相似三角形的判定与性质九年级数学上学期期末考试真题汇编（苏科版）

专题12相似三角形的判定与性质

Q经典泉做题•

选择题（共4小题）

AE2

ɪ-（2必秋•徐州期末）如图，在-BC中’若EF∕∕BC,-=?EF=4,则Be的长为

（）

A.6B.8C.10D.12

AP2

【分析】先利用比例的性质得到——=［再证明aAEFsZiABC,然后利用相似比得到

AB5

BC=∣EF.

【解答】解：：券=；

BE3

.AE2

•∙=一,

AB5

・.・EF/7BC,

Λ∆AEF^∆ABC,

φEFAE2

∙∙BC~AB~5f

：.BC=∣EF=∣×4=10.

故选：C.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用

图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；同时灵活运用

相似三角形的性质进行几何计算.

2.（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在AABC中，ZBAC=45o,BD、CE分别是AC、

AB边上的高，连接DE,若DE=2,则BC的长为（）

A

5

C.D.2√2

2

1

【分析】根据等腰宜角三角形的性质得到77==，—=r,进而得到77=77,得

AB2AC2ABAC

到aADEsaABC,根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.

【解答】解：在R/z^ADB中，NBAC=45",

AD√2

则方

2

_√2

同理:

AC~2

.ADAE

,"^AB-^AC'

VZDAE=ZBAC,

Λ∆ADE∞∆ABC,

.DEAD√2

"BC~AB~2,

：DE=2,

ΛBC=2√2,

故选：D.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，证明AADE

-AABC是解题的关键.

3.（2021秋•如皋市期末）如图，网格中的每个小正方形边长为1,点A,B都在小正方形

的顶点上，线段AB与网格线MN交于点C,则AC的长为（）

【分析】先利用勾股定理求出AB的长,再利用A字模型相似三角形证明AANCS^ADB,

然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答.

【解答】解：如图：

AB=∖!AD2÷BD2-V42+32=5»

CN〃BD,

ΛZANC=ZADB,ZACN=ZABD,

ΛΔANC<^∆ADB,

.ANAC

••=,

ADAB

1AC

.•一=--1,

45

/.AC=7-

故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握A字模型相似三角

形是解题的关键.

4.（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，D,E分别是aABC的边AB,AC上的点，-=

AB3

DE〃BC,若AADE的面积为6,则AABC的面积等于（）

A.12B.18C.24D.54

【分析】利用DE〃BC判定4ADESAABC,再利用相似三角形的面积比等于相似比的

平方，列出关系式即可求得结论.

【解答】解：∙.∙DE"BC,

Λ∆ADE^∆ABC.

.SfDE_

*'SΔΛBC=（而）.

^AD1

♦——，

AB3

.S-4DE_ɪ

shABC9

,

∙∙SΔABC—9SΔADE—54.

故选：D.

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定方法得出△

ADESZXABC是解题的关键.

二.填空题（共4小题）

5.（2021秋•兴化市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是

CD的中点.则aDEO与ABCD的面积的比等于1：4.

【分析】由平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,可得O是BD中点，已知

条件中有E是CD的中点，则OE是aBCD的中位线，所以0E〃BC,OE=∣BC,则4

DEoS^BCD,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可以求出ADEO与ABCD的

面积的比.

【解答】解：；四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC、BD交于点0,

；.0是BD的中点，

；E是CD的中点，

Λ0E√BC,OE=∣BC,

.OE1

•∙~=一,

BC2

V∆DEO^∆BCD,

.SADEO=OE._I2_£

'^SΔBCDIBC）（2）4

，ADEO与aBCD的面积的比等于1：4,

故答案为：1：4.

【点评】此题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等

知识，根据三角形中位线定理证明OE〃BC是解题的关键.

6.（2021秋•建邺区期末）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接

6√2

AB、CD相交于点E,则AE的长为—.

【分析】根据题意可得AB=3&,AC〃BD,所以aAECsaBED,进而可以解决问题.

【解答】解：根据题意可知：AB=3√2,AC√BD,AC=2,BD=3,

Λ∆AEC^ΔBED,

.AEAC

•∙-,

BEBD

.AE2

∙*3√2-ΛE-3,

解得AE=竽.

故答案为：ɪ.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判

定定理和性质定理是解题的关键.

7.（2021秋•崇川区期末）在我国古代数学专著《九章算术》中记载了这样一个问题：“今

有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意为：如图，RrAABC的两条直角边AC,

BC的长分别为5步和12步，则它的内接正方形CDEF的边长为\步.

【分析】利用A字模型相似三角形证明AADES^ACB,然后利用相似三角形的性质解

答即可.

【解答】解：；四边形CDEF是正方形，

ΛDE∕7CF,DE=DC,

ΛZADE=ZC,ZAED=ZB,

Λ∆ADE<×>∆ACB,

.ADDE

•.—,

ACCB

S-DCDE

•∙=~-~',

512

.5-DEDE

•∙=,

512

.60

・・Dh=Yγ,

二正方形CDEF的边长为：丝步，

17

60

故答案为：—.

17

【点评】本题考查了数学常识，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握A

字模型相似三角形是解题是关键.

8.（2022春•工业园区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，点E为Be边上的一点，

AE和BD相交于点P,已知AABF的面积等于12,Z∖BEF的面积等于8,则四边CDFE

形的面积是22.

B

【分析】利用三角形面积公式得到AF：FE=3:2,再根据平行四边形的性质得到AD〃

BE,SAABD=SACBD，则可判断AAFDS^EFB,利用相似的性质可计算出SMFD=18,

所以SΔΛBD=SΔCBD=30,然后用ABCD的面积减去aBEF的面积得到四边形CDFE的

面积.

【解答】解：aABF的面积等于12,ABEF的面积等于8,

即SAABF：SΔBEF-12：8=3：2,

ΛAF：FE=3:2,

•••四边形ABCD为平行四边形，

/.ADZzBE,SZsABD=SZsCBD,

Λ∆AFD^∆EFB,

•SfFD=竺2=Λ2=£

（）

"SΔBEFEF（2）4

9„„

∙,∙SAAFD=4x8=18,

•∙SAΛBD=SACBD=12+18=30>

四边形CDFE的面积=30-8=22.

故答案为：22.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用

图形中己有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角

形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之

间的关系；也考查了平行四边形的性质.

≡.解答题（共4小题）

9.（2022春•工业园区校级期末）在AABC中，AB=AC,NBAC=36°,BD是aABC的

角平分线.

（1）找出图中的相似三角形，并证明;

BC

（2）求出厂的值.

AB

A

1

【分析】⑴由AB=AC,/BAC=36。，得NABC=/C=/180。-36。)=72°,

山BD是AABC的角平分线求得∕DBC=36°,则NDBC=NBAC,而NC是ABDC和

△ABC的公共角，即可证明aBDCs∕∖ABC;

(2)先证明AD=BD,BD=BC,则AD=BC,设AD=BC=x,AC=AB=4,由ABDC

DCBCɔɔ

SZ∖ABC得一=一,所以BC2=AC∙(AC-AD),可列方程(〃-%),解方程求

BCAC

得符合题意的'的值为亨。，即可求出言的值.

【解答】（1）∆BDC^∆ABC.

证明：AB=AC,NBAC=36°,

ΛZABC=ZC=∣(180°-36°)=72°,

VBD是AABC的角平分线，

11

ΛZDBC=ZDBA=^ZABC=ɪ×72o=36°,

JNDBC=NBAC,

♦・・ZC=ZC,

Λ∆BDC^∆ABC.

(2)解：VZDBA=ZBAC,

ΛAD=BD,

VZBDC=ZDBΛ+ZA=36o+36°=72°,

ΛZBDC=ZC,

ΛBD=BC,

ΛAD=BC,

设AD=BC=KAC=AB=α,

V∆BDC^∆ABC,

*DCBC

•∙=,

BCAC

ΛBC2=AC∙（AC-AD）,

.∙.χ2=α（〃-x）,

解得XI=VS2O,X2=—~~-a（不符合题意，舍去），

・・・BC=^≠/,

Vs-1—

.BC~~Γ~a√5-l

••――•

4Ba2

【点评】此题考查等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和

定理及其推论、一元二次方程的解法等知识，证明图中的两个等腰三角形相似是解题的

关键.

10.（2021秋•赣榆区期末）如图，在R∕Z∖ABC中，ZACB=90o,以斜边AB上一点O为

圆心，OB为半径作。O,交AC于点E,交AB于点D,且/BEC=NBDE.

（1）求证：AC是。O的切线；

CE2OF

（2）连接OC交BE于点F,若77=1求大的值.

AE5CF

【分析】（1）连接OE,通过证明/CBE=/OEB得OE〃BC,从而得OE_LAC,再结合

OE是半径即可得出结论；

OE5

（2）由OE〃BC,W∆AOE<×>∆ABC,进而得出一=一，再由OE〃BC,得^OEFs4

BC7

CBF,即可推出结果.

【解答】（I）证明：连接OE,

ΛZOBE=ZOEB,

YNACB=90°,

ΛZCBE+ZBEC=90o,

TBD是直径，

ΛZBED=90o,

.∙.NDBE+NBDE=90°,

・•・ZCBE=ZDBE,

ΛZCBE=ZOEB,

ΛOE/7BC,

.♦・NOEA=NACB=90°,

ΛOE±AC,

又TOE是半径，

・・・AC是。O的切线；

(2)解：VOE√BC,

ΛΔAOE^∆ABC,

OE_AE

•φ.=,

BCAC

••CE2

♦=,

AE5

AE5

•∙,=一,

AC7

.OE5

•∙,=一,

BC7

V0E∕/BC,

ΛΔOEF^ΔCBF,

OFOE5

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解

题的关键.

11.（2022春•太仓市期末）如图，在aABC中，BC的垂直平分线分别交BC,AC于点D,

E,BE交AD于点F,AB=AD.

（1）求证：Z∖BFDs∕∖CAB;

（2）求证：AF=DF;

EF1

（3）二的值等于-.（直接写出结果，无需解答过程）

FB-3-

【分析】（1）由垂直平分线的性质得出BE=CE,进而得出/C=NEBD,由等腰三角形

的性质得出/FDB=NABD,即可证明4BFDs∕∖CAB;

BD1FDBD1

（2）由DE垂直平分BC,得出;;=4，由相似三角形的性质得出====7进而

B7C2ABBC2

11

得出FD=WAB,由AB=AD,得出FD=专AD,即可得出AF=FD;

BD1

（3）过点C作CH〃AD,交BE的延长线于点H,由DE垂直平分BC,得出一=

BC2

DFBFBD1AF1

证明aBDFsZiBCH,得出一=—=—=一，由AF=FD,即可得出一=一,再证

HCBHBC2HC2

,FEAF1”一―,FE1,BFIgl

明AAFEsACHE,得出—=—=一，进而得出—=一，由—=一，得出FH=FB,

iEHHC2FH3BH2

EF1

即可得出二=

FB3

【解答】（1）证明：YDE垂直平分BC,

ΛBE=CE,

，ZC=ZEBD,

VAB=AD,

ΛZFDB=ZABD,

Λ∆BFD^∆CAB;

（2）证明：∙.∙DE垂直平分BC,

.BD1

••1=一,

BC2

V∆BFD^∆CAB,

.FDBD1

Λ,AB~BC~2

1

ΛFD=^AB,

VAB=AD,

1

.∙.FD=*AD,

ΛAF=FD;

(3)解：如图，过点C作CH〃AD,交BE的延长线于点H,

VDE垂直平分BC,

.BD1

∙∙BC-2

VCH/7AD,

ΛZBDF=ZBCH,NBFD=NBHC,

Λ∆BDF^∆BCH,

.DFBFBD1

∙∙HC~BH~BC~2

TAF=FD,

.4尸_1

eeHC-2

VAD∕/HC,

ΛZFAE=ZHCE,ZAFE=ZCHE,

.∙.∆AFE^ΔCHE,

.FE4F1

∙∙EH-HC-2’

.FE1

IH-3,

..BF1

‘BH-2’

ΛFH=FB,

.EF1

一FB—3,

故答案为：ɪ.

3

【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握线

段垂宜平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.

12.(2021秋•阜宁县期末)已知：如图，AB为。。的直径，ABlAC,BC交。。于D,E

是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F.

(1)求证：DE为OO的切线；

(2)求证：AB∙DF=AC∙BF.

【分析】(1)连AD,0D,根据直径所对的圆周角为直角知NADB=∕ADC=90°,再

根据E是AC的中点,得EA=ED,根据OD=OA,利用等边对等角，可知NoDE=90°,

从而证明结论；

ABBDBDBF

(2)首先证明aABDs^CBA,得—=—,再证明^FDBS^FAD,得—=—,

2ACAD2ADDF

等量代换即可.

【解答】证明：(1)连AD,OD,

・.・AB为。O的直径，

・・・NADB=NADC=90°,

TE是AC的中点,

：•EA=ED,

ΛZEDA=ZEAD,

VOD=OA,

ΛZODA=ZOAD,

ΛZEDO=ZEAO,

VAB±AC

ΛZEAO=90o,

.∙.NEDO=90°,

・•・DE为。O的切线；

(2)TNBAC=NADC=90°,

・•・ZC=ZBAD,

VZABD=ZCBA,

.∖∆ABD^∆CBA,

*ABBD

••"=,

ACAD

VZFDB÷ZBDO=ZBDO÷ZADO=90o,

：・ZFDB=ZADO=ZOAD,

VZF=ZF,

Λ∆FDB^∆FAD,

*BDBF

•∙—-,

ADDF

.ABBF

•∙,=,

ACDF

ΛAB∙DF=AC∙BF.

【点评】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质,

证明AFDBs∕∖FAD是解题的关键.

一.选择题（共4小题）

1.（2022•泰州二模）如图，平行四边形ABCD中，E是BC上的一点，且AB=BE,AE、

DC的延长线相交于点F,SΔABE:S四边形AECD=3：7,若AD=5CM,则CF的长为（）

一

T

A.∖cmB.1.2cmC.3cmD.2cm

【分析】连接AC,根据SAABE:S。ABCD=3：10,得SAABE：SΔABC=3:5,则BE：BC

=3：5,求出CE的长，再说明CE=CF,进而得出答案.

【解答】解：连接AC,

AD

B—EV∕C

T

,**SΔABE：S四边形AECD=3:7,

∙*∙S∆ABE:SoABCD=3：10,

ʌSΔΛBE:SΔΛBC-3：5,

ΛBE:BC=3：5,

YAD=5。%,

，AD=BC=5c∕π,

.*.BE=3cm,

.∙.CF=2c∕π,

VAB=BE,

ΛZBAE=ZBEA,

VAB√CD,

JNBAE=NF,

VZBEA=ZCEF,

.∖NCEF=NF,

I.CF=CE=2。加，

故选：D.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质

等知识，求出BE的长是解题的关键.

2.（2022秋•惠山区期中）如图，已知。ABCD中，点E是DC边的中点，连结BD、BE、

AE,AE交BD于点F,则下列结论正确的是（）

A.BD=2DFB.AF=2BF

C.SΔABF=2SΔDEFD.SΔADF=SΔBEF

【分析】根据平行四边形的性质得DE〃AB,则ADEFSABAF,可判断AC错误，根据

条件无法说明B成立，由AADE与ABED同底等高，则SAADE=SABED，可知D正确.

【解答】解：；点E是DC边的中点，

ΛDE=IDC,

・・・四边形ABCD是平行四边形,

JDC=AB,

：.DE=^AB,

∙/DE/7AB,

Λ∆DEF^∆BAF,

.DEOF1

AB~BF~2

.DF_1

•∙=一,

BD3

即BD=3DF,

故A错误；

根据条件无法说明B成立，

VDE/7AB,

Λ∆DEF∞∆BAF,

.SADEF_/DE/_1

SdABFab4

即SΔABF=4SΔDEI∙>

故C错误；

V∆ADE与aBED同底等高，

•∙S∕∖ADE-SzχBED，

∙"∙SAADF-S∆BEF>

故D正确；

故选:D.

【点评】本题主要考查是相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌

握相似三角形的性质是解题的关键.

3.（2022春•新吴区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，点F

为对角线BD上一点，且FB=2DF,连接DE、EF、EC,则SADEF：SMED=（）

【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，可得S—DE=SABDE=∣S

平行四边形ABCD,根据FB=2DF,可得S4BDE=3SZXDEF,进而可得结果.

【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点,

,∙SAADE-S/\BDE=平行四边形ABCD，

VFB=2DF,

二SADEF=/SABDE=*SABCD>

SACDE=g∙SjFfHSiiJgABCD,

∙,∙SΛDEF:SACDE=去S平行四边版ABCD：~ST-hψ⅛⅛∏;ABCD=1：6.

故选：C.

【点评】本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键.

4.（2022秋•锡山区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为6,点E是BC的中点，连接

AE与对角线BD交于点G,连接CG并延长，交AB于点F,连接DE交CF于点H,连

接AH.以下结论:①/DEC=NAEB;②CF_LDE；③AF=BF;=|,⑤HG=等，

A.2B.3C.4D.5

【分析】由四边形ABCD是边长为6的正方形，点E是BC的中点，得DC=AB=6,Z

DCE=ZABE=90o,CE=BE=3,即可证明ADCE丝zλABE,得NDEC=NAEB,可

判断①正确；

由∕ABG=NCBG=45°,AB=CB,BG=BG,证明AABG丝Z∖CBG,得NBAE=/

BCF=NCDE,则∕DHF=NDCF+NCDE=NDCF+∕BCF=90°,即可证明CF±DE,

可判断②正确；

由/BCF=NBAE,CB=AB,ZCBF=ZABE,证明aCBF咨Z∖ABE,得BF=BE=3,

所以AF=BF=3,可判断③正确；

根据勾股定理求得CF=AE=DE=、62+32=3√^,则x3√^CH=X6X3=SACDE,求

得CH=蝮，则HF=华，所以第=：,可判断④正确；

ɔɔHF3

PQBFIIz∙ΓF

由aBFGsaDCG,得一=—=-,M∣JFG=⅞×3√5=有,所以HG=3√^—哈一遍=

华，可判断⑤正确，于是得到问题的答案.

【解答】解：∙.∙四边形ABCD是边长为6的正方形，点E是BC的中点,

.∙.DC=AB=6,∕DCE=NABE=90°,CE=BE=3,

Λ∆DCE^∆ABE(SAS),

ΛZDEC=ZAEB,

故①正确；

VAB=AD,NBAD=90°,

・•・NABD=/ADB=45°,

同理NCBD=NCDB=45°,

・・・NABG=NCBG=45°,

VAB=CB,BG=BG,

ΛΔABG^∆CBG(SAS),

.∙.ZBAE=ZBCF=ZCDE,

.∙.NDHF=NDCF+NCDE=NDCF+NBCF=NBCD=90°,

ΛCFIDE,

故②正确；

VZBCF=ZBAE,CB=AB,ZCBF=ZABE,

Λ∆CBF^∆ABE(AAS),

ΛBF=BE=3,

.∙.AF=BF=3,

故③正确；

22

VSΔCDE=∣DE∙CH=∣DC∙CE,CF=AE=DE=√6+3=3√5,

ΛI-×3L√5CHl=4×6×3,

22

.CH.6√5

.∙.HF=3√^一竿=挈

6√5

•空一工，

,•瓦-蓬-3

5

故④正确；

VBF√CD,

Λ∆BFG^∆DCG,

φFGBF31

"CG~DC~6~29

ΛFG=y⅛F=ɪ×3√5=√5,

HG=3√5一华-石=警，

故⑤正确，

故选：D.

【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判

定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明ADCE丝AABE及aCBF

^∆ABE是解题的关键.

二.填空题（共4小题）

5.（2022∙靖江市二模）如图，ABlBC,AB=5,点E、F分别是线段AB、射线BC上的

动点，以EF为斜边向上作等腰Rz∆DEF,ND=90°,连接AD,则AD的最小值为

5√2

【分析】连接BD并延长，利用四点共圆的判定定理得到B,E,D,F四点共圆，再利

用等腰直角三角形的性质和圆周角定理得到∕DBF=∕DEF=45°,得到点D的轨迹，

最后利用垂线段最短和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论.

【解答】解：连接BD并延长，如图，

VABlBC,

.∙.NABC=90°,NEDF=90°,

二/ABC+/EDF=I80°,

.∙.B,E,D,F四点共圆，

:△DEF为等腰直角三角形，

ΛZDEF=ZDFE=45o,

ΛZDBF=ZDEF=45o,

ΛZDBF=ZDBE=45o,

，点D的轨迹为NABC的平分线上，

：垂线段最短，

当AD±BD时，AD取最小值，

.∙.AD的最小值为JAB=

,5√2

故答案为：ɪ.

2

【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆的判定圆

周角定理，点的轨迹，垂线段的性质，利用已知条件求得点D的轨迹是解题的关键.

6.(2022秋•梁溪区校级期中)如图，在AABC中，D在AC边上，AD：DC=I:2,O是

BD的中点，连接Ao并延长交BC于E,则OE：OA=1：2,SΔBOE:SΔBCD=1：

8.

CD2

【分析】过点D作DF〃AE,交CE于点F,根据已知可得二7=二，再证明A字模型相

CA3

2CF

似三角形aCDFs^CAE,从而利用相似三角形的性质可得AE=⅛)F,—=2,然后根

据线段中点的定义可得BO=OD=∣BD,再证明A字模型相似三角形aBE0s^BFD,

从而利用相似三角形的性质可得OE=与F,BF=2BE,包娶=(-)2=ɪ进而可得

zSABDF2-

OE1

—=",CF=BF,最后进行计算即可解答.

AE3

【解答】解：过点D作DF〃AE,交CE于点F,

.CD2

•∙=一,

CA3

VDF√AE,

ΛZCDF=ZCAE,ZCFD=ZCEA,

ΛΔCDF^ΔCAE,

φCDDFCF2

"CA~EACE~31

3CF

.'AE=TyDF,—=2,

2EF

ΛCF=2EF,

-O是BD的中点,

1

ΛBO=OD=^BD,

V0E/7DF,

ΛZBOE=ZBDF,NBEO=NBFD,

Λ∆BEO^∆BFD,

.BOOEBE1

"BD~DF~BF~2

ΛOE=⅛F,BF=2BE,SABOE=(1)2=ɪ

2SABDF24

._1

•.-=2=一,

AE-DF3

2

ΛOE:OA=I:2,

VCF=2EF,BF=2BE=2EF,

ΛCF=BF,

Λ∆BDF的面积=Z∖CDF的面积，

•*.S∆BOE:SABCD=1：8，

故答案为：1：2,1：8.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并

结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

7.(2022秋•崇川区校级月考)如图，在R/4ABC中，NABC=90°,AB=6,BC=8,点

O为aBC的内心，连接OA,OC,过点O作OD〃BC交AC于点D,则OD的长为

5

3-.

ff-----------------ʌe

【分析】过点O作OE_LAC于E,OFi.BC于F,OHl.AB于H,连接AO,BO,由面

积法可求OE=OF=OH=1,可证四边形OFBH是矩形，可得BF=C)H=1,由“AAS”

可证ACOE丝Z∖COF,可得CE=CF=3,由勾股定理可求解.

【解答】解：如图，过点0作OE_LAC于E,OFJ_BC于F,OHl.AB于H,连接AO,

BO,

Y点。为RfZiABC的内心，OE±AC,OF±BC,OH±AB,

AOE=OH=OF,

VZABC=90o,AB=3,BC=4,

ΛAC=y∣AB2^-BC2=5,

丁S∆ABC=SΔABO÷S∆BCO+S∆ACO，

1111

:L2×3×4=⅞2×3×OH+2⅞x4×OF+⅞2×5×OE,

AOE=OF=OH=I,

VOE±AC,OF±BC,OH±AB,

・・・四边形OFBH是矩形，

ΛBF=OH=I,

.∙.CF=3,

I点O为RrZ∖ABC的内心，

ΛZOCF=ZOCE,

YNCEO=NCFO=90°,

在ACOE和ACOF中，

(Z0CE=ZOCF

]Z.CEO=Z.CFO'

(OC=OC

ΛΔCOE^ΔCOF(AAS),

ΛCE=CF=3,

VOD√BC,

.∙.ZDOC=ZOCF=ZOCE,

ΛOD=DC,

VOD2=DE2+OE2,

ΛCD2=(3-CD)2+l,

ΛCD=∣,

ΛOD=j.

故答案为：I

【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，考查了三角形的内心的性质，全等三角形

判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是

本题的关键.

8.（2022秋•惠山区校级月考）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AELDE,点F为

AE延长线上一点，满足EF=AE,连接DF交BC于点G,若AB=4,BE=2,则GC=

F

【分析】由余角的性质可得NBAE=/DEC,根据相似三角形的性质可求EC=4,由等

腰三角形的性质和平行线的性质可证EG=DG,由勾股定理可求解.

【解答】解：∙.∙AELDE,

ΛZAED=90o=ZB=ZC,

二NAEB+/DEC=/AEB+/BAE,

ΛZBAE=ZDEC,

Λ∆ABE^∆ECD,

.ABBE

•∙,

ECCD

.42

•∙-•一,

EC4

/.EC=8,

VAE=EF,ZAED=90o,

ΛAD=DF,

VZAED=90o,

ΛZADE=ZFDE,

VAD//BC,

ΛZADE=ZDEC=ZFDE,

/.DG=EG,

VDG2=DC2+GC2,

(8-GO2=16+GC2,

ΛGC=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，

勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.

Ξ.解答题(共4小题)

9.(2022秋•高邮市期中)如图，点P在AABC的外部，连结AP、BP,在aABC的外部

分别作NI=NBAC,Z2=ZABP,连结PQ.

(1)求证：AC∙AP=AB∙AQ;

(2)判断/PQA与NACB的数量关系，并说明理由.

Q

【分析】(1)由/I=NBAC,得N1+NPAC=∕BAC+∕PAC,则/CAQ=NBAP,而

Z2=ZABP,即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明ACAQS4BAP,则布=

AQ

—,所以AC∙AP=AB∙AQ;

AP

4PAO

(2)由AC∙AP=AB∙AQ,变形为一=—,而Nl=NBAC,即可由“两边成比例且

ABAC

夹角相等的两个三角形相似”证明4APQs^ABC,得NPQA=NACB.

【解答】(1)证明：INl=NBAC,

ΛZ1+ZPAC=ZBAC+ZPAC,

ΛZCAQ=ZBAP,

VZ2=ZABP,

ΛΔCAQ^∆BAP,

ACAQ

••1=、,

ABAP

ΛAC∙AP=AB∙AQ.

(2)解：ZPQA=ZACB,

理由：VAC∙AP=AB∙AQ,

.APAQ

••=,

ABAC

VZl=ZBAC,

ΛΔAPQ^ΔABC,

ΛZPQA=ZACB.

【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、等式的性质等知识，找到相似三角形

的对应边和对应角并且证明4CAQs∕^BAP及AAPQSZXABC是解题的关键.

10.(2022秋•苏州期中)如图，RfZiABC中∕BCA=90°,AE2=AD∙AC,点D在AC边

上，以CD为直径画。O与AB交于点E.

(1)求证：AB是。O的切线；

(2)若AD=Do=1,求BE的长度.

【分析】(1)连接OE,则NOEC=NACE,再证明^ADEs^AEC,得NAED=NACE,

则/AED=NOEC,所以NoEA=/AED+/OED=∕OEC+NOED=90°,即可证明AB

是G)O的切线；

(2)由AD=Do=OC=1,得AC=3,则AE?=AD・AC=3,所以AE=√5,再证明△

AOESZiABC,求得BC=√5,即可根据切线长定理求得BE=BC=√5.

【解答】(I)证明：连接OE,则OE=OD=OC,

ΛZOEC=ZACE,

VAE2=AD∙AC,

.AEAD

••—,

ACAE

VZA=ZA,

，ZiADEs△AEC,

ΛZAED=ZACE,

ΛZAED=ZOEC,

∙.∙CD是。O的宜径，

/.ZOEA=NAED+/OED=∕OEC+∕OED=∕CED=90",

：AB经过。O的半径OE的外端，⅛ABlOE,

.∙.AB是。O的切线.

(2)解：VAD=DO=OC=OE=I,

ΛAC=3,

ΛAE2=AD∙AC=1×3=3,

ΛAE=V3»

・.・NOEA=NBCA=90°,ZA=ZA,

.♦・△AOEs△ABC,

.OEAE

BCAC

∙.∙0C是OO的半径，jaCB±OC,

ΛBC是。O的切线，

，BE=BC=√3,

ABE的长度是√1

【点评】此题重点考查圆的切线的判定、切线长定理、直角所对的圆周角等于90°