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文档简介
汕头市金山2023届高三第一学期第二次月考
数学
一、单选题
1.己知i为虚数单位,则写学在复平面上对应的点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.集合A=IX±∣≥θ],B={x∣0c+l≤O},若ADB=A,则实数4的取值范围是()
A.—B.(一。0,-1)U[O,+OO)
C.——,1D.——,θʌlU(0,1)
L3」L3)
3.直线加,〃,平面α,β,mua,〃ua,则"加〃夕且〃〃夕是"α〃/?”的()条件.
A.充分不必要B.必要不充分
C.充要条件D.既不充分也不必要
4.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科,它的创立
为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.下图是按照OQ'的分形规律生长成的一个
树形图,则第10行的实心圆点的个数是()
A.89B.55
C.34D.144
5.将6名新教师安排到A,B,C三所去任教,每所
其中教师甲不能去A,则不同的安排方案的种数
A.540B.360
D.180
数中任取一个,那么/(x)>b恒成立的概率是(
8.sinlθ0的值落在区间()中.
二、多选题
9.如果某函数的定义域与其值域的交集是[。,可,则称该函数为"3,切交汇函数",下列函数是"[0,1]交汇
函数"的是().
10.如图,正方体ABCo—44GA的棱长为1,点P是线段A2上的动点,则()
A.尸G与gC不垂直
B.二面角P-BG—4的大小为定值
C.三棱锥G-PBC的体积为定值
D.若。是对角线AG上一动点,则
PQ+QC长度的最小值为:
22
11.已知双曲线a—方
=1(α>0,。>0)的左、右两个顶点分别是A,4,左、右两个焦点分别是Fi,F2,P
是双曲线上异于4,A2的任意一点,给出下列结论,其中正确的是()
A.IlPA11-IPA211=2«
B.直线尸4,2%的斜率之积等于定值,
C.使得APK工为等腰三角形的点P有且仅有四个
D.若石《•囤=反,则斯•丽=0
(x+l)e",x<0
12.已知函数/(X)=「一N,下列选项正确的是()
kx≥Q
函数/(x)在(-2,1)上单调递增B.函数f(x)的值域为--v,+∞
e
关于X的方程"(x)f-α∣/(X)I=O有3个不等的实数根,则实数4的取值范围是
D.不等式/(x)-ax-α>0在(―1,+8)恰有两个整数解,则实数”的取值范围是
三、填空题
13.中国文化博大精深,"八卦"用深邃的哲理解释
自然、社会现象.如图⑴是八卦模型图,将其
简化成图(2)的正八边形ABCDEFGH,
若AB=I,则IAB—西=.
14.已知函数/(x)=ASin3C(A>0,0>0),若至少存在两个不相等的实数x∣,々e[肛2]]使得
则实数。的取值范围是.
/(ΛI)+∕(Λ2)=2A,
15.如图所示,桌面上有一个篮球,若篮球的半径为1个单位长度,在球的右
上方有一个灯泡P(当成质点)篮球的影子是椭圆,篮球的接触点(切
点)就是影子椭圆的焦点桌面的距离为4个单位长度,灯泡垂直照射在平面的点为A,影子椭圆的右
顶点到A点的距离为3个单位长度,则这个影子椭圆的离心率e=.
16.若函数f(x)=优IlOg“x∣T(O<α<1)恰有两个零点,则。的值为.
四、解答题
11
17.已知数列{0,,}的各项均为正数,记S“为{α,J的前〃项和,”=1ι⅞-l
,√‰瓦叵
("∈N*且〃22).
⑴求证:数列{四}是等差数列,并求{&“}的通项公式:
(2)当〃eN*,时,求证:「一+—一+…+-^—<L.
W-Iɑɜ-14
18.某课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对"北京冬奥会开幕式”
当晚的收看情况进行了随机抽样调查.统计发现,通过收看的约占L,通过电视收看
2
的约占!,其他为未收看者
3
⑴从被调查对象中随机选取3人,其中至少有1人通过收看的概率;
(2)从被调查对象中随机选取3人,用X表示通过电视收看的人数,求X的分布列和期望.
19.在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为α∕,c,且*SinA=/一出…产
2
⑴求tanA;⑵求y=■的取值范围
20.如图1,在边长为4的菱形ABCD中,ND48=60°,点用,N分别是边8C,CD的
中点,AC∏BD=Ol,ACnMN=G沿MN
将ACMN翻折到APMN的位置,连接
PA.PB.PD,得到如图2所示的五棱锥
P-ABMND.
⑴在翻折过程中是否总有平面PBDL平面PAG?
证明你的结论;
⑵当四棱锥P—MNDB体积最大时•,在线段PA上是否存在一点Q,使得平面QMN与平面PMN夹角的
余弦值为臂?若存在,试确定点。的位置;若不存在,请说明理由.
21.已知直线∕∣:X=冲+1过椭圆C://+/,2=人>o)的右焦点尸,且交椭
圆C于AB两点,点A3在直线4:X=/上的射影分别为点O,E.若」_+」_=上,
IOFlIOA2IIM2I
其中。为原点,A2为右顶点.e为离心率.
⑴求椭圆C的方程;
⑵连接AE,BD,试探索当加变化时,直线AE,Bo是否相交于一定点N.若交于定点N,请求出N点
的坐标,并给予证明:否则说明理由.
22.已知函数f(x)=e2x-2(e+∖)ex+2ex.
⑴若函数g(x)=/(X)-。有三个零点,求”的取值范围.
出若/(入])=/02)=/(%3)(工1<工2<%3),证明:%+%2>°∙
数学参考答案
1-8.AABCBDAB9.BD10.BCD11.BD12.ACD
-gʒ--ɪɜ∖7_1
13.Λ∕2+114.—,—U—+co15.—16.Cl=ee
L42jL4)9
17.解:⑴;I"=iT--r=(π∈2V且〃≥2),
√⅛.瓦区
a”=+JS“T,,当〃≥2时,Sn—5π,1=ΛJ^S^I+y∣Sn_↑,
∙'∙7Sn-I)+Js.T)=∙∖[^+Js,ι,
又∙.∙%>0,所以其+卮>0,.•.向一宿=15≥2),
.∙.数列{疯}是以何=JM=I为首项,公差为1的等差数列,
y[s^^=1+(∏—1)×1=H»所以S“="2.
二.当“≥2时,,an=757+75„_,=n+n-∖=2n-↑,
又∙.∙%=1满足上式,.•・数列{4}的通项公式为%=2〃-L
⑵当”22时,
故3+…++,
嬉-1片-14(1223n-∖
所以对"∈N*,n≥2,都有「一+…+一一<,.
«2-1a^,-14
收看,则P(4)=l—11—g7
18.解:⑴记事件A为至少有1人通过
8
(2)依题意X~8∣3,ɪ
,则X的可能取值为0,1,2,3,
所以P(X=0)=鸣°X®Y:P(X=D=唱'同2=I
P(X=2)=C^]2×(∣]1=∣;P(X=3)=C(1]3×[∣∫=±.
所以X的分布列为:
X0123
8421
P
279927
所以E(X)=3x;=l.
19.解:由条件知〃CSinA="-(>-c)2=2。。一(/+C?-Q2)=2∕7C-28CCOSA,即
Z?csinA=2hc-2hccosA,即
sinA=2-2cosA
由角A为锐角知,sinA>0,cosA>0.
4
SinAλ=-,4
sinA=2-2cosA,sinA74
联立<)2解得5故tanA=
Sin-A+cos-A=I,,3cosA"ɪ-3
cosA=-.
55
由A43C为锐角三角形知
sin(--A)2
CAπ川1c兀AC/乃Α、?cosAλ13
C+A>—,即C>----A.,tanC>tan(-----A)—------------------------------——
222CcCoast产-——ΛA∖)sinAtanA4
2
⅛_sinB_sin(C+A)_sinCcosA+cosCsinA_34135
csinCsinCsinC55tanC53
a2.28、
)-ft2+c2e⅛,Γ7
20.解:⑴在翻折过程中总有平面PBOL平面PAG,证明如下:・・・点M,N分别是边CD,
C3的中点,又ND48=60°,/.BDHMN,且APMN是等边三角形,:G是MN的中点,
・•.MN_LPG,•・・菱形ABC。的对角线互相垂直,.∙∙B3LAC,.∙.MN,AC,・・・ACcPG=G,ACU
平面尸AG尸GU平面PAG」.MN,平面PAG∙∙.8OJ,平面尸AG,・・・8Ou平面P3O,二平面
PBD上平面PAG.
(2)由题意知,四边形MN38为等腰梯形,且D3=4,MN=2,O1G=√3,所以等腰梯形MNz)6的
而枳S=(2+T百=36
要使得四棱锥P-"NDB体积最大,只要点
P到平面MNZ)B的距离最大即可,
当PG_L平面MNDB时,点、P到平面
MNDB的距离的最大值为PG=C.
假设符合题意的点。存在.
以G为坐标原点,GA,GM,GP所在直线
分别为X轴、y轴、Z轴,
建立如图所示空间直角坐标系,
则A(3g,0,0),M(0,1,0),N(0,-l,0),∕3(0,0,√3),
又AG_LPG,又AGLMN,且MNCPG=G,MNU平面PMN,PGU平面PMN,AGL平面
Ll_
PMN,故平面PMN的一个法向量为勺=(L°∙°),设而=∕l∕(0≤;l≤l),∙.∙AP=(-3√3,0,√3),
~AQ^(-3√3Λ,0,√3Λ),故Q(3√5(l—团,0,四),;.丽=(0,2,0),0W=(3√3(∕l-l),l,-√3∕l),
平面QMN的一个法向量为
%=(X2,%,Z2),则n2∙W=0,n2QM^Q,即
2%=。,
令¾=ι所以
3^∖∕3(Λ-1)%2+必-V3Λz2=0,
力=
1
λ-3(-"-DO''lJ(2,0,3(∕l-l)),则平面QMN的一个法向量
3(4—1)
3(2-1)
77=(2,0,3(2-1)),设二面角Q-MN-P的平面角为。,则
n-nA一回即22
i,—>解得:λ--,故符合题意的点。存
ICosI==------r---------------即---2
7Λ+9(Λ-1)^-ɪ,102-18Λ+9102
在且Q为线段PA的中点.
22
21.解:⑴椭圆C的方程为a+奈=l(α>0>0),
K:》=阳+1过定点(1,0),由题意可得c=l,
3
113e-Z113enll
由4-----+,可Γ得H--1---=-------,即ElId----=-ɪ,则。=2,
∖OF∖IOA2IIM2Icaa-caci—1
22
∙r÷y-1
^4+3^~1∙
(2)当加=O时,直线AB:X=I垂直于X轴,可得四边形ABEZ)为矩形,
直线/2:尤=4,所以直线AE,80相交于点(g,θj,猜想定点N(∣,01
当机羊0时,分别设A,B的坐标为(x∣,y),(x2,%),由题意可得。(4,M),£(4,y2),
X=tny+∖ʌʌ6m9
由2,.可得(4+3加-)旷+6,孙一9=0,y+γr,yiy2
χ,y12疗3m2
4+3=114+34+
3fI513.、
又τ75>一必[阳2+1—5J=I(M+%)—啊Iy2,
二(-谷-5]=0
2I4+3∕n2√<4+3∕W2J
则即N-七川=0,即Mw=&N,所以B,D,N三点共线.
同理可得AE,N三点共线.
综上,直线AE,BD相交于一定点N∣g,0).
22.解:⑴令e'=f换元得函数/?⑺=产一2(e+l)r+2elnr√>0,然后通过导数求极值,根据y=α与
函数图象有三个交点可得;
⑵构造函数加(。=力。)-∕ι(l),通过导数研究在区间(1,e)上的单调性,然后由单调性结合己知可证.
t
⑴
令e*=I,则X=In/,记力⑺=产-2(e+l"+2eln乙t>0
令”0)"2”2(6+1)+%=2(仁1出心=0,得.=1,.=e
tt
当O<f<l时,h,(t)>O,l<t<e时,Λ"(z)<O,∕>e时,⅛'(Z)>θ
所以当1=1时,
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