福建省厦门某中学2023届高三一模数学试题

福建省厦门第一中学2023届高三一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1,已知集合"=｛疝吗》<4｝,5=｛x||x|<2))则(忠/)【8=()

A-[-2,0)B-[0,2)C-(0,2)D.(-2,0]

2.已知是数z满足0+i”-2i=3,贝仁对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.S“是数列｛q｝的前〃项和，则“数列｛勺｝为常数列”是“数列｛$｝为等差数列”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知\夕为锐角，的。=2,咨则tan("20=()

A.-B.-1C.—D.—

331111

5.已知函数/(x)=a/+|x+a+l|为偶函数，则不等式/(x)>0的解集为()

0B-(-l,0)U(0,l)

C-(-1,1)D-(-<»,-l)u(l,+co)

6.定义在R上的函数外月满足〃x+l)=/(x)-2,则下列是周期函数的是()

A.y=f[x)-xB.y=/(x)+x

Cy=/(x)-2xD.y=/(x)+2x

7.已知双曲线[一E=l(">0,6>0)的左、右焦点分别为耳、鸟，过名作一条直线

试卷第11页，共33页

与双曲线右支交于A、8两点，坐标原点为°,若3|="2+〃,忸/=5。，则该双

曲线的离心率为（）

A.姮B.巫C.巫D.厢

8.已知数列｛叫满足：％+的=°,%+?+（_］）竽4=2,则数列｛“"｝的前10°项的和

为（）

A-50B,98C,100D,102

二、多选题

9.设£、B为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（）

A.医=&B.a2=|a|2

aa

22

C.（1盯=7.庐D,（^-b）=a-2a-b+b

10.将函数>=2sin（2x-］）的图象向右平移03>°）个单位长度，再将所得图象上每

一点的横坐标缩短到原来的3，得到函数的图象，若的图象关于直线工=巴对

4

称，则勿的取值可能为（）

akci

11.已知实数，,满足lna=2〃=”，则下列关系式中可能成立的是（）

ARCD.

•c>b>a*a>c>b*c>a>ba>b>c

试卷第21页，共33页

12.已知正四面体力8C。的棱长为2上，其外接球的球心为。•点E满足

族=义方（0<义<1）,。/=〃8（0<〃<1）,过点E作平面&行于4C和80,平面a

分别与该正四面体的棱8c，CD'zo相交于点"，G，“，则（）

A.四边形目以加的周长为定值

B.四棱锥'一矶⑹"的体积的最大值为整

O1

C.当4=工时，平面a截球。所得截面的周长为6兀

2

D.当心=工I时，将正四体力A"RCm"绕FF旋转"QUO°后与原四面体的公共部分体积

2

为&

3

三、填空题

13.已知（i_2x）"的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含

V的系数为一.

14.假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有4个小孩的家庭，随机选择一个家庭,

则当己知该家庭4个小孩中有女孩的条件下，4个小孩中至少有2个男孩的概率为―

15.若函数/卜）的值域为（0可，且满足小+1）=/（1），则的解析式可以是

/（x）=一

试卷第31页，共33页

四、双空题

16.一曲线族的包络线(Envelope)是这样的曲线：该曲线不包含于曲线族中，但过

该曲线上的每一点，都有曲线族中的一条曲线与它在这一点处相切，若圆

/+/=］是直线族qx+"_i=o(a,beH)的包络线，则”，b满足的关系式为;

若曲线G是直线族(l-?)x+2(y-2?-4=0(Ze/?)的包络线，则C2的长为.

五、解答题

17.已知等差数列｛叫和等比数列低｝满足4=2,若数列｛“上｝的前〃项和为5“，且

5„=(H-l)2n+l+2-

⑴求数列｛q｝,也｝的通项公式；

(2)若数列｛%｝满足：3=(2%-1)”，求数列匕｝的前“项和T」

18.如图，圆台上底面圆g半径为1,下底面圆U半径为为圆台下底面的一条

直径，圆o,上点c满足ZC=8C,PO1是圆台上底面的一条半径，点P,c在平面

的同侧，且PQJ/BC.

P

试卷第41页，共33页

(2)若圆台的高为2,求直线与平面P8C所成角的正弦值.

19.在V48C中,角4优。所对的边分别为。也c,J=l*sirt4sin2J=(1-cosJ)(l—cos2J),

⑴求角；

aA

⑵若VZ5C的面积S'*®0叫，求8sB.

20.已知圆E：(X+1)2+J?=16，点尸(1,0)，G是圆E上任意一点，线段GF的垂直

平分线和半径GE相交于〃

求动点”的轨迹「的方程；

(1)n1

⑵经过点尸和7(7,0)的圆与直线/：x=4交于尸，0，己知点/(2,0)，且4P、4Q分

别与「交于“、%•试探究直线MV是否经过定点•如果有，请求出定点；如果没有，

请说明理由.

21.2021年11月4日，第四届中国国际进口博览会在上海开幕，共计2900多家参展商

参展，420多项新产品，新技术，新服务在本届进博会上亮相.某投资公司现从中选

出20种新产品进行投资.为给下一年度投资提供决策依据，需了解年研发经费对年销

售额的影响，该公司甲、乙两部门分别从这20种新产品中随机地选取io种产品，每种

产品被甲、乙两部门是否选中相互独立.

试卷第51页，共33页

(1)求20种新产品中产品A被甲部门或乙部门选中的概率;

(2)甲部门对选取的10种产品的年研发经费苦(单位：万元)和年销售额

乂(，=1,2,…,10)(单位：十万元)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计

量的值.根据散点图现拟定，关于X的回归方程为j="x_3)2+/求.、否的值(结果

精确到01):

(3)甲、乙两部门同时选中了新产品人，现用掷骰子的方式确定投资金额.若每次掷骰

子点数大于2,则甲部门增加投资1万元，乙部门不增加投资；若点数小于3,则乙部

门增加投资2万元，甲部门不增加投资，求两部门投资资金总和恰好为I。。万元的概率.

附：对于一组数据(匕因)、(岭外)、L、(匕此J，其回归直线〃=a+£y的斜率和截

代1加2016-205x7.529

8773-205x20.5-277

距的最小二乘估计分别为BJ---------

Z(匕T

»=1

2016-65x7.5_1019

8773-65x6.5-5567

22.函数/(x)=W^+a(x-l)-2.

⑴当〃=0时，求函数/(x)的极值;

试卷第61页，共33页

（2）若对任意xe（°，l）U（l，M）,不等式/区＜巴恒成立，求实数”的取值范围.

1-XX

试卷第71页，共33页

参考答案:

1.D

【分析】求出集合A、B,利用补集和交集的定义可求得集合（忘

［详解】因为/={x|log2X<4}=卜［0<x<16},B={小|<2)={x||x|<2)={x|-2<x<2}o

所以，取/=卜,<0或xN16｝，因此，（R/）I8=（-2,。］.

故选：D.

2.A

【分析】利用复数的运算化简复数z，利用共轨复数的定义结合复数的几何意义可得出结

论.

【详解】因为°+i）z-2i=3,则2=药0=0a）（匕=,则』=』+1,

1+i（l+i）（l-i）2222

因此，I对应的点位于第一象限.

故选：A.

3.A

【分析】首先看充分性，数列也｝为常数列可以得到数列⑸｝为等差数列，而数列电｝为

等差数列，举一反例即可证明数列｛〃“｝不为常数列，即可得解.

【详解】若数列｛%｝为常数列，则S“=na｝是公差为4的等差数列;

若数列｛§,｝为等差数列，

例如S”=2〃+1,贝！I%=3,々=&一S=2,

数列｛%｝不为常数列.

故选：A.

4.C

答案第11页，共22页

【分析】由已知求出tan2万，再利用差的正切公式可求.

【详解】因为0,夕为锐角，所以8$0=述•所以sin£=t，tan£=；,

、02tanB14

etan2£=----J=--=-

又1-tan2113,

4

tana-tan2/?_32

则tan(a—2/?)=

1+tana•tan2夕j+8H-

3

故选：C.

5.B

【分析】先求得参数。的值，再去求不等式/(句＞0的解集

【详解】因为为偶函数，所以〃-1)=/(1)，即a+|a+2|=a+|a|

2

解之得a=7,经检验符合题意•则/(x)=-x+|x|

由--+国＞0,可得x«_i,O)U(O,l)

故=-JC2+|x|＞0的解集为(-l,O)U(O,l)，

故选：B.

6.D

【分析】根据已知条件进行化简，结合周期函数的知识确定正确选项.

【详解】依题意，定义在R上的函数满足/(x+l)=/(x)-2-

所以y(x+i)+2(x+i)=y(x)+2x，

所以y=/(x)+2x是周期为1的周期函数•

故选：D

答案第21页，共22页

7.B

【分析】作出图形，分析可知N片/尸2为直角三角形，设|4入|=机，在V/8G中，利用勾股

定理求出心，然后在ANF区中，利用勾股定理可求出该双曲线的离心率的值.

【详解】如下图所示：

因为QH=c=|O用则N。/月=/。片/，ZOAF2=ZOF2A>

所以，ZF,AF2=Z.OAFt+ZOAF2=^/.OAF,+ZOF}A+ZOAF2+ZOF2A)=90',

因为|明=5a，则忸闻=|%|一2a=3a'

设|力用=，”，则|/用="?+2°，则|力用="?+3”，

由勾股定理可得|/f+|”f=忸用2，即("7+2a)2+(加+3a『=(5a)2,

整理可得"/+5a机一6/=0，因为，”0,解得用"，所以，,周=。，团=3。，

由勾股定理可得|小卜以町=山可，即9/+/=(2C>，整理可得2c=JiI，

因此，该双曲线的离心率为e=£=叵.

a2

故选：B.

答案第31页，共22页

8.C

【分析】根据对"的分类讨论，令〃=1,2,3,4可得%+4=4,。5+4=0,进行归纳可得规

律—+*=0,*+a“=4（keN*），再进行求和即可得解•

【详解】由八+㈠）智«„=2,4+%=°,

令〃。2、3、4限+㈠芦-2,

可得%-《=2，%-%=2，

两式相加可得%+%=4,%+4=2,ab+at=2>

两式相加％+a5=0,a7-a5=2,a8-a6=2=>tz7+a8=4>

进行推论归纳可得k+k=。，*+a4*=4ReN），

所以，对任意的"甘，。4*_3+*2+%*-1+%*=4,

所以，数列｛《,｝的前100项的和为4x25=100・

故选：C.

9.BD

【分析】利用空间数量积的定义、运算性质逐项判断，可得出合适的选项•

【详解】对于A选项，向量不能作除法，A错：

对于B选项，a=|a|,B对；

对于C选项，=（同卡卜（《（（1,助=|a|"|ft|"cos2^a,h^<a~-b',C错;

答案第41页，共22页

对于D选项，=a-2a-b+b",D对.

故选：BD.

10.AD

【分析】根据图象的变换规律求出/(x)的解析式，进而求出对称轴，即可得到。的取值情

况.

【详解】函数y=2sin(2x-g)的图象向右平移火夕>°)个单位长度，得到函数

y=2sin(2x—2*-；)的图象，

再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的,得到函数/(x)=2sin(4x-

•““)的图象关于直线乂=4对称

4

,7UUJ,兀~T7•:0>0

4x2也=kH—keZ:.甲=-------,kwZ乂

432122

^k=-2,13兀^k=-l,7TI±%=0汁+兀

当时，0=—-；当时，W=:；当[^,0==；

121212

故选：AD.

11.BCD

【分析】设1迎=2〃=屋匕，得到'=%,c=5，分别作出尸e',y=bg/,

y=，■的图象，结合图象，即可求解.

X

答案第51页，共22页

【详解】根据题意，设3=2=/=，，其中’>°，贝广e-=log”

在同一坐标系中分别画出函数，=，',V=bg2X,y=］的图象，

x

当t=X|时，c>a>b；当r=w时，a>c>b;当/=/时，a>b>c，

由此可以看出，不可能出现o'>。这种情况.

12.ABD

【分析】将正四面体转化为正方体，利用正方体的性质分析运算，对A：根据面面平行的

性质定理结合平行线的性质分析运算；对B：根据锥体体积公式，利用导数求其最值：对

C：根据球的性质分析运算；对D：根据正方体分析可得：两个正四面体的公共部分两个

全等的正四棱锥组合而成，利用锥体体积公式运算求解.

【详解】对于边长为2的正方体zqcA-MBCQ，则"BCD为棱长为2a的正四面体，则

球心。即为正方体的中心，

连接BQ,设ZCIBQQN，

BBjiDD,，BB、=DR，则BB、D、D为平行四边形，

BD//B,Dt,

答案第61页，共22页

又•：BD〃平面a,及口0平面a,

/•B\D、H平面a,

又〃平面a,ACTBRQN，4c圜平面，

平面a〃平面/gCR，

对A：如图1,

•.•平面a〃平面/qcR，平面an平面=，平面NqCR八平面48c=ZC，

:F"AC,则他.=些=1_4,即EA/=（1T）/C=2应（T）,

ACAB

同理可得：HE//GM//BR，HE=GM=2VLi，

EM//GH//AC>EA/=G，=2何1-2），

，四边形EMG”的周长£=EW+MG+G//+E//=40（定值），A正确；

G

C

对B：如图1,由A可知：HEHGMHB、D\，HE=GM=2叵小

EM//GH//AC-EM=GH=2y[2（i-A）'

AB,CD1为正方形，则AC1BR，

答案第71页，共22页

EMGH为矩形，

根据平行可得：点/到平面。的距离〃=4/4=22，

故四棱锥"一£"0"的体积展;x24x2&x2及（1-2）号（万-分），

则片=个；1（2-3；1）,

v0<2<1,则当0“<|时，则"在（0高上单调递增，

当|<2<1时，则"在（g,l）上单调递减，

.•.当4=2时，"取到最大值粤，

381

故四棱锥'—的体积的最大值为暮，B正确：

81

对C：正四面体/BCD的外接球即为正方体明cn-48CQ的外接球，

其半径/?=百，

设平面a截球。所得截面的圆心为Q,半径为『，

,1,AE1EMGH..*.,,O

/=一n时，一=-,平面过外+接球球心，

2AB2

平面a截球。所得截面圆半径为/?=右，

截面圆周长为231Kglt«，C错误；

对D：如图2,将正四面体力8c。绕E/旋转90。后得到正四面体/由GA，

答案第81页，共22页

设42IAD=P,A}C,[BD=K,B£1BC=Q,B]D]IAC=N'

*=g,则瓦AP'Q'K'N分别为各面的中心，

，两个正四面体的公共部分为EFPQKN，为两个全等的正四棱锥组合而成,

根据正方体可得：EP=6,正四棱锥K-'EQ”的高为:44=1,

故公共部分的体积k=ZUK-PEQF=2X-1X1XA/2X>/2=^,D正确:

故选：BD.

图2

【点睛】思路点睛：对于正四面体的相关问题时.，我们常转化为正方体，利用正方体的性

质处理相关问题.

13--1320

【分析】根据题意求得〃=11，得到二项式为0_2x)”，结合展开式的通项，即可求解.

【详解】因为(1_2x)"的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，

可得C：=c：，即附=2+9=11，即二项式为，

其展开式的通项为=C[(-2x)’=(-2)'C；「，，

答案第91页，共22页

令厂=3,可得（_2）匕；*3=-1320x3，即展开式中/的系数为-1320.

故答案为：_]320，

14冬

-3

【分析】记事件从该家庭4个小孩中有女孩，事件8：该家庭中4个小孩中至少有2个男孩，

计算出尸（/）、尸（48）的值，利用条件概率公式可求得⑷的值.

【详解】记事件从该家庭4个小孩中有女孩，事件从该家庭中4个小孩中至少有2个男孩，

P（ZB）=C：

由条件概率公式可得P（B|4）=霁宇==

2

故答案为：j.

]5.（答案不唯一）

【分析】取/⑴出厂，求出函数小）的值域，验证小+1）=/（1-）成立，即可得

出结果.

【详解】取函数/"）=?广"，因为卜"0'划。</（x）=z.xH<1-即函数/（X）的值

域为（0,1]，

答案第101页，共22页

因为〃一吗〕欧则m（J）,

所以，函数/（X）的解析式可以为/"）=

故答案为：（答案不唯一）.

16.a~+b~=147r.

【分析】根据题意，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程，分析方程，即可求

解.

【详解】由题意，若圆G：/+了2=]是直线族"+勿_i=o（a,beR）的包络线，

可得/I一=1,可得"'"'I；

yla2+b2

又由曲线C?是直线族0_*卜+2W-2/-4=0（/wR）的包络线，

可得M+2（y-l）f+x-4|为定值，则（2（尸1）=0,可得卜=2,此时厂=2,

l+t2[-x=x-4[y=i

所以曲线C2的方程为（x-2）2+（y-l）2=4,所以曲线a的周长为4人

故答案为：a2+b2=｝<4〃.

17.(1)%=〃，3=2"；

(2)7；=(2n-3)x2B+,+6-

【分析】（1）根据通项《也,与S”的关系求出数列｛《也｝的通项公式，再由〃=2,〃=3列出

方程求出公差公比即可得出｛见｝，他,｝的通项公式；

答案第111页，共22页

(2)利用错位相减法求出数列｛%｝的前〃项和7；即可•

【详解】(1)由S,,+2①，

可得加=(〃-2>2"+2可22)②,

由①"②得《也,=止2"("22)

又“i4=2也符合上式，所以。也="-2"，

由4=2得4=1，设等差数列｛6｝的公差为〃，等比数列也“｝的公比为夕，则有

(dn+1-d)x2xq"~'=n-2"'

令"=2，有(l+d)x2xq=8，

令〃=3，有(l+2d)x2xq2=24

解得”=1,泪2或者_q=6

取"=4,有(l+3d)x2xq?=64,检验得d=-；,g=6(舍去)

所以a“=〃，b"=2"；

(2)由c.=(2凡-1也得c“=(2〃-l-2"'

所以7；=lx2i+3x22+5x23+3+(2〃-l)x2"

则27；=1X22+3X23+I+(2"-3)X2"+(2〃-1)X2"|

两式相减得，_北=1x2^+2x2?+2x23+…+2x2"-(2〃-l)x2"*i

=2+(23+24+-+2,,+l)-(2n-l)x2n+,

答案第121页，共22页

=2+*；_(2I)x*

=(3-2〃)x2””-6

.-.7；=(2n-3)x2"+'+6

18.(1)证明见解析

(2)2J30

15

【分析】(1)取AC中点“，四边形POQ2A/为平行四边形，从而得到尸A/〃OQ,,根据

QO,_L平面力8c可得尸M_L平面/8C，从而得到需求证的面面垂直•

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，求出其及平面尸8c的法向量后可求线面角的正

弦值.

ACM

【详解】(1)取中点，由题意，PO、=I,BC=与AB=2'

又PO'〃BC,故po//；BCpo、=；BC.

M

又O2M//^BC,O2M=；BC,故PO'HOMP。、=°i,

所以四边形POQ2M为平行四边形，则尸必〃002・

由_L平面ABC，故PA/1•平面/8C，

乂PA/u面PAC,故平面P/CJ_平面/8U

(2)以U为坐标原点，瓦瓦灰，西的方向为xj,z轴的正方向，建立如图所示的空间

答案第131页，共22页

直角坐标系.则有：/卜技o,o),8(及,o,o),c(o,女,0)/(-等,乎,2,q(0,0,2”

故NO]=(/,0,2).

设平面P8C的法向量万=(x,乂z)

而瑟=卜血,&,0),而=一冬-率2，

n-BC=-\p2x+\/2y—0z=1n(V2,V2,1).

令得

-及6八

nCP=----x----y+29z=0

22

0

设所求角的大小为则sin。

所以直线AQ与平面所成角的正弦值为名区.

15

19.(1)-

3

⑵-立

14

答案第141页，共22页

【分析】(1)根据二倍角公式化简可得cosN=!，进而可得解；

2

(2)由5=3(8从-9*=；幅的及余弦定理/+c?整理得°=3。，进而可

得解.

【详解】(1)由题意,sinJ-2sinJcosJ=(l-coS/4)-2sin2?!,

vsinAw0,.\cosA=1-cosA.

有cosA=--,v0<A<7r,:.A=—

23

(2)由余弦定理，=人2+c2-IbcCOSA，有〃2=力2+62_bc-

-9a2),bcsiW代入得:

)2

2l

整理得：b-6bc+9c=0,即(h-3c了=0,/.b=3c•此时a=[产+c?-be=不c'

a2-^c2-b27+1-9V7

cosB=

20.⑴江+J]

43

(2)经过定点，定点坐标为0,0)

【分析】(1)利用椭圆的定义即可求出动点”的轨迹「的方程；

(2)设”(占,“)，N(x2,y.)'直线MN的方程为：丫=叩+〃，与椭圆方程联立，根据韦

达定理列出外，必，芍，外之间的关系，再利用两点式写出直线n的方程，求出点

答案第151页，共22页

,Q（4,亘二］，再写出以为直径的圆的方程，根据圆的方程经过点7（7，°）,

I，X2~2>

得到关系式，进而求得〃为定值，从而得到直线“N过定点•

7\HE\+\HF\=\HE\+\HG\=4，且阳=2<4，

.••点”的轨迹是以E，尸为焦点的椭圆，

设椭圆方程二+J1，则21,。=1,;-=2,b==

a2b2

LT22

所以点的轨迹方程为：工+匕=1.

43

(2)设直线用可的方程为：x=+〃，

x2y2_(3m2+4]y2+6mny+3n2-12=0

由彳+7=1,得

x=my+n

设“GM,N(X"2),6^?2

KIJ3H-12

3m-+43m2+4

所以，玉+%=m(x+%)+2〃=—-->x,x2=(叼।+n)(wy2+〃)=-12"；+4〃_.

J〃?+4~~3〃z~+4

答案第161页，共22页

因为直线的方程为：y=°、（x-2）,令、=4,得力=松,

>X]LX]/

即（1丫+/一2^

IM-z

因为圆过点（7，。），所以，9+悬'0r°,

⑵2-48

9+——%=o

（再+）,代入得9+一百+”有二

XjX2-2x2+4=0

------------------------------1-4

3m2+43〃/+4

化简得‘9+段黑=°（4〃76〃+哈。,〃川，解得〃/T（舍去），

所以直线经过定点0,0），

当直线A/N的斜率为。时，此时直线A/N与x轴重合，直线MN经过点0,0），

综上所述，直线经过定点0,0）・

2】.呜3;

⑵5=0.1，3=5.4；

⑶泊

答案第171页，共22页

【分析】（1）利用组合计数原理、古典概型的概率公式以及对立事件的概率公式可求得所

求事件的概率；

（2）令f=计算出八7的值，利用最小二乘法公式结合表格中的数据可求得£、

3的值；

（3）设投资资金总和恰好为〃万元的概率为月，则投资资金总和恰好为（〃+1）万元的概率

为勺+1=3匕+＜夕1（”22）,推导出数列｛匕+LEJ是首项为《，公比为的等比数列，利

3393

用累加法可求得的值.，

【详解】（1）解：20种新产品中产品A没有被甲部门和乙部门同时选中的概率

P口

《524

A1&

所以产品被甲部门或乙部门选中的概率为1-，=士.

44

（2）解：令£/=（/工-37）,由题中数据得f=_1L310a-3）-2=20.5,_yj11%0=7.5,

10i=i10j=]

10101010

»泌=2（七-3）2%=2016,=X（x,-3）,=8773，

i=l/=1z=li=l

a——---29

Vty.-\Qtya=y-bx=1.5-----x20.5«5.4

白典/2016-205x7.529…277

h----------=---------------=---«I）I,

2

yz2_1（）-8773-205x20.5277.

答案第181页，共22页

（3）解：由题意知，掷骰子时甲部门增加投资1।万元发生的概率2为乙部门增加投资”?

万元发生的概率为;.

设投资资金总和恰好为〃万元的概率为5，则投资资金总和恰好为（〃+1）万元的概率为

21

p„+i=-p„+-p„.A^^-

711

所以4向_勺=3勺+§匕7_勺=_§（勺_51）（〃22）,

因为〃，*+|白，­2=一1

39

所以数歹IJ{5M-R}是首项为公比为-;的等比数列，所以匕「勺=1x（-4

所以片00=々+（舄一4）