2022-2023学年上海市崇明高一年级下册册期中数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年上海市崇明高一下册期中数学模拟试题

(含解析)

一、填空题

13

1.己知平面向量£=(1,1),5=(1,-1),则向量声-声=.

【答案】(-1,2)

【分析】根据平面向量的坐标运算计算即可.

【详解】因为£=(1,1),^=(1,-1)

所以^〃一万3二5。」)一^。，一1)二(T，2)

故答案为：卜1,2).

ct

2.若a是第三象限角，则三是第象限的角.

【答案】二或四

【分析】根据a是第三象限角，得到万+2br<a<^r+2br,kwZ,再得到］<2乃+%］,

keZ,然后讨论人的奇偶可得答案.

3

【详解】因为a是第三象限角，所以乃+2%乃<夕<二万+2%r,keZ,

2

广广…乃，a3,，〜

所以—Fkjt<—<—7i+kjikeZ、

2249

当人为偶数时，9为第二象限角，

2

当人为奇数时，三a为第四象限角.

2

故答案为：二或四.

【点睛】本题考查了象限角，考查了由角的象限判断半角的象限，属于基础题.

3.已知向量d=(x,x+l),月=(1,2),若.上石,则「=.

2

【答案】

【分析】将转化为存B=o计算即可.

_2

【详解】由题意得2・E=x+2(x+l)=3x+2=0,解得工=一］.

2

故答案为：-§

4.若cosa=-g,a是第三象限的角，则sin(a-£)=.

【答案】①##上正

1010

【分析】计算sina=-31,再利用和差公式计算得到答案.

4I--------3

【详解】因为cosa=—不，二是第三象限的角，所以sina=-，l-cos2。=-7

故答案为：也

10

5.已知向量。=(3,-4),则向量G的单位向量点=

【答案】你司或卜法)

【分析】根据单位向量的定义即可求解.

【详解】由题意可得1=±百=±],

故与£方向相同的单位向量为2=鬻,-±

5嵇5

与Z方向相反的单位向量为/=粼二，

5楸55

故答案为:(|,高或(一线)

6.在48C中，若6=2,8=30。，C=135°,则。=.

【答案】V6-V2

【分析】根据三角形内角关系得角A的大小，再根据两角差的正弦公式求得sin力的值，最后由正弦

定理得边。的值.

【详解】解：在ABC,可得/=180。-8-。=180。-30。-135。=15。，

FV6-A/2

又sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos300-cos45°sin300=-------

°瓜_及

.1x_______

由正弦定理得一j=—勺，所以•=如”=——廿一=娓-母.

sinAsinBsin5£

2

故答案为：A/6--s/2.

7.已知茄为单位向量，其夹角为60，贝iJ(2Z-B)•很=

【答案】0

【详解】仅2-不忸=击看-0=2xlxlxcos60'-F=0.

8.函数〃x)=sin2x,xe]-1多的值域为.

(44」-----

【答案】[-1刀

【分析】根据正弦函数的图象和性质即得.

【详解】因为函数/(x)=sin2x,xe[q与，2xe|^-|,y,

所以sin2xe[-l,l],即函数〃x)=sin2x,xe(-：岑的值域为E』]

故答案为：[-L1].

9.已知向量万=(4,3)和砺=(1,2),则而=(2,-1)用刀和历来表示是

【答案】0A-20B

【分析】设方=2厉+〃无，根据(2,-1)=〃4,3)+M(1,2)可求出结果.

【详解】设方=又刀+〃历,

则(2,-1)=2(4,3)+〃(1,2),

-2=14=23+///2/解得2=1

所以

〃=一2'

所以丽=刀-2而.

故答案为：0A-20B.

10.将函数y=3sin(2x-兀)上的点，先保持纵坐标不变，将横坐标放大为原来的两倍，再向左平移二

4

个单位，得到的函数解析式是.

【答案】y=-3sin(x+：)

【分析】先结合诱导公式化简函数，再根据三角函数图象的伸缩变换与平移变换求得最终函数解析

式即可.

【详解】解：由于y=3sin(2x-7t)=-3sin2x.将横坐标放大为原来的两倍得解析式为y=-3sinx,

再向左平移;个单位，得到的函数解析式为N=-3sin0+：).

故答案为：J7=-3sinfx+—\

II.已知向量为=化12),丽=(4,5),OC=(-/:,10),且A、B、C三点共线，贝壮=

2

【答案】

【分析】先求出存，品的坐标，再根据A、B、C三点共线求出左的值.

【详解】由题得方=砺-方=(4-%,-7),

BC=0C-OB=(-k-4,5),

因为A、B、C三点共线，

所以在=2比，

所以(4-用•5+7(-"4)=0,

所以％=-；2.

故答案为：

【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和共线向量，考查三点共线，意在考查学生对这些知识的理

解掌握水平.

12.已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点4(l,"),B(2,b),且

2

cos2a=y,则|"耳=.

【答案】咚

【解析】由COS2a=|利用二倍角的余弦公式和同角公式可得|tana|=咚，再根据三角函数的定义

^^h=2aS.a=tana,进一步可得的值.

2?

【详解】因为cos2a=§,所以cos?a-sin2a=§,

cos2«-sin2«2l-tan2«2肝21g、i।,V5

所以一2----------=一，所以.....-=-，所以tan«=-,所以|tana|=J

cosa+sina31+tan'a355

因为tana=q=2,所以6=2。，

12

所以Ia-b|=|"2a|=|a|=|tana|=(.

故答案为：冬

【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，考查了同角公式，考查了三角函数的定义，属于基础题.

二、单选题

13.下列函数中是偶函数的是()

A.y=sin2xB.y=-sinx

C.y=sin|x|D.y=sinx+l

【答案】C

【详解】A、B是奇函数，D是非奇非偶函数，C符合q—X）=sin|-x|=sinD=/（x）,

，y=sin|x|是偶函数

14.下列四个命题中，正确的个数是（）

①（H）•（很•］）=（,石>,2②零向量垂直于任何向量

③“a/区”等价于“存在实数2,使得a=2尸④3石>=片.户

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】A

【分析】对于①，根据平面向量数量积的定义运算可知①不正确：：

对于②，零向量不谈垂直问题；

对于③，缺少条件良6;

对于④，03）2=/.庐.852<,石>.

【详解】对于①，等式左边=|Z|-IB1COS<1,3>,cos<反不>,

等式右边=|51-16|•|c|2cos<a,b>,故①不正确；

对于②，零向量的方向是任意的，零向量不谈垂直问题，故②不正确；

对于③，“万/方小#0）”等价于“存在实数4,使得万=花（办6）”,故③不正确；

对于④，（。石）2=求.铲.COS2<G,B>,故④不正确.

故选：A

15.设两万为非零向量，则“存在负数2,使得玩=而”是“零向<0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据共线向量和向量数量积的定义依次判断充分性和必要性即可得到结果.

【详解】若所，万为非零向量，且存在负数义，使得而=2万，则而,万共线且方向相反，

.-.m-n=An2<0,充分性成立；

当而•万<0时，流石的夹角可能为钝角，此时不存在复数2,使得而=/1万，必要性不成立；

，“存在负数2,使得in=而”是“和«<0”的充分不必要条件.

故选：A.

16.设“8C的内角4凤C所对的边分别为瓦。，若6cosc+ccos8=asin/,则/8C的形状为

()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sin｛的值进而

求得A,判断出三角形的形状.

【详解】VbcosC+ccosB=asinA,

由正弦定理得：sin8cosc+sinCeos8=sin(8+0=sinA-sin2A,

JT

••,sinNwO,...sinZ=l,A=-,故三角形为直角三角形，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正

弦，属于基本知识的考查.

三、解答题

17.已知一吗；=7,求下列各式的值:

tana-1

sina-3cosa

（1）------------;

sina+cosa

（2）sin2a+sinacosa+2.

【答案】（1）（2）2.6.

tana

【解析】由=-1求出tana=".

tana-12

（1）由s】na-3cosa分子分母同除以8sa求解;

sina+cosa

（2）将sin2a+sinacosa+2,变形为3sin%+s?acos）+2cos2a再分子分母同除以c°s2a求解

sin-a+cosa

【详解】因为一^^=一1,

tana-1

所以tana=L

2

/八sina-3cosatana-35

（1）=---------r=~";

sma+cosatana+13

（2）sin2a+sinacosa+2,

_3sin2«+sinacosa4-2cos2a

sin2a+cos2a

_3tan2a+tana+2

tan2a+1

31.

一+一+2

-42

4+1

=2.6

18.已知飞机从A地按北偏东30。的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30。的方向飞行

2000km到达。地，再从C地按西南方向飞行1000J5km到达。地.求D地与A地之间的距离.

【答案】100072km

【分析】作图后由几何关系及余弦定理求解.

由题意得"5=8C=2000km,ZABC=60°,所以/C=2000km,

因为N4CD=45。，C。=10000km，

所以/£>=AC2+CD2-2AC-CDcosZACD=100072>

所以=CO=100072，ZCAD=45°,

。地在A地的南偏东45。，。地距A地1000枚km.

19.已知向量M=(sin2x-l,cosx),ft=(l,2cosx).设函数/(%)=万

(1)求函数〃x)的解析式并化简，写出其最小正周期;

⑵求函数/(x)的单调递减区间:

(3)求关于％的方程/(%)=，在区间

上的解集・

OO

71

【答案】⑴〃x)=^sin[2x+=],最小正周期为兀;

4

.71.5兀..

(2)kn+-,lac+—(左eZ)

OO

1.百万37r

⑶—arcsin------,————arcsin

23882

【分析】(1)根据数量积坐标运算及三角恒等变换化简得/")的解析式，再由周期公式求最小正周

期.

JrJr37r

(2)令2版+大42工+:42也+工解得工的范围即为/3的单调递减区间；

242

(3)在xe内解三角方程，用反三角函数表示解集.

OO

【详解】(1)函数/(工)=展另=sin2x-1+2cos2x=sin2x-1+cos2x+\=y[2sin^2x+,

故函数的周期为2?兀=兀.

2

TTTT371兀5兀

(2)令2〃兀+—<2x+—<24兀+—,ZeZ,得E+—+—,

24288

故函数的单调递减区间为[E+2，E+3(kZ).

(3)由f(x)=得sin(2x+：)='

因为xe-,所以2X+；W[0,2TT],

_88J4L」

所以2x+'=arcsin—或2x+色=兀-arcsin—,

4343

故所求解集为‘〈arcsin喙者-garcsin乎].

23oo23I

20.已知向量a=(cosa,sina),否=(cos/7,sin。)，,一q=2^.

(1)求cos(a-/?)的值；

(2)若0<。<—,---</?<0,且sin〃=—二，求sina的值.

2213

【答案】⑴g3(2)3三3.

565

【分析】(1)结合平面向量减法以及模长的坐标公式可得小cosa-cos夕『+(sina-sin夕y=~^~9

进而通过两边同时平方以及同角的平方关系以及两角差的余弦公式的逆用即可求出结果；

(2)结合角范围以及同角的平方关系求出sin(a-夕)和cos/的值，进而利用两角和的正弦公式凑角

即可求出结果.

【详解】(1)因为向量〃=(cosa,sina),i=(cos/?,sin/?),

所以a—5=(cosa-cos夕,sina-sin/?),

又因为卜一目=^^,所以J(cosa-cos/y+(sina-sin夕了=~~^~9

cos2a+cos2p-2cosacosp+sin2a+sin2p-2sinasin0,

47

即2-2cos(a=—,所以cos(a-夕)=—；

(2)因为-y<y9<0,所以0<a-/?<4,

I-------------------4

所以sin(a-Q)=Jl-cos2(a—/)=《,

又因为5山夕=一得，所以cos£=Jl—sit?夕=£•

所以sina=sin[(a—/)+夕]=sin(a-4)cos/?+cos(a-4)sinp

4123