=-3√+360x-9600

Q-3<0

360/,、

.∙.当X=---=60时，WM大(S=L

2×(-3)

.∙.当X为60元时，可以获得最大利润，最大利润是1元.

【点睛】

本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，根据题中等量关系列出函数关系式是解题的关键.

2

24、(1)j=-X-2x+3;(2)m=-2i(3)存在，点N的坐标为(-1,-2)或(-1,0),理由见解析

【分析】(1)先确定出点4,B坐标，再用待定系数法即可得出结论；

(2)先表示出DE,再利用勾股定理表示出AO,建立方程即可得出结论；

(3)分两种情况：①以8。为一边，判断出AEz)BgZ∖GNM,即可得出结论.

②以80为对角线，利用中点坐标公式即可得出结论.

【详解】⑴当x=0时，y=3,

：.B(0,3),

当y=0时，x+3=0,X=-3,

：.A(-3,0),

-9-3b+c=Q

把A(-3,0),8(0,3)代入抛物线y=-Λ⅛bχ+c中得:

c=3

[b=-2

解得：C,

.∙.抛物线的解析式为：J=-X2-2x+3,

(2)'：CD±OA,C(m,0),

.,.Z)(in,∕n+3),E(nt,-m2-2m+3),

DE=(-m2-2m+3)-(∕n+3)=-ιn2-3>m,

"."AC=m+3,CD=m+3,

由勾股定理得：AD=应(机+3),

•：DE=OAD,

：.-m2-3m=2(nι+3),

,∖nii=-3(舍)，mi=-2；

(3)存在，分两种情况：

①以Bo为一边，如图1,设对称轴与X轴交于点G,

,.,C(-2,0),

：.D(-2,1),E(-2,3),

.∙.E与8关于对称轴对称，

：.BE//x^i,

,：四边形DNMB是平行四边形，

：.BD=MN,BD//MN,

VZDEB=NNGM=90。，NEDB=NGNM,

：.AEDB冬AGNM,

：.NG=ED=2,

.∙.N(-1,-2)；

②当80为对角线时，如图2,

此时四边形BMZ)N是平行四边形，

设M-n2-2n+3),N(-1,Λ),

VB(0,3),D(-2,1),

.∫n-l=-2+0

,-n2-2n+3+A=I+3

〃=0

:∙N(-1,0)；

综上所述，点N的坐标为(-1,-2)或(-1,0).

【点睛】

此题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，根据线段之间的数量关系求点坐标，根据点的位置构建平

行四边形，（3）中以80为对角线时，利用中点坐标公式计算更简单.

25、证明见解析.

【分析】由题意利用配方法把二次项系数变形，根据非负数的性质得到加2+2〃?+2>0,根据一元二次方程的定义证

明结论.

【详解】解：利用配方法把二次项系数变形有〃/+2m+2=（加+iy+l,

V(m+l)2≥0,

∙'∙m2+2m+2>O，

因为加2+2∕〃+2>0,所以不论加为何值，方程是一元二次方程.

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的概念、配方法的应用，掌握一元二次方程的定义、完全平方公式是解题的关键.

MN1

26、(1)-1,-2；(2)D(1,4)(3)Q(O,6),Qi(O,-6),Q(O,2)；(4)不变，一的定值为彳，证明

i13