2022-2023学年高一数学人教A版2019必修第二册试题6-2-2向量的减法运算

622向量的减法运算（分层作业）（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2022秋•四川绵阳•高一校考期末）在OABC中，点。在BC边上，且8O=2OC∙设A8=α,AC=h,

则4。可用基底。力表示为（？???????？）

1rr

A.-（a+b）B.L+4

233

12.1rr

C.-cι-∖—bD.-(a+b)

33

【答案】C

.2

【分析】在AABO中根据An=AB+B/），然后BO=]BC,然后在一ABC用向量的减法化简.

2一

【详解】解析：因为8O=2OC,所以BO=§BC.

ιuutinuniuni2ulιnlul2UlmUUB1ɑuɪ2Uim∣rɔr

f）↑VλAD=AB+BD=AB+-BC=AB+-（AC-AB）=-AB+-AC=-a+-b.

故选：C

2.（2022秋.江苏南通.高一统考期末）在JIBC中，已知。是A3边上一点，且3CO=CA+2CB,则（？??？）

A.AD=IBDB.AD=^DBC.AD=2DBD.AD=^AB

【答案】C

【分析】利用向量的减法运算即可得到答案.

【详解】解：3CD=CA+2CB,

则有C3-CA=2（CB-CO）,

可得A£>=21）8.

故选：C.

3.（2022秋.江苏盐城.高一盐城市田家炳中学校考期中）下列说法错误的是（????）

A.若A8C。为平行四边形，则AB=OC

B.若“∕∕b,6∕∕c,则“〃C

C.互为相反向量的两个向量模相等

LUULULlLlUULUUI

D.NQ+QP+MN-MP=O

【答案】B

【分析】利用向量相等的定义判断A；举例说明判断B；利用互为相反向量的定义判断C,利用向量加法、

减法法则计算判断D作答.

【详解】对于A,YABeO中，AB=DC,且向量AB与。C同向，则A8=OC,A正确；

对于B,当6=0时，”与C不共线，也满足a"b,b∕∕c,B不正确；

对于C,由互为相反向量的定义知，互为相反向量的两个向量模相等，C正确；

对于D,NQ+QP+MN-MP=NP+PN=0,D正确.

故选：B

4.(2022・高一课前预习)化简PΛ∕-∕W+"N所得的结果是(????)

A.MPB.NPC.0D.NM

【答案】C

【分析】根据向量减法原则，以及相反向量的定义，即可得出结果.

【详解】根据平面向量减法原则，PM-PN=NM，而MN=-NM.

故PM-PN+MN=3

故选：C

5.(2022•高一单元测试)化简3(0+2幻-23+6)的结果为(????)

A.a+4hB.a+bC.2a+bD.a-b

【答案】A

【分析】由向量的加减运算法则即可求解.

【详解】解：3(α+2⅛)-2(a+⅛)=a+4⅛>

故选：A.

6.(2022秋・北京朝阳•高一统考期末)如图，在平行四边形488中，下列结论正确的是(????)

A.AB=CDB.AB+DA=BD

C.AB-AD=DBD.AD+BC=O

【答案】C

【分析】利用相等向量可判断A选项；利用平面向量的加法可判断BD选项；利用平面向量的减法可判断

C选项.

02/19

【详解】对于A选项，AB=DC.A错；

对于B选项，AB+DA=DBB错；

对于C选项，AB-AD=DByC对；

对于D选项，AD+BC=2ADD错.

故选：C.

7.(2022秋.吉林・高一吉林省实验校考阶段练习)化简4(7-8。+。-48+8。得(????)

A.0B.DAC.BCD.AB

【答案】C

【分析】利用向量的线性运算直接求解.

【详解】AC-BD+CD-AB+BC

=AC+CD+DB+BA+BC

=0+BC

=BC-

故选：C

二、多选题

8.(2022•高一课时练习)(多选)已知向量AB,BC,4C,那么下列命题中正确的有(????)

A.AB+BC=ACB.∣AB∣+∣BC∣=∣AC∣

C.AB+BC>ACD.∣ΛB∣+∣BC∣>∣AC∣

【答案】AD

【分析】根据向量的加法法则判断逐一判断即可.

【详解】解：由向量的加法法则可得：AB+BC=AC,故A正确，C错误；

当点B在线段AC上时，卜用+卜4=卜4,否则卜q+卜4>卜4,故B错误，O正确.

故选：AD.

9.(2022.高一课时练习)下列各式中能化简为AD的有(????)

A.MB+AD-BMB.(AD+MB)+(BC+CΛ∕)

C.(AB+CZ))+BCD.OC-OA+CD

【答案】BCD

【分析】由向量的加法与减法法则逐一验证即可

【详解】对于A：MB+AD-BM=MB-BM+AD=MB+MB+AD=2MB+AD-故A错误;

对于B：^AD+MB）+（BC+CM）=AD+（BC+CM+MB）=AD,故B正确；

对于c：（AB+CD）+BC=AB+BC+CD=AD,故C正确；

对于D:OC-OA+CD-AC+CD=ADι故D正确.

故选：BCD

三、填空题

10.（2022•高一课前预习）08-Q4-0C-Co=.

【答案】AB

【分析】根据向量减法运算法则即可求解.

【详解】解：OB-OA-OC-CO={θB-OA^+CO-CO=AB,

故答案为：AB-

11.（2022秋•江西南昌•高一南昌十中校考期中）化简（AB+PC）+（BA-QC）=.

【答案】PQ

【分析】利用向量加减法运算化简，注意相反向量的应用.

【详解】（AB+PCy（BA-QC^=AB+PC-AB+CQ=PQ.

故答案为：PQ

12.（2022春•青海海南•高一海南藏族自治州高级中学校考期末）化简2（α-3q+3（2人-α）=.

【答案】-a

【分析】利用向量的加法运算，即可得到答案；

【详解】2（a-3⅛）+3（2/?-«）=2«-6b+6b-3a=-a,

故答案为：-4

13.（2022・高一课时练习）下列四个等式：

①q+b=6+”;②一（一”）=a;③A8+BC+CA=0;④α+（-α）=0∙

其中正确的是（填序号）.

【答案】①②③④

【分析】根据向量加减法及其运算律即可判断.

【详解】由向量的运算律及相反向量的性质可知①②④是正确的，③符合向量的加法法则，也是正确的.

04/19

故答案为：①②③④.

14.（2022•高一课时练习）在.ABC中，。,瓦尸分别是AB,BC,CA的中点，则AE-Z）8=.

【答案】AF

【分析】由向量的加法与减法法则求解即可

【详解】利用三角形中位线定理知D8=FE，

所以AE-D8=AE-FE=AE+EF=AF•

故答案为：AF

15.（2022•高一"课前预习）向量A而可以写成：©MO+ON'®MO-ON`®OM-ON:®ON-OM∙

其中正确的是（填序号）.

【答案】①④

【分析】①利用向量的加法运算；②③④利用向量的减法运算

【详解】®MO+ON=MN'

TT→TT

@MO—ON=MOtNO≠MN'

T二TT→→

@OM-ON=OM+NO=NM≠MN；

®ON-OM=MN^

故答案为：①④

四、解答题

16.（2022・高一课前预习）如图所示，。为ABC内一点，OA=",OB=b,OC=c,求作向量力+D∙

【答案】答案见解析

【分析】以。8，OC为邻边作平行四动形OBDC,连接。。，AD,A。即为所求.

【详解】解：以0B，OC为邻边作平行四边形OBQC,连接。。，AD,

所以OO=OB+θC=i+i，

所以AO=OD-OA^h+'c-'a-

17.(2022•高一课前预习)如图所示，四边形ACZ)E是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且AB=”,

AC=b<'AE=C'<试用向量α,Ac表示向量C。，BC<BD-

【答案】CD=c>BC-b—a>BD=b-a+c

(分析】根据向量加法与减法的运算法则即可求解.

【详解】解：因为四边形AC。E是平行四边形，

所以CD=AE=c,BC=AC-AB=b-a,

所以BO=BC+CE>=b-α+c∙.

18.(2022・高一课前预习)化简下列式子：

(V)NQ-PQ-NM-MP；

(2)(λβ-CD)-(ΛC-BD);

【答案】(1)0

(2)0

06/19

【分析】按照向量的加法，减法运算法则化简即可.

（1）

ULIUUUUULlUULIUUUUlI

原式=NP+MN—MP=NP+PN=G

(2)

uι≡nunnunUuKlUunmiɪɪ、/uu®UuQl、mi`uuπr

原式=AB-CAC+8。=(AB-AC)+(Oe-吗=CB+8C=O

【能力提升】

一、单选题

1.（2022春•江西赣州•高一赣州市赣县第三中学校考阶段练习）如图，等腰梯形ABCO中,

AB=BC=CD=ZAD,点E为线段CO中点，点尸为线段BC的中点，贝UFE=（????）

A.-AB+-ACB.--AB+-AC

3636

C.-AB+-ACD.--AB+-AC

6363

【答案】B

【分析】根据向量的加减法以及三角形中位线BD=2FE即可得到答案.

【详解】连接3£>,A3=3C=CO=3AD,点E为线段8中点,

11(4141

BD=BA+AD=BA+-BC=BA+-(BA+ACλ]=-BA+-AC=——AB+-AC,

33、'3333

X∙,BD=2FE，

.∙.FE=--AB+-AC.

36

故选：B.

IUiBl

2.（2022春・北京丰台•高一统考期末）若卜8卜7,卜4=4，则BC的取值范围是（????）

A.[3,7]B.(3,7)C.[3,11]D.(3,11)

【答案】C

【分析】根据向量的减法的几何意义，确定向量4C,AB共线时取得最值，即可求得答案.

【详解】由题意知网=7,1因=4,⅛∣BC∣HAC-AB∣,

.∣UUO]l.

当AeA8同向时，口。取得最小值，∣BCHAC-ABR∣4CI-IA8∣R4-7∣=3;

IUuBl

当AcA8反向时，取得最大值，lBq=lIAC-ABI=IIAC∣+∣A8∣∣=∣4+7hll;

当AC,A8不共线时，I潴I取得最小值，3=∣∣AC∣-∣ΛS∣∣<∣BC∣<∣∣AC∣+∣AB∣∣=11,

IUIW1

故的取值范围是[3,ιι],

故选：C

3.（2022秋•浙江绍兴・高一校考阶段练习）如图，已知..AfiC中，。为BC的中点，AE=^EC,AD,BE

交于点尸，设4C=",Ao=6.若AF=丛力，则实数f的值为（？??？）

A.0.6B.0.8C.0.4D.0.5

【答案】D

【分析】根据向量线性运算，结合线段关系，用α,匕表示出A8，EB，FB,由平面向量的基本定理,

即可求得f的值.

【详解】因为。为BC的中点，且AC=α,AD=b,^.AB+AC=IAD,即AB=26-α,

又AE=gEC,可得AE=JAC=，，EB=AB-AE=Ib-a--a=2b--a,

23333

又AF=tAD=th>FB=AB-AF=2b-a-tb=-a+（2-t）b9

-∖2-tt

因为EB，/韦共线，由平面向量的基本定理可知满足42,解得r=χ,

^32

故选：D.

08/19

4.（2022秋•陕西西安・高一统考期末）如图为正八边形48CDEFG”,其中。为正八边形的中心，则

CE-FG=（????）

A.BEB.EOC.ADD.OH

【答案】A

【分析】根据正八边形的几何性质可知FG=CB，结合向量的减法运算，可得答案.

【详解】因为Fd=C8，所以CE-FG=CE-CB=BE，

故选:A.

5.（2022秋.山西长治.高一校考期中）在平面上有4,B,C三点，设机=AB+=AB-8C,若加与“

的长度恰好相等，则有（？???？）

A.A,B,C三点必在一条直线上

B.AABC必为等腰三角形且为顶角

C.AABC必为直角三角形且为直角

D.AABC必为等腰直角三角形

【答案】C

【分析】以BABC为邻边作平行四边形，根据“，〃的长度相等可知平行四边形一定是矩形,即可判断.

【详解】以BA,BC为邻边作平行四边形，则机=48+8。,〃=48-4。=。8,由“，〃的长度相等可知，两

对角线相等，因此平行四边形一定是矩形,所以A43C必为直角三角形且NB为直角.

故选：C.

6.（2022♦全国♦高一专题练习）已知ABC中，AB=3,AC=4,ABAC=6,。为ΛBC所在平面内一

点，且OA+203+30C=0，则40BC的值为（????）

A.-4B.-1C.ID.4

【答案】D

【分析】取A8、AC为基底，把A。，BC都用A8、AC表示，再计算AO∙BC∙

【详解】因为。A+2O8+3OC=0,则O4+2(O4+AB)+3(OA+AC)=0,

所以，6QA+2A8+3AC=0,所以，OA=-^AB-^AC9即AO=；A3+(AC,

因此AoBC=IjABigACj(AC-AB)=,AC--ΛB--ABAC=4.

故选：D.

【点睛】方法点睛：向量运算的技巧：

(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；

(2)树立“基底”意识，利用基向量进行运算.

•全国・高一■专题练习)已知A,B,C,£>是以。为球心,半径为的球面上的四点，Qgj，

7.(20222r(J(J=θ

则I阴+∣M+∣Ca不可能等于(????)

A.6B.7C.8D.6√2

【答案】A

【分析】利用向量的定义得

—>―»—>

AD+BD+CD=(OD-OA)+(OD-OB)+(OD-OC)=3OD-(OA+OB+OC)=3OD，从而AD+BD+CD=6,

利用AD+BD+CD<AD+BD+CD=IAQl+∣BC∣+∣8∣判断等号成立条件，确定Mq+忸4+|3不可能

取的值.

【详解】由AD+BD+CD=(OD-OA)+(OD-OB)+(OD-OC)=3OD-(OA+OB+OC)=3OD'

由OD=2得，ΛD+BD^CD=6,

TTT

而AD+BD+CD≤AD^BD+CD=∖AD∖^∖BD∖+∖CD∖f当且仅当茄,晶,cb同向时，等号成立,

而A,B,C,拉在球面上，不可能共线，即/ʌb,访,cB不同向,

—―⅛―⅜

故M0+忸力∣+∣CO∣>AD+BD+CD=6

且∣Aq,∣BQ∣,∣Cα均小于直径长4,即∣Aq+∣叫+1Cq<12,观察选项，只有A取不到.

故选：A

【点睛】关键点点睛：利用向量不等式，向量模长之间的关系，判断线段和的最值.

—›2τ

8.(2022秋•甘肃金昌.高一永昌县第一高级中学校考期中)如图，在二45C中，βC=3BD'AE=-AD,

则&=(????)

10/19

A

41］一4→7→

C.-AB——ACD.——AB+-AC

99993399

【答案】B

2→—>2,→.→-

【分析】利用向量定义，CE=AE-AC=-AD-AC=^(AB+BD)-AC,最后化简为泰,公来表示向量即

可.

—>Tf2TT2TTT

【详解】CE=AE-AC=-AD-AC=-(AB+BD)-AC

2TlT→2-2T→→

=-(ΛB+-BC)-AC=-AB+-(AC-AB)-AC

4τ7—

=-AB--AC

99

故选：B

二、多选题

9.(2022秋・吉林长春•高一德惠市第一中学校考阶段练习)如图，在平行四边形ABC。中，下列计算错误

的是(???????)

A→→→RT→->T

•AB+AD=ACb∙AC+CD+DO=OA

c∙AB+AC+CD=ADd∙AC+BA+DA=6

【答案】BC

【分析】根据向量加法的平行四边形法则和向量加法的几何意义，计算得到AD正确；AC+CD+DO=Ab^

B错误；A%+n+cb=Ab,C错误.

【详解】根据向量加法的平行四边形法则和向量加法的几何意义,

A%+A3=AN∙∙∙A正确;

AC+CD^DO=AD+DO^AO'∙1B错误;

AB+AC+CD=AB+AD^AC''C错误；

AC+BA+DA=BC+DA=O'∙∙D止确.

故选：BC

10.(2022秋.上海宝山.高一上海交大附中校考阶段练习)设点。是ABC所在平面内一点，则下列说法

正确的有(？??？)

A.若4O=g(A8+AC),则点。是边BC的中点

B.若AD=g(AB+AC),则点。是，ΛBC的重心

C.若AD=2A8-AC,则点。在边BC的延长线上

D.AD=xAB+yAC,且x+y=4,则ABCO是ABC面积的一半

【答案】ABD

【分析】对A,根据中点的性质即可判断；对B,根据重心的性质即可判断；对C,根据向量的运算得到

BD=CB,即可判断；对D,根据三点共线的性质即可求解.

【详解】解：对A,AD=∣(AB+AC),

即LA，

2222

即BD=OC,

即点。是边BC的中点，故A正确；

对B,设BC的中点为M,

11ɔ

AD=-^AB+AC^=-×2AM=-AM,

即点。是AfiC的重心，故B正确；

对C,AD=2AB-AC

即AD-AB=AB-AC，

即BD=CB,

即点。在边CB的延长线上，故C错误；

对D,AD=xAB+yAC,且x+y=∙∣,

^2AD=2xAB+2yAC,且2x+2y=l,

设4M=2Af>,

12/19

则AM=2xAB+2yAC,且2x+2y=l,

故M,民C三点共线，且AM=2AO，

即aBCO是，ABC面积的一半，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

11.(2022.高一课时练习)如图所示，中心为。的正八边形44中，α,=AA+1(z=l,2,,7),

bj=OA.(J=l,2,,8),则生+见+4+4+a=.(结果用生，&表示)

【答案】⅛

【分析】根据向量的加减运算即可求得答案.

【详解】由题图口丁知，生+%+。2+”5+°7

=A2A,+AA+OA2+04+OA7

=(θA2+A2A3)+(OA5+A5At^+OA7

=OA3+04+(M7

=OA^÷OA6—OAy=OA6=bβ,

故答案为：bh

12.(2022秋•上海杨浦・高一校考期中)已知IABI=4,1ACl=6,则IBCl的取值范围是.

【答案】[2,10]

LlLUUUlKl

【分析】利用BC=AC-AB,将BC的模与AGA8联系起来，即可得到区CI的范围.

【详解】BC=AC-AB，BC2=(AC-AB)2=AC2+AB2-2∖AC^AB∖COSΘ

=16+36-2x4x6CoSe=52-48COSe,

cos0∈[-1,1]/.52-48cos∈[4,100],

B∣J∣BC∣Ξ∈[4,100],.∙.∣BC∣∈[2,10].

故答案为：[2,10]

13.(2022秋・河南安阳•高一安阳一中校考阶段练习)已知平面向量”,6,c,满足|«|=2,∣⅛∣=√3,∣c∣=∣,

且R-C)・伍-c)=5,匕与“+〃夹角余弦值的最小值等于.

【答案】—

15

【解析】根据平面向量数量积的运算律化简(α-c)∙(6-c)=5,结合题中所给模长用”力表示出门+可,即可

用“小表示出C与α+b夹角9的余弦值;利用换元法令〃z=α∕,由平面向量数量积定义及三角函数的值域，

求得，”的范围.代入∣cos6∣≤I中求得m的取值范围.再根据平面向量数量积定义,用m表示出与α+b夹

角余弦值,即可由m的取值范围结合表达式的性质得解.

【详解】平面向“力,＜：,满足卜|=2,忖=6,卜卜1,则。-=∣α∣2=4,⅛2=∣⅛∣2=3,c2=∣c∣2=1

因为(α-c)∙P-C)=5

展开化简可得a∕-c(α+b)+C-=5,

因为C?=r=1,代入化简可得α∕-c(α+6)=4

设C与“+匕的夹角为aθe[θ,司

则由上式可得“/-＞，“+"卜°$，=4

ffi]∣tz+/?I=J(^a+b^=∖∣a'+2a∙h+h=+2a∙b

代入上式化简可得COS。=∙∕”＞14

y∣7+2a-b

令机=”•。,设α与6的夹角为α,Qe[0,句,则由平面向量数量积定义可得

m=αd=忖・忖-0(»£=2后CoSa,而一1≤cosa≤l

JVτ⅛-2√3≤w≤2√3

a`b-4加一4

由余弦函数的值域可得∣cos6∣≤1,即ICOSa=≤1

√7+2α∙∕?∖∣1+2m

14/19

2

将不等式化简可得WJ-1（）,Π+9≤0,解不等式可得l≤∕n≤9

综上可得1≤,"≤2√5,即l≤α∕≤26

而由平面向量数量积的运算可知,设α-〃与α+h夹角为夕,

∖a-b∖Aa-irb

则cos/?=------ɛ------1

∖a-b∖∙∖a+b∖yjl-2a∙b∙∙J1+2a∙b

当分母越大时,cos4的值越小;当//,的值越小时,分母的值越大

所以当αd=l时，cos#的值最小

代入可得COSβ=-/IF

√49-4×l215

所以与α+6夹角余弦值的最小值等于农

15

故答案为：逝

15

【点睛】本题考查平面向量数量积的综合应用,根据向量的模求得向量夹角的表示形式,三角函数值域的有

界性,由函数解析式及性质求最值,综合性强,属于难题.

四、解答题

14.（2022.高一课时练习）如图所示，已知在平行四边形ABC。中，E,尸分别是BC,OC边上的中点.

若AB="，AD=b，试以α,b为基底表示。E，BF-

【分析】根据给定的平行四边形，结合向量加法法则及共线向量求解作答.

【详解】在平行四边形ABC。中，E,尸分别是BC,OC边上的中点，则BE=gAQ,=

所以：DE=DA+AB+BE=-AD+AB+-AD=a--b,

22

BF=BA+AD+DF=-AB+AD+-AB=--a+h.

22

15.（2022.高一单元测试）如图，。为;ΛBC内一点，OA=a，OB=b,OC=C.求作:

A

/∖

BC

⑴匕+c-a；

Q)a-b-c.

【答案】(1)答案见解析

⑵答案见解析

【分析】(1)根据向量加法、减法的几何意义画出图象.

(2)根据向量加法、减法的几何意义画出图象.

(1)

设。是BC的中点，连接。。并延长，使OD=O

b+c-a=OE—OA=AE.

(2)

a-b-c=a-(b+c)=OA-OE=EA∙

16/19

A

16.(2022.全国.高一专题练习)己知∣∕⅛∣=2,∣AZ-A3∣=1∙求IA"∣的最大值和最小值•

【答案】最大值是3,最小值是1.

【分析】根据IAZI=IAB+(AC-AB)∣≤∣ΛB∣+∣AC-A⅛|得到最大值，

IAC∣=∣AB+(AC-AB)∣≥∣ΛB∣-∣AC-AB\得到最小值,

【详解】因为Ial=2，I启-赢|=1，

所以∣∕∏7∣=∣A⅛+G⅛-A⅛)∣≤∣A⅛∣+∣AZ-∕⅛∣=3,当且仅当Ah与A"-A⅛,即A%与的方向相同时取

等号.

∖AC∖=∖AB+(AC-AB)∣≥∣AB∣-∣AC-ΛB∣=1＞当且仅当Λ⅛与AZ-A⅛，即7⅛与晶的方向相反时取等号.

所以I/I的最大值是3,最小值是1∙

UUtlUUUl

17.(2022•高一课时练习)已知点G是ΛBC的重心，点。在边AC上，AD=IDC

(1)用AB和AC表示4G;

(2)用AB和AC表示。G.

【答案】(1)AG=-(AB+AC);(2)DG=^AB-ACy

1/∖UUDI2UUH

【分析】(1)设BC的中点为E,可得出AE=∕(A8+AC),利用重心性质得出AG=]4E,由此可得结

果；

,UUUUUU,1.二2,二.,UUUUUIUUUUI一，1,,∙E

(2)由AO=2DC,得出AO=]AC,再由。G=AG-4。，即可得出结果.

【详解】(1)设BC的中点为E,则AE=g(AB+AC),

G为ΛBC的重心，可知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1,

UIHn2UUD2]/UUIIUUSI∖1/UI®UUU∖