新教材数学人教A版作业3-1-2第1课时函数的表示法

第三章3.1第1课时A组·素养自测一、选择题1．已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则该一次函数的解析式为(D)A．f(x)＝－x B．f(x)＝x－1C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x＋1[解析]设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,b＝1，))所以a＝－1，b＝1，即f(x)＝－x＋1．2．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于(C)x1≤x＜222＜x≤4f(x)123A．1 B．2C．3 D．不存在[解析]∵2＜3≤4，∴由题中表格可知f(3)＝3．3．函数f(x)＝eq\f(x,|x|)的图象是(C)[解析]由于f(x)＝eq\f(x,|x|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x＞0，,－1，x＜0，))所以其图象为C．4．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f[g(2)]＝(B)x123f(x)230A．3 B．2C．1 D．0[解析]利用图象可知g(2)＝1，所以f[g(2)]＝f(1)＝2．故选B．5．若f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式为(B)A．g(x)＝2x＋1 B．g(x)＝2x－1C．g(x)＝2x－3 D．g(x)＝2x＋7[解析]∵g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3，令x＋2＝t，∴x＝t－2，∴g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1，∴g(x)＝2x－1．6．若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝(A．x＋1 B．x－1C．2x＋1 D．3x＋3[解析]因为3f(x)－2f(－x)＝5所以3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1，解得f(x)＝x二、填空题7．已知函数f(x)的图象如图所示，其中点O，A，B，C的坐标分别为(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，\f(3,2)))，(0,4)，(2,0)，则f(－5)＝__eq\f(3,2)__，f[f(2)]＝__4__．[解析]由题图可知f(－5)＝eq\f(3,2)，f(2)＝0，f(0)＝4．故f[f(2)]＝4．8．若3f(x)－f(eq\f(1,x))＝2x(x≠0)，则f(x)＝__eq\f(1,4x)＋eq\f(3x,4)(x≠0)__．[解析]用eq\f(1,x)代换x，得3f(eq\f(1,x))－f(x)＝eq\f(2,x)．解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3fx－f\f(1,x)＝2x，,3f\f(1,x)－fx＝\f(2,x)，))解得f(x)＝eq\f(2,8x)＋eq\f(6x,8)(x≠0)．即f(x)＝eq\f(1,4x)＋eq\f(3x,4)(x≠0)．9．已知f(eq\f(x,2)－1)＝2x＋3，则f(6)的值为__31__．[解析]方法一：令eq\f(x,2)－1＝6，解得x＝14，∴f(6)＝f(eq\f(14,2)－1)＝2×14＋3＝31．方法二：令eq\f(x,2)－1＝t，x＝2t＋2，∴f(t)＝2(2t＋2)＋3＝4t＋7．∴f(6)＝4×6＋7＝31．故填31．三、解答题10．作出下列函数的图象．(1)y＝eq\f(x,2)＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)．[解析](1)函数y＝eq\f(x,2)＋1，x∈{1,2,3,4,5}是由(1，eq\f(3,2))，(2,2)，(3，eq\f(5,2))，(4,3)，(5，eq\f(7,2))五个孤立的点构成，如图．(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x＜3之间的一段曲线，且y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3，如图所示．11．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1．(1)求f(x)的解析式；(2)求y＝f(x)在[－1,1]上的最大值．[解析](1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因为f(x＋1)－f(x)＝2x，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2x，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝0，))解得a＝1，b＝－1，又由f(0)＝1，得c＝1，所以f(x)＝x2－x＋1．(2)由(1)知，函数f(x)＝x2－x＋1的图象开口方向朝上，以x＝eq\f(1,2)为对称轴的抛物线，故在区间[－1,1]上，当x＝－1时，函数取最大值f(－1)＝3．B组·素养提升一、选择题1．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为(D)A．y＝20－2x B．y＝20－2x(0＜x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5＜x＜10)[解析]由题意得y＋2x＝20，∴y＝20－2x．又∵2x＞y，∴2x＞20－2x，即x＞5．由y＞0，即20－2x＞0得x＜10，∴5＜x＜10．故选D．2．观察下表：x－3－2－1123f(x)41－1－335g(x)1423－2－4则f[g(3)－f(－1)]＝(B)A．3 B．4C．－3 D．5[解析]由题表知，g(3)－f(－1)＝－4－(－1)＝－3，∴f[g(3)－f(－1)]＝f(－3)＝4．3．若f(eq\f(1,x))＝eq\f(x,1－x)，则当x≠0，且x≠1时，f(x)＝(B)A．eq\f(1,x) B．eq\f(1,x－1)C．eq\f(1,1－x) D．eq\f(1,x)－1[解析]f(eq\f(1,x))＝eq\f(x,1－x)＝eq\f(1,\f(1,x)－1)∴f(x)＝eq\f(1,x－1)，故选B．4．(多选题)已知f(2x＋1)＝4x2，则下列结论正确的是(BD)A．f(3)＝36 B．f(－3)＝16C．f(x)＝16x2＋16x＋4 D．f(x)＝x2－2x＋1[解析]当2x＋1＝3时，x＝1，因此f(3)＝4×12＝4，所以A不符合题意；当2x＋1＝－3时，x＝－2，因此f(－3)＝4×(－2)2＝16，所以B符合题意；令t＝2x＋1，则x＝eq\f(t－1,2)，因此f(t)＝4×(eq\f(t－1,2))2＝t2－2t＋1，所以C不符合题意，D符合题意．故选BD．二、填空题5．已知函数f(x)是反比例函数，且f(－1)＝2，则f(x)＝__－eq\f(2,x)__．[解析]设f(x)＝eq\f(k,x)(k≠0)，∴f(－1)＝－k＝2，∴k＝－2，∴f(x)＝－eq\f(2,x)．6．已知g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝eq\f(1－x2,x2)(x≠0)，则f(eq\f(1,2))等于__15__．[解析]令g(x)＝1－2x＝eq\f(1,2)，∴x＝eq\f(1,4)，∴f(eq\f(1,2))＝f[g(eq\f(1,4))]＝eq\f(1－\f(1,4)2,\f(1,4)2)＝15．7．已知函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝3x，则f(x)＝__x__[解析]因为2f(x)－f(－x)＝3x，所以将x用－x替换，得2f(－x)－f(x)＝－3x，联立①②解得f(x)＝x．三、解答题8．已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．[解析]设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝f(4)知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝c，,f4＝16a＋4b＋c，,f0＝f4，))得4a＋b＝0．①又图象过点(0,3)，所以c＝3．设f(x)＝0的两实根为x1，x2，则x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1·x2＝eq\f(c,a)．所以xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－eq\f(b,a))2－2·eq\f(c,a)＝10．即b2－2ac＝10a2由①②③得a＝1，b＝－4，c＝3．所以f(x)＝x2－4x＋3．9．已知函数f(x)＝eq\f(x,ax＋b)(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式和f[f(－3)]的值．[解析]因为f(2)＝1，所以eq\f(2,2a＋b)＝1，即2a＋b＝2，又因为f(x)＝x有