第2章 离散时间信号和离散

第2章离散时间信号和离散时间系统2.1前言

离散时间信号是定义在离散时间点上的信号。

离散时间系统是指输入和输出信号都是离散时间信号的系统。

学习过程中要注意数字信号处理和模拟信号处理的联系与区别。2.2离散时间信号—数字序列

在离散时间系统中，信号要用离散时间的数字序列来表示。如果将一个数字序列的第个数字表示为（为整数，表示离散时间），那么离散时间信号可简单表示为：只有当为整数时，序列才有一定的数值，而对于非整数的，是没有定义的。

一个离散时间信号还可以用一个矢量来表示，如：这也是MATLAB语言中采用的表示形式。常用的几种基本离散时间信号：1、单位取样序列δ(n)

单位取样序列也可以称为单位冲激序列，特点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。它类似于模拟信号系统中的单位冲激函数δ(t)。单位取样序列和单位冲激信号如图所示。单位取样序列单位冲激信号δ(t)在t=0时，脉宽趋于零，幅度趋于无限大，面积为1。2、单位阶跃序列u(n)

它类似于模拟信号中的单位阶跃函数u(t)。

单位阶跃序列δ(n)=u(n)-u(n-1)δ(n)与u(n)的关系：3、矩形序列RN(n)

矩形序列矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式：

RN(n)=u(n)-u(n-N)4.实指数序列

x(n)=an，

a为实数，-∞<n<∞如果|a|<1，x(n)的幅度随n的增大而减小，称x(n)为收敛序列；如|a|>1，则称为发散序列。其波形如下图所示。x(n)=anu(n)，

a为实数实指数序列-101231序列发散1-10123序列收敛0-1132-101234序列正、负摆动5.复指数序列复指数序列定义为这里为数字域频率，单位为弧度，A是幅度。当时，上式可表示为上式还可写成A可以是实数或复数，当其为复数时称为复振幅，表示为则：虚指数序列6.正弦型序列正弦型序列定义为式中，为幅度，为数字域频率,它表示序列变化的快慢速率，为初相。对模拟正、余弦信号采样可以得到正、余弦序列。例其中，为数字域频率，为采样周期Ω为模拟角频率所以补充：模拟频率和数字频率数字频率

---一个很重要却容易引起误解的参数。设有一个正弦波式中，是幅度，是模拟角频率，单位为弧度/秒，是连续时间，单位为秒。正弦波的周期为,它的倒数是模拟频率，单位是赫兹。角频率和频率之间的关系是。

以采样周期对正弦波取样，取样频率为，单位为赫兹。离散取样点，取样后得到的正弦序列为定义数字频率则得到与模拟正弦信号对比正弦序列表达式中的与正弦波表达式中的，位置和作用类似，因此将

定义模拟（角）频率，单位是rad/s，单位是rad

定义数字频率，单位是rad，单位是rad又被称为归一化频率。将式和，带入式得到数字频率的另外一种形式

这表明，数字频率是一个与取样频率有关的频率度量，即数字频率是模拟频率用取样频率归一化后的弧度数。因此，对一个正弦波进行取样，使用的取样频率不同，所得到的正弦序列的数字频率也不同。7.周期序列如果对所有n，存在一个最小正整数N，满足则称x(n)为周期序列，最小周期为N。若成立，k为整数，且满足N为整数。则x(n)为周期序列。对模拟周期信号采样后得到序列，未必是周期序列！例如，采样后得到的正弦序列一般表示为思考：周期信号经等间隔采样后得到序列一定是周期序列？可由以下条件判断是否为周期序列：（1），为整数，则是周期序列，周期为。（2），、为整数，则是周期序列，若N，k无公因子，则周期为。（3）为无理数，则正弦序列不是周期序列。34567012891011120123456789108.斜变序列斜变序列是包络为线性变化的序列，表示式为01234321补充：序列的运算对应项相乘形成新的序列序列的每一项乘以标量

b.标量乘以序列2、a.序列相乘对应项相加形成新的序列1、序列相加3.翻褶(折迭)

如果有

,则是以n=0为对称轴将x(n)加以翻褶的序列-2-10121/81/41/21x(-n)n-1012x(n)11/21/41/8-2n4、移序或移位位逐项左移（超前）位逐项右移（延时）012321-1321-1-101012321-15、累加设某一序列为x(n),则x(n)的累加序列y(n)定义为即表示n以前的所有x(n)的和。6.差分前向差分（先左移后相减）后向差分（先右移后相减）7、尺度变换(抽取、插值）m倍。序列每m点取一点形成的，即时间轴压缩了是012331例

m=2时012-1331273216012345其中m为正整数扩展了m倍。序列每点加m-1个零值点形成的，即时间轴是例m=2时8.序列的能量

x(n)的能量定义为

2.3离散时间系统2.3.1线性非移变系统信号处理的目的之一是要把信号变换成人们需要的形式。离散时间系统，输入和输出都是数字序列。

一个有用的系统应当是一个对信号产生唯一变换的系统。

因此，离散时间系统可定义为将输入序列映射为输出序列的唯一变换或运算，并用表示，即系统的图形示意y(n)x(n)][T

对变换施加不同的约束条件，可定义出不同种类的离散时间系统。

满足叠加原理的系统称为线性系统。

设y1(n)和y2(n)

分别是系统对输入x1(n)和x2(n)的响应，即

y1(n)=T［x1(n)］，y2(n)=T［x2(n)］若满足，

T［ax1(n)+bx2(n)］=ay1(n)+by2(n)则此系统是线性系统。a和b均是常数。1、例2.1证明所表示的系统不是线性系统。显然所以，此系统不是线性系统。证:

非移变系统

如果系统对输入信号的运算关系T［］在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为非移变系统，用公式表示如下：这意味着：当输入信号沿自变量轴移动任意距离时，其输出也跟着移动同样的距离。y(n)=T［x(n)］y(n-k)=T［x(n-k)］2、说明：在表示离散时间的情况下，“非移变”特性就是“非时变（时不变）”特性。例2.2证明不是非移变系统。由于和所以故此系统不是非移变系统。证：这类系统的一个重要特性：它的输入与输出序列之间存在着线性卷积关系。一个既能满足叠加原理，又满足非移变条件的系统，被称为线性非移变（时不变）系统，简写为LTI离散系统。零状态响应

设系统的输入x(n)=δ(n)，系统输出y(n)的初始状态为零，定义这种条件下系统输出称为系统的单位冲激（取样）响应，用h(n)表示。推导：

用公式表示为

y(n)=h(n)=T［δ(n)］

h(n)和模拟系统中的h(t)单位冲激响应相类似，都代表系统的时域特征。

换句话说，单位冲激响应即是系统对于δ(n)的零状态响应。显然，这是因为只有时，，因而所以上式成立。

利用单位冲激序列的定义和序列延迟的概念，可以写出任意序列x(n)的一般表示式

以上表明，任意序列都可以表示为加权、延迟的单位冲激序列之和。通常把上式称为离散卷积或线性卷积。h(n)=T［δ(n)］系统是线性非移变的设系统的任意输入用x(n)表示，则系统输出表示为卷积形式

这意味着，任何线性时不变系统都可以用其单位冲激响应来表征，而且系统的输入和输出之间满足线性卷积关系。常用符号“*”表示，即卷积的性质（1）交换律卷积的代数定律h(n)x(n)y(n)=x(n)h(n)y(n)

分配律用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应，等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。y(n)=x(n)

[h1(n)+h2(n)]x(n)h1(n)h2(n)（2）分配律

结合律用于系统分析，相当于串联系统的冲激响应，等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。h1(n)h2(n)x(n)y(n)=x(n)

[h1(n)

h2(n)]（3）结合律

卷积的步骤：1、折叠：先在坐标轴上画出和，将以纵坐标为对称轴折叠成。2、移位：将移位，得到。当为正数时，右移；当为负数时，左移。3、相乘：将和的对应取样值相乘。4、相加：把所有的乘积累加起来，即得到。卷积的计算和的卷积和图解2.3.2系统的稳定性和因果性

只要输入是有界的，输出必定是有界的系统称为稳定系统。所谓有界是指在任何时刻都是有限值，即。例如：

对于线性时不变系统而言，稳定的充分必要条件是系统的单位冲激响应绝对可和，用公式表示为就不是有界的。在任何时刻都小于2，所以是有界的；设公式成立，而为一有界输入序列，且，为一常数，则对于线性时不变系统证明：1、充分性即系统输出有界，故原条件是充分条件。2、必要性利用反证法假设公式不成立，即则对下式定义的有界输入序列系统在时刻的输出为显然输出是无界的，这不符合稳定的条件，因此假设不成立，所以是系统稳定的必要条件。

因果系统的输出值取决于现时的和过去的输入，，…

相反，如果系统输出不仅取决于现时的和过去的输入而且还取决于将来的输入，，这就在时间上违反了因果律，因而它是非因果系统。因果性是系统的另一个重要特性。所谓因果系统是指输出不能先于输入的系统。4、一个线性非移变系统为因果系统的充分必要条件是必须指出，非因果系统在理论上是存在的。

物理上可实现的系统不可能在某个输入作用之前就有预感并提前响应，所以非因果系统又称为不可实现系统。

例2.5

已知一个线性非移变系统的单位取样响应为讨论其因果性和稳定性。

因为在时，，故该系统为非因果系统。解1、因果性所以时该系统稳定，时该系统不稳定。2、稳定性2.3.3线性常系数差分方程

描述连续时间系统的方程是微分方程。对于离散时间系统，由于它的变量n是离散整型变量，所以只能用差分方程加以描述。线性时不变系统可以用线性常系数差分方程来描述。引入单位延迟算子，即于是

差分方程是由函数序列的差分来表示的。一个函数序列的一阶后向差分表示为二阶后向差分表示为因此有二阶向后差分可用表示类似的，阶差分表示为因此按二项式定理将展开后，便可得到阶差分的表示式。这就是一个二阶线性常系数差分方程。将代入上式，得到

差分方程的阶数等于未知序列变量最高序号与最低序号之差。

差分方程是描述函数序列差分之间关系的方程。例如，对于一个二阶差分方程展开后得上式说明，系统在某时刻的输出值不仅与该时刻的输入、过去时刻的输入，等有关，还与过去时刻的输出值，等有关。线性常系数差分方程的一般形式为方程稍加变换得：

在离散时间系统中，基本运算关系是延时（移位）、乘系数和相加，其基本单元是延迟器、乘法器和加法器。其符号如下图所示。延迟器延迟器、乘法器和加法器示意图例：离散系统结构如下图，写出描述该系统的差分方程。延迟器解：由图知则线性常系数差分方程的求解

已知系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出输出序列。求解差分方程的基本方法有以下两种：

1、经典解法-与微分方程求解很类似，由

通解与特解组成差分方程的完全解。

2、递推解法-适用于系统阶数不高且激励比较简单的情况。3、零输入响应+零状态响应—常用的求解方法例：设系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，输入序列x(n)=δ(n)，求输出序列y(n)。解：该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。

上式表明，已知输入序列和N个初始条件，则可以求出n时刻的输出；如果将该公式中的n用n+1代替，可以求出n+1时刻的输出，因此上式表示的差分方程本身就是一个适合递推法求解的方程。

y(n)=ay(n-1)+x(n)n=0时，y(0)=ay(-1)+δ(0)=11、设初始条件y(-1)=0

n=1时，y(1)=ay(0)+δ(1)=an=2时，y(2)=ay(1)+δ(2)=a2

…n=n时，y(n)=an所以，y(n)=anu(n)2、设初始条件y(-1)=1n=0时，y(0)=ay(-1)+δ(0)=1+an=1时，y(1)=ay(0)+δ(1)=(1+a)an=2时，y(2)=ay(1)+δ(2)=(1+a)a2

…n=n时，y(n)=(1+a)an所以，

y(n)=(1+a)anu(n)

但对于差分方程，其本身也可以向n<0的方向递推，得到的是非因果解。

该例表明，对于同一个差分方程和同一个输入信号，因为初始条件不同，得到的输出信号是不相同的。

对于实际系统，用递推解法求解，总是由初始条件向n>0的方向递推，是一个因果解。

因此差分方程本身并不能确定该系统是因果还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制。例2.12设一个因果线性非移变系统由下列差分方程描述

求系统的单位阶跃响应。若设初始条件y(0)=0,y(1)=1,求输入为u(n)时差分方程的全解。解:1)求方程的齐次通解:

特征方程:特征值r1=1,r2=2齐次方程的通解为2)求单位冲激响应h(n).设为

将零状态初始条件yf(-1)=0,yf(-2)=0,代入差分方程

可得,

解得,C=2;D=-1

因此,单位冲激响应

单位阶跃响应

差分方程的全解:初始条件y(0)=0,y(1)=1,解得:2.4离散时间信号和系统的频域描述2.4.1离散时间信号的傅里叶变换信号和系统的分析方法有两种：

时域分析方法

频率分析方法在离散系统中：1、信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，

2、系统则用差分方程描述。

3、频域分析是用Z变换或傅里叶变换。在模拟系统中：1、信号一般用连续变量时间t的函数表示，

2、系统则用微分方程描述。

3、用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域数转换到频率域。傅里叶变换定义为

傅里叶反变换定义为式中，表示角频率。连续时间信号离散时间傅里叶变换对：在物理意义上，表示序列的频谱，为数字域频率。

一般情况下，是一个复量，可表示为或用幅度和相位表示为其中幅度谱相位谱离散时间信号的傅立叶变换具有以下两个特点:1、是以为周期的的连续函数。可得出这是因为2、当为实序列时，的幅值在区间内是偶对称函数，相位是奇对称函数。是以

为周期的的周期函数，只需取一个周期就足够代表序列的频谱，通常取为或。在为实序列的情况下，是的偶函数，是的奇函数。基于这种对称性，在范围内的幅度谱和相位谱就足以描述序列的频谱。可采用对数形式的幅度谱，单位是。的单位是度或弧度，通常采用主值相位表示相位谱。例2.14

求下列信号的傅里叶变换解：DTFT成立的充分条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：

如果借助冲激函数的概念，不是绝对可和的序列也可能存在傅立叶变换。2.4.2离散时间信号的傅里叶变换的性质1、序列的傅里叶变换的线性

式中a,b为常数

若则2、序列的移位与调制若则移位调制3、序列的折叠若则4、序列乘以n（频域微分）设

则证：5、序列的复共轭设

则，若则证明：6、序列的卷积（时域卷积定理）

则用与时域卷积相似的方法可证。7、序列相乘（频域卷积定理），若8、序列的傅里叶变换的对称性

序列的傅里叶变换的对称性是傅里叶变换性质中的一大类。利用序列的傅里叶变换的对称性可以简化序列傅里叶变换的运算，是非常有用的。的共轭对称与共轭反对称序列

定义：

任意一个复序列总可以分解成共轭对称与共轭反对称序列之和。共轭对称序列共轭反对称序列()()()()()()()()nxnxnxnxnxnxnxnxoeoeoe-=-+-=-+=***式中是实部为偶对称，虚部为奇对称的序列；是实部为奇对称，虚部为偶对称的序列。解以上方程组可得：证明：

不难得到所以，是实部为偶对称，虚部为奇对称的序列；同理可得可得所以，是实部为奇对称，虚部为偶对称的序列。

同理可定义序列的傅里叶变换可以被分解为共轭对称与共轭反对称两部分之和。共轭反对称函数共轭对称函数式中的实部为偶函数，虚部为奇函数；的实部为奇函数，虚部为偶函数1、2、3、4、5、6、7、8、满足对称性：2、证：3、证：证：4、5、证：6、证：7、证：8、证：2.4.3离散时间系统的频率响应

在信号处理中，正弦信号和复指数信号是对信号进行频谱分析和计算系统的频率响应的重要工具。在连续时间信号处理中采用复指数信号，可以把微分和积分运算转换为乘法和除法运算，假设，有

特别是复指数信号更为方便，不仅因为它比三角函数的运算更加简洁，而且还应为它在计算上有以下特点：

另外，线性非移变系统对正弦序列的稳态响应仍然是正弦序列，频率与输入信号的频率相同，而幅度和相位取决于系统的特性。在离散时间信号处理中采用复指数序列，可以乘法运算来实现序列的时移。假设，有

因此，信号处理的大多数工具，如拉普拉斯变换、傅里叶变换、Z变换和离散傅里叶变换等，都采用复指数信号（序列）作为基型信号。

为研究线性非移变系统的频域特性，设输入序列是一个数字域频率为的复指数序列，即由线性卷积公式，可得到系统对的响应为其中

是一个与系统的特性有关的量，称为单位取样响应为的系统的频率响应。或用极坐标表示为

一般为复数，表示为分别称为系统的幅度响应和相位响应。式中和幅度响应（幅度特性）：系统的增益随频率的变化。相位响应（相位特性）：系统的输出信号相对于输入信号的相位滞后随频率的变化。

上式表示的系统频率响应是一种傅里叶级数表示，可被看作傅里叶级数的系数。因此，频率响应与冲激响应构成一对傅里叶变换对。则有

系统的频率响应含有系统的所有信息。知道系统的频率响应，就可以计算系统对任何输入信号的响应，方法是首先将变换成，然后将乘以得到，最后计算的IDTFT即得到。频率响应的求解方法：

1）单位冲激响应离散时间傅里叶变换

2）利用卷积定理2.5信号的取样2.5.1连续时间信号的取样

离散时间信号常常是由连续时间信号取样得到的。完成取样功能的器件称为取样器，如下图所示。00取样器示意图

取样器S

对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次，在电子开关输出端得到其采样信号。

电子开关可以用一个乘法器等效，图中的是周期性开关函数。当为零时，乘法器输出为零，等效为开关断开，信号通不过去；不为零时,信号通过。

采样信号可以表示为连续时间信号的取样在实际取样器中，设开关闭合时间为τ秒（τ<<T）。当τ0时，即开关闭合时间无穷短时，便是理想取样情况。(a)实际取样(b)理想取样

理想取样模型可使数学推导得到简化，主要讨论。信号经过取样之后，是否会丢掉一些信息？思考：信号的频谱会发生怎样的变化？若不丢失信息应满足什么条件？1、理想取样

当τ0，即开关闭合时间无穷短时，取样脉冲为周期的冲激函数，即：由于只在时为非零值，所以上式又可表示为理想取样输出为2、频谱延拓

现在研究取样信号与模拟信号的频谱之间的关系。将展成傅里叶级数，得式中，为基数的基波频率，系数为于是可表示为则的傅里叶变换为根据傅里叶变换的卷积定理，可得出理想取样信号的频谱为取样信号的频谱是原信号的频谱的加权周期延拓。

取样信号的频谱包括原信号的频谱和无限个经过平移的原信号频谱。这些频谱都要乘以系数。0…0…0…………000…

设原信号是最高频率为的带限信号。

从图中可以看出，当时，平移后的频谱必互相重叠，重叠部分的频率成分的幅值与原信号不同。

这种现象称为“混叠”现象。如果原信号不是带限信号，则“混叠”现象必存在。

为了使平移后的频谱不产生“混叠”失真，应要求取样频率足够高。

取样频率的一半，即称为折叠频率。等于信号最高频率两倍的取样频率称为奈奎斯特频率。

在信号的频带受限的情况下，取样频率应等于或大于信号最高频率的两倍，即3、频率归一化

假设离散时间信号是模拟信号通过周期性取样得到的，即

这里主要讨论离散时间信号的频谱与信号的频谱之间的关系。取样信号的频谱可以表示为另一方面的频谱等式两边的频谱相等，则将公式代入

上式表明，在的条件下，离散时间信号的频谱与取样信号的频谱相等。

由于（为取样频率）是对归一化的结果，故可以认为离散时间信号的频谱是取样信号的频谱归一化后的结果。4、信号重建

从图中可看出，如果取样信号不存在混叠，那么或将两式分别改写为或

这样，让取样信号通过一个截止频率为的理想低通滤波器，就可将取样信号频谱中的基带频谱取出来，恢复原来的模拟信号。

这个理想低通滤波器的频率特性为

根据连续