2023-2024学年上海市文来中学九年级上学期12月考数学试卷含详解

2023学年第一学期初三年级阶段测试（12月）

数学学科

一、选择题

1.在中，ZC=90°,AB=2,AC=1,下列说法正确的是（）

A./A的正切值为友B.ZA的正弦值为5

CtanB=—D.sin3=—

22

2.如示意图，从A处看B处俯角为70。，是水平线，ACJ.BC,那么下列说法正确的为（）

A

CB

A.ZA=70°B.ZA=20°C.ZB=20°D.4=45°

3.将二次函数y=2（x-2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（）

A.y=2(x-2)2-4B.y—2(x-1)2+3

C.y—2(尤-1)2-3D.y=2/-3

4.已知二次函数丁=以2+法+。（服b、c是常数，且a/0）的图像如图所示，那么根据图像，下列说法正确的

是（）

A.反比例函数y=@的图像中，y随着x的增大而增大

B.一次函数y=bx+c的图像经过第一、二、四象限

C.二次函数y尤?+cx+。的图像经过第二象限

D.关于X的方程依2+bx+c=。没有实数根

5.已知：点C是线段A3的黄金分割点，且AC>CB,那么下列结论一定正确的是（）

ACy/5-lBC_V5+3

~CB~2AB-_2-

cAC3-小cAC75-1

AB2AB2

6.已知在AABC中，点。、E、尸分别在边A3、AC和BC上，5.DE//BC,DF//AC,那么下列比例式中，正确的

是（）

AECFAEDEDFDEECFC

A_______B___=___C___=____D___二____

ECFB'ECBCACBC'ACBC

二、填空题

7.二次函数丁=必+3%—2°的截距是.

8.已知：，，分别是°,6相同方向上单位向量，n

\a\

X~l+y-1

9.已知：x:y=5:2,那么：一七

x-y

10.已知二次函数解析式为y=-》2—1,在直线x=a的左侧，函数值y随着自变量X的增大而增大，那么a的

取值范围是.

11.若一次函数'=h+6的图象不经过第三象限，则b的取值范围是.

12.如图，已知小丽的身高是1.6米，他在路灯下的影长为2米，小丽距路灯灯杆的底部3米，那么路灯灯泡距地

面的高度是米.

13.已知两个相似三角形的周长比为4:9,那么这两个相似三角形的面积比为.

14.在RtZkABC中，ZC=90°,AB=J1Q，tanA=1,那么.ABC面积为.

15.某超市自动扶梯的坡比为1：2.4.一位顾客从地面沿扶梯上行了5.2米，那么这位顾客此时离地面的高度为

____________米.

AjDBC

16.在中，NC=90。，点。在5c上，且一=——，4=35。，那么Z5AD的度数为____.

DAAC

17.在中，ZABC=90°,sinZACB=-,将ABC绕点5逆时针旋转后得到RtZ^ABC],旋转角不

6

等于180。，连接A4和CC，那么AA：CG的值为.

18.如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,点。和点E分别为边AB和边AC上的点.将△AE。

沿直线EO翻折，点A落在点尸处，如果。/〃CB,且。尸=工。3,那么AE=.

2

A

三、解答题

19.计算:—2二—2cos45°-8^-1+-=—

V2-1

20.如图，己知在平行四边形ABCD中，点区厂分别是边。C、A3的中点，AE，CV与对角线5D分别交于

点G,H,设AF=a'AD=b'

DEC

(1)向量GH=，向量GE=.(用a、h表示)

(2)画出向量£)〃在向量£和人方向上的分向量.(画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量).

12

21.在直角坐标系中，反比例函数y=—(x〉0)的图像上点A的纵坐标比横坐标大4.

(1)求点A的坐标；

(2)设一次函数丁=丘+。3H0)的图像经过点A,且与y轴相交于点8.如果OA=A5,求这个一次函数的解

析式.

22.中国空间站核心舱上的机械臂，是我国目前智能程度最高，难度最大，系统最复杂的制造系统，大臂“天和机

械臂”有两段长的臂杆和7个活动关节，本身自重约0.74吨，最大承载力25吨，相当于普通人的一只胳膊能抬起

100公斤重的东西，是当之无愧的“大力士”，如图是处于工作状态的“天和机械臂”示意图，已知垂

足为A,DELI,垂足为点E,OE=0.6米，AB=0.91米，ZABD=72°,ZCBA=126°,BC=CD,求

机械臂的长.(参考数据sin72°。0.95,cos72°®0.31,sin54°«0.81,cos54°«0.60)

23.如图，在ABC中，ZABC=45°,AD1BC,垂足为点D,BE1AC,垂足为点E,A。和班相交于点

F.过点A作AGBC,交边BE■延长线于点G,点M是8G边上一点，AM±AB.

lAG

(2)求证：42cos/ABE=——.

GM

24.在平面直角坐标系xQy中，抛物线线,=分2—4tre+3a(a>0)与x轴的交点为A、B,点A在点B的左

侧，点C是该抛物线与y轴的交点，点。为抛物线的顶点，连接CD,8。和CB，CD交x轴于点E.

(1)当顶点。纵坐标为-1时，求该抛物线的表达式；

(2)当和一OCB相似时，求该抛物线的表达式；

(3)当NCDfi=60。时，求该抛物线的表达式.

25.如图所示，已知中，ZABC=90°,A5=4,CB=2,点。是边A5上的一点，点E是边延长

线上的一点，连接DE,交边AC于点尸，连接砂\过点A作砂1的垂线，交线段OE于点G,交边BC于

点、M.

(1)若点G是△ABE的重心，求tan44”的值.

(2)BD^DA,且即是等腰三角形，求CE的长.(直接写出答案)

DB

(3)如果点CE=3C,设氏0=%,——=y,求用x的代数式表示y.

2023学年第一学期初三年级阶段测试（12月）

数学学科

一、选择题

1.在RtAABC中，ZC=90°,AB=2,AC=1,下列说法正确的是（）

A./A的正切值为gB.ZA的正弦值为g

C.tanB=—D.sinB=—

22

【答案】D

【分析】本题考查三角函数，可以先利用勾股定理求出直角边的长，再根据锐角三角函数的定义分别求出各个

三角函数值是解题的关键.

【详解】解：：NC=90°,AB=2，AC=1，

BC=VAB2-AC2=722-l2=73，

A.NA的正切值为百，选项错误；

B.NA的正弦值为且，选项错误；

2

C.anB=—，选项错误；

t3

D.sinB=—,选项正确；

2

故选：D.

2.如示意图，从A处看B处的俯角为70。，是水平线，AC1BC,那么下列说法正确的为（）

A

CB

A.ZA=70°B.ZA=20°C.ZB=20°D.ZB=45°

【答案】B

【分析】题目主要考查俯仰角计算，理解题意，根据互余的两个角计算即可.

【详解】解：从A处看3处的俯角为70。，是水平线，

AZB=70°,

VAC1BC,

/.ZA=20°,

故选：B.

3.将二次函数y=2（尤-2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（）

A.y=2（尤-2）2-4B.y=2（尤-1）2+3

C.y=2（尤-1）2-3D.y=2N-3

【答案】C

【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解答即可.

【详解】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数y=2（x-2）2的图象向左平移1个单位，再向下平

移3个单位后，得以新的抛物线的表达式是，y=2（%-2+1）2-3,即y=2（x-1）2-3,

故选：C.

【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，由尸以2平移得到尸°（尤<）2+七用平移规律“左加右减，上加

下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式即可.

4.已知二次函数丁=。必+6犬+。（a、b、c是常数，且a/0）的图像如图所示，那么根据图像，下列说法正确的

是（）

A.反比例函数y=@的图像中，y随着x的增大而增大

X

B.一次函数y=bx+c的图像经过第一、二、四象限

C.二次函数y尤?+cx+。的图像经过第二象限

D.关于X的方程依2+bx+c=0没有实数根

【答案】B

【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，反比例函数图象及一次函数图象的判断，掌握二次函数的性质、

灵活运用数形结合思想是解题的关键.解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解

析式.

【详解】解：A.抛物线开口向下，故。<0,则选项说法错误，不符合题意；

b

B.函数对称轴为：x=——<0,b<0,c>0,则一次函数y=+c的图像经过第一、二、四象限，符合题意;

2a

C.'.*/?<0,c>0,a<0>

•••二次函数丁=0犬+5+。的图像不经过第二象限，则说法错误，不符合题意;

D.根据函数图象得，抛物线与x轴有两个交点,

故关于X的方程OX?+bx+c=O有两个不相等的实数根,

故原说法错误，不符合题意.

故选：B.

5.已知：点。是线段A5的黄金分割点，且AC>CB,那么下列结论一定正确的是（）

,ACy/5-l口BC75+3

・

CB2AB

0AC3-75cACy/5—1

AB2AB-2

【答案】D

【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.由黄金分割点的定义得生=9=避二!

ABAC2

即可得出结论.

【详解】解：：点C为线段A3的黄金分割点，且AC>C8,

.ACBCV5-1

••------------------,

ABAC2

故选项D符合题意，

故选：D.

6.已知在AABC中，点、D、E、厂分别在边48、AC和8C上，S.DE//BC,DF//AC,那么下列比例式中，正确的

是（）

空="空-匹空-DEECFC

ABC----------------------------

ECFB'ECBC'ACBC----------------ACBC

【答案】D

【分析】根据题意证明△ADES/IABC,ABDF-ABAC,结合平行线的性质列出比例式，比较、分析、判断即可解

决问题.

【详解】W：'：DE//BC,DF//AC,

&ADEs^ABC,xBDFsxBAC,

.ADDEDFBDAD_AEBFBD

"AB~BC'AC~AB'BD~EC'FC~AD"

,-D--F#-D--E--A-E-w-B--F--A-D-w-D--E-,

"ACBC'ECFC'BDBC

故选:D.

【点睛】考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.

二、填空题

7.二次函数丁=必+3%—2°的截距是.

【答案】—1

【分析】题目主要考查二次函数的截距，理解截距的定义是解题关键.

【详解】解：y=x2+3x-2°=X2+3X-1,

当％=0时，y=-i,

••・截距为-1,

故答案为：-1.

8.已知i,j分别是a，匕相同方向上的单位向量,

【答案】—2

【分析】本题考查了向量的运算，根据向量的相关运算法则计算即可.

ab

【详解】解:+J=|«-«|-|j+j|=0-2=-2,

a\H

故答案为：-2.

X~l+v-1

9.已知：x:y=5:2,那么一—工工

工一》

71

【答案】—##-2—

33

【分析】本题考查代入求值，负整数指数次幕，先运用负整数指数次幕运算法则化简，然后代入求值是解题的关键.

【详解】解：设x=5〃，y=2a,

11

ii—I—

x~+y~_xy_x+y_5a-\-2a_7

%T-yTy~xla-5a3，

xy

7

故答案为：-彳.

3

10.已知二次函数的解析式为y=-炉―1,在直线工二。的左侧，函数值了随着自变量x的增大而增大，那么〃的

取值范围是.

【答案】a<Q

【分析】本题考查二次函数的增减性，掌握>=〃/+左的图像和性质是解题的关键.

【详解】解：..•二次函数y=—V—1的对称轴为y轴，

，开口向下，当xwo时，函数值y随着自变量尤的增大而增大，

又..•直线》=。的左侧，函数值y随着自变量x的增大而增大，

a<Q,

故答案为：a<0.

11.若一次函数丫=h+匕的图象不经过第三象限，则b的取值范围是.

【答案】b>Q

【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论.

【详解】解：一次函数,=辰+6的图象不经过第三象限，

:.k<0,b>0.

故答案为：b>0.

12.如图，己知小丽的身高是1.6米，他在路灯下的影长为2米，小丽距路灯灯杆的底部3米，那么路灯灯泡距地

面的高度是米.

【答案】4

【分析】本题主要考查了相似三角形的应用；根据已知得出图形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可.

【详解】解：结合题意画出图形得：ZDAC=ZEAB,

:.AADCSAAEB,

,ACCD

小明的身高为1.6米，他在路灯下的影子长为2米；小明距路灯杆底部为3米,

:.AC=2,BC=3,CD=1.6,

21.6

----------,

2+3BE

解得：BE=4,

则路灯灯泡距地面的高度是4米.

故答案为：4.

13.已知两个相似三角形的周长比为4:9,那么这两个相似三角形的面积比为.

【答案】16:81##—

81

【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比求解.本题主要考查相似三角形的性质，

熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.

【详解】解：：两个相似三角形的周长比为4:9,

，相似比为4:9,

这两个相似三角形的面积比为16:81,

故答案为：16:81.

14.在RtAABC中，NC=90°,AB=y/lQ,tanA=-,那么么BC的面积为.

3

3

【答案】一

2

【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先根据正切的定义得到AC=33C,再由勾股定理得到

（33。）2+3。2=（1记）2,解得3。=],则4。=3,再根据三角形面积计算公式求解即可.

Be1

【详解】解：如图所示，在RtZXABC中，ZC=90°,tanA=—=—,

AC3

：.AC^3BC,

由勾股定理得AC2+BC2=AB2，

（35c）2+5c2=（Vid）2,

/.BC=\（负值舍去），

AC=3,

113

ARC—ACBC=—xlx3=—,

S△^A3C~222

3

故答案为：—.

2

R

15.某超市自动扶梯的坡比为1：2.4.一位顾客从地面沿扶梯上行了5.2米，那么这位顾客此时离地面的高度为

____________米.

【答案】2

【分析】已知斜坡的坡比就是告诉了两直角边的关系，设最高点离地面的高度为羽由勾股定理建立方程，解方程

即可.

【详解】解：由己知得斜坡垂直高度与水平宽度之比为1：2.4.

设斜坡上最高点离地面的高度（即垂直高度）为x米，则水平宽度为2.4x米，

由勾股定理得炉+（2.4x）』5.22,

解之得尤=2（负值舍去）.

故答案为2.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡角坡度问题，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键.

AJDBC

16.在RtAABC中，ZC=90°,点D在BC上,且一=——，ZB=35°,那么。的度数为___.

DAAC

【答案】20。##20度

【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质及三角形内角和定理，先证明AADC与MAC,再根据相似的性

质求解即可，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.

【详解】解：如图所示：

ZXADC^ZXBAC,

：ZB=35°,

AZDAC=ZB=35°,ZfiAC=90°-35°=55°,

ZBAD=55°-35°=20°,

故答案为：20。.

17.在RtAABC中，ZABC=9Q°,sinZACB=-,将ABC绕点3逆时针旋转后得到RtAABC；,旋转角不

6

等于180。，连接A4和CG，那么A&：CG的值为.

【答案】m!##』&1

1111

【分析】题目主要考查旋转的性质及相似三角形的判定和性质，正弦函数的定义等，理解题意，作出图形，综合运

用这些知识点求解是解题关键.

【详解】解：如图所示：

:将JRC绕点3逆时针旋转后得到Rt^ABC],

AB—\B,BC-BCX,

.A.BAB

"BQ"BC)

­：ZABC==90°,

：.NA网=NCBC],

：.A^BA^,C^BC,

.AB

••元一疏’

VsinZACB=-,

6

AD5

，巴=e，设AB=5匕AC=6左，

AC6

BC=VAC2-AB2=网k，

.AlA_AB_5k5^11

"cq

故答案为：①叵.

ii

18.如图，在RtZiABC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,点。和点E分别为边AB和边AC上的点.将△AE。

沿直线ED翻折，点A落在点尸处，如果。E〃CB,且那么AE=.

2

A

3

【答案】-

4

【分析】题目主要考查翻折的性质及相似三角形的判定和性质，理解题意，作出相应图形，熟练掌握运用相似三角

形的判定和性质是解题关键.

3

过点E作石P_LA3,根据勾股定理得出AB=5,再由题意确定。尸=—,DF1AC,ADH^ABC,根据翻

2

369

折的性质得出=。/DE平分NADH,利用相似三角形的性质确定=木，继续利用相似

三角形的判定和性质即可求解.

【详解】解：如图所示，过点E作石

Ch----------------------------

VZACB=90°,BC=3,AC=4,

AB=5,

VDF//CB,且。尸=

2

3

ADF=-,DF_LAC,_ADH^_ABC,

2

；翻折，

3

AAD=DF=-,DE平分NADH，

2

3

A。AHDH-

-2

一--

AA-«C-AH_PH,

151C5丁一亍

69

AH=—,DH=——

510

9

/.DP=DH=—,

10

393

/.AP=--------=-,

2105

,//A=NA,NAPE=ZACB=90°,

；•APEs.ACB,

3

，用=以即的

ABAC1

4

3

解得：AE=~,

4

3

故答案为：一

4

三、解答题

19.计算：—2一2—2cos45。—8§—1+

V2-1,

【答案—

【分析】根据负整数指数累，特殊角的三角函数值，分数指数塞，化简绝对值，分母有理化进行计算即可求解.

【详解】解：—2々—2cos45°—根―1+

V2-1

=_l-2x--I2-1I+V2+1

4211

——V2-1+V2+1

4

【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数塞，特殊角的三角函数值，分数指数塞，化简绝对值，分

母有理化是解题的关键.

20.如图，已知在平行四边形A3CD中，点E,尸分别是边。。、AB中点，AE，CE与对角线5D分别交于

点G,H,设AF=a>AD=b-

DEC

(1)向量GH=，向量GE=.(用a、b表示)

(2)画出向量力〃在向量a和匕方向上的分向量.(画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量).

2-1-1-1-

【答案】(1)—a—b,—aH—b(2)见解析

3333

【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知

识解决问题，属于中考常考题型.

(1)根据平行四边形的判定和性质得四边形AECF为平行四边形，再由平行线分线段成比例确定。G=GH,

BH=GH,利用向量的三角形法则得出=2a—6，即可确定GH，GE；

(2)利用平行四边形法则分解向量即可.

【小问1详解】

解：：平行四边形A3CD，

ACD=AB,CD//BA,

■:点、E,尸分别是边。C、AB的中点,

工DE=CE,AF=FB,

ACE=AF,CE//AF,

四边形AECF为平行四边形，

：.AE//CF,

VEG//CH,DE=EC,

:.DG=GH,

同理得：BH=GH,

:.DG=GH=HB,

"AF=a，AD=b，

DA=—b，AB=2a>

,,DB=2a—b，

/.GH=DG=-BD=-a--b；

•*GE=GD+DE>GD——a+—b,DE=AF=a，

33

/.GE=-a+-b,

33

211-1.

故答案为：-a—b,—a-\—b；

3333

【小问2详解】

如图所示：尸即为所求.

AFMR

12

21.在直角坐标系中，反比例函数y=—（x〉O）的图像上点A的纵坐标比横坐标大4.

（1）求点A的坐标；

（2）设一次函数y=依+03#0）的图像经过点A,且与y轴相交于点B.如果。A=A5,求这个一次函数的解

析式.

【答案】21.点A的坐标为（2,6）

22.y=-3x+12

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数求一次函数解析式，

（1）根据A点位置及坐标特点，代入反比例函数解析式解方程即可求出A的坐标；

（2）设点8的坐标为（0,m），根据Q4=A3列出关于根的方程，解方程求出B点坐标，进而求出解析式即可.

【小问1详解】

由题意，设点A的坐标为（a,a+4）,a>0,

:点A在反比例函数y=U（x〉O）的图象上，得：a+4=—,

xa

解得=2,。2=—6,

经检验％=2,%=-6是原方程的根，但。2=-6不符合题意，舍去，

.'.点4的坐标为（2,6）；

【小问2详解】

设点8的坐标为（0,7"）,

:点8在y轴上，OA=AB,

：.（6-m）2+22=62+22,

解得，根=0或12,

•・•一次函数丁=履+〃中，bwO,

***m=0舍去,

m=12,

.•.点B的坐标为（0,12）,

则一次函数的解析式为y^kx+12,

由于这个一次函数图象过点4（2,6）,

6=2Z+12,

解得％=—3,

所求一次函数的解析式为y=-3x+12.

22.中国空间站核心舱上的机械臂，是我国目前智能程度最高，难度最大，系统最复杂的制造系统，大臂“天和机

械臂”有两段长的臂杆和7个活动关节，本身自重约0.74吨，最大承载力25吨，相当于普通人的一只胳膊能抬起

100公斤重的东西，是当之无愧的“大力士”，如图是处于工作状态的“天和机械臂”示意图，已知垂

足为A,DELI,垂足为点E,OE=0.6米，AB=0.91米，ZABD=72°,ZCBA=126°,BC=CD,求

机械臂的长.(参考数据sin72%0.95,cos72°®0.31,sin54°«0.81,cos54°®0.60)

【答案】机械臂BC的长为0.83m

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，三线合一定理，过点C作于

H,过点。作D产，AB于F,先证明四边形AED尸是矩形，得到A产=OE=0.6m,贝U

BF=AB-DE=0.31m,解RtABZ小得到5。qIm，由三线合一定理得到BH=‘CD=0.5m,再解

2

RtHBC即可求出答案.

【详解】解：如图所示，过点C作瓦）于X,过点。作。尸，A3于尸，

VAB±l,DELI,DFYAB,

四边形A£DF是矩形，

，AF=DE=0.6m,

BF=AB—DE=0.3lm,

BF

在口中，cosZDBF=——,

BD

BF0.31

BD=®lm,

cosDBFcos72°

•：BC=CD,CH±BD,

：.BH=-BD=0.5m,

2

•：ZABD=7T,NCSA=126°,

ZCBH=ZCBA-ZABD=54°,

在RtHBC中，cos/HBC=-----

BC

BH0.5

：.BC=«0.83m,

cosNHBCcos54°

・・・机械臂5。的长为0.83m.

c

23.如图，在_ABC中，ZABC=45°,ADIBC,垂足为点。，BEVAC，垂足为点E，A。和旗相交于点

F.过点A作AGBC,交边BE延长线于点G,点〃是BG边上一点，AMLAB.

(1)求证：DF=DC；

lAG

(2)求证：2cosXABE=-----.

GM

【答案】(1)见解析(2)见解析

【分析】(1)根据垂直得出/5ZM=/AEB=90°,再由对顶角相等及等量代换确定=利用等

角对等边得出80=AD,再由全等三角形的判定和性质即可证明；

(2)过点M作MHLAG于点H,根据平行线的性质及垂直的定义得出NM4H=45°,确定4〃=国汨，

G4AE

再由相似三角形的判定和性质得出一=—,利用等量代换确定=石，再由余弦函数的定义进行

GMHM

等量代换即可证明

【小问1详解】

证明：•.•AD15C,BEVAC，

/.NBDA=ZAEB=90°,

/.NFBD+NBFD=NAFE+NFAE=90°,

•/NBFD=NAFE,

NFBD=NFAE,

•/ZABC=45°,

NBAD=NABD=45°,

•••BD=AD,

BDF9一ADC(ASA),

：.DF=DC；

【小问2详解】

AGBC,ZABC=45°,

：.^BAG=135°,

AM±AB，

：.^MAH=45°,

/.NMAH=NAMH=45°,

.'.AH=MH,

AM=yflMH，

VZGHM=ZGEA=90°,NG=NG,

；•.GHM^,GEA,

,GAAE

,,GM—HM'

•/NABE+NBAE=/BAE+NMAE=90°,

NABE=NMAE,

AE

cos/ABE=cos^MAE=-----,

AM

：.垃cos/ABE=国）s/MAE=应义—=^2x俨=—=—,

AM42MHHMGM

A（Z

即j2cosNA3E=——.

GM

【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形及相似三角形的判定和性质，余弦函数的定义等，理

解题意，作出辅助线求解是解题关键.

24.在平面直角坐标系中，抛物线线,=改2-4依+3。（。>0）与x轴的交点为A、3,点A在点B的左

侧，点C是该抛物线与>轴的交点，点。为抛物线的顶点，连接CD,班）和CB，CD交x轴于点E.

(1)当顶点。纵坐标为-I时，求该抛物线的表达式；

(2)当△(?"和.0C8相似时，求该抛物线的表达式；

(3)当NCDB=60°时，求该抛物线的表达式.

【答案】(1)y=f—4x+3

2

(2)y=^lx-2V2x+-

-22

⑶丁=片&_(6+而卜+至善I

【分析】(1)先求出对称轴为直线x=2,则。(2,-1),再把。(2,-1)代入二次函数解析式中进行求解即可；

(2)先求出在A(1,O),5(3,0),则08=3；再求出C(0,3a),D(2,-a),得到OC=3a,进而求出直线CD

解析式为y=-2or+3a,则E1|,O],得到OE=g,由于NCOE=ZBOC=90。，ZOCE<ZOCB,则

当△(%〕£和一OCB相似时，只存在△COES/XBOC这一种情况，由相似三角形的性质得到黑=丽，即

5_3a,得到=受，则抛物线解析式为>=受》2一2岳+逑；

丁二左

5a5222

(3)如图所示，过点B作于〃，先求出再由勾股定理求出BD=d，+l，进而得到

由邑3,再利用勾股定理得到CE=..麻；证明△OECS^/JEB,得到空=空，

22V4BHBE

〃

即-/30=VV24解方程即可得到答案.

yJ3a-+3±

2

【小问1详解】

—4〃

解：由题意得，抛物线对称轴为直线x=-------=2,

2a

顶点。纵坐标为-1,

AD(2,-l),

把£>(2,-1)代入y=改2-4ox+3a(a>0)中得：4。-8。+3。=-1,

解得a=1,

•••抛物线解析式为y=x2-4x+3；

【小问2详解】

解：在y=分2—4ax+3a(a>0)中，当y=ax?—4ax+3a=0时，解得x=l或x=3,

AA(LO),5(3,0)

08=3；

在丁=分2-46+3a(a>0)中，当％=0时，y=3a,

/.C(0,3«),

OC-3a，

在在y=改2-4ar+3a(a>0)中，当x=2时，y=4。­8〃+3〃=-a,

JD(2,—a),

设直线CD解析式为y=kx+b,

[2k+b=-a

b=3a

[k--2a

b=3a

：.直线CD解析式为y=-2ax+3a,

3

在y=-2ar+3a中，当y=0时，％=—，

..o?=一,

2

VZCOE=ZBOC=90°,NOCEcNOCB,

・・・当△OCE和_OCB相似时，只存在△COEs^BOC这一种情况,

3

OEOC-

・・-,Snnp23acl,

OCOB六二T

3a3

：.a=叵或a=—叵(舍去)

22

•••抛物线解析式为y=^x2-242x+述；

3(3,0),0(2,—a)

BE=3-3=彳,BD=“2-3)2+(_q_0)~=y]a2+1

:NCDB=60。,BH±CD,

ZHBD=30°,

:.BH=@BD=SQ+3，

22

C(0,3«),

**•0C—3a，

CE=+oc2=J9a2+2,

/COE=NBHE=90°,ZOEC=NHEB,

：.AOEC^AHEB,

,OCCEHn3aV4

BHBEJ3a2+32

2

.c13a~+3xT-

,•9a、4，

T-2

.•.(3a2+3)^9a2+|^|=81a2,

+1),+；]=3a2,

a4+tz2+—a2+』=3a2,

44

7i

，y+L，即…』=。,

令/=〃，贝U4r—7/+i=0,

解得:F，

与姮或"一丁（舍去）或”丁（舍去）或"一'丁（舍去）

经检验，a=&+'行是原方程的解,

4

...抛物线解析式为V=6+旧尤2（6+而卜+返言”

74

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，勾股定理，含

30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形，通过相似三角形对应边成比例进行求解是解题

的关键.

25.如图所示，已知ABC中，ZABC=90°,A5=4,CB=2,点。是边A5上一点，点E是边延长

线上的一点，连接DE,交边AC于点尸，连接砂\过点A作砂1的垂线，交线段OE于点G,交边BC于

点、M.

（1）若点G是△ABE的重心，求tan44”的值.

(2)BD二DA，且，丽是等腰三角形，求CE的长.(直接写出答案)

DB

(3)如果点CE=BC,设=—=y,求用》的代数式表示九

BF-

【答案】⑴tanZ5AM=75-2.

2

(2)CE的长为：1或4或

(3)(x2+8x)A/16+X2

y-x3+4x2+16x+64-

【分析】(1)连接MW,记AM交g尸于点N,因为tanZBAM=Ot,AB已知，即求的长，理解重心G

AB

是ZVIBE中线的交点，再结合AGL5尸得40为彼得中垂线，利用中垂线性质可证得

BM转化为FM,最后利用勾股定理结合方程即可解出月0,即解得此题.

(2)本题需要从等腰三角形哪两边相等不同情况分类讨论并建立图形，再过点P向A3边作垂线，得三角形相

似，利用相似求得鹿，最后根据CE=B£-即可解题.

(3)根据题干条件建立图形，过点E作阳〃A3,延长g尸交SE于点S,构造相似三角形，并结合全等三角形，

利用相似比将3M、DB、BF、建立起联系，再作于点/，构造相似并结合勾股定理，求出所的表达

式，即可解题.

【小问1详解】

解：连接府，记AM交BF于点、N,

,点G是△ABE重心，

，AN是△ABE的中线，有BN=FN,

过点A作正的垂线，交线段OE于点G,

AG±BF,

.,.AG所在的直线为正的中垂线，

:.AB=AF,BM=MF,

AM=AM，

ABM与AFM(SSS),

ZABC=90°,

:.ZAFC=ZABC^90°,

:.ZMFC=90°,

AB=4,BC=2,

・•.AF=4，AC=VAB2+BC2=A/42+22=275>

.•.CF=AC—AF=26—4，

设BM=FM=x,则MC=2—x,故（2—x?一/=修君一，解得》=46_8

f…BM475-8/-c

tanBAM=-----