高中数学必修3北师大版课时作业第三章概率阶段质量评估

阶段质量评估(三)概率(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某人在打靶中连续射击两次，与事件“至少有一次中靶”互斥的事件是()A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．两次都不中靶 D．只有一次中靶解析：连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”．答案：C2．下列试验中，是古典概型的有()A．种下一粒种子，观察它是否发芽B．从规格直径为(250±0.6)mm的一批产品中任意抽一根，测量其直径d，检测其是否合格C．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面D．某人射击中靶或不中靶解析：只有C具有古典概型的有限性与等可能性．答案：C3．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为()A.eq\f(1,6) B．eq\f(5,36)C.eq\f(1,12) D．eq\f(1,2)解析：由log2xy＝1，得2x＝y，其中x，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝6，))共3种情况，所以P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，故选C.答案：C4．从{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a，b，c}子集的概率是()A.eq\f(3,5) B．eq\f(2,5)C.eq\f(1,4) D．eq\f(1,8)解析：符合要求的是∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}共8个，而集合{a，b，c，d，e}共有子集32个，所以P＝eq\f(1,4).答案：C5．在箱子里装有十张纸条，分别写有1到10的十个整数．从箱子中任取一张纸条，记下它的读数x，然后再放回箱子中，第二次再从箱子中任取一张纸条，记下它的读数y，则x＋y是10的倍数的概率为()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D．eq\f(1,10)解析：先后两次取纸条时，形成的有序数对有(1,1)，(1,2)，…，(1,10)，…，(10,10)，共100个．因为x＋y是10的倍数，所以这些数对应该是(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，(8,2)，(9,1)，(10,10)，共10个，故x＋y是10的倍数的概率是P＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).答案：D6．[2017·安徽宿州高一(下)期末考试]若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，2)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2)))C．[eq\f(5,4)，eq\f(3,2)] D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3)))解析：由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<PA<1,0<PB<1,PA＋PB≤1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1,0<4a－5<1，,3a－3≤1))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<a<2,\f(5,4)<a<\f(3,2),a≤\f(4,3)))，解得eq\f(5,4)<a≤eq\f(4,3).答案：D7．一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为()A.eq\f(9,100) B．eq\f(3,50)C.eq\f(3,100) D．eq\f(2,9)解析：任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i)(i＝0,1,2，…，9)；(1，i)(i＝0,1,2，…，9)；(2，i)(i＝0,1,2，…，9)；…；(9，i)(i＝0,1,2，…，9)，故共有100种结果．两个数字都是3的倍数的结果有(3,3)，(3,6)，(3,9)，(6,3)，(6,6)，(6,9)，(9,3)，(9,6)，(9,9)，共有9种．故所求概率为eq\f(9,100).答案：A8．有四个游戏盘，如图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为()解析：A中P1＝eq\f(3,8)，B中P2＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，C中设正方形边长为2，则P3＝eq\f(4－π×12,4)＝eq\f(4－π,4)，D中设圆的直径为2，则P4＝eq\f(\f(1,2)×2×1,π)＝eq\f(1,π).在P1，P2，P3，P4中，P1最大．答案：A9．A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度大于或等于半径长度的概率为()A.eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C.eq\f(\r(3),2) D．eq\f(1,2)解析：如图，当A′位于B或C点时，AA′长度等于半径，此时∠BOC＝120°，则优弧eq\x\to(BC)长度为eq\f(4,3)πR.故所求概率P＝eq\f(\f(4,3)πR,2πR)＝eq\f(2,3).答案：B10．运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素α，则函数y＝xα，x∈[0，＋∞)是增函数的概率为()A.eq\f(3,7) B．eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D．eq\f(3,4)解析：当x依次取值－3，－2，－1,0,1,2,3时，对应的y的值依次为：3,0，－1,0,3,8,15，所以集合A＝{－1,0,3,8,15}．因为α∈A，所以使y＝xα在x∈[0，＋∞)上为增函数的α的值为3,8,15，故所求概率P＝eq\f(3,5).答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为eq\f(4,5)，那么所选3人中都是男生的概率为________．解析：设A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人中都是男生}，则A，B为对立事件，所以P(B)＝1－P(A)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)12．已知函数f(x)＝log2x，x∈[1,3]，若在区间x∈[1,3]上随机取一点，则使得－1≤f(x0)≤1的概率为________．解析：由函数－1≤f(x0)≤1得－1≤log2x0≤1，解得x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，又函数f(x)的定义域为x∈[1,3]，所以不等式的最终解集为x0∈[1,2]，所以－1≤f(x0)≤1的概率P＝eq\f(2－1,3－1)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)13．已知集合A＝{－1,0,1,3}，从集合A中有放回地任取两个元素x，y作为点M的坐标，则点M落在x轴上的概率为__________．解析：所有基本事件构成集合{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,3)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,3)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,3)，(3，－1)，(3,0)，(3,1)，(3,3)}，其中“点M落在x轴上”的事件所含基本事件有(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(3,0)，所以P＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)14．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是________．解析：正方形四个顶点可以确定6条直线，甲、乙各自任选一条共有36个基本事件．两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)，包括10个基本事件，故所求概率等于eq\f(10,36)＝eq\f(5,18).答案：eq\f(5,18)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火车或飞机去的概率；(2)求他不乘飞机去的概率．解析：设“乘火车”“乘轮船”“乘汽车”“乘飞机”分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.3，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，P(D)＝0.4.(1)P(A＋D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.(2)设“不乘飞机”为事件E，则P(E)＝1－P(D)＝1－0.4＝0.6.16．(本小题满分12分)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁4种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解析：(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为eq\f(200,1000)＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为eq\f(100＋200,1000)＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为eq\f(200,1000)＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为eq\f(100＋200＋300,1000)＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为eq\f(100,1000)＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．17．(本小题满分12分)袋中有红、黄、白三种颜色的球各3只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：(1)3只全是红球的概率；(2)3只颜色全相同的概率；(3)3只颜色不全相同的概率；(4)3只颜色全不相同的概率．解析：从袋中有放回地抽取3次，全部的基本事件用树状图表示为：(1)记“3只球全是红球”为事件A，则P(A)＝eq\f(1,27).(2)记“3只球颜色相同”为事件B，则P(B)＝eq\f(1,27)＋eq\f(1,27)＋eq\f(1,27)＝eq\f(1,9).(3)记“3只球颜色不全相同”为事件C，则有24种情况，故P(C)＝eq\f(24,27)＝eq\f(8,9).(4)要使3只球颜色全不相同，只可能是红、黄、白球各出现一次，记“3只颜色全不相同”为事件D，则P(D)＝eq\f(6,27)＝eq\f(2,9).18.(本小题满分14分)如图，一张圆形桌面被分成了M，N，P，Q四个区域，∠AOB＝30°，∠BOC＝45°，∠COD＝60°.将一粒小石子随机扔到桌面上，假设小石子不落在线上，求下列事件的概率：(1)小石子落在