2023年浙江省宁波市中考一模数学模拟试题

浙江省宁波市2023年中考一模数学解答压轴题汇编1．（2023·浙江宁波·统考一模）甲开车从A地前往B地送货，同时，乙从C地出发骑车前往B地，C在A，B两地之间且距离A地15千米．甲到达B地后以相同的速度立马返回A地，在A地休息半小时后，又以相同的速度前往B地送第二批货，乙出发后4小时遇上送货的甲，乙让甲捎上自己（上下车时间忽略不计），甲载上乙后以原速前进．甲、乙两人距离B地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．(1)求甲第一次送货前往B地时，甲距离B地的路程y关于x的函数表达式．(2)问在乙距离B地多远时，甲载上了乙？(3)问乙比原计划早到多少时间？2．（2023·浙江宁波·统考一模）（1）【基础巩固】如图1，在△ABC中，D为BC上一点，连结AD，E为AD上一点，连结CE，若∠BAD=∠ACE，CD=CE，求证：△ABD∽△CAE．（2）【尝试应用】如图2，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为OC上一点，连结BE，∠CBE=∠DCO，BE=DO，若BD=12，OE=5，求AC（3）【拓展提升】如图3，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BC中点，F为DC上一点，连结OE、AF，∠AEO=∠CAF，若DFFC=53，3．（2023·浙江宁波·统考一模）如图1，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD交BA的延长线于点D，连结AC，BC．(1)求证：∠DCA=∠ABC．(2)求证：AC⋅DC=CB⋅DA．(3)如图2，弦CE平分∠ACB交AB于点F．①若点F为DB的中点，AB=15，求CE的长．②设tan∠DCA=x，CFCE=y，求y4．（2023·浙江宁波·统考一模）如图1，有一块边角料ABCDE，其中AB，BC，DE，EA是线段，曲线CD可以看成反比例函数图像的一部分．小宁想利用这块边角料截取一个面积最大的矩形MNQP，其中M，N在AE上（点M在点N左侧），点P在线段BC上，点Q在曲线CD上．测量发现：∠A=∠E=90°，AE=5，AB=DE=1，点C到AB，AE所在直线的距离分别为2，4．(1)小宁尝试建立坐标系来解决该问题，通过思考，他把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为−1,0；点B的坐标为−1,1．请你在图2中补全平面直角坐标系并画出图形ABCDE；(2)求直线BC，曲线CD的解析式；(3)求矩形MNQP的最大面积．5．（2023·浙江宁波·统考一模）【基础巩固】(1)如图1，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AB=AD．求证：∠ACB=∠ACD；【迁移运用】(2)如图2，在（1）的条件下，取AB的中点E，连接DE交AC于点F，若∠AFE=∠ACD，EF=23，求DF【解决问题】(3)如图3，四边形ABCD中，AD=CD，∠ADC=90°，在BC上取点E，使得DE=DC，恰有BE=AB．若AD=310，CE=6，求四边形ABCD6．（2023·浙江宁波·统考一模）如图1，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，点P为AC上的一点，连接PE并延长交⊙O于点Q，连接DQ，过点P画PF∥DQ交DC的延长线于点F．若⊙O的直径为10，OE=3．(1)求CD的长；(2)如图2，当∠PQD=90°时，求∠PEC的正切值；(3)如图1，设PE=x，①求y关于x的函数解析式；②若PF×DQ=20，求y的值．7．（2023·浙江宁波·统考一模）某景区有两个景点需购票游览，售票处出示的三种购票方式如下：方式1：只购买景点A，30元/人；方式2：只购买景点B，50元/人；方式3：景点A和B联票，70元/人．预测，四月份选择这三种购票方式的人数分别有2万、1万和1万．为增加收入，对门票价格进行调整，发现当方式1和2的门票价格不变时，方式3的联票价格每下降1元，将有原计划只购买A门票的400人和原计划只购买B门票的600人改为购买联票．(1)若联票价格下降5元，则购买方式1门票的人数有_________万人，购买方式2门票的人数有_________万人，购买方式3门票的人数有_________万人；并计算门票总收入有多少万元？(2)当联票价格下降x（元）时，请求出四月份的门票总收入w（万元）与x（元）之间的函数关系式，并求出联票价格为多少元时，四月份的门票总收入最大？最大值是多少万元？8．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，AD是锐角△ABC中BC边上的高，将△ABD沿AB所在的直线翻折得到△ABE，将△ADC沿AC所在的直线翻折得到△AFC，延长EB，FC相交于点P．(1)如图1，若∠BAC=45°，求证：四边形AEPF为正方形；(2)如图2，若∠BAC=55°，当△PBC是等腰三角形时，求∠BAD的度数；(3)如图3，连结EF，分别交AB，AC于点G、H，连结BH交AD于点M，若∠BAC=60°，①求∠PEF=_________度；②若AB=10，CH=1，求△ABM的面积．9．（2023·浙江宁波·统考一模）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．先观察下图，直线l1∥l2，点A，B在直线l2上，点C1，C2，C3，C4在直线l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。【基础巩固】如图1，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥【尝试应用】如图2，在半径为5的⊙O中，BD＝CD，∠ACO＝2∠BDO，cos∠BOC＝【拓展提高】如图3，AB是⊙O的直径，点P是OB上一点，过点P作弦CD⊥AB于点P，点F是⊙O上的点，且满足CF＝CB，连接BF交CD于点E，若BF＝8EP，10．（2023·浙江宁波·统考一模）乌馒头是江北慈城地方特色点心，用麦粉发酵，再掺以白糖黄糖，蒸制而成．因其用黄糖，颜色暗黄，所以称之谓“乌馒头”．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且销售单价为18元/盒时，日销售纯利润为1180元．销售单价x（元/盒）1513日销售量y（盒）500700(1)求乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式；(2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗．端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客．在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为1480元？(3)当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润．11．（2023·浙江宁波·统考一模）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D是BC的中点，E是AC的一个三等分点，且AE=13AC．连接AD，BE交于点G，则AG:GD=【尝试应用】（2）如图2，在△ABC中，E为AC上一点，AB=AE，∠BAD=∠C，若AD⊥BE，CE=1，AE=3，求AD的长．【拓展提高】（3）如图3，在▱ABCD中，F为BC上一点，E为CD中点，BE与AC，AF分别交于点G，M，若∠BAF=∠DAC，AB=AG，BF=2，BM=2MG，求AM的长．12．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，等腰△ABC内接于⊙O，其中AB=BC，点D在AB上运动，AD=BE，DE分别交AB、BC于点P、Q，CD交AB于点(1)求证：BD=(2)连结AE，当AE为⊙O的直径时，①求证：CD⊥AB．②连结QM，若MQ∥AE，求tan∠EAC③连结CE，设PQPD=x，CEPM=y，请直接写出13．（2023·浙江宁波·统考一模）有一块形状如图1的四边形余料ABCD，AB=6，AD=2，∠A=90°，∠D=135°，tan∠B=2，要在这块余料上截取一块矩形材料，其中一条边在AB(1)如图2，若所截矩形材料的另一条边AE在AD上，设AE=x，矩形AEFG的面积为y，①求y关于x的函数表达式．②求矩形面积y的最大值．(2)能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．14．（2023·浙江宁波·统考一模）（1）[证明体验]如图1，在△ABC中，D为AB边上一点，连接CD，若∠ACD=∠ABC，求证：AC（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=60°，BC=2，D为AB边上一动点，连接CD，E为CD中点，连接BE①[思考探究]如图2，当∠ACD=∠DBE时，求AD的长．②[拓展延伸]如图3，当∠DEB=30°时，求AD的长．15．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，AC为直径，E为AD上一动点，连接BE交AC于点G，交AD于点F，连接DE．(1)设∠E为α，请用α表示∠BAC的度数．(2)如图1，当BE⊥AD时，①求证：DE=BG．②当tan∠ABE=34(3)如图2，当BE过圆心O时，设tan∠ABE=x，BFEF=y，求y16．（2023·浙江宁波·统考一模）对于抛物线y=ax(1)若抛物线过点4,3，①求顶点坐标；②当0≤x≤6时，直接写出y的取值范围为_______；(2)已知当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值．17．（2023·浙江宁波·统考一模）已知E在△ABC内部（如图①），等边三角形ABC的边长为6，等边三角形BDE的边长为4，连接AE和DC．(1)求证：AE=DC；(2)当AE⊥BD时，求CD的长；(3)将△BDE绕点B旋转一周，F为DC的中点（如图②），求旋转过程中EF18．（2023·浙江宁波·统考一模）定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线.如图①，在四边形ABCD中，若S△ABC=S△ADC，则四边形ABCD为倍分四边形，(1)判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×．①平行四边形是倍分四边形（

）②梯形是倍分四边形（

）(2)如图①，倍分四边形ABCD中，AC是倍分线，若AC⊥AB，AB=3，AD=DC=5，求BC；(3)如图②，△ABC中BA=BC，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点N、M，已知四边形BCMN是倍分四边形．①求sinC②连结BM，CN交于点D，取OC中点F，连结MF交NC于E（如图③），若OF=3，求DE．19．（2023·浙江宁波·统考一模）如图①所示，在A、B两地之间有一车站C，甲车从A地出发经C站驶往B地，乙车从B地出发经C站驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离C站的路程，y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．（1）填空：a的值为，m的值为，AB两地的距离为km．（2）求m小时后，乙车离C站的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式．（3）请直接写出乙车到达A地前，两车与车站C的路程之和不超过300km时行驶时间x的取值范围．20．（2023·浙江宁波·统考一模）新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段．问题探究：(1)如图1，等边△ABC边长为3，垂直于BC边的等积垂分线段长度为______；(2)如图2，在△ABC中，AB=8，BC=63，∠B=30°，求垂直于BC(3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=BC=6，AD=3，求出它的等积垂分线段长．21．（2023·浙江宁波·统考一模）△ABC内接于⊙O，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交⊙O于点D，连接BD，已知BC=6，∠BAC=α(1)连接BI，CI，则∠BIC=______（用含有α的代数式表示）(2)求证：BD=DI；(3)连接OI，若tanα2=(4)若tanα2=33浙江省宁波市2023年中考一模数学解答压轴题汇编（解析版）1．(1)y=−60x+75(2)在乙距离B地15km(3)乙比原计划早到1312【分析】（1）根据函数图象可得A、B两地间的路程为60+15=75千米，进而得出甲第一次到达B地用时，得出甲第一次送货去B地的函数图象经过(0,75)，(1.25,0)．进而待定系数法求解析式即可求解；（2）甲第二次送货的函数图象经过(3,75)，根据速度不变，设甲第二次送货的函数表达式为y=−60x+m．待定系数法求解析式，当x=4时，y=15，即可求解；（3）把y=0代入y=−60x+255，得x=174．设乙的函数表达式为y=nx+60．待定系数法求解析式得出y=−454x+60【详解】（1）由题意得，A、B两地间的路程为60+15=75千米，甲第一次到达B地用时2.5÷2=1.25小时．∴甲第一次送货去B地的函数图象经过(0,75)，(1.25,0)．设甲第一次送货去B地的函数表达式为y=kx+75，把(1.25,0)代入y=kx+75，得0=1.25k+75，解得k=−60，∴y关于x的函数表达式为y=−60x+75(0≤x≤1.25)．（2）甲第二次送货的函数图象经过(3,75)，∵甲送货的速度不变，∴设甲第二次送货的函数表达式为y=−60x+m．把(3,75)代入y=−60x+m，得75=−60×3+m，解得m=255，∴甲第二次送货的函数表达式为y=−60x+255．当x=4时，y=15，答：在乙距离B地15km（3）把y=0代入y=−60x+255，得0=−60x+255，解得x=17∵乙的图象经过点(0,60)，∴设乙的函数表达式为y=nx+60．把(4,15)代入y=nx+60，得15=4n+60，解得：n=−45∴y=−令y=0，即0=−解得x=16∴乙比原计划早到时间为163答：乙比原计划早到13122．（1）见解析；（2）18；（3）菱形ABCD的边长为2【分析】（1）根据CD=CE得出，∠ADB=∠CEA，根据等角的补角相等得出∠ADB=∠CEA，结合已知条件，即可证明△ABD∽△CAE；（2）证明△BEC∽△COD，设OC=x，则CE=OC−OE=x−5．得出OC=9，则AC=2OC=18；（3）延长AG，BC，交于点G．设DF=5t，FC=3t，则CD=8t．证明△CGF∽△DAF，得出CG=245t，由（1）得，△AOE∽△GCA【详解】（1）解：∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED．∴∠ADB=∠CEA．∵∠BAD=∠ACE∴△ABD∽△CAE．（2）在平行四边形ABCD中，BO=DO=1∴BE=DO=BO=6．∴∠BEO=∠BOE．∴∠BEC=∠COD．∵∠CBE=∠DCO，∴△BEC∽△COD．∴COBE设OC=x，则CE=OC−OE=x−5．∴x6=6x−5．解得∴OC=9．∴AC=2OC=18．（3）延长AG，BC，交于点G．∵DFFC∴设DF=5t，FC=3t，则CD=8t．在平行四边形ABCD中，AB=AD=BC=CD=8t，∵O为AC的中点，∴AO=1∵AD∥∴△CGF∽△DAF．∴CGAD即CG8t∴CG=24∵E为BC的中点，O为AC的中点，∴OE=12AB∴OE=CE=4t．∵∠AEO=∠CAF，∴由（1）得，△AOE∽△GCA．∴OECA即4t6∵t>0，∴t=15∴AB=AD=BC=CD=8t=215即菱形ABCD的边长为2153．(1)见解析(2)见解析(3)①9210；【分析】（1）连结OC，根据切线的性质得出∠DCA+∠ACO=∠DCO=90°，根据直径所对圆周角是直角，得出∠BCO+∠ACO=∠ACB=90°，等量代换得出∠DCA=∠BCO，又根据半径相等得出∠ABC=∠BCO，进而得出∠DCA=∠ABC；（2）由（1）得∠DCA=∠ABC，进而证明△ACD∽△CBD，根据相似三角形的性质即可得证；（3）①连结OE，BE．根据已知得出∠DCF=∠DFC，DC=DF，由（2）得△ACD∽△CBD，得出DA=13AB=5，DF=DC=10．在Rt△ABC中，AC:BC:AB=1:2:5，求得OB=OE=152②由（1）得ACCB=tan∠ABC=tan∠DCA=x，设CB=t，则AC=xt，进而表示出AB2，EB2，根据【详解】（1）解：连结OC．∵DC是⊙O的切线，∴∠DCO=90°，即∠DCA+∠ACO=∠DCO=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠BCO+∠ACO=∠ACB=90°．∴∠DCA=∠BCO．∵OC=OB，∴∠ABC=∠BCO．∴∠DCA=∠ABC．（2）由（1）得∠DCA=∠ABC，∵∠D=∠D，∴△ACD∽△CBD．∴DADC∴AC⋅DC=CB⋅DA．（3）①连结OE，BE．∵弦CE平分∠ACB，∠ACB=90°，∴∠ACF=∠FCB=1∵∠DCA=∠ABC，∴∠DCA+∠ACF=∠FCB+∠ABC，即∠DCF=∠DFC．∴DC=DF．∵点F为DB的中点，∴DC=DF=1由（2）得△ACD∽△CBD，∴DADC=DC∴DAAB∴DA=13AB=5∴AF=5．∵ACBC在Rt△ABC中，AC:BC:AB=1:2:∵AB=15，∴AC=35，BC=6∵∠ECB=45°，∴∠EOB=2∠ECB=90°．∵OB=OE=15∴△OBE是等腰直角三角形．∴BE=15∵∠ACF=∠ECB，∠CAF=∠CEB，∴△ACF∽△ECB．∴ACCE∴CE=AC⋅EB②由（1）得ACCB设CB=t，则AC=xt，∴AB∴EB∵△EBF∽△ECB，∴EBEC∴EC⋅EF=EB∵△ACF∽△ECB∴AC∴EC⋅CF=AC⋅CB．∴EFCF∴CECF∴CFCE即y=2x4．(1)见解析(2)y=32(3)当m=−56时，矩形MNQP【分析】（1）根据已知条件建立平面直角坐标系，在图中描出相应的点即可；（2）设直线BC的解析式为y=kx+bk≠0，CD的解析式为y=kx，将点B，C两点代入即可求出直线BC的解析式，将C（3）设点M的横坐标为m，则点P坐标为m,32m+52，表示出MP=32m+5【详解】（1）解：如图（2）设直线BC的解析式为y=kx+bk≠0，将点B−1,1，C1,4代入得直线BC由点C1,4得曲线CD的解析式为：y=（3）如图，设点M的横坐标为m，则点P坐标为m,3∴MP=3∵四边形MNQP是矩形，∴QN=MP=3∴点Q坐标为83m+5设矩形MNQP的面积为S，∴S=MP×PQ=8∴当m=−56时，矩形MNQP的面积的最大值为5．(1)见解析(2)DF=4(3)S【分析】（1）证明△ABC≌△ADC，得出∠ACB=∠ACD即可；（2）根据全等三角形的性质得出BC=DC，∠ACB=∠ACD，根据平行线的判定得出EF∥BC，证明△AEF∽△ABC，得出AEAB=EF（3）连接BD，AC，证明△ABD≌△EBD，得出∠BAD=∠BED，证明∠ABC=360°−180°−90°=90°，设AB=EB=x，根据勾股定理得出AB2+BC2【详解】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠ACB=∠ACD．（2）解：∵△ABC≌△ADC，∴BC=DC，∠ACB=∠ACD，∵∠AFE=∠ACD，∴∠AFE=∠ACB，∴EF∥∴△AEF∽△ABC，∴AEAB∵E是AB的中点，∴BC=2EF=2×23∵∠DFC=∠AFE=∠ACB=∠ACD，∴DF=CD=BC=43（3）解：如图，连接BD，AC，∵AB=EB，BD=BD，DA=DC=DE，∴△ABD≌△EBD，∴∠BAD=∠BED，∵DE=DC，∴∠DEC=∠C，∵∠BED+∠DEC=180°，∴∠BAD+∠C=180°，∵∠ADC=90°，∴∠ABC=360°−180°−90°=90°，设AB=EB=x，根据勾股定理得：AB∴x2解得x=6（负值舍去），∴S四边形6．(1)8(2)3(3)①y=x24【分析】（1）连接OD，根据垂径定理和勾股定理即可求解；（2）连接PD，PC．得到PD是⊙O的直径，∠PCD=90°．在Rt△PCD（3）①证明△PCE∽△FPE，利用相似三角形的性质即可求解；②证明△PCE∽△FPE和△PCE∽△DQE，推出，PC2=PF×DQ=20，求得PC=25，得到cos∠PAB=cos∠COE=35【详解】（1）解：如图，连接OD．∵直径AB⊥CD，∴∠AED=90°，CE=DE．∴OD2=D∴DE=4．∴CD=8；（2）解：如图，连接PD，∵∠PQD=90°，∴PD是⊙O的直径，∴∠PCD=90°．在Rt△PCD中，PC=∴tan∠PEC=（3）解：①如图，连接CP．∵PF∥DQ，∴∠D=∠F．∵∠D=∠CPE，∴∠CPE=∠F．∵∠PEF=∠CEP，∴△PCE∽△FPE．∴PEFE∴PE∴x2∴y=x②如图，连接BC，∵△PCE∽△FPE，∴PCPF=∵∠PQD=∠PCE，∴△PCE∽△DQE，∴PCDQ=①×②得，PCDQ∵CE=DE，∴PC∴PC=25在Rt△BCE中，BC=∴PC=BC，∴PC=∴cos∠PAB=连接PA，∵AB是直径，∴∠APB=90°．∴PA=AB×cos过点P作PH⊥AB于点H，AH=PA×cos∴PH=24∴EH=AE−AH=32在Rt△PHE中，P∴y=x7．(1)1.8；0.7；1.5；186.5万元(2)w=−0.1x2+1.8x+180；票价格为61【分析】（1）根据数量关系直接求解即可；（2）根据（1）可列出函数解析式，然后求二次函数的最大值即可．【详解】（1）由题可知：若联票价格下降5元，购买方式1门票的人数有：20000−5×400=18000（元），即1.8万元；购买方式2门票的人数有：10000−5×600=7000（元），即0.7万元；购买方式3门票的人数有：10000+5×600+5×400=15000（元），即1.5万元；门票总收入有：1.8×30+0.7×50+1.5×(70−5)=186.5（万元）．（2）由题可知：w=(2−0.04x)×30+(1−0.06x)×50+(1+0.06x+0.04x)×(70−x)=−0.1∴对称轴所在的直线x=−1.8∴当x=9时，联票价格为61元，wmax答：四月份的门票总收入w（万元）与x（元）之间的函数关系式为w=−0.1x2+1.8x+180，联票价格为618．(1)见解析(2)27.5°，20°或35°(3)①60；②35【分析】(1)根据折叠的性质知而∠EAF=2∠BAC=90°，∠E=∠F=90°，由此可证得四边形AEPF是矩形；而AD=AE=AF，所以四边形AEPF是正方形；(2)利用翻折先求出∠P=70°，再对等腰三角形进行分类讨论即可求得答案；(3)①利用利用等腰三角形求出∠AEF=∠AFE=30°，然后∠PEF=∠AEB−∠AEF=90°−30°=60°即可得解；②利用相似三角形的判定和性质证明求出BM=14【详解】（1）解：∵∠BAC=45°，且△ABE和△ACF分别是由Rt△ABD和Rt△ACD翻折得到∴∠EAF=2∠BAC=90°，∠E=∠F=90°∴四边形AEPF为矩形又∵AD=AE=AF，∴四边形AEPF为正方形．（2）设∠BAD=a，则∠ABD=∠ABE=90°−a，∴∠PBC=180°−290°−a而∠P=360°−90°−90°−2×55°=70°∵△PBC是等腰三角形∴当PB=PC时，2a+2a+70°=180°∴a=27.5°当BP=BC时，2a+70°+70°=180°∴a=20°当CP=CB时，2a=70°∴a=35°∴∠BAD为27.5°，20°或35°（3）①由(1)知∠EAF=2∠BAC=2×60=120°,AE=AF,∠AEB=90°∴∠AEF=∠AFE=30°∴∠PEF=∠AEB−∠AEF=90°−30°=60°故答案为：60；②∵∠EGB=∠AGH，∠GEB=∠GAH，∴△EGB∴GE又∵∠AGE=∠HGB，∴△AGE~△HGB∴∠GBH=∠GEA=∴∠AHB=180°−∴AH=12∵∠MAH=90°−∠ACB=∠CBH，∠AHM=∠BDM=90°∴△AMH∽∴MHHC=AHBH∴BM=BH−MH=5∴S9．[教材呈现]：面积相等，理由见解析；[基础巩固]：14；[尝试应用]：S【分析】[教材呈现]根据平行线与三角形的面积公式解答即可；[基础巩固]连接OC、OD，设⊙O的半径为r，利用正方形的性质得MN∥BC，根据三角形面积公式得S△AON=S[尝试应用]连接AO，过点O作OH⊥AB于点H，由BD=CD，BO=CO，DO=DO可得△BDO≌△CDO，得出∠BDO=∠CDO，即可得∠BDC=∠BAC=2∠BDO，由∠ACO=2∠BDO可得∠BAC=∠ACO，再由CO∥AB得出[拓展提高]连接DF，BD，OD，先由垂径定理得出BC=BD，CP=PD，从而可得FC=【详解】∵△ABC1，△ABC2，∴S[基础巩固]连接OC、OD∵AD∥MN∴S同理，S∴S∴阴影面积与圆面积的比为14[尝试应用]连接AO，过点O作OH⊥AB于点H∵BD=CD∴△BDO∴∠BDO=∠CDO∴∠BDC=∠BAC=2∠BDO∵∠ACO=2∠BDO∴∠BAC=∠ACO∴CO∴∠ABO=∠BOC，S∴BH=OB×cosAB=2AH=10x，OH=51−∴S[拓展提高]连接DF∵AB为直径，CD⊥AB于点P∴BC=BD又∵CF=CB∴FC∴∠BFD=∠CBF，FCB∴BC∥DF，BF=CD设EP=a，则CD=8a∵FC∴∠DCB=∠CBF∴BE=CE=3a，PB=∵BC∥DF∴S∴S∴1∴a=∴PB=4，PD=4在Rt△ODP中，O设⊙O半径为r，则r−4解得r=6∴⊙O的半径为610．(1)y=−100x+2000(2)当乌馒头每盒降价3元时，商店每天获利为1480元(3)当销售单价定为16元/盒时，日销售纯利润最大，最大纯利润为1580元【分析】（1）设y=kx+b，根据表格即可求解；（2）根据：销售量×单件利润−损耗费用=销售总利润，列出方程即可求解；（3）设日销售纯利润为w元，根据：销售量×单件利润−损耗费用=销售总利润，列出函数关系式，并在12≤x≤20求最值即可．【详解】（1）解：设y=kx+b，由题意得500=15k+b700=13k+b解得k=−100b=2000∴y=−100x+2000．（2）解：当x=18时，y=200，即销售200盒的纯利润为1180元，∴成本价为：18−1180+20−100x+2000x−12解得：x1=17（舍），18−15=3（元）．答：当乌馒头每盒降价3元时，商店每天获利为1480元．（3）解：设日销售纯利润为w元，由题意得w==−100=−100x−16∵−100<0，12≤x≤20，∴当x=16时，w有最大值1580元，答：当销售单价定为16元/盒时，日销售纯利润最大，最大纯利润为1580元．11．（1）1，3；（2）AD=4217；（3）【分析】（1）过点D作DF∥BE，交AC于点F，由题意易得AE=EF=CF，然后根据相似三角形的性质及平行线所截线段成比例可进行求解；（2）作EF∥AD交BC于F，设CF=x，则有DF=3x，（3）作MN∥BC交AC于N，设GN=x，则有CN=2x，【详解】解：（1）过点D作DF∥BE，交AC于点F，如图所示：∵D是BC的中点，∴BD=CD，∴CDBD∴EF=CF，∵AE=1∴AE=EF=CF，∵DF∥BE，∴AGGD=AEEF=1∴EGDF∴EG=1∴BGGE故答案为1；3；（2）作EF∥AD交BC于设CF=x，∵EF∥∴CFDF即DF=3x，CD=4x，∵AD⊥BE，AB=AE，∴AB=3，BH=EH，∠BAH=∠EAH，∵∠BAD=∠C，∴∠DAC=∠C，∴AD=CD=4x，∵EF∥∴BDDF=BH∵∠BAD=∠C，∴△BAD∽△BCA，∴ABBD=BC∴32解得x=21∴AD=4（3）作MN∥BC交AC于N，设∵MN∥∴CNGN=BMGM=2∵AB∥∴△ABG∽△CEG，∴CECG=AB∵E是CD中点，∴CD=6x，从而AB=AG=6x，∴AC=9x，AN=7x，∵AD∥∴∠ACB=∠DAC=∠BAF，又∠ABC=∠FBA，∴△ABC∽△FBA，∴ACFA=ABFB，代入得∵MN∥∴AMAF∴AM=712．(1)见解析(2)①见解析；②tan∠EAC=1；③【分析】（1）证明AB=（2）①利用圆周角定理证明AC+ECm180°，进而证明②利用圆周角定理，平行线的性质等证明BP=DP，PQ=PM，再证明△PBQ≌△PDM，得出∠PBQ=∠QDC，进而得出AC=EC，可求出∠EAC=45°，即可求③连结AD，令∠DEA=α，利用圆周角定理和三角形外角的性质可得∠BPE=2α，再证明AC=2AD得出∠ABC=2α，从而得出∠PBQ=∠BPQ，利用等角对等边得出QP=QB，设设QP=mx，PD=m，可求DE=2x+1m，PA=PE=2mx，利用勾股定理可求AE=22【详解】（1）证明：∵AB=BC，∴AB=∵AD=∴AB−即BD=（2）解：①证明∵AE为直径，∴AC∵由（1）知BD，∴AC+∴∠DCB+∠ABC=90°，∴AB⊥DC②连结BD．∵AD=∴∠ABD=∠EDB，∠PAE=∠PEA，∴BP=DP，∵MQ∥∴∠PMQ=∠PAE，∠PQM=∠PEA，∴∠PMQ=∠PQM，∴PQ=PM，∵∠BPQ=∠DPM，∴△PBQ≌△PDM，∴∠PBQ=∠QDC，∴AC=∵AC+∴ECm∴∠EAC=45°，∴tan③y=2过程如下：连结AD，令∠DEA=α，∵AD=∴∠BAE=∠DEA=α，∴∠BPE=∠BAE+∠DEA=2α∵AE为直径，∴AD+∵BD=∴AD+∴AC=2∴∠ABC=2∠AED=2α∴∠PBQ=∠BPQ=2a，∴QP=QB，设QP=mx，PD=m，∴DE=m2x+1，∵∠PAE=∠PEA，∴PA=PE=2mx，∴AE为直径，∴∠PDA=90°，AD=在Rt△AED中：∵DC⊥AB，∴∠DMP=90°，∵AE为直径，∴∠ACE=90°，∴∠DMP=∠ACE=90°，又∠EDC=∠EAC，∴△DMP∽△ACE∴CEPM=AE13．(1)①y=−x22+6x；②当x=2(2)能截出面积更大的矩形材料，这些矩形材料的最大面积为32【分析】（1）①由锐角三角函数可求GB的长，由矩形的面积公式可求解；②由二次函数的性质可求解；（2）用NH分别表示BH，AF的长，由面积公式和二次函数的性质可求解．【详解】（1）解：①如图2，∵四边形AEFG是矩形，∴AE=FG，∠A=∠FGB=90°，∵tan∴GB=1∴AG=AB−GB=6−1∴S=AE⋅AG=x(6−1②∵点E在线段AE上，∴0<x≤2，∵y=−1∴当x=2时，y的最大值为10；（2）能，如图1，当点E在线段CD上时，过点D作DM⊥EF于M，∵四边形EFHN是矩形，∴EF=NH，EN=FH，∵tan∴HB=1∵∠A=90°=∠AFE，DM⊥EF，∴四边形ADMF是矩形，∴DM=AF，AD=MF=2，∵∠ADC=135°，∴∠EDM=45°，∴DM=EM=NH−2，∴AF=NH−2，∴FH=AB−AF−BH=8−3∴S=FH⋅NH=NH(8−3∴当NH=83时，S有最大值为∵323∴能截出比（1）中更大面积的矩形材料，这些矩形材料面积的最大值为32314．（1）证明见解析，（2）①AD=2．②AD=7−【分析】（1）证明△ACD∽△ABC，即可得证；（2）①取AD中点F，连接EF，则EF为△ACD的中位线，证明△FED∽△FBE，得到EF②取AD中点F，连接EF，过点E作EG⊥AB，垂足为G，证明△BDE∽△BEF，得到BE【详解】（1）证明∵∠A=∠A,∠ACD=∠ABC，∴△ACD∽△ABC，∴ACAB∴AC（2）①取AD中点F，连接EF，∵∠ACB=90°,BC=2,∠ABC=60°，∴AC=23，AB=4∵E为CD中点，∴EF为△ACD的中位线，∴EF=12AC=∴∠DEF=∠ACD，∵∠ACD=∠DBE，∴∠DBE=∠DEF，∴△FED∽△FBE，∴E设AF=FD=x，则FB=4−x，∴(解得x1=1，∴AD=2．②取AD中点F，连接EF，过点E作EG⊥AB，垂足为G，设AF=FD=x，∵EF为△ACD的中位线，∴EF∥AC，∴∠EFB=∠A=30°，∵∠DEB=30°，∴∠DEB=∠EFB，∴△BDE∽△BEF，∴BE∵EF=3∴EG=32，∴BG=AB−AF−FG=4−x−3∴BE又∵BD=AB−AD=4−2x，BF=AB−AD=4−x．∴32解得x1=7−∴AD=7−1315．(1)∠BAC=(2)①证明见解析，②AO=(3)y=【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABC=∠ADC=90°，进而证明△ABC≌△ADC，根据全等三角形的性质以及同弧所对的圆周角相等得出∠E=∠BAD=α，即可求解．（2）①连接DG．证明△ABG≌△ADG，△DFG≌△DFE，根据全等三角形的性质即可求解；②过点O作OH⊥AD，垂足为H．根据DE=BG，同弧所对的圆周角相等得出∠ABE=∠FDE，则tan∠FDE=34，DE=5，进而求得EF=FG=3，FD=4，AF=6．由tanGAF=GF（3）连接BD交AC于点M．得出M为△BDE的中位线，可得△AOF∽△DEF，得出BFEF=AOOM+1，根据∠ABE=∠BAC=∠CBD，则tan∠ABE=tan∠BAC=tan【详解】（1）∵AC为直径，∴∠ABC=∠ADC=90°，又∵AB=AD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC．∴∠BAC=∠CAD=1∵∠E=∠BAD=α，∴∠BAC=α（2）①连接DG．∵AB=AD，∠BAG=∠DAG，AG=AG，∴△ABG≌△ADG，∴BG=DG，∠ABG=∠ADG．∵∠ABG=∠EDF，∴∠ADG=EDF，又∵EG⊥DF，DF=DF，∴△DFG≌△DFE，∴DE=DG，GF=EF，∴DE=BG．②过点O作OH⊥AD，垂足为H．∵tan∠ABE=34，∴tan∠FDE=34∴EF=FG=3，FD=4，∴BF=BG+GF=8．∴由tan∠ABE=34∴AD=AF+FD=10．∵OH⊥AD，∴AH=1∵tan∴OH=5∴由勾股定理得AO=A（3）解：如图所示，连接BD交AC于点M，∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，∴AC⊥BD，∵BE为直径，∴∠BDE=90°．∵O为BE中点．∴OM为△BDE的中位线，∴OM=12DE∴△AOF∽△DEF，∴AODE∴AO+DEDE∴BFEF∵∠ABE=∠BAC=∠CBD，∴tan∠ABE=∴令AM=a，则BM=ax，CM=ax∴AO=ax2∴y=BF16．(1)①2，−1；(2)a=2，m=3【分析】（1）①先利用待定系数法确定抛物线的解析式，再将解析式化为顶点式即可得出答案；②先确定抛物线的对称轴为直线x=2，y最小=−1，再确定当x=0时，y=3，当x=6时，（2）先确定抛物线与y轴交点坐标为0，3，而当0≤x≤m时，1≤y≤9，从而可得出y最小=1，利用顶点纵坐标公式可求出a，此时当【详解】（1）解：①∵抛物线y=ax2−4x+3∴a×4解得：a=1，∴y=x∴顶点坐标为2，②∵抛物线y=x2−4x+3当x=2时，y最小当x=0时，y=3，当x=6时，y=6当0≤x≤6时，y的取值范围为−1≤y≤15．故答案为：−1≤y≤15．（2）∵抛物线y=a当x=0时，y=3，∴抛物线与y轴交于点0，∵当0≤x≤m时，1≤y≤9，∴抛物线经历先下降再上升的过程，∴4a×3−−4解得：a=2m=3或a=2∴a=2，m=3．17．(1)证明见解析(2)4(3)2【分析】（1）证明△ABE≌△CBDSAS（2）延长AE交BD于点H，利用勾股定理求出EH和AH，然后代入CD=AE=AH−EH即可；（3）取BD的中点P，连接PE、PF，根据勾股定理求出PE=23，再根据三角形中位线定理可得PF=3【详解】（1）证明：如下图：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴BA=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，∴∠ABC−∠1=∠EBD−∠1，∴∠2=∠3，在△ABE和△CBD中，BA=BC∠2=∠3∴△ABE≌△CBDSAS∴AE=CD．（2）延长AE交BD于点H，∵AE⊥BD，∴∠AHB=90°，∵△BDE是等边三角形且边长为4，等边△ABC的边长为6，∴BH=1∴EH=B∴AH=A∴CD=AE=AH−EH=42∴CD的长为42（3）取BD的中点P，连接PE、PF，∵△BDE是等边三角形且边长为4，△ABC是等边三角形且边长为6，∴PE⊥BD，PD=1∴PE=D∵F为DC的中点，∴PF=1∴在△PEF中，23−3<EF<23+3，当P、∴23∴旋转过程中EF的取值范围是2318．(1)①√；②×(2)73(3)①63；②【分析】（1）①根据平行四边形的性质可知对角线平分的两个三角形全等，则平行四边形是倍分四边形；②根据梯形的对角线不一定平分成两个面积相等的三角形，即可判断②（2）根据题意得到S△ABC=S△ADC，过点D作DE⊥AC于点E，则AB=DE=3，AE=EC，勾股定理得出AE，即可得出（3）①连接NC，BM，OM，设OM,CN交于点G，根据四边形BCMN是倍分四边形．得出NC是倍分线，则NB=MG，证明△CGO∽△CNB得出OG=12NB，设BN=a，则MO=MG+OG=a+12a=32a，得出sin∠BCN=NB②设OM,NC交于点G，连接BG，过点F作FH⊥CG交NC于点H，由①可得MG∥NB,MG=BN，则四边形BNMG是平行四边形，得出DG=12NG=2【详解】（1）解：①平行四边形是倍分四边形（√）②梯形是倍分四边形（×）故答案为：①√；②×．（2）解：∵倍分四边形ABCD中，AC是倍分线，∴S如图所示，过点D作DE⊥AC于点E，∵AC⊥AB，AB=3，AD=DC=5，∴AB=DE=3，AE=EC在Rt△AED中，AE=∴AC=2AE=8，在Rt△ACB中，（3）①如图所示，连接NC，BM，OM，设OM,CN交于点G，∵BC为⊙O直径，∴∠BMC=90°，∵BA=BC，∴AM=AC，即M是AC的中点，∴MO=12∵四边形BCMN是倍分四边形．若BM是倍分线，则点N,C到BM的距离相等，而BM是∠ABC的角平分线，点C,A到BM的距离相等，点N,A不重合，故BM不是倍分线，∴NC是倍分线，∴NB=MG，又∵MO∥∴△CGO∽△CNB，∴OGNB∴OG=1设BN=a，则MO=MG+OG=a+1∴AB=2MO=3a，又∵BA=BC，∴BC=3a，∴sin∠BCN=过点A作AP⊥BC于点P，∴∠BAP+∠ABP=∠BNC+∠ABP=90°，∴∠BAP=∠BCN，∴sin∠BAP=∵AB=3a，∴PB=a，则PC=BC−BP=3a−a=2a，在Rt△ABP中，AP=在Rt△APC中，∴sin②如图所示，设OM,NC交于点G，连接BG，过点F作FH⊥CG交NC于点H，由①可得MG∥NB,MG=BN，则四边形∵点F是OC的中点，OF=3∴OC=6，则BC=12=AB，在Rt△BNC中，∵∴NB=4，则AN=AB−BN=12−4=8∴NC=B∵NG=1∴DG=1∵FH⊥NC,GO⊥NC，∴GO∥∴△CHF∽△CGO∴HFGO∴GH=12∵HF∴△EHF∽△EGM，∴HF即1∴GE=∴DE=DG+GE=2219．（1）120，1.5，480；（2）y＝80x﹣120；（3）当97≤x≤3，两车与车站C的路程之和不超过300km【分析】（1）先求出甲的速度，利用路程=速度×时间，可求a的值，m的值，AB的距离；（2）利用待定系数法可求解析式；（3）分两种情况讨论，由题意列出不等式，即可求解．【详解】（1）∵甲的速度=3606=60（km/h∴BC的距离a=60×2=120（km），∴AB=360+120=480（km），∴乙车速度=4806=80（km/h∴m=12080=1.5（h故答案为：120，1.5，480；（2）设1.5小时后，乙车离C站的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式y=kx+b，360=6k+b0=1.5k+b解得：k=80b=−120∴函数关系式为y=80x﹣120；（3）当0≤x≤1.5时，360﹣60x+120﹣80x≤300，∴x≥97∴当97≤x≤1.5，两车与车站C的路程之和不超过300km当1.5＜x≤6时，360﹣60x+80x﹣120≤300，∴x≤3，∴当1.5＜x≤3时，两车与车站C的路程之和不超过300km，综上所述：当97≤x≤3，两车与车站C的路程之和不超过300km20．(1)3(2)BC边的等级垂分线段的长度为2(3)四边形ABCD的一条等积垂分线段的长为3【分析】（1）过点A作AD⊥BC，根据等边三角形性质求解即可．（2）线段EF是垂直于BC边的等积垂分线段，设EF=x，作AH⊥BC，构建方程即可得到答案．（3）分两种情况，作FG⊥BH，设DE=x或作EG⊥BD，设FH=y，构建方程即可得到答案．【详解】（1）解：如图所示AD为垂直于BC边的等积垂分线，∵△ABC是等边三角形，AB=3，∴ADAB∴AD=3