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文档简介

汕头市金山2023届高三第一学期第二次月考

数学

一、单选题

1.己知i为虚数单位,则写学在复平面上对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.集合A=IX±∣≥θ],B={x∣0c+l≤O},若ADB=A,则实数4的取值范围是()

A.—B.(一。0,-1)U[O,+OO)

C.——,1D.——,θʌlU(0,1)

L3」L3)

3.直线加,〃,平面α,β,mua,〃ua,则"加〃夕且〃〃夕是"α〃/?”的()条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要条件D.既不充分也不必要

4.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科,它的创立

为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.下图是按照OQ'的分形规律生长成的一个

树形图,则第10行的实心圆点的个数是()

A.89B.55

C.34D.144

5.将6名新教师安排到A,B,C三所去任教,每所

其中教师甲不能去A,则不同的安排方案的种数

A.540B.360

D.180

数中任取一个,那么/(x)>b恒成立的概率是(

8.sinlθ0的值落在区间()中.

二、多选题

9.如果某函数的定义域与其值域的交集是[。,可,则称该函数为"3,切交汇函数",下列函数是"[0,1]交汇

函数"的是().

10.如图,正方体ABCo—44GA的棱长为1,点P是线段A2上的动点,则()

A.尸G与gC不垂直

B.二面角P-BG—4的大小为定值

C.三棱锥G-PBC的体积为定值

D.若。是对角线AG上一动点,则

PQ+QC长度的最小值为:

22

11.已知双曲线a—方

=1(α>0,。>0)的左、右两个顶点分别是A,4,左、右两个焦点分别是Fi,F2,P

是双曲线上异于4,A2的任意一点,给出下列结论,其中正确的是()

A.IlPA11-IPA211=2«

B.直线尸4,2%的斜率之积等于定值,

C.使得APK工为等腰三角形的点P有且仅有四个

D.若石《•囤=反,则斯•丽=0

(x+l)e",x<0

12.已知函数/(X)=「一N,下列选项正确的是()

kx≥Q

函数/(x)在(-2,1)上单调递增B.函数f(x)的值域为--v,+∞

e

关于X的方程"(x)f-α∣/(X)I=O有3个不等的实数根,则实数4的取值范围是

D.不等式/(x)-ax-α>0在(―1,+8)恰有两个整数解,则实数”的取值范围是

三、填空题

13.中国文化博大精深,"八卦"用深邃的哲理解释

自然、社会现象.如图⑴是八卦模型图,将其

简化成图(2)的正八边形ABCDEFGH,

若AB=I,则IAB—西=.

14.已知函数/(x)=ASin3C(A>0,0>0),若至少存在两个不相等的实数x∣,々e[肛2]]使得

则实数。的取值范围是.

/(ΛI)+∕(Λ2)=2A,

15.如图所示,桌面上有一个篮球,若篮球的半径为1个单位长度,在球的右

上方有一个灯泡P(当成质点)篮球的影子是椭圆,篮球的接触点(切

点)就是影子椭圆的焦点桌面的距离为4个单位长度,灯泡垂直照射在平面的点为A,影子椭圆的右

顶点到A点的距离为3个单位长度,则这个影子椭圆的离心率e=.

16.若函数f(x)=优IlOg“x∣T(O<α<1)恰有两个零点,则。的值为.

四、解答题

11

17.已知数列{0,,}的各项均为正数,记S“为{α,J的前〃项和,”=1ι⅞-l

,√‰瓦叵

("∈N*且〃22).

⑴求证:数列{四}是等差数列,并求{&“}的通项公式:

(2)当〃eN*,时,求证:「一+—一+…+-^—<L.

W-Iɑɜ-14

18.某课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对"北京冬奥会开幕式”

当晚的收看情况进行了随机抽样调查.统计发现,通过收看的约占L,通过电视收看

2

的约占!,其他为未收看者

3

⑴从被调查对象中随机选取3人,其中至少有1人通过收看的概率;

(2)从被调查对象中随机选取3人,用X表示通过电视收看的人数,求X的分布列和期望.

19.在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为α∕,c,且*SinA=/一出…产

2

⑴求tanA;⑵求y=■的取值范围

20.如图1,在边长为4的菱形ABCD中,ND48=60°,点用,N分别是边8C,CD的

中点,AC∏BD=Ol,ACnMN=G沿MN

将ACMN翻折到APMN的位置,连接

PA.PB.PD,得到如图2所示的五棱锥

P-ABMND.

⑴在翻折过程中是否总有平面PBDL平面PAG?

证明你的结论;

⑵当四棱锥P—MNDB体积最大时•,在线段PA上是否存在一点Q,使得平面QMN与平面PMN夹角的

余弦值为臂?若存在,试确定点。的位置;若不存在,请说明理由.

21.已知直线∕∣:X=冲+1过椭圆C://+/,2=人>o)的右焦点尸,且交椭

圆C于AB两点,点A3在直线4:X=/上的射影分别为点O,E.若」_+」_=上,

IOFlIOA2IIM2I

其中。为原点,A2为右顶点.e为离心率.

⑴求椭圆C的方程;

⑵连接AE,BD,试探索当加变化时,直线AE,Bo是否相交于一定点N.若交于定点N,请求出N点

的坐标,并给予证明:否则说明理由.

22.已知函数f(x)=e2x-2(e+∖)ex+2ex.

⑴若函数g(x)=/(X)-。有三个零点,求”的取值范围.

出若/(入])=/02)=/(%3)(工1<工2<%3),证明:%+%2>°∙

数学参考答案

1-8.AABCBDAB9.BD10.BCD11.BD12.ACD

-gʒ--ɪɜ∖7_1

13.Λ∕2+114.—,—U—+co15.—16.Cl=ee

L42jL4)9

17.解:⑴;I"=iT--r=(π∈2V且〃≥2),

√⅛.瓦区

a”=+JS“T,,当〃≥2时,Sn—5π,1=ΛJ^S^I+y∣Sn_↑,

∙'∙7Sn-I)+Js.T)=∙∖[^+Js,ι,

又∙.∙%>0,所以其+卮>0,.•.向一宿=15≥2),

.∙.数列{疯}是以何=JM=I为首项,公差为1的等差数列,

y[s^^=1+(∏—1)×1=H»所以S“="2.

二.当“≥2时,,an=757+75„_,=n+n-∖=2n-↑,

又∙.∙%=1满足上式,.•・数列{4}的通项公式为%=2〃-L

⑵当”22时,

故3+…++,

嬉-1片-14(1223n-∖

所以对"∈N*,n≥2,都有「一+…+一一<,.

«2-1a^,-14

收看,则P(4)=l—11—g7

18.解:⑴记事件A为至少有1人通过

8

(2)依题意X~8∣3,ɪ

,则X的可能取值为0,1,2,3,

所以P(X=0)=鸣°X®Y:P(X=D=唱'同2=I

P(X=2)=C^]2×(∣]1=∣;P(X=3)=C(1]3×[∣∫=±.

所以X的分布列为:

X0123

8421

P

279927

所以E(X)=3x;=l.

19.解:由条件知〃CSinA="-(>-c)2=2。。一(/+C?-Q2)=2∕7C-28CCOSA,即

Z?csinA=2hc-2hccosA,即

sinA=2-2cosA

由角A为锐角知,sinA>0,cosA>0.

4

SinAλ=-,4

sinA=2-2cosA,sinA74

联立<)2解得5故tanA=

Sin-A+cos-A=I,,3cosA"ɪ-3

cosA=-.

55

由A43C为锐角三角形知

sin(--A)2

CAπ川1c兀AC/乃Α、?cosAλ13

C+A>—,即C>----A.,tanC>tan(-----A)—------------------------------——

222CcCoast产-——ΛA∖)sinAtanA4

2

⅛_sinB_sin(C+A)_sinCcosA+cosCsinA_34135

csinCsinCsinC55tanC53

a2.28、

)-ft2+c2e⅛,Γ7

20.解:⑴在翻折过程中总有平面PBOL平面PAG,证明如下:・・・点M,N分别是边CD,

C3的中点,又ND48=60°,/.BDHMN,且APMN是等边三角形,:G是MN的中点,

・•.MN_LPG,•・・菱形ABC。的对角线互相垂直,.∙∙B3LAC,.∙.MN,AC,・・・ACcPG=G,ACU

平面尸AG尸GU平面PAG」.MN,平面PAG∙∙.8OJ,平面尸AG,・・・8Ou平面P3O,二平面

PBD上平面PAG.

(2)由题意知,四边形MN38为等腰梯形,且D3=4,MN=2,O1G=√3,所以等腰梯形MNz)6的

而枳S=(2+T百=36

要使得四棱锥P-"NDB体积最大,只要点

P到平面MNZ)B的距离最大即可,

当PG_L平面MNDB时,点、P到平面

MNDB的距离的最大值为PG=C.

假设符合题意的点。存在.

以G为坐标原点,GA,GM,GP所在直线

分别为X轴、y轴、Z轴,

建立如图所示空间直角坐标系,

则A(3g,0,0),M(0,1,0),N(0,-l,0),∕3(0,0,√3),

又AG_LPG,又AGLMN,且MNCPG=G,MNU平面PMN,PGU平面PMN,AGL平面

Ll_

PMN,故平面PMN的一个法向量为勺=(L°∙°),设而=∕l∕(0≤;l≤l),∙.∙AP=(-3√3,0,√3),

~AQ^(-3√3Λ,0,√3Λ),故Q(3√5(l—团,0,四),;.丽=(0,2,0),0W=(3√3(∕l-l),l,-√3∕l),

平面QMN的一个法向量为

%=(X2,%,Z2),则n2∙W=0,n2QM^Q,即

2%=。,

令¾=ι所以

3^∖∕3(Λ-1)%2+必-V3Λz2=0,

力=

1

λ-3(-"-DO''lJ(2,0,3(∕l-l)),则平面QMN的一个法向量

3(4—1)

3(2-1)

77=(2,0,3(2-1)),设二面角Q-MN-P的平面角为。,则

n-nA一回即22

i,—>解得:λ--,故符合题意的点。存

ICosI==------r---------------即---2

7Λ+9(Λ-1)^-ɪ,102-18Λ+9102

在且Q为线段PA的中点.

22

21.解:⑴椭圆C的方程为a+奈=l(α>0>0),

K:》=阳+1过定点(1,0),由题意可得c=l,

3

113e-Z113enll

由4-----+,可Γ得H--1---=-------,即ElId----=-ɪ,则。=2,

∖OF∖IOA2IIM2Icaa-caci—1

22

∙r÷y-1

^4+3^~1∙

(2)当加=O时,直线AB:X=I垂直于X轴,可得四边形ABEZ)为矩形,

直线/2:尤=4,所以直线AE,80相交于点(g,θj,猜想定点N(∣,01

当机羊0时,分别设A,B的坐标为(x∣,y),(x2,%),由题意可得。(4,M),£(4,y2),

X=tny+∖ʌʌ6m9

由2,.可得(4+3加-)旷+6,孙一9=0,y+γr,yiy2

χ,y12疗3m2

4+3=114+34+

3fI513.、

又τ75>一必[阳2+1—5J=I(M+%)—啊Iy2,

二(-谷-5]=0

2I4+3∕n2√<4+3∕W2J

则即N-七川=0,即Mw=&N,所以B,D,N三点共线.

同理可得AE,N三点共线.

综上,直线AE,BD相交于一定点N∣g,0).

22.解:⑴令e'=f换元得函数/?⑺=产一2(e+l)r+2elnr√>0,然后通过导数求极值,根据y=α与

函数图象有三个交点可得;

⑵构造函数加(。=力。)-∕ι(l),通过导数研究在区间(1,e)上的单调性,然后由单调性结合己知可证.

t

令e*=I,则X=In/,记力⑺=产-2(e+l"+2eln乙t>0

令”0)"2”2(6+1)+%=2(仁1出心=0,得.=1,.=e

tt

当O<f<l时,h,(t)>O,l<t<e时,Λ"(z)<O,∕>e时,⅛'(Z)>θ

所以当1=1时,

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