第2章 正弦交流电路教材

Chapter2正弦交流电路SinusoidalAlternatingCurrent

主要内容正弦交流电的基本概念正弦交流电路的相量模型RLC串联的正弦交流电路正弦交流电路的分析功率因数的提高电路的谐振（选讲）三相正弦交流电路§2.1正弦交流电的基本概念

正弦交流电的基本概念交流电：大小、方向随时间变化的电压或电流，用u、i、e表示。常见交流电形式：正弦波、方波、三角波。正弦交流电：随时间按正弦规律变化的电压、电流。表达式为：

正弦交流电路：是指含有正弦电源（激励）而且电路中各部分所产生的电压和电流（响应）均按正弦规律变化的电路。

正弦电压、电流是在通讯、无线电技术以及电力系统中最基本、最常见的激励信号。tIm：电流幅值(amplitude）三要素:ImψT一、正弦量ω：角频率(frequency)ψ：初相位(角)（initialphase）

正弦交流电的基本概念频率f：正弦量在单位时间内变化的周数。单位：赫兹（Hz）。角频率ω：正弦量单位时间内变化的弧度数。单位：弧度/秒（rad/s）。周期与频率的关系：角频率与周期及频率的关系：tψTIm周期T：正弦量完整变化一周所需要的时间。单位：秒（s）。1.频率与周期

正弦交流电的基本概念*电网频率：中国50Hz（工频）美国、日本60Hz小常识*有线通讯频率：300-5000Hz*无线通讯频率：

30kHz-3×104MHz

正弦交流电的基本概念相位：正弦量的电角度

(ωt+ψ)初相：t=0时的相位相位差：两个同频率正弦量的相位之差，其值等于它们的初相之差。如相位差为：tψTImiut2.相位、初相和相位差

正弦交流电的基本概念两种正弦信号的相位关系P50

=ψu

ψi=，

u与i反相位(oppositeinphase);

=ψu

ψi

=0，

u与i同相位(inphase)；

=ψu

ψi

0，u超前(lead)i

，或i滞后(lag)于u；

=ψu

ψi

=/2，（了解）

u与i

相位正交(normal)；

正弦交流电的基本概念

=ψu

ψi<0，i超前(lead)u

，或u

滞后(lag)于i

为确切反映正弦电量在电路转换能量方面的效应，在工程应用中常用有效值(effectivevalue)表示幅度。常用交流电表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。标准市电电压220V，是指供电电压的有效值。瞬时值，小写字母表示最大值，大写字母表示,下标加m。3.幅值与有效值

正弦交流电的基本概念则有（有效值，均方根值）对正弦电量热效应相当有效值概念IRi(t)0≤t≤T＝有效值用大写字母表示。

正弦交流电的基本概念同理：例如：求总电压u=？其中，，。

，计算比较繁琐，为了简化交流电路的计算，我们一般用相量来表示正弦量。

相量表示法的基础是复数。二、正弦量的相量表示法三角函数式指数式极坐标式1.复数及其运算代数式

正弦交流电的基本概念其中：+1+jo复数A可用复平面上的有向线段来表示(相量)。复数的四则运算：j=1a2a1aθA注：复数计算可用计算器a、b键

例如：

3a，4b,2ndFa,则a→5=r,b→53=5a，53b，2ndFb,则a→3=a，b→4=b

2.正弦量的相量表示法

正弦交流电的基本概念a、正弦交流电路中所有电压、电流的频率和电源频率相同，所以频率认为已知，没有必要表示。b、复数表示正弦量三要素时只要表示另两个要素模r—表示正弦量的大小；复角θ—表示正弦量的初相位。

复数İ或İm与给定频率ω的正弦量有一一对应关系,电路中复数İ或

İm称为相量(phasor)。正弦量可以用相量形式表示为：

—有效值相量，—最大值相量也可以写成三角函数形式：一般情况下，均应表示为有效值相量。（1）只有在频率一定的情况下，相量才能表示一个正弦量。

A表示一个有效值为2A，初相位为0的正弦电流I＝2A则表示一个大小为2A的直流电流，不含频率信息（2）相量正弦量(一一对应),相量≠正弦量。P52（3）几个同频率的正弦量的和（差）的相量等于各正弦量的相量的和（差）注意：例2.1判断下列各式是否正确？

正弦交流电的基本概念3.基尔霍夫定律的相量形式KCL：

正弦交流电路中，各支路电流、电压都是同频率的正弦量，所以可以用相量表示法将基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律转换为相量形式。

在正弦交流电路中，对任一结点，流出（或流入）该结点的各支路电流相量的代数和恒为零。KVL：

在正弦交流电路中，沿任一回路各支路电压相量的代数和恒等于零。

正弦交流电的基本概念4、相量图表示法（1）首先若为瞬时值形式应化为相量（2）作相量图：

①

首先要确定一个参考相量，通常取实轴为参考，虚轴省略；

②

在相量图中作出、，在相量图中一定要标注相量符号，不能标注瞬时值；

③

根据平行四边形法则计算；

求:

例2.2求：i=i1+i2解：ii2i130

60

相量图：已知：23.1

正弦交流电的基本概念§2.2正弦交流电路的相量模型电阻元件电压、电流关系的相量形式电感元件电压、电流关系的相量形式电容元件电压、电流关系的相量形式

正弦交流电路中的RLC元件一、电阻元件电压、电流关系的相量形式+

u(t)i(t)R瞬时值表示相量表示+

Ru(t)=Ri(t)ψu＝ψi——VAR相量形式电压和电流频率相同，相位相同。

正弦交流电路中的RLC元件二、电感元件电压、电流关系的相量形式LiL+

uL设则电压和电流频率相同，电压比电流相位超前90°

正弦交流电路中的RLC元件ψu＝ψi

+90相量表示jωL+

——VAR相量形式ωXLω=0时XL=0直流短路ψu＝ψ

i+90电压超前电流90

ω越大，感抗越大，阻碍电流的能力就越强感抗单位：Ω频率函数uLiL

正弦交流电路中的RLC元件通低频，阻高频三、电容元件电压、电流关系的相量形式瞬时值表示设则电压和电流频率相同，电压比电流相位滞后90°CuCiC+−

正弦交流电路中的RLC元件ψu＝ψi

90相量表示+−——VAR相量形式ω=0时XC→

直流开路ψu＝ψi

90电压滞后电流90

频率越高，容抗越小，阻碍电流的能力越小容抗单位：Ω频率函数ωuCiC

正弦交流电路中的RLC元件通高频，阻低频。P57一、瞬时值关系+

RL+

+−+

设§2.3RLC串联的正弦交流电路u与i是同频率的正弦量瞬时值模型图二、相量关系由此：复阻抗

电抗由KVL+

RjωL+

+−+

阻抗角阻抗模相量模型图1.阻抗是复数计算量2.阻抗三角形

RX＝XLXC

Z

+

RjωL+

+−+

阻抗角3.阻抗角

与电路的性质的关系纯电阻电路

＝0纯电感电路

＝90纯电容电路

＝900＜

＜90感性电路

90＜

＜0容性电路4.计算阻抗的几种方法（1）已知电路电压、电流，求阻抗（2）已知R、L、C值求阻抗（3）阻抗的串并联+

RjωL+

+−+

+

RjωL+

+−+

电压三角形三、相量图关系四、功率关系1.瞬时功率No+

t0puiPp

0，电路送出能量p0，电路吸收能量单位：瓦；W电阻电路：

＝0，电压、电流同相位，P＝UI电感或电容电路：

＝±90，电压、电流正交，P＝0功率因数2.

平均功率P(有功功率)t0p

=UIsin

sin2tp

=

UIcos

(1－

cos2t)吸收能量释放能量3.无功功率Q电阻电路：

＝0，电压、电流同相位，Q＝0

在正弦稳态电路中，储能元件L、C

虽然不消耗能量，但存在能量交换，交换的规模用无功功率来表示。其大小为能量交换瞬时功率p

的最大值：Q=UIsin

单位：乏(Var)电感电路：

＝90，电容电路：

＝-90，p

=UIsin

sin2t工程上认为电感吸收无功功率,电容发出发出无功功率.4.视在功率S：

电路中总电压与总电流有效值的乘积。单位：伏安（VA）PQS注：S＝UI

可用来衡量设备可能提供的最大有功功率（额定电压×额定电流）

视在功率5.功率三角形：无功功率有功功率φ———功率因数角例2.3已知有一只额定功率为40W、功率因数为0.5（感性）的日光灯与一只额定功率为100W的白炽灯并联在220V的交流电源上，试求该电路的总电流I及总功率因数cos

。解：日光灯中的电流∵cos

RL＝0.5∴

RL=arccos0.5=60+－取电压为参考cos

=cos(26.3)＝0.897∴总电流I＝0.71A总功率因数为日光灯接线图白炽灯中的电流§2.4正弦交流电路的分析阻抗的计算相量图法相量式法已知电路电压、电流，求阻抗已知：求：Z、R、L或CRLC电路+

ui等效的R＝1Ω，XL＝1.73Ω解：感性一、阻抗的计算

正弦交流电路的分析例2.3已知R、L、C值求阻抗1mH300Ω11μFZ设f＝500kHz，求Z。ω＝2

f＝3140×103rad/s例2.4解：

感性阻抗例2.5阻抗的串并联Z1Z2Z3+

已知：求：解：

正弦交流电路的分析指出下列结果是否正确,若有错,试将其改正。j||例2.6Rj

L+–++––(5)若则

正弦交流电路的分析二、相量图法例2.7已知，UC=UR=20V求U。解：R–++––+例2.8已知I=5A

I1=4A求I2

。解：R+-5A4A例2.9电路如图所示，已知，R=XL，XC=10Ω，IC=10A,总电压与总电流同相，求I、IL、U、R、XL。

jXLR-jXC+

45解：设为参考相量

因为所以

UoAAB5

C1C2设：A读数:10A已知：UAB=100V，求：A、Uo的读数解：例2.10Uo读数:141V

正弦交流电路的分析三、相量式法+_例2.11已知：试求：两个电源各自发出的有功功率和无功功率。解：两个电源发出的有功功率互相抵消，而无功功率不抵消，因为电路中的电感吸收无功功率。jωL+–+–

电源设备(容量S)向负载送多少有功功率要由负载的阻抗角

决定。P=Scos

S75kVA负载cos

=1,P=S=75kWcos

=0.7,P=0.7S=52.5kW异步电机：空载cos

=0.2~0.3满载cos

=0.7~0.85日光灯：cos

=0.45~0.6(2)当输出相同的有功功率时，线路上电流大I=P/(Ucos

)，线路压降损耗大。功率因数低带来的问题：(1)电源设备不能充分利用，电流到了额定值，但有功功率还未达到最大值；

正弦交流电路的功率§2.5功率因数的提高解决办法：对感性负载并联电容，提高功率因数。分析:j1j2

不变量：并联电容后，原感性负载取用的电流不变，吸收的有功功率不变，即负载工作状态没有发生任何变化。

变化量：并联电容中的电流补偿部分感性负载电流，使总电流减小，且总电流与电源电压的夹角变小，功率因数提高。LRC+

正弦交流电路的功率补偿电容容量的确定：j1j2Isin

2ILsin

1得：

正弦交流电路的功率cos

1=0.6(感性)。要使λ提高到0.9,求并联电容C。解：LRC+

P=20kWcosj1=0.6+_Ccos

2=0.9

2=25.84

1=53.13cos

1=0.6例2.13已知：f=50Hz,U=380V,P=20kW,

正弦交流电路的功率补偿容量不同的分类全补偿——不要求(电容设备投资增加,经济效果不明显)欠补偿过补偿——使功率因数又由高变低(性质不同)综合考虑，提高到适当值为宜(0.9左右)。j1j2

正弦交流电路的功率§2.6电路的谐振(选讲)

在正弦稳态电路中，当总电压恰与总电流同相位时，称电路发生谐振(harmonic)。产生谐振现象的电路称为谐振电路。谐振电路广泛应用于无线电工程和其他电子技术领域中，以达到有选择地传递信号的目的。串联谐振串联谐振电路的频率特性（选讲）并联谐振（选讲）

电路的谐振内容一、串联谐振1、串联谐振在RLC串联电路中2、谐振频率发生谐振时的角频率称谐振角频率，用

0表示。时，阻抗角

=0，电流与电压同相位，当电路出现谐振现象——串联谐振。+Rj

L1/j

C

电路的谐振3、串联谐振的特点

电流与外施电压同相位，电路呈电阻性。

电路阻抗Z=R，外加电压一定时，电流具有最大值Io。+Rj

L1/j

C

谐振时电感电压UL0与电容电压UC0大小相等，方向相反，二者互相抵消，电源电压全部降落在电阻上。

电路的谐振品质因数---Q

值

定义：电路串联谐振时，电感或电容上的电压和总电压的大小之比。若谐振时有XL=XC

R，则UL=UC

URUL=UC=QUR

=QU

电路的谐振串联谐振也称为电压谐振。收音机接收电路L1：接收天线L2与C

：组成谐振电路L3：将选择的信号送接收电路例2.14串联谐振应用

电路的谐振已知：解：如果要收听us1节目，C应配多大？即：当C调到150pF时，可收听到us1的节目。1.L2Cus1

、us2为来自2个不同电台（不同频率）的信号

电路的谐振2.谐振时，us1信号在电路中产生的电流有多大？在C

上产生的电压是多少？已知：解：L2C所希望的信号被放大了64.5倍

电路的谐振二、串联谐振电路的频率特性（选讲）1、阻抗的频率特性RωLωω＜ωo容性ω＞ωo感性

电路的谐振2、电流频率特性0110.707Q=10Q=100Q=1定义：通频带BW=

2

1在此频率范围内信号通过电路时幅值损失较小。Q

，BW，电路选择性

。

电路的谐振三、并联谐振（选讲）∵ωL>>R+RLC

谐振时，阻抗虚部为零，则

电路的谐振

在ωL>>R的情况下，并联谐振电路与串联谐振电路的谐振频率相同。并联谐振时，

=0，电压与电流同相位，阻抗为：谐振角频率为：谐振频率为：阻抗的模最大。在外加电压一定时，电路的总电流最小。

电路的谐振§2.7三相正弦交流电路三相电路实际上是一种结构特殊的交流电路。正弦交流电路的分析方法对三相电路完全适用。由于三相电路的对称性，可采用一相电路分析，以简化计算。三相电源三相电路的分析与计算三相电路的功率

三相正弦交流电路内容

三相制相对于单相制在发电、输电、用电方面有很多优点，主要有：(1)三相发电机比单相发电机输出功率高。(2)经济：在相同条件下(输电距离，功率，电压和损失)三相供电比单相供电省铜。(3)性能好：三相电路的瞬时功率是一常数，对三相电动机来说，意味着产生转矩均匀，电机振动小。(4)三相制设备(三相异步电动机，三相变压器)结构简单，易于制造，工作经济、可靠。综合上述的优点，三相制得到广泛的应用。电力系统所采用的供电方式绝大多数属于三相制，日常用电是取自三相制中的一相。

三相正弦交流电路一、三相电源+uAAx

+uBBy

+uCCz

NSºIwAzBCyx（1）瞬时值表达式1.三相电源对称三相电源(three-phasesource):三个大小相等、频率相同、初相位互差120°的正弦电压源的组合。

三相正弦交流电路（2）波形图相序：三相电源到达正最大值的先后次序。

相序A-B-C称为正序或顺序。反序或逆序:C-B-A（3）相量表示（4）对称三相电源的特点uA+uB+uC

=0或t0uAuBuC

三相正弦交流电路2.三相电源供电方式三相四线制+++NABC

中点或零点相(火)线中(零)线线电压：相线间的电压相电压：相线与中线的电压有效值一般用UL表示。有效值一般用UP表示。

三相正弦交流电路线、相电压间相量关系式+++NABC

线、相电压之间的关系30°由相量运算可得

三相正弦交流电路二、三相电路的分析与计算1.三相负载与连接方式三相负载整体三相负载：三相电动机、三相变压器由单相负载（如电灯、电视）组成三相负载。若3相负载都相等，即则称对称负载，否则称不对称负载。

三相正弦交流电路+++ZNZ1Z1Z1Z2Z2Z2Z3Z3Z3Z4Z4Z4Z5Z5Z5

n三角形连接星形连接

三相正弦交流电路三相三线制NABCZCZBZAM3~三相四线制三角形连接星形连接三相负载采用何种连接方式由负载的额定电压决定。当负载额定电压等于电源线电压时采用三角形连接；当负载额定电压等于电源相电压时采用星形连接。

三相正弦交流电路中线电流:负载相电压＝电源相电压各线电流=各负载相电流当ZA=ZB=ZC=Z时为对称电流。

且（1）三相四线制2.负载星形连接的三相电路N

ABCN

三相正弦交流电路（2）三相三线制当ZA=ZB=ZC=Z时可将中线去掉三相三线制注意：当负载不对称，且无中线时，使得负载不能正常工作N

ABCN

三相正弦交流电路例2.15三相四线制电源相电压220V三相照明负载：RA=5Ω，RB=10Ω，RC=20Ω求:（1）负载电压、电流及中线电流。解：因为有中线，则UAN'=UBN'=UCN'=UP=220V已知：RBRCN

RAANBC

三相正弦交流电路RBRCN

RAANBC（2）A相短路时负载电压、电流。UAN'=0UBN'=UCN'=UP=220VIA很大，A相熔断器熔断。IB、IC不变。（3）A相开路时负载电压、电流。IA=0B、C相不受影响。UBN′、UCN′、IB、IC均不变。

三相正弦交流电路（4）中线断开，且A相短路时负载电压、电流。UBN′=UCN′=380V

均大于负载的额定电压，不允许！RBRCN

RAANBC

三相正弦交流电路（5）中线断开，且A相开路时负载电压。B相电压小于负载的额定电压，电灯发暗。C相电压大于负载的额定电压，不允许！RBRCN

ANBC

三相正弦交流电路关于中线的结论

负载不对称而又没有中线时，负载上可能得到大小不等的电压，有的超过用电设备的额定电压，有的达不到额定电压，都不能正常工作。

中线的作用在于:强制使星形连接的不对称负载得到相等的电源相电压。

照明电路中各相负载不能保证完全对称，必须采用三相四相制供电，而且必须保证中线可靠畅通。中线上不允许接保险丝也不允许接开关。

三相正弦交流电路3.负载三角形连接的三相电路(2)负载线、相电流间关系(1)负载线、相电压间关系各相负载相电流分别为各线电流分别为ABC

三相正弦交流