新教材数学人教A版学案5-4-2第1课时正弦函数余弦函数的性质（一）

5．4.2正弦函数、余弦函数的性质【素养目标】1．理解周期函数、周期、最小正周期的定义，并会求正弦函数y＝sinx、余弦函数y＝cosx的周期．(数学抽象、数学运算)2．掌握正弦函数y＝sinx，余弦函数y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(数学运算)3．掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(数学运算)4．掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小，并会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(数学运算、逻辑推理)5．让学生探究学习正、余弦函数的图象性质，体会数形结合的思想，激发学生学习数学的兴趣．(逻辑推理)【学法解读】在本节学习中，学生从观察正弦、余弦函数图象，总结它们有哪些特殊性质，从而可给出周期函数的定义，再利用诱导公式进行验证其性质，提升学生的直观想象、数学运算等核心素养．第1课时正弦函数、余弦函数的性质(一)必备知识·探新知基础知识知识点1函数的周期(1)！！！周期函数###：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有(x＋T)∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.(2)！！！最小正周期###：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．思考1：是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？提示：并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．知识点2正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sinxy＝cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函数偶函数思考2：(1)正弦曲线对称吗？(2)余弦曲线对称吗？提示：(1)正弦函数y＝sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称．(2)余弦函数y＝cosx是偶函数，余弦曲线关于y轴对称．基础自测1．下列函数中，周期为eq\f(π,2)的是(＋＋＋＋D－－－－)A．y＝sineq\f(x,2) B．y＝sin2xC．y＝coseq\f(x,4) D．y＝cos4x[解析]A项中，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋2π))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋4π,2)))＝sineq\f(x,2)，故T＝4π；B项中，sin(2x＋2π)＝sin[2(x＋π)]＝sin2x，故T＝π；C项中，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)＋2π))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋8π,4)))＝coseq\f(x,4)，故T＝8π；D项中，cos(4x＋2π)＝cos[4(x＋eq\f(π,2))]＝cos4x，故T＝eq\f(π,2)，综上，D项正确．2．函数y＝eq\r(2)sin2x的奇偶性为(＋＋＋＋A－－－－)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数3．函数y＝－sin2x，x∈R是(＋＋＋＋A－－－－)A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数[解析]函数y＝－sin2x为奇函数，周期T＝eq\f(2π,2)＝π.4．若函数f(x)满足f(x＋3)－f(x)＝0，则函数f(x)是周期为！！！3###的周期函数．5．若函数f(x)的最小正周期是4，则必有f(x＋8)＝！！！f(x)###.关键能力·攻重难题型探究题型一三角函数的周期例1求下列函数的周期：(1)y＝sineq\f(1,2)x；(2)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6)))；(3)y＝|cosx|，x∈R.[分析]可以根据周期函数的定义求解，也可以用公式T＝eq\f(2π,|ω|)直接求解．[解析](1)解法1：令u＝eq\f(1,2)x，则y＝sinu是周期函数，且周期为2π.∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋2π))＝sineq\f(1,2)x，即sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋4π))＝sineq\f(1,2)x.∴y＝sineq\f(1,2)x的周期是4π.解法2：(公式法)∵ω＝eq\f(1,2)，∴T＝eq\f(2π,\f(1,2))＝4π.(2)解法1：∵2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6)＋2π))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6)))，∴2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋6π－\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6)))，∴y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6)))的周期是6π.解法2：∵ω＝eq\f(1,3)，∴T＝eq\f(2π,\f(1,3))＝6π.(3)y＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y＝|cosx|的周期为π.[归纳提升]求三角函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，可利用T＝eq\f(2π,|ω|)来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．【对点练习】❶求下列函数的最小正周期：(1)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3)))；(2)y＝|sinx|；(3)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,π)x－\f(π,4))).[解析](1)∵ω＝3，T＝eq\f(2π,3).(2)作图如下：观察图象可知最小正周期为π.(3)∵ω＝eq\f(2,π)，∴T＝eq\f(2π,\f(2,π))＝π2.题型二三角函数奇偶性的判断例2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|sinx|＋cosx；(2)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))；(3)f(x)＝eq\f(1＋sinx－cos2x,1＋sinx).[分析]先求函数的定义域，判断函数定义域是否关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，最终确定奇偶性．[解析](1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．(2)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))＝－coseq\f(3x,4)，x∈R.∵f(－x)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3x,4)))＝－coseq\f(3x,4)＝f(x)，∴函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))是偶函数．(3)函数应满足1＋sinx≠0，则函数f(x)＝eq\f(1＋sinx－cos2x,1＋sinx)的定义域为{x∈R|x≠2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z}．显然定义域不关于原点对称，故函数f(x)＝eq\f(1＋sinx－cos2x,1＋sinx)为非奇非偶函数．[归纳提升]1.判断函数奇偶性的常用方法：(1)定义法，即从f(－x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式，再看f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否成立．(2)图象法，即作出函数的图象，由图象的对称性确定其奇偶性．(3)验证法，即验证f(－x)＋f(x)＝0或f(－x)－f(x)＝0(或eq\f(f－x,fx)＝±1)是否成立．此法通常用于函数是非奇非偶的情形．2．判断函数奇偶性时，必须先判断其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而再判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数是非奇非偶数．【对点练习】❷判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝cos(eq\f(π,2)＋2x)·cos(π＋x)；(2)f(x)＝eq\r(1－cosx)＋eq\r(cosx－1).[解析](1)函数的定义域为R，由f(x)＝cos(eq\f(π,2)＋2x)·cos(π＋x)＝－sin2x·(－cosx)＝sin2x·cosxf(－x)＝sin(－2x)·cos(－x)＝－sin2x·cosx所以f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数．(2)由1－cosx≥0且cosx－1≥0，得cosx＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．题型三三角函数奇偶性与周期性的综合运用例3定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，eq\f(π,2)]时，f(x)＝sinx，求f(eq\f(5π,3))的值．[分析]利用周期性与奇偶性将eq\f(5π,3)化到[0，eq\f(π,2)]内再求值．[解析]∵f(x)的最小正周期为π，∴f(eq\f(5π,3))＝f(eq\f(2π,3)＋π)＝f(eq\f(2π,3))＝f(π－eq\f(π,3))＝f(－eq\f(π,3))．又f(x)是偶函数．∴f(－eq\f(π,3))＝f(eq\f(π,3))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).[归纳提升]1.解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．2．如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加以推广便可以得到该函数在其他区域内的有关性质．【对点练习】❸若f(x)是以eq\f(π,2)为周期的奇函数，且f(eq\f(π,3))＝1，求f(－eq\f(5π,6))的值．[解析]∵f(x)为以eq\f(π,2)为周期的奇函数，∴f(－eq\f(5,6)π)＝－f(eq\f(5,6)π)＝－f(eq\f(π,2)＋eq\f(π,3))＝－f(eq\f(π,3))＝－1.课堂检测·固双基1．函数f(x)＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))是(＋＋＋＋A－－－－)A．奇函数 B．非奇非偶函数C．偶函数 D．既是奇函数又是偶函数[解析]函数f(x)＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝xcosx，∵f(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，且定义域为R，∴f(x)是奇函数．2．下列函数中，最小正周期为4π的是(＋＋＋＋C－－－－)A．y＝sinx B．y＝cosxC．y＝sineq\f(x,2) D．y＝cos2x[解析]A项，y＝sinx的最小正周期为2π，故A项不符合题意；B项，y＝cosx的最小正周期为2π，故B项不符合题意；C项，y＝sineq\f(x,2)的最小正周期为T＝eq\f(2π,ω)＝4π，故C项符合题意；D项，y＝cos2x的最小正周期为T＝eq\f(2π,ω)＝π，故D项不符合题意．故选C.3．函数y＝cos2x的图象(＋＋＋＋B－－－－)A．关于直线x＝－eq\f(π,4)对称B．关于直线x＝－eq\f(π,2)对称C．关于直线x＝eq\f(π,8)对称D．关于直线x＝eq\f(5π,4)对称[解析]函数的对称轴满足2x＝kπ，k∈Z.所以x＝eq\f(k,2)π，k∈Z，取k＝－1得B选项，选B.4．函数f