2023-2024学年河南省淮滨县九年级上册数学期末学业质量监测试题含解析

2023-2024学年河南省淮滨县九上数学期末学业质量监测试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.若A（-3,yi）,BQ,丫2）,C（2,y3）在二次函数y=x2+2x+c的图象上，则yi,yz,y3的大小关系是（）

A.y2<yi<yjB.yi<ya<y2C.yt<y2<y?D.y?<y2<yi

2.如图，CD为。。的弦，直径AB为4,A8_LCD于E,ZA=30°,则扇形BOC的面积为（）

3.使关于X的二次函数y=—f+（a—2）x—3在y轴左侧随X的增大而增大，且使得关于x的分式方程

竺1=有整数解的整数"的和为（）

x-11-x

A.10B.4C.0D.3

4.已知y关于x的函数表达式是y=下列结论不正确的是（）

A.若。=一1,函数的最大值是5

B.若当xN2时，y随x的增大而增大

C.无论a为何值时，函数图象一定经过点（1,-4）

D.无论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点

5.如图，在平直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作）'轴的平行线，分别交函数y=7（X〉0）、y=--（%>0）

的图象于点A、点瓦若。是）'轴上任意一点，则AA8C的面积为（）

D.3

6.如图，在平面直角坐标系中，梯形OACB的顶点O是坐标原点，OA边在y轴正半轴上，OB边在x轴正半轴上,

且OA〃BC,双曲线y=K(x>0)经过AC边的中点，若S(^OACB=4,则双曲线丫=上的k值为(

7.若反比例函数y=人的图象过点A(5,3),则下面各点也在该反比例函数图象上的是()

X

A.(5,-3)B.(-5,3)C.(2,6)D.(3,5)

8.如图，在AABC中，DE//BC,DE分另U交AB,AC于点D,E,若AD：DB=1：2,贝UAADE与^ABC的面积之

9.一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为().

1112

A.—B.—C.-D.一

6233

10.如图是二次函数.y=ax2+/；x+c的图象，其对称轴为X=1,下列结论：①4加>0；②2a+b=0；③4a+2Z>+c<0；④若

2Q

(一三，W)，《，口)是抛物线上两点，则》勺2,其中正确的结论有()个

二、填空题(每小题3分，共24分)

11.一种药品经过两次降价，药价从每盒80元下调至45元，平均每次降价的百分率是一.

12.已知二次函数y二一一2x+3的图象上有两点A(—7,%),B(—8,y2),则为丫2.(用〉、V、=填空).

工BQ2e,b-a

13.如果丁=7，那么

b3a+b

3

14.若点A(a,b)在双曲线丫=一上，则代数式ab-4的值为

x

x+y

15.如果x：y=l：2,那么—

y

16.如图，边长为4的正六边形A5CDM的中心与坐标原点。重合，A尸〃X轴，将正六边形A6CDE尸绕原点。顺时

针旋转，每次旋转60。，则第2019次后，顶点A的坐标为

17.掷一枚硬币三次，正面都朝上的概率是

OC1

18.如图，ABHCD,——=一，若A8=8,则8=

OA4

三、解答题(共66分)

19.(10分)如图，矩形OA8C中，A(6,0)、C(0,26)、D(D,班)，射线/过点。且与x轴平行，点P、。

分别是/和x轴正半轴上动点，满足NPQO=6()。.

(1)①点8的坐标是；

②当点。与点A重合时，点尸的坐标为;

(2)设点P的横坐标为x,AOPQ与矩形Q4BC的重叠部分的面积为S,试求S与x的函数关系式及相应的自变量x

的取值范围.

20.(6分)在AABC中，ZACB=45。，点。在边BC上运动，连接AO,以为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.

(1)如果=如图①，试判断线段CF与之间的位置关系，并证明你的结论；

(2)如果A3>AC,如图②，(1)中结论是否成立，说明理由.

(3)如果如图③，且正方形A0E尸的边DE与线段CF交于点尸，设AC=4五，BC=3,CD=x,

请直接写出线段CP的长.(用含x的式子表示)

E

BDC

图③

21.(6分)某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出2()件，每件获利4()元.为了扩大销售，减

少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多

售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？

22.(8分)定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”.

为;

(2)如图②，在对角互余四边形ABCD中，AB=BC,BD=13,ZABC+ZADC=90°,AD=8,CD=6,求四边形

ABCD的面积；

(3)如图③，在AABC中，BC=2AB,ZABC=60°,以AC为边在AABC异侧作AACD,且NADC=30。，若BD=

10,CD=6,求AACD的面积.

23.(8分)商场销售某种冰箱，该种冰箱每台进价为2500元，已知原销售价为每台2900元时，平均每天能售出8台.若

在原销售价的基础上每台降价5()元，则平均每天可多售出4台.设每台冰箱的实际售价比原销售价降低了X元.

(1)填表:

每天的销售量/台每台销售利润/元

降价前8400

降价后——

(2)商场为使这种冰箱平均每天的销售利润达到最大时，则每台冰箱的实际售价应定为多少元?

24.(8分)某校七年级一班和二班各派出10名学生参加一分钟跳绳比赛，成绩如下表：

跳绳成绩（±）132133134135136137

一班人数（人）101521

二班人数（人）014122

（1）两个班级跳绳比赛成绩的众数、中位数、平均数、方差如下表:

众数中位数平均数方差

一班a135135C

二班134b1351.8

表中数据4=,b=,C—___.

（2）请用所学的统计知识，从两个角度比较两个班跳绳比赛的成绩.

25.（10分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全

等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线

理解：

（1）如图1,已知R3ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点。，使四边形A5CD是以AC

为“相似对角线”的四边形（画出1个即可）；

（2）如图2,在四边形ABC。中，ZABC=80°,ZADC=140°,对角线8。平分/A5C.

求证:BI）是四边形ABCD的“相似对角线”;

运用:

（3）如图3,已知尸//是四边形EFGH的“相似对角线”，NEFH=///尸G=30。.连接EG,若AEFG的面积为46,

求FH的长.

26.（10分）对于实数a,b,我们可以用max{a,耳表示a,b两数中较大的数,例如max{3,-1}=3,max{2,2}=2.类

似的若函数yi、y2都是x的函数，则y=min{yi,y?}表示函数yi和yz的取小函数.

则函数.V=max[%，g}的图像应该是

⑴设y=x,y=—中的实线部分.

2X

ABCD

(2)请在下图中用粗实线描出函数丁=11^*卜(％-2)2,-(8+2)2｝的图像，观察图像可知当X的取值范围是

时，y随X的增大而减小.

(3)若关于x的方程max｛一(x-2)2,-(》+2)2｝-/=0有四个不相等的实数根，则t的取值范围是

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、A

【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可.

2

【详解】解：对称轴为直线x=---=-1,

2x1

Va=l>0,

.•.xV-1时，y随x的增大而减小,

x>-l时，y随x的增大而增大，

.".y2<yi<yi.

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出对称轴解析式，然后利用二次函数的增减性求解是解题的关键.

2、B

【解析】连接AC,由垂径定理的CE=DE,根据线段垂直平分线的性质得到AC=AD,由等腰三角形的性质得到NCAB

=ZDAB=30°,由圆周角定理得到NCOB=60°,根据扇形面积的计算公式即可得到结论.

【详解】连接AC,

A

R

••,CD为。0的弦，AB是。。的直径,

:.CE=DE9

VAB±CD,

：.AC=AD9

：.ZCAB=ZDAB=3Q°,

：.ZCOB=60°,

扇形BOC的面积=60X%X22.=2

故选8.

【点睛】

本题考查的是扇形的面积的计算，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解答此题的关

键.

3、A

【分析】根据“二次函数在y轴左侧y随X的增大而增大"求出”的取值范围，然后解分式方程，最后根据整数解及a

的范围即可求出a的值，从而得到结果.

【详解】•••关于x的二次函数y=—f+(a-2)x—3在丁轴左侧)'随x的增大而增大，

a-2_

••--T——^^0,解得“22,

2x(-1)

把丝上2—1=,两边都乘以x—1,得分+2-x+l=—1,

X—1l—x

整理，得(。-1)尤=-4,

4

当awl时，x=------,

a—1

xwl，

・,・使x为整数，且。22的整数。的值为2、3、5,

・•・满足条件的整数，的和为2+3+5=10.

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质与对称轴，解分式方程，解分式方程时注意符号的变化.

4、D

【分析】将a的值代入函数表达式，根据二次函数的图象与性质可判断A、B,将x=l代入函数表达式可判断C,当

a=0时，y=・4x是一次函数，与x轴只有一个交点，可判断D错误.

【详解】当。=一1时，y=-f—4x+l=—(%+21+5,

...当％=-2时，函数取得最大值5,故A正确；

当a=l时，y=x2-4x-l=(x-2)2-5,

函数图象开口向上，对称轴为x=2,

...当xN2时，y随x的增大而增大，故B正确；

当x=l时，y=a-4-a=-4,

,无论a为何值，函数图象一定经过(1,-4),故C正确；

当a=o时，y=-4x,此时函数为一次函数，与x轴只有一个交点，故D错误；

故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质，以及一次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

5、C

【分析】连接04、OB,利用我的几何意义即得答案.

3

【详解】解：连接04、0B,如图，因为A8_Lx轴，则A8〃y轴，SAOAP——,SSBOP=3,SMBC=,所以

39

SMBC=万+3=]•

故选C.

【点睛】

本题考查了反比例函数系数《的几何意义，属于常考题型，熟知A的几何意义是关键.

6、D

【分析】过AC的中点P作DE//尤轴交）'轴于。，交BC于E，作轴于/，如图，先根据"A4S”证明

-PADmPCE9则SpAD=SPCE，得到S梯形AOHC=S矩形BODE，再利用S矩形0OQ=~S矩形8QDE得至!l

S矩形DOFP=1S梯形AOBC=gX4=2，然后根据反比例函数y=？o）系数攵的几何意义得陶=2,再去绝对值即可

得到满足条件的女的值.

【详解】过AC的中点P作DE//x轴交）’轴于O,交BC于E,作轴于/，如图,

在△Q4O和PCE中,

NAPD=4CPE

<4ADP=2PEC,

PA=PC

二PADjPCE(A45).

一•°qPAD-_°qPCE'

S梯形AOBC=S矩形BODE，

,S矩形OOQ——S矩形BOOE，

二S矩形DOFP=2S梯形AO8c=5乂4=2,

・•.W=2,

而左＞0,

k=2.

故选：D.

【点睛】

本题考查了反比例函数y=-(k70)系数Z的几何意义：从反比例函数y=七仕70)图象上任意一点向x轴于)，轴作

垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为闷.

7、D

【解析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后将各选项的点代入验证即可.

k

【详解】将点A(5,3)代入得：3=-,解得攵=15

则反比例函数为：＞'=—

X

A、令x=5,代入得y=3,此项不符题意

B、令》=-5,代入得y=-3,此项不符题意

C、令x=2,代入得＞=；,此项不符题意

D、令X=3,代入得y=5,此项符合题意

故选：D.

【点睛】

本题考查了待定系数法求函数解析式、以及确定某点是否在函数上，依据题意求出反比例函数解析式是解题关键.

8、C

【分析】根据DE〃BC,即可证得AADEsAABC,然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解.

【详解】解：VAD：DB=1：2,

/.AD：AB=1：3,

VDE//BC,

AAADE^AABC,

.SADE_(1)2_1

SABC39

故选：c.

【点睛】

此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方.

9、B

【分析】朝上的数字为偶数的有3种可能，再根据概率公式即可计算.

31

【详解】依题意得P(朝上一面的数字是偶数)=-=-

62

故选B.

【点睛】

此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率公式进行求解.

10、A

【分析】①由抛物线的开口方向、对称轴即与y轴交点的位置，可得出aVO、b>()、c>0,进而即可得出abcVO,结

论①错误；②由抛物线的对称轴为直线x=l,可得出2a+b=0,结论②正确；③由抛物线的对称性可得出当x=2时y>0,

进而可得出4a+2b+c>0,结论③错误；④找出两点离对称轴的距离，比较后结合函数图象可得出y<=y2,结论④错误.综

上即可得出结论.

【详解】解：①•••抛物线开口向下，对称轴为直线x=L与y轴交于正半轴，

.b

••.aVO,---=1c>0,

2a9

:.b=-2a>0,

Aabc<0,结论①错误；

②抛物线对称轴为直线x=L

,b

••----=1>

2a

••b--2a,

.*.2a+b=0,结论②正确；

③•••抛物线的对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点坐标是(-1,0),

另一个交点坐标是(3,0),

当x=2时,y>0,

.,.4a+2b+c>0,结论③错误；

〜，2、58,5

@1-(—)=—,—1=—,

3333

•.•抛物线的对称轴为直线x=l,抛物线开口向下，

•,-yi=y2>结论④错误；

综上所述：正确的结论有②，1个，

故选择：A.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，逐一分

析四条结论的正误是解题的关键.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11、25%

【分析】设每次降价的百分比为x,根据前量80,后量45,列出方程80(1-幻2=45,解方程即可得到答案.

【详解】设每次降价的百分比为x,

80(1-x)2=45,

解得：xi=0.25=25%,X2=1.75(不合题意舍去)

故答案为：25%.

【点睛】

此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解百分率问题，代入公式：前量(l±x)2=后量，即可解答此类问题.

12、>.

【解析】根据已知条件求出二次函数的对称轴和开口方向，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出力与力的大小

关系：

•••二次函数y=-X*-lx+3的对称轴是x=-1,开口向下，

.•.在对称轴的左侧y随x的增大而增大.

•点A(-7,yi),B(-8,yt)是二次函数y=-x1-lx+3的图象上的两点，且-7>-8,

1

13、—

5

r\

【解析】试题解析：

b3

设a=2tfb=3t,

.b-a_1

a+b2f+3/5

故答案为:，

14、-1

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=xy,由此求得ab的值，然后将其代入所求的代数式进行求值即

可.

【详解】解：•••点A(a,b)在双曲线y=，上，

X

...3=ab,

Aab-4=3-4=-1.

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=人便是常数，际0)的图象是双曲线，图象上的点(x,j)

x

的横纵坐标的积是定值即盯妥.

3

15、-

2

【分析】根据合比性质，可得答案.

x,1,x+y3

［详解】解：一+1=7+1,即--=

y2y2

故答案为3:.

【点睛】

考查了比例的性质，利用了和比性质：鼻=三=邛=可

baba

16、(2,-26)

【分析】将正六边形的!即绕原点。逆时针旋转2019次时，点/所在的位置就是原。点所在的位置.

【详解】2019、60。+360。=336…3,即与正六边形A8COE尸绕原点。逆时针旋转3次时点A的坐标是一样的.

当点4按逆时针旋转180。时，与原。点重合.

连接。。，过点O作。"_Lx轴，垂足为

由已知ED=1,N£>OE=60。(正六边形的性质),

.,.△OE。是等边三角形，

：.OD=DE=OE=1.

"."DHA.OE,

：.ZODH=30°,OH=HE=2,HD=2y/3■

•.•。在第四象限，

二。(2,-26)，即旋转2019后点A的坐标是(2,-273).

故答案为(2,-26).

【点睛】

本题考查了正多边形和圆、旋转变换的性质，掌握正多边形的性质、旋转变换的性质是解题的关键.

【分析】根据题意画出树状图，再根据概率公式，即可求解.

【详解】画树状图如下：

/\A△A

正反正反正反正反

:掷一枚硬币三次，共有8种可能，正面都朝上只有1种，

.••正面都朝上的概率是：］

O

故答案是：-

8

【点睛】

本题主要考查求简单事件的概率，画出树状图，是解题的关键.

18、1

【分析】可得出AOABs^OCD,可求出CD的长.

【详解】解：；AB〃CD,

/.△OAB^AOCD,

.OC_CD

t9~OA~~AB

•.喘，若AB=8,

.,.CD=1.

故答案为：1.

【点睛】

此题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识.

三、解答题(共66分)

生皆+4百（04x43）

一餐+皿一<x<5）

19、（1）①（6,273）»②（3,3百）；（2）S=<23

2百

-------x+1273（5<%<9）

3

x>9）

【分析】（D①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标；②由正切函数，即可求得NCAO

的度数，③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标;

（2）分别从当吐XW3时，当3VxW5时，当5<xW9时，当x>9时去分析求解即可求得答案.

【详解】解：（1）①...四边形OABC是矩形，

；.AB=OC,OA=BC,

VA（6,0）、C（0,2百）,

...点B的坐标为：（6,273）;

②如图1：当点Q与点A重合时，过点P作PEJLOA于E,

,.,ZPQO=60°,D（0,36）,

.♦.PE=3G，

PE.

AE=----------=3，

tan60

AOE=OA-AE=6-3=3,

...点P的坐标为（3,3百）；

故答案为：①（6,273），②（3,3G）；

（2）①当09W3时，

如图，OI=x,IQ=PI»tan600=3,OQ=OI+IQ=3>+x；

由题意可知直线1//BC//0A,

.EFPEDC百1

'''OQ~~PO~~Dd~3^3~3'

.*.EF=-(3+x)

3

此时重叠部分是梯形，其面积为：

S梯形二二(EF+OQ)・。。=生8(3+x)

23

AQ=OI+IO-OA=x+3-6=x-3

AH=y/3(x-3)

2

横形-SAHAQ=S挑形------AH*AQ=^^~(3+x)-^^-(x-3)

S=S

232

S=£13GV3

+------x------

232

③当5V烂9时，如图

.CO_CE

**DO-DP

.2V3_CE

,•丽•

・「"一

••CE—2x

3

BE=6--x

3

1厂2

S=-(BE+OA)•OC=V3(12--x)

23

:・S=-巫x+V16.

3

④当x>9时，如图

\AH//Pl

.AOAH

••=

0/PI

6AH

・9』

X

154百

S=-OA»AH=

2X

^^+4疯04x43)

3

----x4-----x----(3<xW5)

232

综上:

---x+12-\/3(5<xV9)

3

也〉9)

.x

【点睛】

此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识.此题综合性较

强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.

20、(1)CFLBD；证明见解析；(2)成立；理由见解析；(3)CP=-—+%.

4

【分析】(1)先证明也AE4C,得到NACF=//©>,再根据角度转换得到NBCF=90。即可;

(2)过点A作G4J_AC交于点G,可得AC=AG,再证明AGAD2△C4F,得NACE=NAG。=45°,即

可证明CF_LBZ)；

(3)过点A作交CB的延长线于点Q,可求出AQ=CQ=4,则。Q=4—x,根据得

出相似比，即可表示出CP.

【详解】(1)CF1BD；

证明：VAB^AC,ZACB=45。,

/.ZABC=45°,

由正方形ADEF得4)=AF,

VNZMF=ZBAC=9O。，

:.ZDAB^ZFAC,

在S43与A/XC中，

AB=AC

<NDAB=ZMC,

AD^AF

：.ADAB^^FAC(SAS),

：.ZACF=ZABD,

:./BCF=ZACB+ZACF=90°,

即CF_L8D；

(2)AB>AC时，CF_L3。的结论成立;

证明：如图2,过点A作G4J_AC交8C于点G,

VZACB=45°,

NAG£>=45。，

AC—AG>

在AG4O和AC4尸中,

AC^AG

<ZCAF=NGAD,

AF=AD

；.^GAD^CAF(SAS),

：.ZACF=ZAGO=45°,/BCF=ZACB+ZACF=90°,

即C/_L8。；

（3）过点A作A。，BC交CB的延长线于点。,

••,N3G4=45°,AQA.BC

AQC为等腰直角三角形,

VAC=4垃,

AQ=CQ=4,

,.,DC=x,

:.DQ=4—x,

•・•四边形ADEF为正方形,

ZADE=90°,

.,.ZPDC+ZADQ=90°,

VZADQ+ZQAD=90°,

.,.ZPDC=ZQAD,

:.坟QDs^DCP,

.CPCD

:'~DQ=7Q'

CPx

••----=一,

4-x4

CP=——+无.

4

【点睛】

本题考查了全等三角形性质及判定，相似三角形的判定及性质，正方形的性质等，构建全等三角形，相似三角形是解

决此题的关键.

21、应该降价20元.

【解析】设每件童装应降价x元，那么就多卖出2x件，根据每天可售出20件，每件获利40元.为了扩大销售，减少

库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，可列方程求解.

【详解】设每件童装应降价x元，

由题意得：（40—x）（20+2x）=1200,

解得：x=10或x=20.

因为减少库存，所以应该降价20元.

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，关键找到降价和卖的件数的关系，根据利润列方程求解.

22、（1）25（2）36；（3）2^.

2

【分析】（1）由AC_LBC,AC±AD,得出NACB=NCAD=90。，利用含30。直角三角形三边的特殊关系以及勾股定理,

就可以解决问题；

（2）将ABAD绕点B顺时针旋转到ABCE,则△BCE0ZkBAD,连接DE,作BHJLDE于H,作CGJ_DE于G,作

CF_LBH于F.这样可以求NDCE=90。，则可以得到DE的长，进而把四边形ABCD的面积转化为△BCD和△BCE

的面积之和，ABDE和ACDE的面积容易算出来，则四边形ABCD面积可求；

(3)取BC的中点E,连接AE,作CF_LAD于F,DG_LBC于G,贝!jBE=CE=，BC,证出△ABE是等边三角形，

2

得出NBAE=NAEB=60。，AE=BE=CE,得出NEAC=NECA==3。。，证出NBAC=NBAE+NEAC=90。，得出

AC=V3AB,设AB=x,贝!jAC=Gx,由直角三角形的性质得出CF=3,从而DF=3百，设CG=a,AF=y,证明

AACF^ACDG,得出色=生，求出y=1竺，由勾股定理得出y2=(6x”32=3x2-9,b2=62-a2=102-(2x+a)2,

CGCD6

(2x+a)2+b2=132,整理得出a=3二匚，进而得y=1竺=^"一『)，得出［0"'］解得x'34-6722，

x666

得出y2=(而-后产，解得丫=痴-3百，得出AD=AF+DF=而，由三角形面积即可得出答案.

【详解】解：(1)VAC±BC,AC±AD,

.,.ZACB=ZCAD=90°,

•.•对角互余四边形ABCD中，ZB=60°,

.,.ZD=30°,

在RtAABC中，ZACB=90°,ZB=60°,BC=1,

.,.ZBAC=30°,

.,.AB=2BC=2,AC=^BC=73,

在RtAACD中,ZCAD=90°,ND=30。，

.,.AD=GAC=3,CD=2XC=2y/3,

।］Z7

VSAABC=-«AC«BC=-xV3xl=2_,

222

SAACD=-・AOAD=-X73X3=述

222

故答案为：2Gj

(2)将ABAD绕点B顺时针旋转到△BCE,如图②所示:

图②

则4BCE^ABAD,

连接DE,作BH_LDE于H,作CG_LDE于G,作CFJLBH于F.

.*.ZCFH=ZFHG=ZHGC=90°,

J.四边形CFHG是矩形，

.*.FH=CG,CF=HG,

VABCE^ABAD,

.*.BE=BD=13,ZCBE=ZABD,ZCEB=ZADB,CE=AD=8,

,."ZABC+ZADC=90o,

ZDBC+ZCBE+ZBDC+ZCEB=90°,

.•.ZCDE+ZCED=90°,

.".ZDCE=90°,

在小BDE中，根据勾股定理可得：DE=VCD2+CE2=>/62+82=1。，

VBD=BE,BH±DE,

.*.EH=DH=5,

.，.BH=TiF-EH?=A/132-52=12，

11

..SABED=—•BH»DE=—xl2xl0=60,

22

11

SACED=—・CD・CE=—x6x8=24,

22

VABCE^ABAD,

・'・S四边形ABCD=SABCD+S^BCE=SABED-SACED=60-24=36；

(3)取BC的中点E,连接AE,作CFLAD于F,DG_LBC于G,如图③所示:

1

贝n！lIBE=CE=-BC,

2

VBC=2AB,

AAB=BE,

VZABC=60°,

•••△ABE是等边三角形,

/.ZBAE=ZAEB=60°,AE=BE=CE,

，ZEAC=ZECA=-ZAEB=30°,

2

AZBAC=ZBAE+ZEAC=90°,

.\AC=73AB,

设AB=x,贝!JAC=GX,

VZADC=30°,

，CF=gcD=3,DF=^CF=36,

设CG=a,AF=y,

在四边形ABCD中，ZABC+ZBCD+ZADC+ZBAC+ZDAC=360°,

AZDAC+ZBCD=180°,

VZBCD+ZDCG=180°,

/.ZDAC=ZDCG,

VZAFC=ZCGD=90°,

AAACF^ACDG,

.•.处=处，即"叵，

CGCDa6

.y/3ax

..y=--------,

6

在RtAACF中,RtACDG和RtABDG中,由勾股定理得：y2=(^x)2-32=3x2-9,b2=62-a2=102-(2x+a)2,

(2x+a)2+b2=132,

整理得:x2+ax-16=0,

.16-x2

..a=----------,

x

._yf3ax_6元16-JC2_V3(16-x2)

••y-----―------x---------____,

66x6

...心(16一叫=3、2_9.

6

整理得：X4-68x2+364=0,

解得：X2=34-6722»或x2=34+6j五(不合题意舍去),

/.X2=34-6>/22，

-,.y2=3（34-65/22）-9=93-18^2=93-271728=（质一后汽

"'•y=\/66-3也,

-,.AF=V66-36,

.,.AD=AF+DF=766，

二△ACD的面积=-ADxCF=-x766x3=封电.

222

【点睛】

此题是四边形综合题，主要考查了新定义的理解和应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定与

性质，旋转的性质，全等三角形的性质，含30。角的直角三角形的性质等知识：本题综合性强，有一定难度.

23、（1）8Hx,400-x；（2）1.

25

【分析】（1）利润=一台冰箱的利润x销售数量，一台冰箱的利润=售价-进价，降低售价的同时，销售量会提高；

（2）根据每台的利润X销售数量列出函数关系式，再根据二次函数的性质，求利润的最大值.

X2

【详解】解：（1）降价后销售数量为8+石、4=8+石工；

降价后的利润为：400-x,

2

故答案为：8+—x,400-x；

25

（2）设总利润为y元，则

x22

y=（400一x）（8+——x4）=——-X2+24X+3200=——（x-150）2+5000

5025^^5

2

v—<o,开口向下

25

.•.当x=150时，y=5000最大

此时售价为2900-150=2750（元）

答：每台冰箱的实际售价应定为1元时，利润最大.

【点睛】

本题考查了二次函数的实际应用中的销售问题，解题的关键是分析题意，找出关键的等量关系，列出函数关系式.

24、解：（1）a=135,*=134.5,c=L6；（2）①从众数（或中位数）来看，一班成绩比二班要高，所以一班的成绩好

于二班；②一班和二班的平均成绩相同，说明他们的水平相当；③一班成绩的方差小于二班，说明一班成绩比二班稳

定.

【分析】（1）根据表中数据和中位数的定义、平均数和方差公式进行计算可求出表中数据；

（2）从不同角度评价，标准不同，会得到不同的结果.

【详解】解：（1）由表可知，一班135出现次数最多，为5次，故众数为135；

134+135

由于表中数据为从小到大依次排列，所以处于中间位置的数为134和135,中位数为