2022-2023学年山东省泰安市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省泰安市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.复数z满足z（l+i）=为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知PQ4)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.2,则P(AUB)=()

A.0.5B,0.6C.0.8

3.如图，某圆柱侧面展开图的斜二测直观图为平行四边形

A'B'C'D',己知A。'=B'O'=O'E'=C'E'=D'E'=n,则该

圆柱的体积为（）

A.2公

B.n2

C.7T4

D.27r2

4.己知m,n是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若m〃a,nua,则??i〃nB,若m1a,则n_La

C.若m-Ln,m〃a,则n〃aD.若al/5,m1a,则m〃0

5.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险;

T.参保险种比例定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.已知该

保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如上统计图例，则以下四个选项错误的是

()

8%254周岁

018-2930-4142-5354周岁以上

参保人数比例不同年龄段人均参保费用

A.18~29周岁人群参保总费用最少

B.30周岁以下的参保人群约占参保人群的20%

C.54周岁以上的参保人数最少

D.丁险种更受参保人青睐

6.抛掷一枚质地均匀的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2"，乙表示

事件“两次骰子正面向上的数字之和是5"，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是

7”,则()

A.甲乙互斥B.乙丙互为对立C.甲乙相互独立D.甲丙相互独立

7.已知同=1,b=(l,O)-Sl(a+fa).则向量益在向量反上的投影向量为()

A-(-1,-V-3)B.(-7-3)-1)C.(一，，一？)D.(一：,-?)

8.已知正四面体ABCD的体积为24%，E为棱的中点，球。为该正四面体的外接球，则过

点E的平面被球。所截得的截面面积的最小值为()

A.%B,3兀C.47rD./

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.设复数z=则下列说法正确的是()

A.2的虚部是?i

B.z+z=|z|

C.复平面内z和之分别对应的两点之间的距离为1

D.z2+z=0

10.已知函数/(%)=Asin(2x+@)(4>0,0V@<兀)的最大值为3,且f(%)的图象关于直线

、屋对称，则下列说法正确的是()

A.函数“X)的最小正周期为2兀B./(1)=|

C.函数的图象关于点(-刍0)对称D.函数/(久)在《,且上单调递减

11.已知点P是△4BC所在平面内一点，且而=2%南+y前，yER,则下列说法正确

的是()

A.若x=y=2，则点P是边BC的中点

B.若点P是边BC上靠近B点的三等分点，贝ljx=y=g

C.若2x+y=2,则APBC与△ABC的面积相等

D.若点P在BC边的中线上，且2x+y=；,则点P是△ABC的重心

12.如图，在直三棱柱4BC-4B1G中，已知44cB=90。,4。=GEB,

BC=CJ=2,E为BiG的中点，过4E的截面与棱4停1分人名华二?

别交于点凡G,则下列说法正确的是（）；:

A.三棱锥力i-AEF的体积为定值:

B.线段QG长度的取值范围是［0怎匕匕二

C.当点尸与点B重合时，四棱锥C-4尸EG的体积为2

D.存在点F,使得4F1.4E

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.2022年2月20日晚，备受瞩目的第24届冬季奥运会在北京圆满落幕.这是一场疫情肆虐

下的体育盛会，是一场团结、友谊、奋进、拼搏的盛会，是一场充分体现中华民族文化自信

的盛会.筹备期间，某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三

青年志愿者中选出24名志愿者参与冬奥会的志愿服务工作.已知大一至大三的青年志愿者人

数分别为50,40,30,则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派人.

14.已知。是第三象限角，且cos0=-噂，则tcm20的值是.

15.如图，为了测量河对岸的塔高4B,选取与塔底B在同一水平面内M

的两个观测点C和D,测得/BCO=75°,/.BDC=45°,CD=20\T3m，

并在C处测得塔顶A的仰角为30。，则塔高=m.一号"

16.在锐角△ABC中，已知4=30。，AC=2,则瓦？•元的取值范围为.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

在锐角△力BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量沅=（2b,「），n=^c,sinC）,

且沅〃汇

(1)求B；

(2)若M为4B中点，a=3,△力BC的面积为亨，求CM的长.

18.(本小题12.0分)

如图，4E1平面ABCD,AD//BC,AD1AB,AB=AD=1,AE=BC=2,F为CE中点.

(1)求证：DF〃平面E4B；

⑵求点C到平面BDE的距离.

19.(本小题12.0分)

某城市正在进行创建文明城市的活动，为了解居民对活动的满意程度，相关部门从甲，乙两

个社区各抽取了20人进行打分.

甲社区20名居民的打分记录如下：

52,56,59,63,64,70,71,73,75,75,80,80,81,82,85,86,88,89,93,95.

将乙社区20名居民的打分分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,并画出了

其频率分布直方图.

(1)根据以上数据，求甲社区20名居民打分的第75百分位数；

(2)估计乙社区20名居民打分的平均分(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)；

(3)现从甲，乙两社区打分不低于90分的居民中，任选2人，求2人不在同一社区的概率.

八频率

组距

0.030........................

0.025------------------

0.020------------------pl

0.015--------------------------------------

0.010-------

0.005-

Lv—I——————————►

°v5060708090100乙社区居民打分

20.(本小题12.0分)

2

已知向量五=(，^呜,1),b=(cos|,cos1),ig/(x)=ab-

(l)^/(a)=求cos6-a)的值；

(2)将函数y=/(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的技纵坐标不变，再向右平移3个单位

长度，得到函数y=g(x)的图象，若函数y=g(x)-k在［0,Q］上有零点，求实数k的取值范

围.

21.(本小题12.0分)

甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，

积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四

局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平.假设在每局比赛中，甲胜的概

率为：，负的概率为全且每局比赛之间的胜负相互独立.

(1)求第三局结束时甲获胜的概率；

(2)求乙最终以2分获胜的概率.

22.(本小题12.0分)

如图1,在边长为4的菱形4BCD中，4B=60。，E,F分别为AB,AD的中点，将△ACD沿AC折

起到△ACG的位置，得到如图2所示的三棱锥G-ABC.

(1)证明：AC1BG-,

(2)M为线段EF上一个动点(M不与端点重合)，设二面角G-4C-B的大小为a,三棱锥M-

ABC与三棱锥M-4GC的体积之和为V,求，的最大值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：z(l+i)=1-2i,Az(l+0(1-0=(1-2i)(l-i).

化为2z=-l—3i,=

・・•复数z在复平面内所对应的点(-a-1)在第三象限.

故选：C.

利用复数的运算法则和几何意义即可得出.

本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解:PQ4)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.2,

则P(4UB)=PQ4)+P(B)-P(AB)

=0.5+0.3—0.2

=0.6.

故选：B.

利用事件的并的概率计算公式直接求解.

本题考查概率的运算，考查事件的并的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

3.【答案】D

【解析】解：根据题意，该圆柱侧面展开图的斜二测直观图为平行四边形A'B'C'D',已知40'=

B'O'=O'E'=C'E'=D'E'=n,

由斜二测画法得，在原图矩形4BCD中，AB=BC=2n,

如图：

DEC

AOBx

所以该圆柱的高为2TT,底面半径为§=1,

2n

故该圆柱的体积为7TX2兀=27r2.

故选：D.

根据题意，利用斜二测画法得到原图矩形4BCC中，AB=BC=2n,从而求出圆柱的高，底面半

径，从而求出圆柱的体积.

本题考查圆柱体积的计算，涉及斜二测画法，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：若m〃a,nua,则m〃n或m与n异面，故A错误；

若m1a,由直线与平面垂直的性质可得nJ.a,故B正确；

若m_L7i,m//a,则几ua或n〃a或n与a相交，故C错误；

若a10,m1a,则mu0或小〃0,故力错误.

故选:B.

由直线与平面平行分析直线与直线的关系判断4由直线与直线平行、直线与平面垂直分析线面

关系判断B；由直线与直线垂直、直线与平面平行分析线面关系判断C；由平面与平面垂直、直线

与平面垂直分析线面关系判断D.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思

维能力，是基础题.

5.【答案】A

【解析】解：对于选项A,由扇形统计图及折线图可知，8%x6000<20%x4000,

故不小于54周岁人群参保总费用最少，故A错误；

对于选项B,由扇形统计图可知，30周岁以下参保人群约占参保人群的20%,故8正确；

对于选项C,由扇形统计图可知，54周岁以上的参保人数约占8%,人数最小，故C正确；

对于选项。，由柱状图可知，丁险种更受参保人青睐，故O正确.

故选：A.

根据统计图表一一分析即可.

本题考查统计相关知识，属于基础题.

6.【答案】。

【解析】解：由题意知，先后抛掷两枚骰子，出现的点数的所有可能情况为36种，

甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”包含的基本事件有：

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),则P1=4=：,

DOO

乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”包含的基本事件有：

(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),则=。=：，

JO7

丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”包含的基本事件有：

(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),则P3=£=：，

JOO

对于4,甲乙有可能同地发生，不是互斥事件，故4错误：

对于8,除了乙丙外，琮有其他事件发生，不是对立事件，故B错误；

对于C,甲乙同时发生的概率为故C错误；

对于D,甲丙同时发生的概率为P5=2=P$3,故。正确.

故选：D.

先根据古典概型求出三个事件的概率，利用互斥事件、对立事件及事件的独立性定义判断正误.

本题考查命题真假的判断，考查古典概型、互斥事件、对立事件及事件的独立性定义等基础知识,

考查运算求解能力，是基础题.

7.【答案】D

【解析】解：：五1(五+B)，

••a-a+a-b=O<

即W-K=—a-a=—|a|2=-1，

故向量旨在向量至上的投影向量为

需s

=

-斤一

ISI

1

-

-

4

可.

为即

向量

投影

上的

量加

，在向

求向量

l，再

=-

-a

=-a

方-b

而求得

O,从

b=

+a-

五-a

意得

由题

.

础题

于基

，属

应用

直的

量垂

及向

求法

量的

影向

了投

考查

本题

】B

答案

8.【

,

所示

如图

解：

析】

【解

，

接球

的外

方体

为正

球，即

外接

CD的

体AB

正四面

球。为

，

为2产

体积

D的

力BC

面体

正四

为a,

棱长

体的

正方

3则

为小至

的棱长

BCC

面体4

设正四

2

6>

=V-

解得a

xa=

|xa

x|x

—4

所以

，

%)2

+(J

(CT

>+

，石

=(

R)2

,则(2

径为R

的半

接球

的外

BCD

面体4

设正四

，

=等

基底R

，

截面

球的

外接

作其

过点E

点，

的中

为棱

因为E

，

小值

达最

面积

圆的

截面

时，

大值

离最

。的距

球心

面到

当截

?，

即(/=

半，

的一

棱长

方体

于正

离等

面距

。到截

球心

此时

2

2

耳，

=，

(?尸

尸一

J(答

d=