四川省眉山市2023届高三第二次诊断性考试数学（理）试题(含答案)

眉山市高中2023届第二次诊断性考试

数学(理工类)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.已知(l+i)2z=2+i,贝Uz=()

1.1.-1.31.

A.—iB.11iC.—FiD.-----i

22244

2.设全集为R,集合AhX五∣≤θ[,3={x∣x>l},贝IIAC(QB)=()

A.∣Λ∣-3<Λ<2}B.{x∣-3≤x<l}C.{x∣-3≤x≤l}D.∣Λ∣1<X≤2∣

3.某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物.为

了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了IOO株该农作物苗，经测量，其高度(单位:Cm)均在区间[10,20]

内，按照[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记

高度不低于16Cm的为“优质苗”.则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为()

A.20B.40C.60D.88

4.数学与音乐有着紧密的关联,我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音,而是由多种波叠加而成的复合音.如

图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为()

A.y=sinX÷-sin2x+-sin3xB.y=sinx——sin2x——sin3x

2323

C.y=sinx+'cos2x+'cos3xD.y=cosx+I-COCS2x+l-CCOS3X

-2323

5.已知，CoS2α+2sin2a=l,则sina=()

ɪ√542√5

A.B.--C.一D.

5555

6.一个四棱台的三视图如图所示,其中正视图和侧视图均为上底长为2,下底长为4,腰长为2的等腰梯形,

则该四棱台的体积为()

ZΞ∖

A.256

B.—C.28√3D.56

33

7.已知实数m。满足Iog24<log2b<θ,则下列各项中一定成立的是()

ba

A.∖∕a>∖[bB.sin2a<sin2bC.Iognβ<logfteD.a<b

8.已知四棱柱ABCZ)-44CQl的底面是正方形，AB=2,A4,=2√L点BI在底面ABC。的射影为BC

中点H,则直线AA与平面ABCZ)所成角的正弦值为()

√143√7√6

A.——B.一C.D.

4443

9.已知函数/(x)=J^SinX-CoSX.给出下列结论:①f是小)的最小值;②函数“同在-

11yr

上单调递增；③将函数y=2sinx的图象上的所有点向左平移——个单位长度，可得到函数y=∕(x)的图

6

象.其中所有正确结论的序号是()

A.①②B.φ(3)C.②③D.①②③

10.已知直线I:y=MX+2)仅>0)与抛物线y2=4x交于点4,8,以线段AB为直径的圆经过定点7)(2,0),

则网=()

A.4B.6C.8D.10

o

11.在菱形ABC。中，AB=2,ZA=60,将ZkjBQD绕对角线8。所在直线旋转至3PQ,使得AP=J

则三棱锥P-ΛBO的外接球的表面积为（）

Sπ20420Λ∕15^25π

A.—B.------C.------------D.------

33273

12.若存在Λn∈[-1,2],使不等式Xo+G—1）InaNW+e2/-2成立，则4的取值范围是（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知AB=（1,2）,AC=（2,7）,Wq=1,则实数.=.

14.已知（x+α）（x-2）5的展开式中含r项的系数为一60,则α=.

r2V2

15.已知O为坐标原点，直线y=x+2与双曲线。：亍―R=l（α>0,b>0）的两条渐近线从左往右顺次交

于A,3两点.若2|。4|=|0同，则双曲线C的离心率为.

16.Z∖A∙SC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c.若（2a—c）COSB=∕?CoSC,且匕=JJ,则ZkABC

周长的最大值为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都

必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）某商店销售某种产品，为了解客户对该产品的评价，现随机调查了200名客户，其评价结果为“一

般”或“良好”，并得到如下列联表：

____________________________唯___________________________

男20100120

女305080

合计50150200

（1）通过计算判断，有没有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？

（2）该商店在春节期间开展促销活动，该产品共有如下两个销售方案.

方案一：按原价的8折销售；

方案二：顾客购买该产品时，可在一个装有4张“每满200元少80元”，6张“每满200元少40元”共10张优惠券

的不透明箱子中，随机抽取1张，购买时按照所抽取的优惠券进行优惠.

己知该产品原价为260（元/件）.顾客甲若想采用方案二的方式购买一件产品，估计顾客甲需支付的金额；你

认为顾客甲选择哪种购买方案较为合理?

附表及公式：

P(κ2≥扁)0.150.100.050.0250.010

k。2.0722.7063.8415.0246.635

其中K2=_____"34)2_____

n=a+b+c+d.

(α+b)(c+d)(α+c)(8+d)

18.（12分）已知数列｛0,,｝是公差为2的等差数列，4+4=4，｛4｝是公比大于O的等比数列，R=3,

b3-b2-18.

（1）求数列｛a,,｝和｛2｝的通项公式;

（2）若数列｛%｝满足q,=α∕,,,求｛c,,｝的前〃项和7；.

19.（12分）如图，在三棱锥P—A3C中，H为aABC的内心，直线AH与BC交于M,ZPAB=ZPAC,

ZPCA=ZPCB.

（1）证明：平面∕½MJ_平面ABC；

（2）若A3J_BC,PA=AB=3,BC=A,求二面角M-PA-C的余弦值.

20.（12分）已知椭圆E：［+2=l（a＞力＞°）经过4（0,1），7（—§,一|）两点，M,N是椭圆E上异于T

的两动点，且NM4T=NN4T,若直线4例，AN的斜率均存在，并分别记为占，k2.

（1）求证：匕网为常数；

（2）求Z∖AΛW面积的最大值.

21.（12分）已知函数/（x）=oe,—/有两个极值点匹，x2（x∣＜x2）.

（1）求”的取值范围；

（2）若eʌ,+（e-2）w≥Xχw,求几的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.［选修4一4：坐标系与参数方程］（10分）

在直角坐标系XOy中，直线/的参数方程为〈V'(t为参数).以坐标原点。为极点，X轴的正半轴

［y=t

为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为Ap2sin2θ=3(p2-l).

(1)求C的直角坐标方程；

(2)设直线/与曲线C交于A,B,求IAB卜

23.［选修4一5：不等式选讲］(10分)

设函数/(x)=∣2x-3∣+∣2x+l∣.

(1)解不等式/(x)≤6-x;

1198

(2)令/(x)的最小值为T,正数X,y,Z满足x+y+2z=T,证明：——+——+——≥-.

x+1y+1z+25

理科数学参考解答及评分参考

1.A2.C3.C4.A5.D6.A7.D8.C9.B10.C11.B12.D

13.214.-15.√1016.3√3

2

ɪ,,200×(20×50-30×100)2100,ɪ

17.解析：(1)由题，得K?=-----------------------------L=——≈11.11>6.635,因此，有99%x的把l握认为

50×150×120×809

客户对该产品的评价结果与性别有关.

(2)顾客甲若想采用方案二的方式购买一件产品，设可能支付的金额为X,X的值可能为180,220.

46

由题P(X=I80)=历=0.4；P(X=220)=-=0.6,则E(X)=I80x0.4+220x0.6=204(元)，

顾客甲若采用方案二的方式购买一件产品，需支付金额的估计值为204元.

顾客甲若采用方案一的方式购买一件产品，需支付金额为206x0.8=208(元).

所以，该顾客采用方案二的方式购买较为合理.

18.解析：(1)由己知q+q+4=q+6,所以q=2,所以数列｛4｝的通项公式为4=2〃.

设等比数列他,｝的公比为g,由4=3,打一打=18则3d-3q=18,即/—4—6=0,解得q=3,

q=-2(舍去)，所以数列抄“｝的通项公式为2=3".

(2)由(1)得%=2小3",所以q=2χ3+4χ32+6χ33+∙∙∙+2"∙3〃①

3^=2χ32+4×33+6×34+∙∙∙+2(n-l)3,,+2n∙3,l+l(2)

Φ-(2)W-27;,=2×3+2×32+2×33+∙∙→2×3π-2n∙3,'+l,所以

3(1—3"[33«+i

-T=3+32+33+-+3π-n∙3π+'=-^-----ʌ-n∙3π+1,即—£,=—3+、——n∙3n+',所以

"1-322

n+

Tπ=-+^^--3'.

n22

19.解析：(1)证明：设PNJ_平面4BC于点M过N作NE_LA3于E,N/J,AC于尸，连接PE,PF.因

为PN上平面ABC,ABU平面ABC,所以PNLA3.又因为NE上AB,所以ABL平面PNE,所以

ABLPE,同理AC上PF.在RfaPAE,也Z√¼R中，∕PAE=∕PAF,Pb=Ph,W2∖E^∕∖P∖F,

所以A尸=AE.在RtAANE,MZ∖ANF中，AF^AE,AN=AN,故,所以

NE=NF.即N到48,AC的距离相等，同理N到BC,4C的距离相等，故N为BC的内心，N与H

重合.所以PHj_平面ABC.又因为尸〃U平面APM,所以平面ZW，平面ABC

(2)由于AB_L3C,故可以以B为坐标原点,8C为X轴,BA为〉，轴建立如图所示空间直角坐标系，则B(0,0,0),

C(4,0,0),A(0,3,0).

设AABC的内切圆半径为r,则S^ABc=gx4x3=gr(3+4+5),故r=l.所以"(1,1,0),

AH=y∣r2+AE2=√5,PH7AP。-AH!=2,故P(l,l,2).所以“P=(0,0,2),/Z4=(-1,2,0),

zι∙HP—2z.—0,

设平面A”P的法向量“=(%,y,z∣),则｛1令y=1,故平面AHP的一个法向量为

nl∙HA=-xl+2必=0.

勺=(2,l,0).同理AP=(I,-2,2),AC=(4,-3,0),设平面ACP的法向量々=(Λ2,%,z2)，则

n∙AP=X-2%+2Z=0,

222令％=

6,故平面ACP的一个法向量为n2=(6,8,5)∙所以

n2∙AC=4X2—3y2=0,

..ti∙n44

COS(〃],〃,)=j-y=-,故二面角M-B4-C的余弦值为一.

r同i,同755

b'=1,a1=4,

20.解析：(1)椭圆经过点47,代入椭圆E的方程，得(649解得4所以椭圆E的方

,25o7+25^r=1/=L

γ

程为：一+V=1.由NM4T=NM4T知AM与AN关于直线AT：y=x+l对称，在AM上任取一点

4

1

E(Ao，%)，则玲关于直线>=χ+ι对称的点为《'(yo-ι,∙⅞+ι),从而K=&%=比二^

XO

-G=⅛⅛1'于是格=L

y=Z]X+1,

χ2得(4公+1卜2+防％=0,所以

(2)设点Λl(%,yJ,N(X2,%)，AM：y=4%+1，由<

—+/=I

I45

寸一舄‘同理“一由⑴有格=1'故"一言.

为方便，记匕=3并不妨设左>1,则于是

2

SΛAMN=ɪIAMI∙IAN∣sinZMAN=^∖AM∖-∖AN∖√1-COSZMAN」J∣AM口AN「―(4M∙AN『

—8%_£64公

^∖k2-ki∖-∖xix2∖=^j--k.4W

(标+(巧

乙乙K^TrV^ι14+A^2^k41)4+

223

32k(k-l)32k(k-∖)V~jj32/<3232^8

(4⅛2+l)(4+⅛2)-4^+17⅛2+4-4-4r2+25-2√4×25-2x10-5

4A,2++J7

t=k-->0),当且仅当/=2,即左一时取等.所以，4AΛ/V面积的最大值为

k2k25

21.解析：⑴由题/(X)=馥'—d得,a)=。，一2χ,因为函数/(尤)有两个极值点，所以方程/'(X)=O

2ɪOr2—2X

有两个不同实数根，即方程a=Ir有两个不同实数根,设MX)=工，则/(%)=——,知χ<1,u∖x)>0,

2

则〃(x)单调递增，尤>1时，√(x)<0,则〃(x)单调递减，所以，X=I时，"(X)取得极大值“(1)=—,

ɔY

又XVO时，w(x)<O;x>0时，w(x)>0,且xf+8时，w(x)→0,所以，方程α=-有两个不同实

数根时，有0<α<∙∣.即〃x)有两个极值点时，4的取值范围是(0，).

2

(2)由(1)可知，/(x)的两个极值点再，£是方程。,一2%=O的两根，且0<α<丁0<x,<l<x2,

xx

则有ae'=2xl>O,ae^=Ix2>O,两式相除，得*F=型，则有乙一玉=InZ>0.由

X1X1

2+(e—2)巡-e∙五

exi+(e-2)w≥4x∣%2得(X2-XI)[e^+(e-2)x2]>λxλx1In-,所以/14-------------------M,令

%InX

菁

2+(e—2)/—e・一

f='>l,令〃U)=----------------L«〉1)，则需/l≤∕z(∕)恒成立，

/⑺J(I)/+e]黑：(e-2)/+e,令咐二心一圻+e]InTTe-2片+e,则

θ'(/ɔ=2(e-2)"n∕-2-(e-2)r+e∙L令Pa)="(/)=2(e-2)rln？-2-(e-2)r+e-,

p'(f)=2(e-2)ln∕+2(e-2)-e∙∖∙-e+2在(l,+∞)上递增，可知〃'⑴<(),p'(e)>(),则存在ZO∈(l,e),

使得p'(fo)=O,当∕∈(l∕o)时，〃'(/)<(),则〃(/)即"(f)单调递减，当fe&+8)时，〃'«)>(),

即“⑺单调递增，又“⑴=0,0'(e)>(),所以存在Ae(l,e),使得“(4)=0,当∕e(U)时，°'(∕)<0,

9(。单调递减，∕e(f∣,+∞)时，d(∕)>0,夕(。单调递增，又O(I)=O(e)=0,所以∕e(l,e)时，0(。<0,

则〃⑺<0,Mf)单调递减，f∈(e,+8)时，0(。>(),〃'(7)>(),〃⑺单调递增，所以∕=e时，

2

A(r)n,n=Me)=(e—I)?,2的取值范围是4≤(^-l).

X=OCOSa代入402sin?=3仿2,得4y2=ɜ/

22.解析：⑴将・θX2+y2—3,即曲线C的直角坐

y=psin0'7'

标方程为：3x2-y2-3=0.

x=2+-t,(/为参数),代入曲线C的方程,有3(2+立√2

(2)直线/的参数方程可改写为《2=3,

12

y=τ

2

整理得2r+6囚+9=0.从而4+/2=—3百，tλt2=I,所以IAB∣=M721=J(4+.)2_4也=3.

14113

23.解析：(1)当％<-耳时，/(Λ)=-2X+3-2Λ-1≤6-x,解得-^≤X<——;当——≤x≤-时,,

222

ɪ33

/(x)=-2x+3+2x+l≤6-x,解得一5<%<5；当x>j时，/(x)=2x-3+2x+l≤6-x,解得

QO44

-<χ≤-,综上所述，原不等式的解集为lx—=4≤x≤28

2535

i3

(2)由题/(x)=∣2x-3∣+∣2x+l∣≥∣2x-3-(2x+l)∣=4,当且仅当(2x-3)(2x+l)≤0即一ι≤x≤]时

取“等号”，故/(x)的最小值T=4,即x+y+2z=4.

--------1-----1----1