2023年江西省九江市九江一中等十校高考数学第二次联考试卷（理科）

2023年江西省九江市十校高考第二次联考试卷

数学(理科)

一、单选题(本大题共12小题，共分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合M={x∣log2*<1},集合N={x∣-1<X<1},则MC(CRN)=()

A.(-∞,-l]U[l,2)B.[1,2)C.(-∞,-l)U(l,2)D.(1,2)

2.若复数Z=9(i是虚数单位)的共朝复数是£,则Z-W的虚部是()

ZB-C-D

ʌ-I∙I∙I∙I

3.2022年三九天从农历腊月十八开始计算，也就是2023年1月9日至17日，是我国北方地区

一年中最冷的时间.如图是北方某市三九天气预报气温图，则下列对这9天判断错误的是()

A.昼夜温差最大为12°CB.昼夜温差最小为4°CC.有3天昼夜温差大于10t>CD.有3天昼夜温

差小于7。C

4.已知SEe+2cos2∣=p则si"26=()

151533

ÆBCD

1-6-1-6--4-4-

5.函数/(χ)="沁≡的部分图象大致为()

6.在△4BC中，BC=2,AB-AC=8，若。是8C的中点，则40=()

A.IB.3C.4D.5

7.已知函数/(X)=sin(ωx+φ)(ω>0,∣<p∣<今图象上相邻两条对称轴之间的距离为看将

函数y=/(X)的图象向左平移W个单位后，得到的图象关于y轴对称，则函数/(X)的一个对称

中心是()

A.(^,0)B.(≡,O)C.(⅞,O)D.(g,O)

8.设函数/(x)的定义域为R,其导函数为1(X),且满足/(x)>∕'(x)+l,f(0)=2023,则

不等式e-"(x)>e-χ+2022(其中e为自然对数的底数)的解集是()

A.(2022,+∞)B.(-∞,2023)C.(0,2022)D.(-∞,0)

9.在锐角AABC中，AB=3,AcosAsinB=1,若BC在AB上的投影长等于△ABC的外接圆

半径R,贝IJR=()

A.4B.2C.ID.ɪ

10.己知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是()

A.eπ>πe>3eB.πe>3e>eπC.eπ>3e>e3D.3e>eπ>e3

11.已知正方体4BCD-4IBIGDI的棱长为1，E,尸分别是棱45和棱GDl的中点，G为棱BC

上的动点(不含端点).①三棱锥Dl-EFG的体积为定值；②当G为棱BC的中点时，AEFG是

锐角三角形；③△EFG面积的取值范围是6,孚)；④若异面直线AB与EG所成的角为α,则

sina∈[y,y).以上四个命题中正确命题的个数为()

A.IB.2C.3D.4

12.已知抛物线C：y2=2pχ的焦点F与双曲线16M-2y2=1的右焦点重合，斜率为∕c的直

线1与C的两个交点为4B.若∣4F∣+∣BF∣=4,则k的取值范围是()

AzVT5、V15ʌŋV15.,,√T5、厂V15,,x√15

ʌ-(一8,一一―)U(z―,+∞)B.(f一一—,0n)λU(0λ,—)C.(f-∞,----)λU(―,+∞)D.

ɔɔɔɔɔɔ

(—半,0)U(0,当)

二、填空题(本大题共4小题，共分)

13.2022年12月18日在卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队以总

分7比5战胜法国队，历时28天的2022卡塔尔世界杯也缓缓落下

了帷幕.随后某电视台轮流播放半决赛及以后的这4场足球赛(

如图)，某人随机选3场进行观看，其中恰好总决赛、季军赛被

选上的概率为.

14.已知O。：x2+y2=4,OC与一条坐标轴相切，圆心在

直线X-y+7=0上.若。C与O。相切，则。C的一个方程为：.

15.已知圆锥。。的轴截面为等边三角形，4ABC是底面。。的内接正三角形，点P在DO上,

且P。=λDO.^PA1平面PBC,则实数4=.

16.著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空

航天中应用广泛.其定义是：对于函数〃X),若数列｛%l｝满足%n+ι=%,-给，则称数列｛&｝

JKxn)

为牛顿数列.已知函数/(X)=X2-I,数列｛x｝为牛顿数列，a=In"，且%=1,d>1>

nnχn~l

则。8=•

三、解答题(本大题共7小题，共分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

2

17.(本小题12.0分)设数列｛｛2⅛｝的前几项和为Sn，Sn=n÷n,｛bn｝是等比数列,b1=α1,

b2=华.(1)求数列｛arι｝的通项公式；(2)求数列｛*+%｝的前Zi项和

18.(本小题12.0分)甲、乙两人各有一只箱子.甲的箱子里放有大小形状完全相同的3个红球、

2个黄球和1个蓝球.乙的箱子里放有大小形状完全相同的X个红球、y个黄球和Z个蓝球，x+

y+z=6(x,y,z∈N*).现两人各从自己的箱子里任取一球，规定同色时乙胜，异色时甲胜.(1)

当X=1,y=2,z=3时，求乙胜的概率；(2)若规定：当乙取红球、黄球和蓝球获胜的得分

分别是1分、2分和3分，否则得零分，求乙得分均值的最大值，并求此时X,y,Z的值.

19.(本小题12.0分)如图，在直三棱柱ABC-中，。为上一点，40，平面&BC.(1)

求证：BCIA1B;(2)若40=百，AB=BC=2,P为AC的中点，求二面角4-4IB-P的

余弦值.

20.(本小题12.0分)已知函数/^(x)=e*+αcosx,其中x>0,α∈R.(I)当α=-l时，讨论

/(x)的单调性；(2)若函数/(x)的导函数/'(X)在(0,7T)内有且仅有一个极值点，求α的取值范围.

21.(本小题12.0分)已知F「F2为椭圆C：［+y2=1的左右焦点，P为椭圆C上一点.若APFiB

为直角三角形，且|Pa|≥∣P∕72∣∙(1)求解的值；(2)若直线I：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交

于4,B两点，线段AB的垂直平分线经过点N(O,-今，求实数m的取值范围.

22.(本小题10.0分)在直角坐标系Xoy中，P(0,遍).以坐标原点为极点，X轴的非负半轴为极

轴建立极坐标系，已知圆锥曲线C的极坐标方程为p2(siMe+3)=12,Fi、F2为C的左、右焦

点，过点&的直线I与曲线C相交于4B两点.⑴当〃/PE时，求I的参数方程；(2)求MFIIlB&|

的取值范围.

23.(本小题12.0分)设函数/(X)=4x+∣x-α∣,其中αeR.(1)当a=6时，求曲线y=∕(x)

与直线4x-y+8=0围成的三角形的面积；(2)若α<0,且不等式/(x)<2的解集是

(-∞,-3),求α的值.

答案

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】B

10.【答案】A

IL【答案】C

12.【答案】A

13.【答案】ɪ

14.【答案】(X+4)2+(y-3)2=9或(X-8)2+(y-15)2=225或(X+3)2+(y-4)2=9或(X+

15)2+(y+8)2=225,一个圆的方程即可.

15.【答案】造

6

16.【答案】128

22

17.【答案】解：(1)VSn=n+九，.,・当九=1时,α1=S1=2,当九≥2时，Snτ=(n-I)+(n-1),

as22

n=n~SnT=∏+∏~[(∏-I)+(∏-1)]=2∏,当几=1时，%=2符合题意，故数列｛αn｝的

通项公式为Qn=2n；(2)由(1)得a71=2n,则g=4,二瓦=%=2,尻=毁^=4,在等比数列

jl

｛bn｝中,公比q=.=2,.∙.%=2%.••-+/=岛j+2==-高+2%.∙.数列｛,+b列的前

n项和7；=（l-∣+i-^+...+i-4τ）+2+22+...+2n=1-ɪ+⅛zp=+2"+1^2∙

“'223nn+rn+11—2n+1

【解析】（1）利用数列的递推式，即可得出答案；（2）由（1）得αn=2n,则<⅛=4,求出%=2%

则2+%=e+2"=；-•福+2"，利用分组求和法，即可得出答案•本题考查等差数列和等

比数列的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

18.【答案】解：（1）同色时乙胜，同为红色：甲取红球且乙取红球：^×i=⅛,同为黄色：甲取

DOIZ

黄球且乙取黄球：∣×∣=i,同为蓝色：甲取蓝球且乙取蓝球：i×l=⅛所以乙胜的概率为今+

袅白=曲（2）得分均值等于每种颜色的获胜概率乘以对应分数，再求和，即［χ［χl+舐XX

∖fIZIoboDO

2+lz3=3z±g+3£)因为χ+y+z=6(x,y,z6N∙),所以当及=3(x+货)+y=噜,

6636363636

所以当y最大时,均值最大,x,z的最小值为1,所以y最大为4,所以乙得分均值的最大值为粤=⅛,

OOIo

此时X=1,y=4,Z=I.

【解析】（1）同色时乙胜，则计算3种颜色分别相同的概率，求和即可；（2）得分均值等于每种颜色

的获胜概率乘以对应分数，再求和，即竺誓£,再结合χ+y+z=6（x,y,zCN*）求解即可.本

ɔo

题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了均值的求法，属于中档题.

19.【答案】（1）证明：•••三棱柱ABC-4当6为直三棱柱,

.∙.A1A1平面力BC,乂BCU平面力BC,.∙.A1A1BC,■：AD1

平面AiBC,且BCU平面力ιBC,.∙.401BC.^5LAA1U平面

s

A1AB,AD<∑Y-^A1AB,A1AΩAD=A,.-.BCL^-^A1AB,

又AlBU平面&BC,.∙.BC1（2）解：由⑴知BC1平

面48<=平面4遇8,从而BCIAB,如图，以B为原

点建立空间直角坐标系8-孙z,∙.∙40，平面&BC,其垂

足。落在直线AlIB上，［40141B.在RtAABD中，AD=

√3.AB=2,Sin乙4BD=爱=争/.ABD=60%在直三棱柱ABC-AlBlG中,A1ALAB.在

o

RtA1<V,AA1=AB-tan60=2√3.则B(0,0,0),4(0,2,0),C(2,0,0),P(1,1,O),Λ1(0,2,2√3),

前=(1,1,0)，西=(0,2,2√5),BC=(2,0,0).设平面P&B的一个法向量本=(x,y,z),则

∏7∙sp=orx+y=O

lilll2y+2√3z=0,得元=(3,-3,6)，平面4hB的一个法向量为芯=近=

法•西=o'

(2。0)，则c。S何同=磊=苧，，二面角八七Br平面角的余弦值是亨.

【解析】(1)由已知得1平面ABC,Λ1Λ1BC,AD1BC.由此能证明BC，4中.(2)由(1)知BC1

平面A√1B,从而BCIAB,以B为原点建立空间直角坐标系B-Xyz,利用向量法能求出二面角A-

AB-P的平面角的余弦值.本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法，解题时

7t

-√2eT>故当α>1或α≤-e时,y=α与y=g(x)在(0,今U6,乃)内有唯一交点(x1,a),(x2>α)>

当X<Xi附近，ɑ>忘？∕H(X)<0,当x>%ι附近，α<益哀，∕,,(x)>0,故XI是/'(x)在(0,Tr)内

的唯一极小值点，同理X2是/'O)在(OM)内的唯一极大值点，故a的取值范围为(-8,-e7r)U[l,

+8).

【解析】(1)代入a的值，求出函数的导数，根据导函数的符号求出函数的单调区间即可；(2)先对

函数求导，求出无≠泄，a=焉F构造函数g(x)=WpX≠p对g(x)求导，结合导数分析g(x)

的单调性，然后结合函数极值存在条件可求.本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的

应用以及转化思想，是中档题.

21.【答案】解:(1)由椭圆的方程：/+y2=1可得a=√2,h=1,所以C=Va2—b2=√2—1=1,

即b=c,所以以F1F2为直径的圆与椭圆只有两个交点，即椭圆的上下顶点，因为仍&|≥∣PFz∣,

所以只有40PF2或NPF2&为直角，当/&PF2为直角时，即IPFll=IPF2I,这时篇=1；当他丘

则即|=[=强所以IP&I=2α-IPBI=2√Σ-a=苧，所以隔=±=3；

为直角时,

综上所述：息=1或隔=3；(2)设AcWl)B(X2,丫2)，联立I%：，):整理可得：U

2∕c2)x2+4fcmx+2m2—2=0,Δ=16k2m2—4(1+2k2}(2mz-2)>0,可得τ∏2V1+2k2,

且Xl+%2=—聋p%+丫2=似打+刀2)+2加=三级+2771=溪r所以4B的中点

m+1

Ξ

一普土,博R,由题意可得岫N=⅛Γ=一右整理可得：1+21=2m,代入m2<1+21

l+2fc2

可得m?-2m<0,解得0<τn<2,即?n的范围为（0,2）.

【解析】（1）由椭圆的方程可得α,b的值，进而求出C的值，可得以RF?为直径的圆与椭圆只有两

个交点，因为AP&F2为直角三角形，且∣PF∕≥∣PF2∣,所以可能NFIPF2或4PF2&为直角，分别

求出这两种情况时的IPFlI,∣PF2∣的大小，进而求出所求的代数式的值；（2）联立直线1的方程与椭

圆的方程，判别式大于0,可得k,根的关系，求出两根之和，进而求出AB的中点D的坐标，进而

求出DN的斜率，由题意可得匕小的关系，代入判别式大于0的代数式中，可得Tn的范围.本题考

查椭圆的性质的应用及直线与椭圆的综合应用，分类讨论的思想，属于中档题.

X=ρcosθ

22.【答案】解：（1）曲线C的极坐标方程为p2（siM0+3）=12,根据｛y=psinθ转换为直

X2+y2=p2

角坐标方程为[+1=1;故Fι（-l,0）,F2（1,0）,由于P（0,√5）,所以kpF]=-百，故直线PFI的

（x=-1-/

倾斜角为120。；故经过点Fl的直线的参数方程为162（t为参数）.（2）把直线，的参数

c0sθt22

方程｛；≡lhτθt«为参数）代入3+[=1，得到（3皿2。+4sinΘ）t-6cosa—9=0；

_q_