2022年高考模拟测试卷数学试题一(含答案解析)

2022年新高考模拟测试卷一

数学试题

一、单选题(每题5分，共8题；共40分)

1.已知集合A=[x\2-%>0],B=[xEZ\y=/n(x+1)},贝(JAnB=()

A.[-1,2]B.(-1,2]C.[0,1,2}D.{-1,0,1,2)

2.已知复数z=含，则々的虚部为()

A.1B.LC.D.

3.已知随机变量f服从正态分布N(l,02),若P(fv3)=0.8,则P(-l<f<1)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

5.正三棱锥S—ABC中，SA=2,AB=2五、则该棱锥外接球的表面积为（）

A.4V3TTB.4兀C.12兀D.6兀

6.（5分）已知向量五=（sin。,1）,b=（2sin0,-l）,且五,贝Ucos20=（）

A.0B.1C.也D.-1

22

2

7.已知椭圆与+y2=i与双曲线4-y=1有相同的焦点％、F2,设椭圆与双曲线的离心

ai的

率分别为ei、e2,则（）

A.。送2=1B.谥—e：=1

C.吊+餐=26^2D.=2。1

1/27

8.若函数g(%)在区间。上，对Va、b、c£D,9(。)、g(b)、g(c)为一个三角形的

三边长，则称函数g(x)为“稳定函数已知函数/(%)=竽+加在区间表,e2］上是“稳定函

数”，则实数m的取值范围为()

11

A.(2e+3+。)B(2/4--,+勿)

1c1

C.(4e+,+8)D.(4。2+工，+。)

二、多选题(每题5分，共4题；共20分)

9.下列关于向量a,b,c的运算，一定成立的有()

A.(d+b')-c=d-c+b-cB.(a•b)-c=a-(fe'c)

Ca-b<\a\-\b\D.|a-6|<\a\+\b\

10.已知函数/(x)=2sinxcosxcos(p4-cos2xsinw(一兀<9<兀)，则()

A.函数/(x)的最小正周期为n

B.若函数/(X)为偶函数，则9=刍

C.若(p=—鼻'则函数y-/(久)的图象可由函数g(x)=sin2x的图象向右平移着个单位长

度得到

D.若程=着，则函数y=f(x)的图象的对称中心为(学+涉0)(keZ)

11.已知椭圆C:第+*=1上有一点P,Fi、尸2分别为左、右焦点，//产2=。"a尸2的

面积为S,则下列选项正确的是()

A.若。=60。，则S=3魂B.若S=9,贝IJ。=90。

C若4PF\F2为钝角三角形，贝IJse(0,誓)

D.椭圆C内接矩形的周长范围是(12,20］

12.回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如

1221,15351等都是回文数.若正整数i与n满足2WiWn且nN4,在［1()1,。一1］上任取

一个正整数取得回文数的概率记为P］,在［10,10几-1］上任取一个正整数取得回文数的概率记为

Q”，贝IJ()

A.P,<Pi+i(2WiWn-l)B.Qn<占2%Pi

CQn>^£&P,D.£『P,Y1

三、填空题(每题5分，共4题；共20分)

2/27

13.已知正三角形ABC的边长为3,CE=,CF=2FA,则荏.而=.

14.为抗击新型冠状病毒，某医学研究所将在6天时间内检测3盒A类药，2盒B类药，1盒C类

药.若每天只能检测1盒药品，且3盒A类药中只有2盒在相邻两天被检测.则不同的检测方案的

个数是.

15.若不等式（ax2+bx+l）ex<1对一切xeR恒成立，其中a,beR,e为自然对数的底数，贝1Ja

+b的取值范围是.

16.正方体ABCD-的棱长为1,E,F分别为BC,CQ的中点.则平面AEF

截正方体所得的截面面积为；以点E为球心，以半为半径的球面与对角面ACC^

的交线长为.（前一个空2分，后一个空3分）

四、解答题（共6题；共70分）

17.（10分）①acosC+V3asinC—b—c=0；②tanB+tanC—次tanBtanC=—V3；

③cos24-3cos（B+C）=1；这三个条件中任选一"补充在下面问题中，若问题中的三角形存

在，求而•前的最大值.若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在&ABC,它的内角其A,B,C的对边分别为a,dc，且，a=8？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（12分）数列｛5｝的前n项的和为又，即=1,S„=2（an+i-l）.

（1）（5分）证明数列｛aj是等比数列，并求通项an；

（2）（7分）若等差数列｛%｝的各项均为正数，且23d=24,%，a2+b2

a3+b3成等比数列,求数列｛4%｝的前n项和Tn

19.（12分）如图，已知五面体ABCDEF中，CDEF为正方形，且平面CDEF上平面ABCD

3/27

ZADC=NBCD=120°.

（1）（5分）证明：ABCD为等腰梯形；

（2）（7分）若=,求二面角F-BD-C的余弦值.

20.（12分）利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取20名同学的胸围

x（cm）与肺活量y（mi）的样本，计算平均值%=80.5,y=4030,并求出线性回归方程为y=

32.26%+a.

高一男生胸围与肺活量样本统计表

胸围70758085827377738572

肺活量3700460040004300440034003200380044003500

胸围708378918174917610490

肺活量3600450037004100470037004600400047003700

2一1（须一彳）仇一团

KW=i（々一幻（力一力r=-

（参考公式及数据：匕一「n,

〉（勺-元）2y（%「*）y（%-刃

—i=]—i=lZ-»i=l

〉（%i—X）a38，〉（y.—y）«2040•）

i=ii=i

附：相关性检验的临界值表

n—2检验水平

4/27

0.050.01

160.4680.590

170.4560.575

180.4440.561

190.4330.549

200.4230.537

（1）（3分）求a的值；

（2）（4分）求样本y与X的相关系数r,并根据相关性检验的临界值表，判断有无99%把握

认为肺活量与胸围线性关系是有意义的（精确到0.001）；

（3）（5分）将肺活量不低于4500m/视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生

大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率.

21.（12分）已知椭圆端+*l（a>b>0）的离心率为1,且点（1,一|）在椭圆上.

5/27

(1)(5分)求椭圆C的标准方程；

(2)(7分)如图，椭圆C的左、右顶点分别为A,B,点M,N是椭圆上异于A,B的不同两

点，直线BN的斜率为k(k丰0),直线AM的斜率为3k,求证：直线MN过定点.

22.(12分)设函数/(x)=a*+e~x(a>1).

(1)(5分)求证：/(%)有极值点；

(2)(7分)设/(x)的极值点为x0，若对任意正整数a都有x0&(m,n),其中m,neZ,

求n—m的最小值.

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2022年新高考模拟测试卷一

数学试题答案与解析

1.【答案】c

【考点】交集及其运算

【解析】【解答】集合A={x|2-x>0}={x\x<2},

B=(x&Z\y=ln(x+1)}={%eZ\x>-1},

二4CB={0,1,2}o

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合一元一次不等式求解集的方法，从而求出集合A,再利用对数型函数的

定义域求解方法和元素与集合的关系，从而求出集合B,再利用交集的运算法则，从而求出集合A

和集合B的交集。

2.【答案】A

【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算

r钿比、中小2+i(2+i)(l—i)2—2i+i+l311.

【解析】【解答】因为2=4=置定二为=一5一=2-2■

所以z=1+1,

因此z的虚部为Jo

故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数z,再利用复数的虚部的定义，从

而求出复数z的虚部。

3.【答案】B

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义

【解析】【解答】因为随机变量f服从正态分布N(l«2),

所以正态曲线的对称轴为x=1.

因为P(f<3)=0.8,

所以P(f>3)=P(f<-1)=0.2,

所以P(-1<<<1)=0.5-P(f<-1)=0.5-0.2=0.3,

故答案为：B

7/27

【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解.

4.【答案】A

【考点】函数的图象

【解析】【解答】设f(x)=g1」.cosx,该函数的定义域为R,

、e-2x_ie2x(e-2x-l)l-e2x、

f(一%)=方布cos(—x)=声泊次田cosx=苗云-cos%=-/(%).

所以，函数f(x)为奇函数，排除BD选项；

当时，%—"1>0,cos%>0,所以，/(x)>0,排除C选项.

乙e,"+1

故答案为：A.

【分析】由函数奇偶性的概念可判断函数f(x)为奇函数，排除选项B和D,再对比选项A和C,只需考

虑0<%<今时，f(x)与。的大小关系，即可得解.

5.【答案】C

【考点】球的体积和表面积

【解析】【解答】正三棱锥S—4BC中，S4=2,AB=2五，

所以SA2+SB2=AB2,

故SA1SB,

同理可得S4J.SC,SB1SC,

以SA,SB,SC为棱构造正方体，

则该棱锥外接球即为该正方体的外接球，

如图，

所以（2R）2=22+22+22=12

8/27

故球的表面积为S=4TTR2=127r,

故答案为：C

【分析】由正三楼维中S4=2,AB=2书.，可知三条侧棱互相垂直，可补为正方体求解.

6.【答案】A

【考点】数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系；二倍角的余弦公式

【解析】【解答】由五1B有2sin2。—1=0,化简有cos20=0。

故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合数量积为。两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，从而得

出2$访2。一1=0,再利用二倍角的余弦公式，从而求出cos26的值。

7.【答案】C

【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质

【解析】【解答】设尸式一c,0)、&(GO),由已知可得al-l=c2=al+l,

所以，aj+al=2c2,则告+,=2,即、+点=2,变形可得静+超=2e弼，

故答案为：C.

【分析】由椭圆的简单性质求出苗+堤=2c2即萼+哮=2,再结合双曲线的性质以及离心率公式

11

即可得出葭+葭=2,整理即可得出答案。

ele2

8.【答案】D

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值

【解析】【解答】•."(%)=叵+血,则/'(%)=上野，

XX

当^<x<e时，尸(%)>0,此时函数/(x)单调递增；

当e<x<e20^,尸(%)<0,此时函数/(x)单调递减.

所以，/(%)max=/(e)=m+；，

又f(^2)=m-2e2,/(e2)=m+^，所以,/Wmin=m-2e2,

12m2

由题意可得”刎>?：)max,可得［(-2e)>m+J,解得m〉4e2+4.

tf(x)min>°(m-2e2>0e

9/27

故答案为：D.

【分析】若f(x)为“稳定函数”，则在区间D上，函数的最大值M和最小值m应满足:M<2m,利用

导数法求出函数的最值，可得实数m的取值范围.

9.【答案】A,C,D

【考点】向量加减混合运算及其几何意义；两向量的和或差的模的最值

【解析】【解答】B中左边为c的共线向量，右边为a的共线向量不正确，

根据数量积的分配律可知A符合题意，

根据数量积的定义可知五7=|五iBlcos〈为，另〉W同•向，关于C符合题意；

而|a-K|2-(|a|+|h|)2=2a-K-2|a||b|1根据C判断可知2a-b-2\a\\b\<0,

故\a-b\<(|a|+|K|)21D符合题意.

故答案为：ACD.

【分析】根据向量的基本概念和基本性质对选项逐一判断即可得出答案。

10.【答案】A,C.D

【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的周期性

【解析】【解答】由题意，函数/(%)=2sinxcosxcos(p+cos2xsin(p

=sin2xcos(p+cos2xsin(p=sin(2x+<p),其中一几VVTT

可得函数/(%)的最小正周期为冬=兀，A符合题意；

若函数/(X)为偶函数，贝IJW=k7r+%kez,B不符合题意；

若0=7,则函数y=/(x)的图象可由函数g(x)=sin2x的图象向右平移专个单位长度得

到，C符合题意；

若W=1，则函数y=f(x)=sin(2x+1)，令2x+看=而，求得久=竽一金,keZ,

可得它的图象的对称中心为(竽一£,o)(kez),D符合题意，

故答案为：ACD.

【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论.

11.【答案】A,C,D

10/27

【考点】椭圆的应用

【解析】【解答】对于椭圆与+马=1（。>b>0）,设|PFi|=q,=r2>/RPF?=

ab

e,则

r2=2a

L22^2?0，由此可得“2=2庐①,

zzr

（4岸=丁14-r2-2r1r2cos0「121+cos。

2.

22

所以△PF1F2的面积s=^r1r2sin0=i-~n•sin0=b.彳=btan5,

21z2l+cos0l+cos02

对于A：若6=60。，贝IJS=9tan30°=3V3,A符合题意；

22

rr

对于B：由①知]舞=rir2<(i+2)=a2(当且仅当n=r2即点P是短轴端点时取等

2

号)，所以cosez当一1=1.因此e不可能是90°,B不符合题意；

Q/8

对于C：由以上分析可知，e不可能是钝角，由对称性不妨设NPF/2是钝角.先考虑临界情况,

当NP&F2=90°时，易得|力|=*，此时5=扑/2|・环=51丫户1=等•结合图形可知,

当NPF/2是钝角时0<s(挈，C符合题意；

4

7Tn.人(X=4cosa一,八71、

对于D.9],ctG(0,亍),

(y=o3sina、2，、

则椭圆内接矩形的周长为4(3sina4-4cosa)=20sin(a4-tp),其中锐角cp满足sin(p=,

3

coscp=耳,

由aE(0,^)得a+(pE(<P，^+<P),所以,周长的范围是(2Osing+0),2Osin刍，即

(12,20],D符合题意.

故答案为：ACD.

【分析】对于椭圆刍+彳=l(a>b>0),设\PF1\=r1,\PF2\=r2,ZF1PF2=9,再

ab

2

利用椭圆的定义结合余弦定理，从而得出……2b①,再利用三角形的面积公式和正弦定理以

121+COS0

11/27

及二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合同角三角函数基本关系式，从而求出三角形APFiF2的面

积S=b2tan|o再利用60。结合代入法，从而求出三角形△的面积；由①结合均值不

等式得出COS0>,因此e不可能是90°；利用e不可能是90°,所有e不可能是钝角，由

对称性不妨设NPF/2是钝角，先考虑临界情况，当NPF/2=90°时，易得\yP\,再结合

三角形的面积公式，从而求出此时S的值，再结合图形可知，当NP&F2是钝角时0<S<

挈；利用椭圆的参数方程，令禽，«6(0,5)，再结合矩形的周长公式和辅助角公式

41y—osina,

得出椭圆内接矩形的周长为20sin(a+<p),由aC(0,今得a+G(^o,^+</?),从而求出椭圆

内接矩形的周长的取值范围，从而找出正确的选项。

12.【答案】B,D

【考点】古典概型及其概率计算公式

【解析】【解答】对于A：在［10^,10^1］中的正整数都是i位的，一共有10、l(yT=9x

10i-1个，

若i=2k,则回文数的个数是9X10^个,

若i=2k+l,则回文数的个数是9x10^个,

二9x10"―1=19xlOfc_1

所以P2k+1

9xl()2J时9X102/C10”

所以P2k=P2k+1>P2k+2，故答案为：项A不正确；

对于D:

kL1忐1一和克(1一布

当n=2k时，言毙2PL告(W

当n=2k+1时，

X(iX(i

1n110□10410口10匕

71—1n—1

i=21To1io

=击(2一卷一击)<击<1，故答案为：项D符合题意；

-1n

由Qn的定义：。小岛1^V曰^产.1)%，

当九二2k时，由71之4可得k>2,

12/27

2k

1n11111

门+所）+（通+正+不

占〉2^12

i=2i=22k10io10

1

+,••+—匚初

10fe1

■),

1

Q2k=-五------[9(1+10+…+10fc-1)+9(10+•­•+10k-1)]

IO2-10

<T—[18(10+…+lO^1)]=2噌T)<4,

10-1010-1010

1-1

又因为ioki210fe-10-18/c

>0(/c>2),

9k10k9/c-10fc

所以。2卜＜高£当匕-

当7i=2k+1时，由几24可得k>2,

2k+l

九一11&vP'_3I1r11111

=yr+—2+—j+…+-r)+(TA+—?+—3+"'

210

1=2.、2k10io10101010

1=2

+与

io"

=加-柒）＞焉'

1

Q2F=io2k+i_10[9(1+10+-+IO"1)+9(10+…+IO”》]

<2,

<-^1—[18(10+…+10-1)]=2整不1)

10z/c+i_1010z/c+z_1010fc

1-__1__-1_1-1_]1-1

由以上可知1。1>2,一而一折I所以」状>2,

9k;"F->9k9k

所以Q2k+i〈劫魁卞，故答案为：项B符合题意，c不正确,

故答案为：BD.

【分析】根据题意由已知对i进行分类讨论，然后结合古典概率公式分别检验各选项即可判断.

13.【答案】一:

【考点】平面向量数量积的运算

13/27

【解析】【解答】正三角形ABC的边长为3,如图,

VCE=iEB,

TT2ff2T-1—2-

AE=AB+qBC=AB+@(ACAB)=-^AB+-^AC

•••CF^2FA,

：.~BF=AF-AB=^AC-AB，

——,1—.2-.1―>__.2_1—>_5—.一

AE-FF=(5AB+^AC)(^AC-AB)=^AC2-^AB2-^AB-AC

333y3y

215

=x32—3X32—x3x3xcos60°

y39

~——15—7

~2-2

故答案为：-g

【分析】利用已知条件求出数量积中的两个向量，然后利用向量的数量积的运算法则求解即可.

14.【答案】432

【考点】分步乘法计数原理；排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】根据题意，分3步分析：

先将2盒B类药，1盒C类药全排列，有鸟种情况，排好后有4个空位，

再从3盒A类药任选2盒，安排在相邻两天被检测，有或足种情况，

最后和另外1盒A类药，安排在上述4个空位中，有属种情况，

利用分步计数原理知有房用屋曷=432（个）方案。

故答案为：432。

【分析】利用已知条件结合排列数公式和组合数公式，再结合分步乘法计数原理，从而求出不同的

检测方案的个数。

15.【答案】（一。，-1]

【考点】复合函数的单调性

14/27

【解析】【解答】令/(x)=(ax2+bx+l)ex,有/(O)=1,所以/(%)<f(0)恒成立，显然

a<Ot

f(%)=ex[ax2+(2a+b)x+b+1]，贝I/(0)=b+l=O=b=-l>

即f(%)=+(2a+l)x]=xex(ax+2a—1)，

当。=0时，尸(%)=_%眇，/(x)在(一。，0)递增，(0,+。)递减，

当％=0时，/(%)取得最大值/(0),所以/(x)</(0),符合题意，

当。<0时，/(x)在(一。，)上递减，在(与科,0)上递增，在(0,+0)上递减，

因为时，a/—%+l<0,又x=0时，/(%)取得极大值即最大值/(0),所以

/(x)</(0),符合题意，

综上，«<0,b=-1,所以a+代(-e,-1J.

故答案为：(一。，-1]

【分析】/(%)=(ax2+bx+l)ex,首先，由/(0)=1,可得/(%)</(0)恒成立，从而有些0；

分a=0,及avO,利用导数，通过研究函数的单调性，再求出函数的及大值等求出结果。

16.【答案】I；孝兀

【考点】棱柱的结构特征；点、线、面间的距离计算；三角形中的几何计算

【解析】【解答】如图，连接ADr,

则EF〃BCi〃4£)i,...等腰梯形AEFDi为平面AEF截正方体所得截面图形，由正方体棱长为

1,得也=a，EF=AE=J1+1=字，则E到ADr的距离为J=

3^2

4,

15/27

•c_1r夜上万、i3夜_9

・・S^EFD]=2（彳+V2）x-^—=g.

•.•平面AA^C1平面ABCD,且平面44iCiCn平面ABCD=AC,

过E作EH_L/C于H,贝1JE”_L平面ACCrAx.

,•E为BC中点，♦♦EH=//1C=¥，

以点E为球心，以半为半径的球面与对角面力CQ4的交线为圆弧,

其半径为n

T

由CH=P，HN，得ZNHC=鼻,4MHN，

4L。5

所求交线为劣弧附N,长度为冬X^=等.

故答案为：〉等.

【分析】由题意作出图形，可得平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD.,求出此梯形面

积即可，再找出以点E为球心，以乎为半径的球面与对角面ACG&的交线利用弧长公式求解

交线长.

17.【答案】解：选①

因为acosC+V3asinC-b-c=0

所以sinAcosC+V3sia4sinC—sinB-sinC=0

因为A+B+C=n,

所以sinAcosC+V3sinylsinC-sin（4+C）—sinC=0

所以V3sin4sinC-cos^sinC=sinC,

因为sinC>0

所以V3sin>l-cosA=2sin（Z—看）=1囚为OVAVTT,

所以4=§

选②

因为tanB+tanC-V3tanBtanC=-V3

所以tan（B+C）=^^=Y

因为A+B+C=7T,所以tan/=V5

IT

因为0VAVTT,所以4=w

16/27

选③

因为cos2A-3cos(B+C)=1及4+8+C=TT,

所以2cos2i4+3cosA-2=0所以cosA=1,因为0<AVTT,

所以A=4选①②③得A=?又a=A/3i所以AB.AC=foccos5=^bc

由余弦定理可知cosA=°t°?二巴2=工得：3=/j2+—be>2bc-be=be当且仅当b=c时

2bc2

“=”成立.

赤血《|,故而•前的最大值为|.

【考点】基本不等式；三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正切公式；正弦定理；余弦定理

【解析】【分析】选①利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sin(A-装)=

1,结合0<4<兀，可求A的值；选②利用两角和的正切公式化简已知等式可得tan4=V3，结

合0<A<n,可求A的值；选③利用二倍角公式化简已知等式可得2cos24+3cos4-2=0，解方程可

得cosA=；,结合0<A5,可求A的值；由余弦定理，基本不等式可求bcW3,利用平面向量数量级的

运算即可求解。

18.【答案】(1)证明：,,,Sn=(an+i-1),Su-1=^(an—l)(n>2),

—

两式相减得Sn—Sn-i—；(a〃+ia”)

即an=^(an+1-,所以an+1=3an(n>2)；

又由n=1时，a[=4(ci2-1)及a1=1,得a2=3,

a2=3的，合并为an+1=3an(neN*).

数列｛an｝是以1为首项公比为3的等比数列，

n-1n-1

an=1x3=3；

(2)解：设数列｛bn｝的公差为d,

可得23。i=4^+竽d=24,所以24+3d=12①；

由(1)知：的=1,a2=3,a3=9,据条件的+比，a2+b2,a3+b3,成等比数列得

(3+3+d)2=(1+/)(9+仇+2d)②，

由①②解得：此理或｛忆1

当件=算时，以=24—2x12=0,与题意“>0不符；

id=-12

17/27

当售二,时，bn=2什1>0,符合题意，

n-1

anbn=(2n+1)-3,

7；=3x3°+5x31+7x32+-+(2n+1)x3n-1,

则3〃=3x3+5x32+7x33+…+(2n-1)x3n-1+(2n+1)x3n,

以上两式相减：

-2T吁n3n-2n-

n=3+2(3+32+…+31)-(2n+1)x3=3+2x、,；-(2n4-1)x3=

3n,

n

Tn=n-3.

【考点】数列的求和；数列递推式

【解析】【分析】(D直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；

(2)利用已知条件求出数列即%=(2兀+1)・351,进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列

的和.

19.【答案】⑴证明：过D,C分别作DHYAB,CMLAB,垂足分别为H,M,

因为CDEF为正方形，所以EF//DC,

因为ABu平面ABFE,CDC平面ABFE,所以CD"平面ABFE,

因为DCu平面ABCD,平面ABCDCl平面ABFE=AB

所以AB//DC,

因为DHJL,CMLAB,所以NHDC=NMCD=NDHA=CMB=90°

所以四边形DHMC为矩形，所以DH=CM

因为ZADC=NBCD=120°,所以NADH=NBCM=30°,

所以XADH三XBCM,所以DA=CB,

所以ABCD为等腰梯形.

（2）解：因为CDEF为正方形，所以EDIDC,

因为平面CDEF1平面ABCD,平面CDEFC平面ABCD=DC,

18/27

EDu平面CDEF,所以EDJ.平面ABCD

以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

设40=2,贝IJ£>(0,0,0),B(V3,3,0),F(0,2,2),DB=(V3,3,0),DF=(0,2,2)

设平面BDF的一个法向量为ni,

因为M।,罚―，所以像始如。。'

令丫1=1,贝(I%i=—V3,Z]=—1,所以n1=(―V3,1,—1)

平面BDC的一个法向量为n2=(0。1),

所以cos〈"用六言篇二悬^邛,

由图可知二面角F-BD-C的平面角为锐角，

所以二面角F-BD-C的余弦值为第.

【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角

【解析】【分析】过。，C分别作DHVAB,CMLAB,垂足分别为H,M,利用

CDEF为正方形，所以EF//DC,再利用选线线平行证出线面平行，所以CD〃平面ABFE,再

利用线面平行的性质定理，从而推出线线平行，所以AB//DC,再利用DH14B,CM1AB,

所以NHDC=NMCD=ZDHA=CMB=90。，所以四边形DHMC为矩形，所以DH=CM,再

利用NADC=NBCD=120°,所以ZADH=NBCM=30°,再利用两三角形全等的判断方

法，所以AADH三ABCM,所以DA=CB,从而判断出四边形ABCD的形状。

(2)利用CDEF为正方形，所以ED1DC,再利用平面CDEF1平面ABCD结合线面垂直

的性质定理，从而推出线面垂直，所以ED1平面ABCD,以D为坐标原点建立如图所示的空间直

角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角

公式，从而求出二面角F-BD-C的余弦值。

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20.【答案】⑴解:由于回归直线：y=32.26x+a过点(80.5,4030),

所以a=4030-32.26x80.5=1433.07.

(2)解：假设H。：变量x,y不具有线性相关关系，

所以厂2U?0X32.26=0.601,

由相关性检验临界值表知：rooi=O.561,r=0.601>0.561,所以有99%的把握认为肺活量的大小与胸围

具有线性相关关系.

(3)解：从统计表中可知，20个样本中不低于4500m/有5个，

所以全校高一男生大肺活量的概率为余=/

设从高一年级任取4名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为p,

则P=C沿沟;二冬，

所以从高一年级任取4名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为4.

1ZO

【考点】两个变量的线性相关；线性回归方程；二项分布与n次独立重复试验的模型

【解析】【分析】⑴把样本点的中心坐标代入线性回归方程，即可求得a值；

(2)由已知数据及相关系数公式求得r值,结合临界值表得结论；

(3)求出全校高-男生大肺活量的概率，再由二项分布的概率计算公式求解.

21.【答案】⑴解：由椭圆吗+|=l(a>匕>0)的离心率为1,且点(1,一|)在椭圆上,

可得W=9所以^2=1-^2=1-4)=1'

又点(1,一方在该椭圆上，所以京+京=1,所以a2=4,b2=3,

所以椭圆C的标准方程为4+<=1

(2)解：由于BN的斜率为k、设BN的方程为y=k(x-2),

(y=k(x-2)

2

联立方程组x2y2,整理得(4k+3)/-16k2尤+16k2_12=0,

(彳+3=1

所以孙孙=出口8/一6

所以XN=

4k+34k+3

12k即N(吟912k、

从而yN=-7)1

4k2+34《+34/+3

同理可得：由于AM的斜率为3k,贝(JAM,.y=3/c(x+2)

y=3k(x+2)

联立方程组/+y2_i,可得(36/+3)x2+144k2%+144k2-12=0,

20/27

即(12/c2+l)x2+48k2x+48/c2-4=0,

22

所以/％“=竺4a,所以可=-2"+2,

12k+112/c+1

r।TZT_12k日口―24k2+212k、

从而yM-1o/»即M(2f2)

12k+1112k+112fcz+l