新教材高中数学人教B版选择性第一册训练2-3-4圆与圆的位置关系

第二章平面解析几何2.3圆及其方程2.3.4圆与圆的位置关系课后篇巩固提升必备知识基础练1.设r>0,圆(x1)2+(y+3)2=r2与圆x2+y2=16的位置关系不可能是()A.内切 B.相交C.内切或内含 D.外切或外离答案D解析两圆的圆心距为d=(1-0)2+(-3所以两圆不可能外切或外离,故选D.2.两圆C1:x2+y2=16,C2:x2+y2+2x+2y7=0,则两圆公切线条数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析两圆C1:x2+y2=16,圆心C1(0,0),半径为4,C2:x2+y2+2x+2y7=0,其标准方程为(x+1)2+(y+1)2=9,圆心C2(1,1),半径为3,圆心距|C1C2|=2,|43|<2<|4+3|,即两圆相交,所以公切线恰有两条.3.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于()A.4 B.42 C.8 D.82答案C解析∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),则有(4a)2+(1a)2=a2,(4b)2+(1b)2=b2,即a,b为方程(4x)2+(1x)2=x2的两个根,整理得x210x+17=0,∴a+b=10,ab=17.∴(ab)2=(a+b)24ab=1004×17=32,∴|C1C2|=(a-b4.过点M(2,2)以及圆x2+y25x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是()A.x2+y2154x12=0 B.x2+y2154x+C.x2+y2+154x12=0 D.x2+y2+154x+答案A解析设经过圆x2+y25x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是x2+y25x+λ(x2+y22)=0,再把点M(2,2)代入可得4+410+λ(4+42)=0,求得λ=13故要求的圆的方程为x2+y2154x12=5.若圆x2+y2=r2与圆x2+y2+2x4y+4=0有公共点,则r满足的条件是()A.r<5+1 B.r>5+1C.|r5|≤1 D.|r5|<1答案C解析由x2+y2+2x4y+4=0,得(x+1)2+(y2)2=1,两圆圆心之间的距离为(-1∵两圆有公共点,∴|r1|≤5≤r+1,∴51≤r≤5+1,即1≤r5≤1,∴|r5|≤1.6.已知两圆(x+2)2+(y2)2=4和x2+y2=4相交于M,N两点,则|MN|=.

答案22解析由题意可知直线MN的方程为(x+2)2+(y2)2x2y2=0,即lMN:xy+2=0,圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则圆心(0,0)到xy+2=0的距离d=22=2,所以|MN|=2r2-d2=7.若圆x2+y22ax+a2=2和圆x2+y22by+b2=1外离,则a,b满足的条件是.

答案a2+b2>3+22解析由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0),2和(0,b),1.因为两圆外离,所以a2+b2>2+1,即a2+b28.若☉O1:x2+y2=5与☉O2:(xm)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是.

答案4解析由题知O1(0,0),O2(m,0),半径分别为5,25,根据两圆相交,可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和,即5<m<35.又O1A⊥O2A,所以有m2=(5)2+(25)2=25,∴m=±5.再根据S△AO1O2=12·|AO1|·|AO2|=12|O1O2|·9.已知圆O1:x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心O2(2,1).若圆O2与圆O1交于A,B两点,且|AB|=22,求圆O2的方程.解设圆O2的方程为(x2)2+(y1)2=r2因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在的直线方程为4x+4y+r228=0,作O1H⊥AB,H为垂足,图略,则|AH|=12|AB|=2,所以|O1由圆心O1(0,1)到直线4x+4y+r228=0的距离为|r22-12|42=2,得r22=4或r22=20,故圆O2的方程为(x2)2+(y1)10.已知圆x2+y22x6y1=0和圆x2+y210x12y+m=0.(1)m取何值时两圆外切?(2)m取何值时两圆内切?(3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解两圆的标准方程为(x1)2+(y3)2=11,(x5)2+(y6)2=61m,圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为11和两圆圆心之间的距离d=(5-1(1)当两圆外切时,5=11+解得m=25+1011.(2)当两圆内切时,因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5,故只有61-m-11=5,解得m=(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2+y22x6y1)(x2+y210x12y+45)=0,即4x+3y23=0,∴公共弦长为2(11)2-关键能力提升练11.已知圆C的方程为(x3)2+y2=1,若y轴上存在一点A,使得以A为圆心,半径为3的圆与圆C有公共点,则A的纵坐标可以是()A.1 B.3 C.5 D.7答案A解析圆C的方程为(x3)2+y2=1,则圆心C(3,0).设y轴上一点A(0,b),当以A为圆心,半径为3的圆与圆C有公共点时,满足31≤|CA|≤3+1,即2≤(0-所以2≤9+b2化简得b2≤7,∴7≤b≤7,∴A的纵坐标可以是1.12.已知函数f(x)=bxb214(b>0,x∈R),若(m+1)2+(n+1)2=2,则f(n)A.[3,2] B.[3,2+3]C.[23,3] D.[23,2+答案D解析f(可以看作点(m,n)与点b+14b,b+14b连线的斜率,点(m,n)在圆(x+1)点b+14b,b+14b当过点(1,1)作圆(x+1)2+(y+1)2=2的切线,此时两条切线的斜率分别是f(n两条切线与圆心(1,1)、点(1,1)所在直线的夹角均为π6,两条切线的倾斜角分别为π故所求直线的斜率的范围为[23,2+3].13.已知圆C:(x3)2+(y4)2=1和两点A(m,0),B(m,0)(m>0),若圆上存在点P,使得∠APB=90°,则m的取值范围是.

答案[4,6]解析设点P的坐标为(x,y),∵∠APB=90°,且坐标原点O为AB的中点,∴|OP|=12|AB|=m,则点P的轨迹方程为x2+y2=m2由题意可知,圆x2+y2=m2与圆C有公共点,且圆心C(3,4),则|m1|≤|OC|≤m+1,即|m1|≤5≤m+1.∵m>0,解得4≤m≤6.因此,实数m的取值范围是[4,6].14.已知点P(t,t1),t∈R,点E是圆x2+y2=14上的动点,点F是圆(x3)2+(y+1)2=94上的动点,则|PF||PE|的最大值为答案4解析∵P(t,t1),∴P点在直线y=x1上,作E关于直线y=x1的对称点E',且圆O:x2+y2=14关于直线y=x1对称的圆O1的方程为(x1)2+(y+1)2=14,所以E'在圆O1上,∴设圆(x3)2+(y+1)2=94的圆心为O2∴|PE'|≥|PO1||E'O1|,|PF|≤|PO2|+|FO2|,∴|PF||PE|=|PF||PE'|≤(|PO2|+|FO2|)(|PO1||E'O1|)=|PO2||PO1|+2≤|O1O2|+2=4,当P,E',F,O1,O2五点共线,E'在线段PO1上,O2在线段PF上时等号成立.因此,|PF||PE|的最大值为4.15.与圆C1:(x1)2+y2=1,圆C2:(x4)2+(y+4)2=4均外切的圆中,面积最小的圆的方程是.

答案x-11解析当三圆圆心在一条直线上时,所求圆面积最小.设所求圆的圆心坐标为(a,b),已知两圆圆心之间的距离为d=(1-4)2+(0+4)2=5,所以所求圆半径为1.由已知可知所以所求圆的方程为x-11516.已知圆C1:x2+y2=5与圆C2:x2+y24x+3=0相交于A,B两点.(1)求过圆C1的圆心与圆C2相切的直线方程;(2)求圆C1与圆C2的公共弦长|AB|.解(1)已知圆C1:x2+y2=5的圆心坐标为(0,0),半径为5,圆C2:x2+y24x+3=0的圆心坐标为(2,0),半径为1.若过圆C1的圆心(0,0)与圆C2相切的直线斜率存在,则可设直线方程为y=kx,则圆心(2,0)到直线kxy=0的距离d=|2k|1+k2=1,整理得3k2=所以直线方程为y=±33x若直线斜率不存在,直线不与圆C2相切.综上所述,直线方程为y=±33x(2)圆C1:x2+y2=5与圆C2:x2+y24x+3=0相交于A,B两点,则过点A和B的直线方程为4x3=5,即x=2.所以(0,0)到直线x=2的距离d=2,所以弦|AB|=2(5)217.如图所示,圆O1与圆O2的半径都是1,|O1O2|=4,过动点P分别作圆O1,圆O2的切线PM,PN(M,N分别为切点),使得|PM|=2|PN|.试建立适当的坐标系,求动点P的轨迹方程.解如图所示,以直线O1O2为x轴,线段O1O2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则O1(2,0),O2(2,0).设动点P(x,y).由题意得|PM|2=|O1P|2|O1M|2=(x+2)2+y21.同理,可得|PN|2=(x2)2+y21.因为|PM|=2|PN|,所以|PM|2=2|PN|2.所以(x+2)2+y21=2[(x2)2+y21],即x2+y212x+3=0.所以动点P的轨迹方程是x2+y212x+3=0.学科素养拔高练18.已知圆方程C1:f(x,y)=0,点P1(x1,y1)在圆C1上,点P2(x2,y2)不在圆C1上,则方程f(x,y)f(x1,y1)f(x2,y2)=0表示的圆C2与圆C1的关系是()A.与圆C1重合B.与圆C1同心圆C.过P1且与圆C1圆心相同的圆D.过P2且与圆C1圆心相同的圆答案D解析由题意,圆方程C1:f(x,y)=0,点P1(x1,y1)在圆C1上,点P2(x2,y2)不在圆C1上,∴f(x1,y1)=0,f(x2,y2)≠0,由f(x,y)f(x1,y1)f(x2,y2)=0,得f(x,y)=f(x2,y2)≠0,它表示过P2且与圆C1圆心相同的圆.19.(多选)设有一组圆Ck:(xk+1)2+(y3k)2=2k4(k∈N*).下列四个命题中是真命题的有()A.存在一条定直线与所有的圆均相切B.存在一条定直线与所有的圆均相交C.存在一条定直线与所有的圆均不相交D.所有的圆均不经过原点答案BD解析根据题意得,圆心(k1,3k),圆心在直线y=3(x+1)上,故存在直线y=3(x+1)与所有圆都相交,选项B正确;考虑两圆的位置关系,圆Ck:圆心(k1,3k),半径为r=2k2,圆Ck+1:圆心(k1+1,3(k+1)),即(k,3k+3),半径为R=2(k+1)2,两圆的圆心距d=(k-k+1)2+(3k+3-3k)2=10,两圆的半径之差Rr=2(k+1)22k2=22k+2,任取k=1或若k取无穷大,则可以认为所有直线都与圆相交,选项C错误;将(0,0)代入圆的方程,则有(k+1)2+9k2=2k4,即10k22k+1=2k4(k∈N*),因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在k使上式成立,即所有圆均不过原点,选项D正确.20.已知圆O1:x2+y2=25,点P在圆O2:x2+y2=r2(0<r<5)上,过点P作圆O2的切线交圆O1于点M,N两点,且r,|OM|,|MN|成等差数列.(1)求r;(2)若点P的坐标为-165,125,与直线MN平行的直线l与圆O2交于A,B两点,则使△AOB的面积为43的直线解(1)显然圆O1和圆O2是圆心在原点的同心圆.连接OP,则OP⊥MN,|OM|=5,|OP|=r,在直角三角形MOP中,|MP|=52所以|MN|=252由r,|OM|,|