小学奥数题库《应用题》经典还原问题基本知识点-5星题（含解析）全国通用版

应用题-经典应用题-还原问题基本知

识点-5星题

课程目标

知识点__________________考试要求具体要求________________________考察频率

还原问题基本知识点^B-1.了解还原问题的基本概念。^7>⅞-

2.能够运用倒推法来求解还原问

题。______________________________

知识提要

还原问题基本知识点

・概念

还原问题：已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用

问题。

它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或

还原法

・方法：倒推法

口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数

在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反.

关键：从最后结果出发，向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加

为减，变减为加，变乘为除，变除为乘.列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.

精选例题

还原问题基本知识点

1.甲、乙、丙三人一起去钓鱼，他们将钓得的鱼放在一个鱼篓中，就在原地躺下休息，结果

都睡着了.甲先醒来，他将鱼篓中的鱼平均分成3份，发现还多一条，就将多的这条鱼扔回河

中，拿着其中的一份鱼回家了.乙随后醒来，他将鱼篓中现有的鱼平均分成3份，发现还多一

条，也将多的这条鱼扔回河中，拿着其中的一份鱼回家了.丙最后醒来，他也将鱼篓中的鱼平

均分成3份，这时也多一条鱼.这三个人至少钓到条鱼.

【答案】25

【分析】假设丙分成三份后，每份有ɑ条鱼，所以乙拿走一份后还有（3α+l）条，那么乙

没有分鱼，甲拿走一份之后还有[∣（3α+l）+U条，同理甲没分鱼之前，即3个人钓的总数

为｛|[|（3。+1）+1]+1卜条，根据整除的性质α的最小值为3,一共有25条鱼.

2.如有a#b新运算，a#b表示a、b中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1,

8#3=2,9#16=7,21#2=1.如（21#（21#X））=5,则X可以是.（X小于50）

【答案】13,29,37.

【分析】这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采

用枚举与筛选的方法.

第一步先把（21#x）看成一个整体y.对于21#y=5,这个式子，一方面可把21作被

除数，则y等于（21-5）=16的大于5的约数，有两个解8与16；另一方面可把21作除数,

这样满足要求的数为26,47…，即形如21N+5这样的数有无数个.但必须得考虑，

这些解都是由y所代表的式子（21#x）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个

数的，也就是余数必须比被除数与除数都要小才行，因此大于21的那些y的值都得舍去.现

在只剩下8,与16.

第二步求：（21#X）=8与（21#X）=I6.对于（21#X）=8可分别解得，把21作被除

数时：X=13,把21作除数时为：X=29,50,…形如21N+8的整数（N是正整数）.

对于（21#X）=I6,把21作被除数无解，21作除数时同理可得：X=37,58…所有

形如21N+16这样的整数.（N是正整数）.所以符合条件的答案是13,29,37.

3.如图，有三只小老鼠发现一堆花生米，商量好第二天来平分.第二天，第一只老鼠最早来

到，它发现花生米无法平分，就吃了一粒，余下的恰好可以分成三份，它拿着自己的一份走

了.第二只和第三只老鼠随后依次来到，遇到同样的问题，也采取了同样的方法，都是吃掉一

粒后，把花生米分成三份，拿走其中的一份.那么，这堆花生米至少有粒.

【答案】25

【分析】设最后剩的两份为2x,那么第三只老鼠所要处理的花生米总数为3x+l,第二只

老鼠所要处理的花生米总数为

3x+1

×3+l,

第一只老鼠所耍处理的花生米总数为

∕3x+1\1

1—2—x3+l)x]X3+l,

首先由于第三只老鼠处理的花生米3x+1为第二只老鼠分配以后的两份，所以一定为偶数,

即：X为奇数，同理，

3x+1

-^―×3+l

也为偶数，综上：对于X为奇数进行试数即可，最小久=3,满足上述条件，此时这堆花生米

总数为

3x+1x3+l)xgx3+l=25(粒).

2

4.有砖26块，兄弟二人争着挑.弟弟抢在前，刚刚摆好砖，哥哥赶到了.哥哥看弟弟挑的太

多，就抢过一半.弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半.哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块.这时

哥哥比弟弟多2块.问：最初弟弟准备挑几块砖？

【答案】16

【分析】先用“和差”解法求出弟弟最后挑几块砖：

(26-2)÷2=12(块).

再用倒推法求出弟弟最初准备挑几块砖.

[(26-[26-(12+5)]×2}×2=16(块).

答：弟弟最初准备挑砖16块.

5.甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶

倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时

甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？

【答案】4；10

【分析】解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙两个油桶各装

油15千克.售货员卖了14千克”.可以求出甲、乙两个油桶共剩油

15X2-14=16（千克）.

又已知“甲、乙两个油桶所剩油''及''这时甲桶油恰是乙桶油的3倍就可以求出甲、乙两个油

桶最后有油多少千克.

求出甲、乙两个油桶最后各有油的千克数后，再用倒推法并画图求甲桶往乙桶倒油前

甲、乙两桶各有油多少千克，从而求出从两个油桶各卖出多少千克.

解：①甲乙两桶油共剩多少千克？

15×2-14=16（千克）；

②乙桶油剩多少千克？

16÷（3+1）=4（千克）；

③甲桶油剩多少千克？

4×3=12（千克）；

用倒推法画图如下：

甲桶油乙桶油

最后有油：124

从乙桶倒油前：