2023-2024学年安徽省阜阳市李洼中学高一年级上册数学理期末试卷含解析

2023年安徽省阜阳市李洼中学高一数学理期末试卷含

解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.设定义在R上的函数,⑴对任意实数满足/⑷+/3=『”+月，且户②1=%则

/（6+/C-2）的值为（）

A.-2B.—C.0

D.4

参考答案：

B

略

2.在正方体ABCD-ABCD中，下列几种说法正确的是（）

A.AIC[±ADB.DiCiXAB

C.AC与DC成45。角D.AC与BE成60。角

参考答案：

D

【考点】异面直线及其所成的角；棱柱的结构特征.

【分析】由题意画出正方体的图形，结合选项进行分析即可.

【解答】解：由题意画出如下图形：

A.因为AD〃AD,

所以NCiAD即为异面直线AC与AD所成的角,而/GAD=45°,所以A错；

B.因为DC〃CD,利平行公理4可以知道：AB〃CD〃CD,所以B错；

C.因为DC〃AB.所以/CAB即为这两异面直线所成的角，而

1±ACjAE'中，tan'C[AB=J^,所以。错；

D.因为AC〃AC,所以/B£A即为异面直线AC与B£所成的角，在正三角形ABEA中，

ZB1CA=60°,所以D正确.

【点评】此题考查了正方体的特征，还考查了异面直线的夹角的定义即找异面直线所成的

角往往平移直线然后把角放入同一个平面内利用三角形求解.

3.已知［x］表示不超过实数x的最大整数，g(x)=［X］为取整函数,

2

%是函物(x)=lnx

x的零点，则g(七)等于()

A.1B.2C.3D.4

参考答案:

B

略

4.设X。是方程lnx+x=4的解，则X。属于区间()

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

参考答案:

B

【考点】函数零点的判定定理.

【专题】函数的性质及应用.

【分析】设f(x)=lnx+x-4,则由题意可得Xo是函数f(x)的零点，再由f(2)f

(3)<0得到x。所在的区间.

【解答】解：设f(x)=lnx+x-4,由于x。是方程lnx+x=4的解，则X。是函数f(x)的零

点.

再由f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3-l>0,f(2)f(3)<0,

可得X。属于区间（2,3）,

故选B.

【点评】本题考查零点与方程的根的关系，以及函数零点判定定理的应用，属于基础题.

/（%）=X3----

5.函数-2*的零点所在的区间是（）

A.畤B.（抄C.（N）D.3

参考答案：

若2“，则2"，得飞’，令从」*,可得

3-2<°，?<2）2-T>0,因此f（x）零点所在的区间是答案为C.

2nx+ax~~<0

6.关于X的不等式8对一切实数X都成立，则”的取值范围是（）

A.（3,。）B.⑴）C.T皿

D.4301

参考答案：

D

7.log52?log425等于（）

1

A.-1B.2C.1D.2

参考答案:

C

【考点】对数的运算性质.

【分析】根据对数的运算性质计算即可.

lg221g5

【解答】解：原式=有?21g2=1,

故选：C

8.如图，在一根长11cm,外圆周长6cm的圆柱形柱体外表面，用一根细

铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线

上，则铁丝长度的最小值为

但小时j林"由

(A)61cm(B)cm(C)力。21cm(D)10,37cm

参考答案：

A

9.已知集合S=G一%11*'?),T={1,2},贝!J。/'等于(▲)

A.{1,2}B.{-1,0,3}C,{0,3}D.{-l,0,l}

参考答案：

B

略

10.在aABC中，ZC=90°,0°<A<45°,则下列各式中，正确的是()

A.sinA>sinBB.tanA>tanBC.cosA<sinAD.cosB<sinB

参考答案：

D

【考点】HP：正弦定理.

【分析】先确定0°<A<B<90°,再利用正弦函数，正切函数的单调性，即可得到结

论.

【解答】解：•'.△ABC中，ZC=90°,・,.A=90°-B,

V0°<A<45°,

AO°<A<B<90°

/.sinB>sinA,故A错误，tanB>tanA,故B错误，

sinB>sin(90°-B),sinB>cosB,故D正确，

/.sin(90°-A)>sinA,cosA>sinA,故C错误，

故选：D.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.经过点且在X轴上的截距等于在了轴上的截距的2倍的直线’的方程是

参考答案：

x+2y-l=0或x+3y=0

/(x)=---------------

12.函数K的定义域是；

参考答案：

{x|x<lAx^O)

13.已知*=/(力+,是奇函数，且则f若山)=/(92,则急(-1)=

参考答案：

【分析】

由已知可知，/卜力+/=-/<"-’,然后结合f(1)-3,可求f(T),然后代入即可

求解

【详解广陵"小工是奇函数，

--/(可+〃6==，

/0)=3,

/(1)=4,

g(x)=，(x)+2

则止】)=/(-1)+2=-3

故答案为：-3

【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是奇函数定义的灵活

应用，属于容易题.

14.已知a,b,c为"8C的三个内角A,B,C的对边，向量“一(后

”=(cns4』)).若而_|_*且acosb+Bcosd=c而iC,则g=___

参考答案：

X

6

【分析】

—,—赤cosd-立/=0n/=—

根据w_Lit得3,再利用正弦定理得

MaZmA+shfcoBd-sii'C,化简得出角C的大小。再根据三角形内角和即可得B.

出cos/-成/=0=4=—

【详解】根据题意,网上”=>3

由正弦定理可得』+而JJcwd-sn1C

=>sin⑷附=sia'C

=>SBC=smJC

=>snC=l

=>C=-

2

B=K-AC=-

则6

.

所以答案为.。

【点睛】本题主要考查向量与三角形正余弦定理的综合应用，属于基础题。

15.下列命题中：

(1)若集合A={x|kx，4x+4=0}中只有一个元素,则k=l；

(2)已知函数y=f(3X)的定义域为［-1,1］,则函数y=f(x)的定义域为(-8,0］；

(3)方程2也log?(x+2)+1的实根的个数是2.

(4)已知f(x)=x5+ax3+bx-8,若f(-2)=8,贝!|f(2)=-8；

a-^b-\贝ij实数k=18；

(5)已知才=3'=k(kWl)且

其中正确命题的序号是—.(写出所有正确命题的序号)

参考答案：

(3)(5)

【考点】命题的真假判断与应用.

【分析】求出满足条件的k值，可判断(1)；求出函数的定义域，可判断(2)；求出方

程根的个数，可判断(3)；求出f(2)的值，可判断(4)；求出k值，可判断(5)；

【解答】解：(1)若集合A={x1kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=l,或k=0,故错误；

1

(2)已知函数y=f(3X)的定义域为[-1,1],则3々[3,3],

1

则函数y=f(x)的定义域为[5,3],故错误；

(3)函数y=2.与函数y=logz(x+2)+1的图象有两个交点，

故方程2国=logz(x+2)+1的实根的个数是2,故正确；

(4)已知f(x)=x5+ax3+bx-8,贝！If(-x)+f(x)=-16,

若f(-2)=8,则f(2)=-24,故错误；

(5)已知2*=3b=k(kWl)则a=logk2,b，。‘尚

若a**L则Iogk2+21ogk3=logkl8=l,

故实数k=18,故正确；

故答案为：(3)(5)

16.已知4是2,x的等差中项，则x的值为一.

参考答案：

6

略

17.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点0、A、B的坐标分别为(0,0),(1,

2),(3,1),则f[f(3)]的值等于

参考答案:

2

【考点】函数的值.

【分析】首先根据图形求出f(3)的值，由图形可知f(3)=1,然后根据图形判断出f

(1)的值.

【解答】解：由图形可知，f(3)=1,f(1)=2,

AfLf(3)]=2

故答案为：2

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.如图，有一块矩形空地ABCD,要在这块空地上开辟一个内接四边形EFGH为绿地，使其

四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a(a>2),BC=2,且AE=AH=CF=CG,设

AE=x,绿地EFGH面积为y.

(1)写出y关于x的函数解析式，并求出它的定义域；

(2)当AE为何值时，绿地面积y最大？并求出最大值.

参考答案：

【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法.

【专题】分类讨论；数学模型法；函数的性质及应用.

11

【分析】(1)求得SaAEH=S^CGF=2x\SABEF—SADGH—2(a~X)(2-X),利用Y=SABCD-2

(SAAEH+SABEF),化简即得结论；

a+2

(2)通过(1)可知y=-2x?+(a+2)x的图象为开口向下、对称轴是x=4的抛物线，比

a+2

较"T与2的大小关系并结合函数的单调性即得结论.

［解答］解：⑴由AE=AH=CF=CG,

_1

2

依题意，SAAEH—SACGF_2xf

_1

__

SABEF—SADGH—2(ax)(2x)，

2

则y=SABCD-2SAAEH-2sz\BEF=2a-x-(a-x)(2-x)=-2x+(a+2)x,

'x>0

a-x>0

2-x》0

由题意a>2,解得：0VxW2,

Ay=-2X2+(a+2)x,其中定义域为(0,2］；

a+2

(2)Vy=-2x2+(a+2)x的图象为抛物线，其开口向下、对称轴是x=4,

a+2a+2

.\y=-2,x+(a+2)x在(0,4)递增，在(4,+°°)上递减.

a+2a+2(a+2).

若一丁<2,即a<6,则x=7"时，y取最大值8；

a+2

若422,即a26,则y=-2x?+(a+2)x,0VxW2是增函数，

故当x=2时，y取最大值2a-4；

a+2（a+2）2

综上所述：若a<6,则AE=X时绿地面积取最大值S-

若a26,则AE=2时绿地面积取最大值2a-4.

【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累,

属于中档题.

M-（x|2<7）,AT=<x|-—1►

19.（本题满分6分）已知集合I*-5J,全集U=R，求

C^MC］N）

参考答案：

N=（巾Mx<5｝一分JI/nAT=（x|2<x<5）4

分

。乂“nAD=（x|K<2或X25｝一——6分

20.（本小题满分12分）

已知定义在&上的函数'+3%为常数，若/（X）为偶函数，

（1）求。的值；

（2）判断函数/一口在旧丑⑶内的单调性，并用单调性定义给予证明；

（3）求函数/（X）的值域

参考答案：

（1）4一1；（2）定义法证明了〔外在9板）上单调增；（3）函数的值域为［2+8）。

21.已知等差数列｛斯｝满足q=5,4=,♦4,公比为正数的等比数列｛仇｝满足a=］，

（1）求数列｛册｝，｛6｝的通项公式；

⑵设'二号，求数列©｝的前，项和T”.

参考答案:

%=—・=信『3-等

(1)⑺；⑵■厂.

【分析】

(1)利用等差数列、等比数列的通项公式即可求得；

A

(2)由(1)知，、22尸,利用错位相减法即可得到数列

&)的前A项和工.

【详解】(1)设等差数列｛，｝的公差为」，等比数列｛4｝的公比为q,

因为.=..4,所以‘一.="=4,解得4=2.

所以4f+(0-3)d=5+(»»-3)x2=2»-l

huhc=­=—

由f16及等比中项的性质，得“16.

又显然％必与与同号，所以“-彳

所以务1，又公比为正数，解得“2

所以…理飞广

▽强=巴直=皿

(2)由⑴知，222叫

_1352»-1

则q=TW…『①

51.13c2R-32n-l②

1_12222»-1_,112»-1

①一②，得产产一万产一斤~

2R+3

2"

2n+3

7；=6--5-

所以2^

【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为

负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准

确写出“Sn—qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应

分公比等于1和不等于1两种情况求解.

22.已知函数f(x)=ex+l.

(1)判断f(X)的奇偶性；

(2)判断f(x)在R上的单调性，并用定义证明；

(3)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)20对一切xe[l,2]恒成立？若

存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由.

参考答案：

【考点】函数恒成立问题.

【分析】(1)根据函数奇偶性的定义即可判断f(x)的奇偶性；