陕西省宝鸡市扶风县法门高中2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理）试题

20182019学年第二学期高二理科数学第一次月考试题试卷说明：第I卷答案答在第II卷答题纸相应栏目内，考试结束上交第II卷答题纸.第I卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.一个物体的位移s关于时间t的运动方程为s=1－t+t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在t=3s时的瞬时速度是A.5m／s B.6m／s C.7m／s D.8m／s【答案】A【解析】【分析】由位移关于时间的运动方程为，则，代入，即可求解．【详解】由题意，位移关于时间的运动方程为，则，当时，，故选A．【点睛】本题主要考查了瞬时变化率的计算，其中解答中熟记瞬时变化率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2.用反证法证明命题：“若能被3整除，那么中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A.都能被3整除 B.都不能被3整除C.不都能被3整除 D.不能被3整除【答案】B【解析】【分析】根据反证法的步骤和命题的否定，直接对“中至少有一个能被3整除”的进行否定即可.【详解】因为“至少有n个”的否定为“至多有n1个”.“中至少有一个能被3整除”的否定是：“都不能被3整除”，故应假设都不能被3整除.故本题答案为B.【点睛】反证法即首先假设命题反面成立，即否定结论，再从假设出发，经过推理得到矛盾，得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立.故用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立.反证法的适用范围是：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少.3.函数的导数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用导数的运算公式和法则求解.【详解】因为函数，所以，故选：C【点睛】本题主要考查函数的导数的计算，属于基础题.4.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【详解】,直线的斜率为a.所以a=2,故选D5.用数学归纳法证明“”，在验证是否成立时，左边应该是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分析题目在验证是否成立时，把代入左边，即可得出结果.【详解】用数学归纳法证明“”，在验证时，把代入，左边.故选：C.【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于基础题.6.函数f(x)在点x0处存在导数，则“”是“为函数极值点”的（）A.充分必要条件 B.既不充分也不必要条件C.充分而不必要条件 D.必要而不充分条件【答案】D【解析】【分析】本题先判断充分性不成立，再判断必要性成立，即可给出答案.【详解】解：充分性：当时，若恒成立，则不是函数极值点，所以充分性不成立；必要性：若为函数极值点，且函数f(x)在点x0处存在导数，则，所以必要性成立.综上：“”是“为函数极值点”的必要而不充分条件.故选：D【点睛】本题考查充分条件与必要条件，是基础题.7.给出下列三个类比结论：①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(＋)2类比，则有(＋)2＝2＋2·＋2.其中结论正确的个数是（）．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根据各个题干的不同情况进行分类讨论，逐个排除即可得解.详解】对①，举一反例，时，，矛盾，故①错；对②，事实上，故②错；对③，向量可以进行完全平方的运算，故③正确.故选：B.【点睛】本题考查了类比推理，类比推理的原则是两命题的逻辑关系的相似性，由横向和纵向两个方向，在判断过程中注意可行性和正确性，本题属于简单题.8.设是函数的导数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据导函数的图象判断导函数在、、的正负情况，再根据导函数的正负判断函数的单调性，最后根据单调性选择函数的图象.【详解】解：由导函数的图象可知：导函数在上，，则函数单调递增；导函数在上，，则函数单调递减；导函数上，，则函数单调递增；故选：C【点睛】本题考查函数图象的识别、根据导函数的图象识别函数的图象，是基础题.9.设函数，则（）A.为的极大值点 B.为的极小值点C.为的极大值点 D.为的极小值点【答案】D【解析】试题分析：因为，所以．又，所以为的极小值点．考点：利用导数研究函数的极值；导数的运算法则．点评：极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点．10.对于R上可导的任意函数，若满足则必有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先由题意得到函数的单调性,然后跟根据单调性进行判断可得结论.【详解】若，则为常数函数,;若不恒成立,当时,,递增，当时,,递减..故选:C.【点睛】本题考查函数最值和单调性的关系,考查对基本概念的理解,解题时可根据导函数的符号得到函数的单调性,进而得到函数的最值情况,属于中档题.11.已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则A.或2 B.或3 C.或1 D.或1【答案】A【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性求出极值点为，利用或可得结果.【详解】因为,所以f(x)的增区间为,减区间为,所以的极大值为，极小值为，因为函数的图象与轴恰有两个公共点,所以只须满足或，即或,故选A.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为，极小值为：一个零点或；两个零点或；三个零点且.12.若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A.2 B.3 C.6 D.9【答案】D【解析】试题分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b又因为在x=1处有极值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故选D点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．第II卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数y＝x+在[x，x＋Δx]上的平均变化率_____【答案】【解析】【分析】根据函数的解析式与平均变化率公式直接求解即可.【详解】解：因为函数y＝x+，所以在[x，x＋Δx]上的平均变化率，故答案为：【点睛】本题考查利用函数的解析式求平均变化率，是基础题.14.已知函数的图像在点处的切线方程是，则____.【答案】【解析】【分析】由切线的方程找出切线的斜率，代入得到的值，又切点在切线方程上，所以把代入切线方程，求出的的值即为，进而可得结果．【详解】由切线方程，得到斜率，即，又切点在切线方程上，所以把代入切线方程得，解得，即，则，故答案为.【点睛】本题主要考查学生会利用导数求曲线上在某点切线方程的斜率，是一道基础题．15.已知，则=________.【答案】2【解析】试题分析：把给出的函数求导，在其导函数中取x=2，则f′（2）可求．解：由f（x）=x2+3xf′（2），得：f′（x）=2x+3f′（2），所以，f′（2）=2×2+3f′（2），所以，f′（2）=﹣2．故答案为﹣2．考点：导数的运算．16.观察下列等式：根据上述规律，第四个等式为.【答案】=【解析】三、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共6小题，70分）17.用分析法证明：【答案】证明见解析【解析】【分析】用分析法证明即可得出结论成立.【详解】要证成立，只需证成立；只需证成立；只需证成立；只需证成立，因为成立，所以原不等式成立.【点睛】本题主要考查不等式的证明，分析法是一种常用的方法，逐步推出结论的充分条件，直到得到显然成立的结论即可，是基础题.18.数列满足）.（1）计算，并由此猜想通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）分别令，可求解的值，即可猜想通项公式；（2）利用数学归纳法证明.试题解析：（1），由此猜想；（2）证明：当时，，结论成立；假设（，且），结论成立，即当（，且）时，，即，所以，这表明当时，结论成立，综上所述，.考点：数列的递推关系式及数学归纳法的证明.19.已知函数在点处取得极值.(1)求的值；(2)若有极大值，求在上的最小值．【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）f′（x）=3ax2+b，由函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16．可得f′（2）=12a+b=0，f（2）=8a+2b+c=c﹣16．联立解出．（2）由（1）可得：f（x）=x3﹣12x+c，f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2），可得x=﹣2时，f（x）有极大值28，解得c．列出表格，即可得出．【详解】解：因.故由于在点x=2处取得极值c16.故有即化简得解得a=1，b=12（2）由（1）知；.令，得，.当时，，故在上为增函数；当时，，故在上为减函数；当时，，故在上为增函数.由此可知在处取得极大值；，在处取得极小值.由题设条件知16+c=28，得c=12.此时，，，因此在上的最小值为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知函数，曲线在点处切线方程为．（1）求的值；（2）讨论的单调性，并求的极大值．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线在点处切线方程为，建立方程，即可求得，的值；（2）利用导数的正负，可得的单调性，从而可求的极大值．试题解析：（1）．由已知得，．故，．从而，．（2）由（1）知，，．令得，或．从而当时，；当时，．故在，上单调递增，在上单调递减．当时，函数取得极大值，极大值为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【方法点晴】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．求极值的步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值．21.已知函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求在区间上的最小值．【答案】（Ⅰ）单调递减区间是（）；单调递增区间是（Ⅱ）见解析【解析】【详解】（Ⅰ）令，得．与的情况如下：x

（）

（

—

0

+

↗

↗

所以，的单调递减区间是（）；单调递增区间是（Ⅱ）当，即时，函数在[0，1]上单调递增，所以（x）在区间[0，1]上的最小值为当时，由（Ⅰ）知上单调递减，在上单调递增，所以在区间[0，1]上的最小值为；当时，函数在[0，1]上单调递减，所以在区间[0，1]上的最小值为22.设函数f(x)＝x2＋ax－lnx(a∈R)．（1）若a＝1，求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)