2024年辽宁省沈阳市皇姑区一模考前数学摸底卷

2024中考辽宁省沈阳市皇姑区一模考前数学摸底卷一．选择题（共10小题。共30分）1．要使x-13有意义，则xA．x≤0 B．x≥1 C．x≥0 D．x≤12．下列水平放置的几何体中，主视图是圆形的是（）A．B． C． D．3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．下列运算正确的是（）A．a2•a4＝a8B．（﹣3a4）2＝6a6 C．4a6÷2a2＝2a4 D．a0＝15．如图，从一个大正方形中截去面积为3cm2和12cm2的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（）A．49 B．59 C．25 5题7题6．如果m2﹣m＝2，那么代数式m（m+2）+（m﹣2）2的值为（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．87．如图所示，一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M（1，2），下列判断错误的是（）A．关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1 B．关于x的不等式mx＜kx+b的解集是x＞1 C．当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大 D．关于x，y的方程组y-mx=08．放学后，小万到学习用品店购买笔记本和中性笔，共花费56元，已知笔记本的单价是8元，中性笔的单价是2元，小万购买中性笔的数量再多两支就是笔记本的两倍，设小万购买笔记本的数量为x，则可列方程为（）A．8x+2×2x＝56 B．8x+2（2x﹣2）＝56 C．8x+2（2x+2）＝56 D．8x+2（x+2）＝569．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，3），以OA，OC为边作矩形OABC．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动．当移动时间为4秒时，AC•EF的值为（）A．10 B．910 C．15 D．3010．如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（）A．80° B．85° C．90° D．95°9题10题二．填空题（共5小题，共15分）11．因式分解：﹣a2x2+8a2x﹣16a2＝．12．关于x的方程x2+（a﹣1）x+4＝0有两个相等实根，则实数a＝．13．如图，在平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A为直线y＝2x+1上一动点，过A作AC⊥x轴，交x轴于点C（点C在原点右侧），交双曲线y=1x于点B，且AC+BC＝4，则当△OAB存在时，其面积为14．如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第5条直线与x轴交点的横坐标是．13题14题15题15．如图，在直线l：y＝x﹣4上方的双曲线y=2x（x＞0）上有一个动点P，过点P作x轴的垂线，交直线l于点Q，连接OP，OQ，则△POQ面积的最大值是三．解答题（共8小题，共75分）16．（10分）（1）计算：（﹣2）2+|﹣3|+12+(-12)17．（8分）学校为了“弘扬传统文化，阅读经典名著”，计划给学校图书馆添置书籍，已知购买3本《论语》和5本《诗经》共需140元，购买8本《论语》和1本《诗经》共需176元．（1）求每本《论语》和每本《诗经》各多少元？（2）学校决定购买《论语》和《诗经》共200本，总费用不超过3500元，那么该学校最多可以购买多少本《论语》？18．（8分）随着电子技术的飞速发展，“提笔忘字”现象越来越严重．但是我们始终应该明白：科技发展的再快，我们都不应该放下手中的笔，牢牢握住中华文明的精髓，将中国的文字文化传承下去，不忘初心！为此，某中学共选取了5组常用但笔画略显复杂的汉字，举办了“汉字听写大赛”，为了解九年级学生的汉字听写情况，现从参赛的学生中随机抽取了50名九年级学生的比赛成绩（写对的组数），并绘制了如下尚不完整的统计图．根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）本次所抽取学生成绩的中位数是，请计算本次所抽取学生成绩的平均数；（3）若该校九年级共有200名学生参加了此次听写大赛，请估计将5组汉字全部写对的学生有多少名？19．（8分）2020年5月，全国两会召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，雅苑社区拟建A，B两类摊位以激活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为50元，建B类摊位每平方米的费用为40元，用120平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的23（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A，B两类摊位共100个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的4倍，求建造这100个摊位的最大费用．20．（8分）如图：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AO平分∠BAC，点E在AB上，OE＝OC，以O为圆心，OB长为半径作⊙O．（1）判断AC与⊙O的位置关系，说明理由；（2）若AB＝6，EB＝4，求tan∠OAC的值．21．（8分）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB＝AC＝AD，测得∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m．（结果保留小数点后一位）（1）连接CD，求证：DC⊥BC；（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）22．（8分）根据以下素材，探索完成任务．绿化带灌溉车的操作方案素材1一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点．素材2路边的绿化带宽4米素材3绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人给树木“打针”．针一般打在离地面1.5米到2米的高度（包含端点）．问题解决任务1确定上边缘水流形状建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式．任务2探究灌溉范围灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请说明理由．任务3拟定设计方案灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针筒容易造成针筒脱落．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针“是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围．23．（8分）【问题初探】（1）在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC．点D在△ABC外，连接AD，BD，CD，且∠BDC＝∠BAC．过A作AE⊥BD于点E．求证：BE＝CD+DE．①如图2，小辉同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BD上截取BF＝CD，连接AF，将线段BE，CD，DE之间的数量关系转化为线段DE与EF之间的数量关系．②如图3，小龙同学从AE⊥BD于点E这个条件出发给出另一种解题思路：过A作AG⊥CD交CD延长线于点G，将线段BE，CD，DE之间的数量关系转化为线段BE与CG之间的数量关系．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．【类比分析】（2）张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的数量关系转化为证明两条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师提出下面的问题，请你解答．如图4，△ABC为等边三角形，△ACD是等腰直角三角形，其中AC＝AD，∠CAD＝90°，AE是CD边上的中线，连接BD交AE与点F．求证：BF＝AF+DF．【学以致用】（1）如图5，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，过B作BE⊥CD交CD延长线于点E，延长EB至点F，连接CF，使∠BCF＝∠ABE，连接AF交CD于点G，若BE=83，CE=22参考答案一．选择题（共10小题）1．B．2．C．3．D．4．C．5．A．6．D．7．B．8．B．9．D．10．B．二．填空题（共5小题）11．﹣a2（x﹣4）2．12．5或﹣3．13．1．14．10．15．3．三．解答题（共8小题）16．（1）8+23；（2）1＜x≤2．17．解：（1）设购买每本《论语》需要x元，购买每本《诗经》需要y元，依题意，得：3x+5y=1408x+y=176解得：x=20y=16答：购买每本《论语》需要20元，购买每本《诗经》需要16元．（2）设该学校购买m本《论语》，则购买（200﹣m）本《诗经》，依题意，得：20m+16（200﹣m）≤3500，解得：m≤75．答：该学校最多可以购买75本《论语》．18．解：（1）对3组人数为：50﹣3﹣5﹣10﹣15﹣7＝10，补全条形统计图如图所示：（2）本次所抽取学生成绩的中位数是3+32=0×3+1×5+2×10+3×10+4×15+5×750即本次所抽取学生成绩的平均数为3．故答案为：3；(3)200×7∴估计将5组汉字全部写对的学生有28名．19．解：（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，依题意得：120x+2解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意，∴x+2＝4+2＝6．答：每个A类摊位占地面积为6平方米，每个B类摊位的占地面积为4平方米．（2）设建A类摊位a个，建造这100个摊位的费用为y元，则建B类摊位（100﹣a）个，依题意得：y＝6a×50+4×40（100﹣a）＝140a+16000，∵140＞0，∴y随a的增大而增大．∵100﹣a≥4a，解得：a≤20，∴当a取20时，费用最大，最大费用为140×20+16000＝18800（元）．答：建造这100个摊位的最大费用是18800元．20．解：（1）AC与⊙O切线，理由：过点O作OF⊥AC于F，如图所示：∵∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵OF⊥AC，AO平分∠BAC，∴OF＝BO，∴OF是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）在Rt△ABO与Rt△AFO中，OB=OFAO=AO∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL），∴AF＝AB＝6，∵OE＝OC，∴Rt△BEO≌Rt△FCO（HL），∴CF＝BE＝4，∴AC＝10，∴BC=AC∵OB2+BE2＝OE2，∴OB2+42＝（8﹣OB）2，∴OB＝3，∵∠OAC＝∠OAB，∴tan∠OAC＝tan∠OAB=OB21．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵∠B+∠ACB+∠ADC+∠ACD＝180°，∴2∠ACB+2∠ACD＝180°，∴∠ACB+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝90°，∴DC⊥BC；（2）解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，在Rt△DCB中，∠B＝55°，BC＝1.8m，∴BD=BCcos55°≈∵DE＝2m，∴BE＝BD+DE=9819（在Rt△BEF中，EF＝BE•sin55°≈9819×0.82≈4.2∴雕塑的高约为4.2m．22．解：（1）∵上边缘抛物线的顶点坐标为（﹣3，2.5），∴设上边缘抛物线的函数表达式为y＝a（x+3）2+2.5，将（0，1.6）代入得1.6＝9a+2.5，解得a=-∴y=-110（x+3）（2）上边缘抛物线的表达式：y=-110（x+3）将y＝0代入得0=-110（x+3）解得x1＝2（舍去），x2＝﹣8，∵下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点，∴下边缘抛物线的表达式：y=-110x将y＝0代入得0=-110x解得x1＝4（舍去），x2＝﹣4，∵路边的绿化带宽4米，﹣4﹣（﹣8）＝4（米），∴灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带；（3）根据题意得，将x＝﹣6代入y=-110（x+3）y＝1.6＞1.5，∴有影响，设针打在离地面h米的高度不受影响，则1.6＜h≤2．23．（1）解：①选择小辉同学的思路，证明：如图1，在BD上截取BF＝CD，连接AF，∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠COD，∴∠ABF＝∠ACD，又∵AB＝AC，BF＝CD，∴△ABF≌△ACD（SAS），∴AF＝AD，∵AE⊥DF，∴FE＝DE，∵BE＝BF+EF，∴BE＝CD+DE．②选择小龙同学的思路，证明：如图2，过A作AG⊥CD交CD延长线于G，∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠COD，∴∠ABE＝∠ACD．∵AE⊥BD于E，AG⊥CD于G，∴∠AEB＝∠G＝90°，又∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACG（AAS），∴BE＝CG，AE＝AG，又∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌△Rt△ADG（HL），∴DE＝DG，∴BE＝CG＝CD+DG＝CD+DE；（2）证明：如图3，在BF上截取BH＝DF，连接AH，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，△ACD为等腰直角三角形，AC＝AD，∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°+90°＝150°，AB＝AD，∴∠ABD=又∵BH＝DF，∴△ABH≌△ADF（SAS），∴AH＝AF，∵AE是CD边上的中线，∴AE平分∠CAD，∴∠DAE＝45°，∴∠AFH＝∠ADB+∠DAE＝15°+45°＝60°，∴△AHF是等边三角形，∴AF＝HF，∴BF＝HF+BH＝AF+DF；（3）解：如图4，过A