2023年中考九年级数学提高练习-相似三角形(含答案)

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练一相似三角形

1.如图所示，在矩形MBCN中，点N是边MN的中点，MB=6cm,BC=

16cm.点。由点/出发沿/8方向向点8匀速运动，同时点E由点8出发沿BC方

向向点C匀速运动，它们的速度均为ICm∕s.连接QE,设运动时间为t(s)(0<t<

10),解答下列问题：

(1)求证：ZXAMB=∆ANC；

(2)当/为何值时，SBDE的面积为7.5cm2;

(3)在点。，E的运动中，是否存在时间3使得ABDE与AABC相似？若存

在，请求出对应的时间若不存在，请说明理由.

2.如图是由边长为1的小正方形组成的网格，/、B、C、。四点均在正方形网格的格

点上，线段/8、CQ相交于点O.

(1)请在网格图中画出两条线段(不添加另外的字母)，构成一对相似三角形，并

用“□”符号写出这对相似三角形：

(2)线段工。的长为.

3.如图，在口ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且口DAE=口F.

(1)求证：匚ABE□□ECF;

(2)若AB=3,AD=7,BE=2,求FC的长.

4.如图，已知：AD为匚ABC的中线，过B、C两点分别作AD所在直线的垂线段BE

和CF,E、F为垂足，过点E作EG□AB交BC于点H,连结HF并延长交AB于点

Po

(1)求证：DE=DF

(2)若BH-.HC=11:5；①求：DF:DA的值；②求证：四边形HGAP为平行

四边形。

5.如图，在ΔABC中，点E分别在边AB、AC上，且4。=3,AC=

6,AE=4,AB=8.

(1)如果BC=rI,求线段DE的长；

(2)设ΔDEC的面积为a,求ΔBDC的面积(用α的代数式表示).

6.如图，□ABC内接于□。且AB=AC,延长BC至点D,使CD=CA,连接AD交

匚0于点E,连接BE、CE.

(2)填空：①当□ABC的度数为时，四边形AOCE是菱形：②若AE

=6,EF=4,DE的长为.

7.如图，在直角坐标系中，直线y=-2x+4分别交X轴，y轴于点E,F,交直线

y=x于点P,过线段OP上点A作X轴，y轴的平行线分别交y轴于点C,直线EF

于点B.

(2)当AC=AB时，求点P到线段AB的距离.

8.如图，Rt□ABC中，DACB=90o,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发，在BA

边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒

4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(O<t<2),连接PQ.

(1)若匚BPQ与匚ABe相似，求t的值；

(2)连接AQ,CP,若AQ□CP,求t的值.

9.已知：四边形ABCD内接于O0,对角线AC平分□BAD.

(1)如图1,求证：BC=CD;

(2)如图1,若AD+AB=√2AC,四边形ABCD的面积为8,求AC的值;

(3)如图2,连接BD,把□ABD沿着BD翻折得到口FBD,延长CF、AD交于点

G,若CG∕∕BD,AD=2,求CG的长.

10.如图，

图1图2图3

(1)某学校“智慧方园，，数学社团遇到这样一个题目：如图1,在口ABC中，点O在

线段BC上，□BAO=20o,OAC=80o,Ao=6√3,BO：CO=L3,求AB的

长.经过社团成员讨论发现，过点B作BD匚AC,交AO的延长线于点D,通过构造

□ABD就可以解决问题(如图2),请回答：□ADB=o,AB=.

(2)请参考以上思路解决问题：如图3,在四边形ABCD中，对角线AC、BD相

交于点O,AC□AD,A0=6√3,CABC=□ACB=750,BO：OD=I:3,求DC的

长.

11.如图1,已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA=OB=OC=OD=2,OC

平分BOD,与BD交于点G,Ae分别与BD、OD交于点E、F.

(1)求证：OC□AD;

(2)如图2,若DE=DF,求第的值;

(3)当四边形ABCD的周长取最大值时，求器的值.

12.如图，在Rt□ACB中，DC=%。，AC=4cm,BC=3cτn,点P由B出发沿BA方向

向点4匀速运动速度为ICTn/s;点Q由4出发沿/C方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；

连接PQ∙若设运动的时间为t(s)(O<I:<2),解答下列问题:

4—►QC

(1)当t为何值时，点4在PQ垂直平分线上？

(2)当t为何值时，HAPQ为直角三角形？

(3)是否存在某一时刻3使线段PQ恰好把Rt口ACB的面积平分？若存在，求出

此时t的值；若不存在，说明理由.

13.如图，在直角坐标系中，直线AB分别与X轴、y轴交于B、A两点，OA、OB的

长是关于X的一元二次方程X2-12x+32=0的两个实数根，且OB>OA,以OA为一边

作如图所示的正方形AoCD,CD交AB于点P.

(1)求直线AB的解析式;

(2)在X轴上是否存在一点Q,使以P、C、Q为顶点的三角形与口ADP相似？若

存在，求点Q坐标；否则，说明理由；

(3)设N是平面内一动点，在y轴上是否存在点M,使得以A、C、M、N为顶点

的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；否则，请说明理由.

14.如图，AC、BD为□0的直径，且AC口BD,P、Q分别为半径OB、OA(不与端

点重合)上的动点，直线PQ交O于M、N.

(1)比较大小：COS□OPQsin□OQP；

(2)请你判断MP—NP与OP∙cos□OPQ之间的数量关系，并给出证明；

(3)当匚APO=60°时，设MQ=m∙MP,NQ=n∙NP.

①求m+n的值；

②以OD为边在OD上方构造矩形ODKS,已知OD=I,0S=√3-1,在Q点的

移动过程中，1+〃嘘MP_缶恒为非负数,请直接写出实数C的最大值.

15.如图，AB是□O的直径，点C在□O上，CD与口O相切，ADLBC,连结OD,

AC.

(1)求证：匚B=匚DCA；

(2)若tanB=卓，OD=3√6，求口0的半径长.

16.如图，O的弦AC与BD互相垂直于点E,OA交ED于点F.

(2)如图(2),当AC=CD时，求证：AB=BF;

(3)如图(3),在(2)的条件下，点P,Q在CD上，点P为CQ中点，□POQ=

□OFD,DF=EC,DQ=6,求AB的长.

答案解析部分

1.【答案】(1)证明：・.・四边形MBCN是矩形，

・•.LM=LN=90。，MB=NC

又・・,点A是边MN的中点，

・•.AM=AN

・・・△AMB三AANC

(2)解：分别过点D、A作D/FBC、AGlBC,垂足为F、G,如图:

vʌAMB≤ΔANC

：.AB=AC,

・・・MB=6,BC=16

・•・BG=8/・•・AG—6

AB=AC=10

VAD=BE—t,・•.BD=10—t,

DF

•*•-———-1-0-~--t-

610

解得DF=∣(10-t)

1

∙∙∙S2DE=EBE∙DF=7.5

.∙.∣(10-t)∙t=15解得t=5.

答：t为5秒时，ABDE的面积为7.5cm2.

(3)解：存在.理由如下：

①当BE=DE时，ABDEFBCA,

BE_BDg∏t_10-t

而=阮即TU=T6^'

解得t=瑞，

②当BD=DE时，△BDESXBAC,

BE_BD∏∏t_10-t

BC=AB16=~10~9

解得t=瞿.

答：存在时间t为患或整秒时，使得ABDE与AABC相似.

2.【答案】(1)解：如图，连接AC,BD,

由格点图可得BD□AC,

/.△AOCBOD,

(2)等

3.【答案】(1)证明：如图.

Y四边形ABCD是平行四边形，

.∙.AB□CD,ADDBC.

ΛCB=CECF,□DAE=□AEB.

XV□DAE=□F,

ΛCAEB=DF.

ΛCABE□□ECF.

(2)解：,.∙ABE□□ECF,

.AB_BE

'"EC^CF

,：四边形ABCD是平行四边形，

ΛBC=AD=8.

ΛEC=BC-BE=8-2="6."

.5_2

∙,6=CF-

.r∏12

'-CF=T.

4.【答案】(1)证明：YAD是口ABC的中线，.∙.BD=CD,

Y匚FDC和匚EDB是对顶角，二匚FDC=口EDB,

又TBEAE,CFIIAE,ΛIIDFC=DDEB=90°,

・・・匚BDE□□CDF（AAS）,ΛDE=DF

（2）解：设BH=IlxlHC=5%则BD=CD=^BC=8x

DH=3x,HC=5%

①：EHLAB

二匚EDH□□ADB.∙彩=器=於DE=DF

.DF_3

,,DA^8

②•.符=∣.∙.篙=∣∙.浇=∣ΛFH□ACΛPH□AC

VEG□ABΛ四边形HGAP为平行四边形

5.【答案】（1）解：'JAD=3,AC=6,AE=4,AB=8,

Λ。E1

a=-=-

C82

•・・A=二A,

・•・匚ADE匚ACB,

.DE_1

**BC=2'

•：BC=7

，DE=J

（2）解：Y第二工=2

EC6-4

・SAADE_4E_p

一阮一''

•SADEC=Q，

ʌ∆ADE=2a

V□ADECACB

•SdADE_A2

.2a=1

∙∙SABDC+0+2Q4，

:・S&BDE=5Q.

6.【答案】（1）证明：VAB=AC,CD=CA,

ΛCABC=□ACB,AB=CD,

Y四边形ABCE是圆内接四边形，

・•・匚ECD=口BAE,□CED=□ABC,

・.・匚ABC=□ACB=口AEB,

：,CED=IIAEB,

Λ□ABE□□CDE(AAS)；

(2)60°；9

.・•点P的坐标为(耨)；

(2)解：••・直线y=-2x+4分别交X轴，y轴于点E,F,

・・・E(2,0),尸(0,4),

∙.OE=2,OF=4,

延长BA交X轴于D,

设A[afa),

AC=AB=a,

•・•点A在直线OP上，

:∙AC=AD=a,

:∙BD=2a,

VBD//OF,

・•・△EDB△EFO,

t,OE^OF

2—a_2a

ʌɪ=T

ʌα=1,

•••点P到线段AB的距离=∣-1=J.

22

8.【答案】（1）解：根据勾股定理得：BA=√6+8

分两种情况讨论:

①当口BPQ□□BAC时，黑=祟，

DADL

VBP=5t,QC=4t,AB=10,BC=8,

•5t_84t

，解得，t=l,

②当□BPQ□□BCA时，煞=晋，

DCDA

•5t8-4£绍7日t-32

∙∙∙^=F-'解得'Q41;

Λt=l或言时，□BPQ□□BCA

(2)解：过P作PMLBC于点M,AQ,CP交于点N,如图所示:

贝IJPB=53PM=3t,MC=8-43

V□NAC+□NCA=90o,□PCM+□NCA=90o,

ΛCNAC=□PCM,

VLACQ=DPMC,

・・・匚ACQ□匚CMP,

.AC_CQ

.•.$=等，解得t=

9.【答案】(1)证明：如图1,・・・AC平分匚BAD,

Λ□BAC=□DAC,

：.BD=CD

ΛBC=CD.

(2)解：如图所示，延长AB至点E,使BE=AD,连接EC,

・・四边形BACD为圆的内接四边形，

∖□ABC+□ADC=180o,Λ□EBC=DADC,

・・BC=CD,

•・ACD□匚ECB(SAS),

・・EC=AC,

∕AD+AB=√2AC,

∖AE=√2AC=√2EC,

∖AC2+EC2=AE2,

，ECA=90o,

∙'∙S∕ACE=^i4C2=8,

ΛAC=4.

(3)解：V□ADB=□FDB,CF□BD,

・•・匚DFG=口BDF,匚G=口BDA,

Λ□DFG=□G,

JAD=DF=DG,

VAD=2,ΛDF=DG=2,

・・・D为AG的中点，

V□DCG=□BDC,CBDC=□BAC=□CAG,

ΛLDCG=□CAG,

又∙.∙□G=口CGA,Λ□DCG□□ACG,

•DG_CG日口2_CG

,'CG^AG'即CG=T'

ΛCG=2√2.

IO.【答案】(1)80；8√3

(2)解：过点B作BE□AD交AC于点E,如图3所示:

D

'O

C

图3

VAC□AD,BE□AD,

ΛCDAC=□BEA=90o,

VCAOD=□EOB,

.∖AOD□□EOB,

.BO_E0_BE

"OD=AO=DA

VBO：OD=I:3,

.EO_BE__1

^A0=DA=3

VAO=6√3,

ΛEO=IA0=2√3，

ΛAE=A0+E0=6√3+2√3=8√3,

V□ABC=□ACB=75o,

ΛCBAC=30o,AB=AC,

ΛAB=2BE,

在Rt□AEB中，BE2+AE2=AB2,BR(8√3)?+BE』(2BE)2,

解得：BE=8,

.∖AB=AC=16,AD=3BE=24,

在Rt□CAD中，AC2÷AD2=DC2,BP162+242=DC2,

解得：DC=8√13.

IL【答案】(1)证明：・・•AO=OD,

Λ□OAD=□ADO,

VOC平分□BOD,

ΛCDOC=□COB,

又V□DOC÷□COB□=□OAD÷LADO,

・•・匚ADo=口DOC,

ΛCO□AD;

(2)解：VOA=OB=OC,

.∖ADB=90o,

・・・LAOD和匚ABD是等腰直角三角形,

ΛAD=√2AO,

VDE=DF,

Λ□DFE=DAED,

Y匚DFE=口AFO,

Λ□AFO=□AED,

∙/AOF=□ADE=90o,

Λ□ADE□□AOF,

图2

VOD=OB,□BOC=□DOC,Λ□BOC□□DOC(SAS),JBC=CD,

设BC=CD=X,CG=m,则0G=2-m,

VOB2-OG2=BC2-CG2,

(2-m)2=x2-m2,解得：m=iχ2,ΛOG=2—iχ2,

VOD=OB,LIDOG=□BOG,JG为BD的中点，

又∙.∙0为AB的中点，.∙.AD=2OG=4-∣χ2,

二四边形ABCD的周长为2BC+AD+AB=2x+4-∣χ2÷4=-∣χ2+2x+8=

-4(x-2)2+lθɪ

•••—O,.∙.x=2时，四边形ABCD的周长有最大值为10..∙.BC=2,

.∙.匚BCO为等边三角形，ΛCBOC=60o,VOC□AD,Λ□DAC=□COB=60o,

Λ：ADF=□DOC=60o,□DAE=30o,ΛDAFD=90°,二若=孚，DF=ɪ

DA,

•DE2√3

12.【答案】(1)解：∙.∙在Λt∆ΛCFφ,匚C=90°,AC=4cm,BC=3cm,

・・・AB=yjAC2+BC2=√42+32=5(cm)，

由题意得：BP=tcm,AQ=2tcm,

・••AP=AB-BP=(5—t)cm,

当点A在PQ垂直平分线上时，贝IjAP=ZQ,即5T=23

解得t=|，

当t=I时，点A在PQ垂直平分线上.

(2)解：①当NZQP=90。时，∆A=∆A,NAQP=ZC=90。,

.∙.ΔAQP~ΔACB,

.AQ_AP∏2t5-t

"AC^AB,g即彳-一丁’

解得t=当

②当NAPQ=90°时，NA=ZA,Z.APQ=ZC=90°,

APQ-ΔACB,

APAQH∏5—t2t

∙∙∙½c=⅛'即丁=亏’

解得t=卷

.∙.综上所述，当t为学或患时，AAPQ为直角三角形.

(3)解：如图，过点P作PHL4C于”，

.・・PHIlBC,

・•・△APH—△ABC,

PH_AP即粤=5-t

=ABf丁

解得P”=3-∣t,

11

PH-X2X

2-2-L(3-∙ξt),即y=-，产+3C(OVtV2),

在PQ把4面积平分，则SAAPQ=2^∆ABCf

311

t2+3t=XX3X4

-5-2-2-

得

舶

VO<t<2,

•-5-√5

∙∙t^-τ~,

.∙.存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt△4CB的面积平分，此时t的值为空.

13.【答案】(1)解：解方程%2-12%+32=0可得χ=4或x=8,VOA.OB的长是

关于X的一元二次方程/-i2x+32=0的两个实数根，且OB>OA,ΛOA=4,

0B=8,ΛA(0,4),B(-8,0),设直线AB解析式为y=kx+b,

(D—4，

解得I2，直线AB解析式为y=鼻+4；

伍=4,2

(2)解：：四边形AoCD为正方形，/.AD=CD=OC=OA=4,ΛC(-4,0),在

y=∣x+4中，令x=-4,可得y=2,ΛPC=PD=2,设Q(x,0),则CQ=IX+4],*/

以P、C、Q为顶点的三角形与口ADP相似，二有□PCQ口匚PDA和口PCQ□□ADP两

种情况，①当口PCQ□□PDAH寸，则有为=器，即I=在抖，解得x=0或

x=-8,此时Q点坐标为(-8,0)或(0,0)；②当□PCQ□□ADP时,则有凭=器，

即k+ii,解得χ=-3或x=-5,此时Q点坐标为(-3,0)或(-5,0)；综上可知存

在满足条件的点Q,其坐标为(-8,0)或(0,0)或(-3,0)或(-5,0)；

(3)解：由题意可设M(0,y),VA(0,4),C(-4,0),.,.AC=4√2,当AC为菱

形的一边时，则有AC=AM,S[J∣y-4∣=4√2，解得y=4±4√2,此时M点坐标为

(0,4+4√2)或(0,4-4√2);当AC为菱形的对角线时，则有MA=MC,由题意

可知此时M点即为O点，此时M点坐标为(0,0)；综上可知存在满足条件的M点，

其坐标为(0,4+4√2)或(0,4-4√2)或(0，0).

14.【答案】(1)=

(2)解：过点O作。Gj_MN,交MN于点G

C

GM=GN

.∖MP-NP=(GM÷GP)一(GN-GP)=2GP

VOGIMN

∙*∙OP∙cos∆OPQ=OP×-Qp=GP

：.MP-NP=20P∙cos∆OPQ;

(3)解：点O作。G,MN,交MN于点G,连接BN、MD,AP

VMQ=m∙MP,NQ=n∙NP

.*.m+n

=MQNQ

~~MP~NP

MP-PQNP-PQ

=-MP-+-^NP-

11

=2+PQ加丽)

MP-NP

=2+PQxNPxMP

根据(2)的结论，得MP-NP=2GP

PQxGP

.*.m+n=2+2

NP×MP

■:乙GPO=乙OPQ,Z.PGO=∆POQ=90°

Λ△PGOFPOQ

・・・笳暇，即GPXPQ=OP2

♦:乙BNM=乙BDM,乙BPN=(MPD

Λ△BNPSAMDP

.NP_BP

••诉=而

VOB=OD=OA

：.NPXMP=BPXDP=(OB-OP)(OD+OP)=OB2-OP2

∖∙CAPO=60o

∩Δ—

∙,∙tanZ.∕lPO=市=√3

：.OA=WOP

.,∙OB=√3OP

：.NP×MP=OB2-OP2=2OP2

.∙∙τn+n=2+2x^^=2+2><嘉=3;

②实数c的最大值为2√Σ∙

15.【答案】(1)证明：连结OC.

YCD与□0相切，OC为半径，

ΛC2+□3=90o,

TAB是□0的直径，

ΛCACB=90o,

Λ□l+□B=90o,

XVOA=OC,

Λ□l=□2,

Λ□3=□B,

即B=DCA.

(2)解：VAD□BC,AB是匚O的直径,

Λ□DAC=□ACB=90o,

V□l+□B=90o,□2+□3=90o,□1=□2,

."B=3,

ΛCABC□□DCA,

.AC_BC

,'DC"AB'

,.∙B的正切值为呼，

设AC=√5fc,BC=2k,贝IJAB=3k,

•©_2

,,~DC=3'

•3√5∕c

∙∙DnCr=~T~

在ODC中，OD=3√6，OC=ɪAB=∣k,

222

Λ(3^)+(∣fc)=(3√6)，

，解得：k=2,

∙∙∙口0的半径长为3.

16.【答案】(1)证明：如图1,延长Ao交O于M,连接DM,则AM是口0直径,

・•・匚AMD+□MAD=900

VAC□BD,

"AEB=90。，

Λ□BAC+□ABD=90o,

V□ABD=□AMD,

□AMD+ZMAD=90o,

.∖BAC=□MAD,

即匚BAC=口OAD；

(2)证明：如图2,

・•・BAC÷CAO=OAD+；ICAO,

ΛCBAF=□CAD,

・.,ABD=□ACD,

ΛCABF□□ACD,

.AB_BF

••衣=R

VAC=CD,

ΛAB=BF；

(3)解：连接OC、OD,在线CA上取Q∣,使得CQl=DQ=6,连接QQ∣,OQ1,线

段QQI和线段0交于点P,再过圆心0作OOI□AC于点如图：

c

由(2)知：□ABF□□ACD,

ΛCEFA=□CDA,

V□CDA=□EAD

Λ□EAD=DEFA,

又∙.∙□AEF=匚DEA=90°,

，匚EFA□E2EAD,

.EF_AE

-AE=DE9

VAC=CD,EC=DF,

.∙.AE=AC-EC=CD-EC=CD-DF,

;DE=EF+DF,

,EF_CD-DF

a*CD-DF=FF+DF,

J(CD-DF)2=EF(EF+DF)①，

Y