高二数学人教A版必修5学案1-2第3课时三角形中的几何计算

第3课时三角形中的几何计算[目标]1.记住正弦定理、三角形的面积公式及余弦定理和其推论；2.会用正、余弦定理，三角形的面积公式，余弦定理的推论计算三角形中的一些量．[重点]正、余弦定理、三角形面积公式，余弦定理推论的应用．[难点]探寻解题的思路与方法．知识点一三角形面积公式[填一填]已知△ABC中，a，b，c所对的角分别为A，B，C，其面积为S，则S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)absinC.[答一答]1．已知三角形的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形的面积为eq\f(1,2)(a＋b＋c)r.2．与传统的三角形面积的计算方法相比，用两边及其夹角正弦值之积的一半求三角形的面积有什么优势？提示：主要优势是不必计算三角形的高，只要知道三角形的“基本量”就可以求其面积．知识点二三角形中常用的结论[填一填]①A＋B＝π－C，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)；②在三角形中大边对大角，反之亦然；③任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；④三角形内的诱导公式sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))，sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)，coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).[答一答]3．在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq\r(3)，B＝30°，求a边用正弦定理简单，还是用余弦定理简单？有什么技巧？提示：用余弦定理简单．由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(3eq\r(3))2－2×a×3eq\r(3)cos30°，整理得a2－9a＋18＝0，∴a＝3或a技巧：当三角形中已知两边和其中一边的对角时，①若由已知只求内角，则用正弦定理合适；②若由已知只求边，则用余弦定理合适．知识点三几何计算问题的主要类型[填一填][答一答]4．三角形的两边分别为3cm,5cm，它们所夹角的余弦值为方程5x2－7x－6＝0的根，则这个三角形的面积为6_cm2.解析：方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝2(不符合，舍去)，x2＝－eq\f(3,5)，因此两边夹角的余弦值等于－eq\f(3,5)，并可求得正弦值为eq\f(4,5)，于是三角形面积S＝eq\f(1,2)×3×5×eq\f(4,5)＝6(cm2)．类型一与三角形面积有关的计算问题[例1]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知c＝2，C＝eq\f(π,3).(1)若△ABC的面积等于eq\r(3)，求a，b；(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．[分析]在分析题目的时候要注意三角形面积公式的特点，S＝eq\f(1,2)absinC与c2＝a2＋b2－2abcosC都含有ab，这正是解题的突破口．[解](1)由余弦定理，得a2＋b2－ab＝4，又△ABC的面积等于eq\r(3)，所以eq\f(1,2)absinC＝eq\r(3)，得ab＝4，联立得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4，,ab＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2.))(2)由余弦定理，得a2＋b2－ab＝4，由正弦定理及sinB＝2sinA，得b＝2a联立得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4，,b＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2\r(3),3)，,b＝\f(4\r(3),3)，))所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(2\r(3),3).对于此类问题，一般用公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为多边形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．[变式训练1](1)在△ABC中，S△ABC＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，则C＝eq\f(π,4).解析：由S△ABC＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)得eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，即sinC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).∴sinC＝cosC，即tanC＝1，∴C＝eq\f(π,4).(2)在△ABC中，若B＝30°，AB＝6eq\r(3)，AC＝6，则△ABC的面积是18eq\r(3)或9eq\r(3).解析：由正弦定理，得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，所以sinC＝eq\f(ABsinB,AC)＝eq\f(\r(3),2).因为AB>AC，所以C>B.所以C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°.所以S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝18eq\r(3)；当C＝120°时，A＝30°.所以S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝9eq\r(3).故△ABC的面积是18eq\r(3)或9eq\r(3).类型二三角形中线段长度的计算[例2]如图所示，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝60°，AC＝7，AD＝6，S△ACD＝eq\f(15\r(3),2)，求AB的长．[解]∵AC平分∠DAB，∴∠1＝∠2.∵S△ACD＝eq\f(1,2)AD·AC·sin∠1＝eq\f(15\r(3),2)，∴sin∠1＝eq\f(5\r(3),14).在△ABC中，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠2)＝eq\f(AC,sinB)，∴BC＝eq\f(AC·sin∠2,sinB)＝eq\f(7×\f(5\r(3),14),\f(\r(3),2))＝5.由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，∴72＝AB2＋52－10·AB×eq\f(1,2).整理可得AB2－5AB－24＝0，∴(AB－8)(AB＋3)＝0.∴AB＝8.求线段的长度，先看所求线段在哪个三角形中，然后，结合已知条件利用正弦定理、余弦定理求解.,也可设出线段长度，列方程求解.[变式训练2]如图，在△ABC中，B＝45°，D是边BC上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的长．解：在△ADC中，由余弦定理，得cos∠ADC＝eq\f(AD2＋DC2－AC2,2AD·DC)＝eq\f(25＋9－49,2×5×3)＝－eq\f(1,2)，所以∠ADC＝120°，所以∠ADB＝60°.在△ABD中，由正弦定理，得AB＝eq\f(ADsin∠ADB,sinB)＝eq\f(5×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝eq\f(5\r(6),2).类型三三角形中的证明问题[例3]在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c.求证：eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(sinA－B,sinC).[分析]解答本题可通过正弦定理、余弦定理化边为角或化角为边，即可证明．[证明]证法一：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，得a2－b2＝b2－a2＋2c(acosB－bcosA即a2－b2＝c(acosB－bcosA)，变形得eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(acosB－bcosA,c)＝eq\f(a,c)cosB－eq\f(b,c)cosA.由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)得eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)，eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)，∴eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(sinAcosB－sinBcosA,sinC)＝eq\f(sinA－B,sinC).证法二：eq\f(sinA－B,sinC)＝eq\f(sinAcosB－cosAsinB,sinC)＝eq\f(sinA,sinC)cosB－eq\f(sinB,sinC)cosA.∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(a,c)，eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(b,c)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).代入上式得eq\f(sinA－B,sinC)＝eq\f(a,c)·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)－eq\f(b,c)·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(a2＋c2－b2,2c2)－eq\f(b2＋c2－a2,2c2)＝eq\f(2a2－b2,2c2)＝eq\f(a2－b2,c2).∴等式成立．有关三角形的证明问题，主要涉及三角形的边和角的三角函数关系.从某种意义上看，这类问题就是有目标地对含边和角的式子进行化简的问题，所以解题思路与判断三角形的形状类似：将边化为角或者将角化为边.[变式训练3]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：eq\f(a,b)－eq\f(b,a)＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosB,b)－\f(cosA,a))).证明：由余弦定理的推论得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，代入等式右边，得右边＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2abc)－\f(b2＋c2－a2,2abc)))＝eq\f(2a2－2b2,2ab)＝eq\f(a2－b2,ab)＝eq\f(a,b)－eq\f(b,a)＝左边，∴eq\f(a,b)－eq\f(b,a)＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosB,b)－\f(cosA,a))).1．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积是(C)A．9 B．8C．9eq\r(3) D．18eq\r(3)解析：由题意知A＝180°－120°－30°＝30°.则a＝b＝6，因此S△ABC＝eq\f(1,2)×6×6×sin120°＝9eq\r(3).2．已知△ABC的面积为eq\f(3,2)，且b＝2，c＝eq\r(3)，则A的大小为(A)A．60°或120° B．60°C．120° D．30°或150°解析：由S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA得eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×sinA，所以sinA＝eq\f(\r(3),2)，故A＝60°或120°，故选A.3．在△ABC中，AB＝eq\r(3)，点D是BC的中点，且AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积为eq\f(\r(3),2).解析：因为AB＝eq\r(3)，AD＝1，∠BAD＝30°，所以S△ABD＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×sin30°＝eq\f(\r(3),4).又因为D为BC的中点，所以S△ABC＝2S△ABD＝eq\f(\r(3),2).4．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为eq\r(3).解析：由2B＝A＋C，及A＋B＋C＝π知，B＝eq\f(π,3).在△ABD中，AB＝1，BD＝eq\f(BC,2)＝2，所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcoseq\f(π,3)＝3.因此AD＝eq\r(3).5．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，求△ABC的面积．解：∵AB＝2eq\r(3)，AC＝2，B＝30°，∴根据正弦定理，有sinC＝eq\f(ABsinB,AC)＝eq\f(2\r(3)×\f(1,2),2)＝eq\f(\r(3),2)，又∵AB>AC，∴C>B，则C有两解，(1)当C为锐角时，C＝60°，A＝90°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ACsinA＝2eq\r(3).(2)当C为钝角时，C＝120°，A＝30°，∴S△ABC＝eq\f(