名校联盟2023-2024学年高二数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析

名校联盟2023-2024学年高二数学第一学期期末质量检测模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在（a+b）”的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则"=（）

A.5B.6

C.7D.8

22

2.双曲线-.....J=1的焦距是（）

m+124-m

A.4B.2A/2

C.8D.4V2

3.两个圆G：f+:/=i和G：（xTy+（y-1『=1的位置是关系是（）

A.相离B.外切

c.相交D.内含

4.已知集合4=k,—x—2K0},集合5={小>4或x<0},R是实数集，则A附3）=（）

A.[0,2]B.[-l,4]

C.[-l,2]D.[0,4]

5.若直线4：2x—3y—3=0与"互相平行，且4过点（2」），则直线4的方程为（）

A.3x+2y-7=0B.3x-2y+4=0

C.2x—3y+3=0D.2x—3y—1—0

6.某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束

呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）.已知接收天线的口径（直径）为

3.6m,深度为0.6m,则该抛物线的焦点到顶点的距离为（）

①②

A.l.35mB.2.05m

C.2.7mD.5.4m

7/、lnx+x,x>0

,已知函数/⑴=]—(2x+l)e，+x,x<0g（X）=/（X）—X—。.若g（X）存在三个零点，则实数a的取值范围是

()

C2\(3A

A.0,J§B.0,2e-2

\7

(2A(3A

C.0,2—D.0,e2

8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧

洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中

国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个数中能被3

除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{%,},则此数列的项数为（）

A.132B.133

C.134D.135

9.某工厂去年的电力消耗为加千瓦，由于设各更新，该工厂计划每年比上一年的电力消耗减少10%,则从今年起,

该工厂第5年消耗的电力为（）

5

A.。14ffl千瓦B.O.1小千瓦

c.0.94机千瓦D.0.95，〃千瓦

10.已知关于x的不等式必—公—匕＜。的解集是（-2,3）,则的值是（）

A.-5B.5

C.-7D.7

11.某家庭准备晚上在餐馆吃饭，他们查看了两个网站关于四家餐馆的好评率，如下表所示，考虑每家餐馆的总好评

率，他们应选择（）

网站①评价人数网站①好评率网站②评价人数网站②好评率

餐馆甲100095%100085%

餐馆乙1000100%200080%

餐馆丙100090%100090%

餐馆丁200095%100085%

A.餐馆甲B.餐馆乙

C.餐馆丙D.餐馆丁

12.如图，某圆锥SO轴截面斜C是等边三角形，点3是底面圆周上的一点，且N3OC=60°,点河是的中点,

则异面直线A5与CM所成角的余弦值是()

4

D.

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1(］、

13.已知正项数列｛&｝的前〃项和为S“，且S"=3an+—,贝!)％=________，满足不等式

anJ

11

4<——-——+----------+十三一的最大整数之为

»8+»9

S]+S25*2+S3

14.在等比数列｛%｝中，若出，“6是方程2%2—7%+4=0两根，则％=.

15.等差数列｛4｝中，若%+%+%=42,劣=5,贝!)an=,数歹！J---的前〃项和为Sn,贝！)Sn=

16.函数/(x)=(x-3)e'的单调递减区间是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

l

17.（12分）已知函数/（x）=一e—+a—（aeR）

x-x+1

（1）当a=0时，求函数/（尤）的极值；

（2）当xe[O,+s）时，若/（%）21恒成立，求实数。的取值范围

18.（12分）如图，在空间直角坐标系中有长方体A3CD—A'5'C'。'，且AD=A4'=1,AB=2,点E在棱AB上

移动.

（1）证明：UE±ADi

（2）当E为AB的中点时，求直线AC与平面DEC所成角的正弦值.

19.（12分）某市共有居民60万人，为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年

100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0。5）,[0.5,1）,……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的

频率分布直方图

（1）求直方图中的。值，并估计该市居民月均用水量不少于3吨的人数（单位：人）;

（2）估计该市居民月均用水量的众数和中位数

20.（12分）已知/（x）=lg—竺（aw—1）是奇函数.

2-x

（1）求。的值；

(2)若g(x)=/(x)+「j\,求+的值

21.（12分）为落实国家扶贫攻坚政策，某地区应上级扶贫办的要求，对本地区所有贫困户每年年底进行收入统计,

下表是该地区A贫困户从2017年至2020年的收入统计数据：（其中y为A贫困户的人均年纯收入）

年份2017年2018年2019年.2020年

年份代码X1234

人均年纯收入y/百元25283235

（1）在给定的坐标系中画出A贫困户的人均年纯收入关于年份代码的散点图；

（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程§=鼠+机并估计A贫困户在2021年能否脱贫.（注:

假定脱贫标准为人均年纯收入不低于3800元）

-»n，一呵

参考公式：3----------,a=y-bx

—n⑺2

i=l

44

参考数据：»/=317,»；=3o.

1=11=1

22.（10分）如图，在四棱锥P-A6CD中，四边形ABC。为正方形，已知平面ABC。，且？D=AD,E为

PC中点

P

（1）证明：PA//平面BDE;

（2）证明：平面PCD,平面

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

IJ77+177+3

【解析】当"为偶数时，展开式中第一+1项二项式系数最大，当"为奇数时，展开式中第I和一^项二项式系

222

数最大.

【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以〃为偶数，故大+1=4,得九=6.

2

故选：B

2、C

22

【解析】根据°?=a+b，先求半焦距，再求焦距即可.

【详解】解：由题意可得，°2=/+/=7/+12+4—m2=16，

c=4,2c=8,

故选:C

【点睛】考查求双曲线的焦距，基础题.

3、C

【解析】根据圆的方程得出两圆的圆心和半径，再得出圆心距离与两圆的半径的关系，可得选项.

【详解】圆G：f+V=l的圆心为G（0,0），半径片=1，。2：（%一1）2+。-1）2=1的圆心为G（l，l），半径鸟=1，

则|QC2|=彳方=42<1+1=2，所以两圆的位置是关系是相交，

故选：c.

【点睛】本题考查两圆的位置关系，关键在于运用判定两圆的位置关系一般利用几何法.即比较圆心之间的距离与半径

之和、之差的大小关系，属于基础题.

4、A

【解析】先化简集合A,再由集合的交集、补集运算求解即可

【详解】A={X|X2-X-2<0}={X|-1<%<2},5={目％>4或％<0}=>伞3={乂0«%«4},故A^B=[0,2]

故选：A

5、D

【解析】由题意设直线4的方程为2x—3y+/=。，然后将点(2,1)代入直线/1：2X一3y一加=0中，可求出加的值,

从而可得直线/2的方程

【详解】因为直线4：2x—3y—3=0与互相平行，所以设直线4的方程为2x—3y+m=。，

因为直线4过点(2」)，

所以4—3+机=0,得利=一1,

所以直线4的方程为2x_3y_l=0,

故选：D

6、A

【解析】根据题意先建立恰当的坐标系，可设出抛物线方程，利用已知条件得出点A(0.6,1.8)在抛物线上，代入方程

求得P值，进而求得焦点到顶点的距离.

【详解】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系xOy,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)

与原点。重合，焦点尸在x轴上

I

设抛物线的标准方程为丁=2PMp>0),

由已知条件可得，点4(0.6,1.8)在抛物线上，

所以1.2p=L82,解得"=2.7,

因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为1.35m,

故选：A.

7、B

【解析】根据题意，当x>0时，g(x)=/(x)—x—a有一个零点，进而将问题转化为当x<0时，—(2》+1户=。

有两个实数根，再研究函数h(x)=-(2x+l)eT,x<0即可得答案.

【详解】解：因为g(x)存在三个零点，所以方程/'(x)=x+a有三个实数根,

因为当x>0时，由/(x)=x+a得lnx=a,解得x=e“，有且只有一个实数根,

所以当了<0时，/(x)=x+a有两个实数根，即—(2》+1心=。有两个实数根，

所以令/i(x)=-(2x+l)e，xW0,则/z'(x)=-(2x+3)e',x<0,

所以当x〈-3时，/z'(%)>0,〃(x)单调递增，

当一Q<%VO时，/z!(x)<0,/z(x)单调递减，

因为1——00,以力-0,/z(o)=-l,心心=。£|=2”〉0，

所以/4%)=—(2x+l)e',xW0的图象如图所示，

(3A

所以—(2x+l)e、=a有两个实数根，则ae0,2e^

I7

【解析】由题设q=15〃+16(2,2021)且“6?<*，应用不等式求〃的范围，即可确定项数.

【详解】由题设，4=15〃+le(2,2021)且〃eN*，

所以2<15〃+1<2021,可得1W/W134且“eN*.

所以此数列的项数为134.

故选:C

9、D

【解析】根据等比数列的定义进行求解即可.

【详解】因为去年的电力消耗为冽千瓦，工厂计划每年比上一年的电力消耗减少10%,

所以今年的电力消耗为％=机(1—10%)=0.9机，

因此从今年起，该工厂第5年消耗的电力为4=(0.9m)-(1-10%)4=0.95m,

故选：D

10、D

【解析】由题意可得公―6=0的根为-2,3,然后利用根与系数的关系列方程组可求得结果

【详解】因为关于x的不等式d_公_人<o的解集是(-2,3),

所以方程V—公—7,=()的根为—2,3,

—2+3=a。=1

所以《,得4

—2x3=—bb=6'

所以。+6=7,

故选：D

11、D

【解析】根据给定条件求出各餐馆总好评率，再比较大小作答.

.gmAM3、丁*二1000x95%+1000x85%^.

【详解】餐馆甲的111总好评率为：.......———--------=90%n,

'1000+1000

Eg,山口1000x100%+2000x80%“〃球

餐馆乙的总好评率为：-------------------------x86.67%,

一1000+2000

1000x90%+1000x90%八八~

餐馆丙的好评率为：---------------------二90%,

'1000+1000

丁房2000x95%+1000x85%-

餐馆丁的好评率为：-------------------------------91.67%,

2000+1000

显然91.67%>90%>86.67%,所以餐馆丁的总好评率最高.

故选：D

12、C

【解析】建立空间直角坐标系，分别得到AB,CM,然后根据空间向量夹角公式计算即可.

【详解】以过点。且垂直于平面&4c的直线为x轴，直线OC,QS分别为》轴，z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设OC=2,

则根据题意可得A(o,—2,0),B(AI,O),C(0,2,0),M(O,-I,V3),

所以AB=(百,3,0),CM=(O,-3,V3),

设异面直线AB与CM所成角为0,

V3x0+3x(-3)+0xV33

则cos0=cos^AB,CM)

V3+9-V9+3-4

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、①—1##—1+夜②・2

S[,〃=1

【解析】由。〃二。。、。得到S，9-S：91=1,即可得到数列｛S；0｝是首项为1,公差为1的等差数列，从而求出

S“=G，再根据=$2-51求出的，令b,=Q二=G利用裂项相消法求出

品+1+，

111

不一+不工不++不一，即可求出X的取值范围，从而得解；

C1/1、

【详解】解：由5〃=彳&+一）,

2an

令〃=匕得

1.1an>0,解得％=1；

当”..2时，S=—(\-\_i+---------),

n/、—、

即s；-S3=l

因此，数列｛S；｝是首项为1,公差为1的等差数列,

S；=n,即Sn=G

所以O2=S2_Si=J^_l,

令止

所以++T4F=4+%++优=夜一1+退一夜++9—我=百一1=2,所以2W2,贝!J最大整

KJJIK)I8^^9

数彳为2；

故答案为：^/2—152；

14、V2-

7

【解析】由题意求得。24=2,a2+a6^~,再结合等比数列的性质，即可求解.

7

【详解】由题意知，的，%,是方程2%2一7%+4=0的两根，可得。24=2,a2+a6,

又由。2。6〉0，a2+a6>0,所以g〉。，4>°，可得。4=%/〉。，

又由。；=。2。6=2，所以%=、/].

故答案为：拒.

【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的性质的应用，其中解答中熟练应用等比数列的性质是

解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

15、@.3n-l②.----

6〃+4

1(11A1

【解析】设等差数列｛4｝公差为d,根据等差数列的性质即可求通项公式；-------=---------采用裂项相

a

。"。+1"n+lJd

消的方法求s”.

【详解】设等差数列｛4｝公差为d,

%+%+%=42=>3生=42=>%=14,

,一214—5

a=-=----=3,

5-23

an=出+(〃-2)d=3〃-1；

111]1

an%+J3

,_if1111]])1f1])\1n

'n-Q+ana,J式囚4+J3U3n+2

^^2^^3t+l6n+4

n

故答案为：3n-l；

6〃+4

16、(—8,2)

【解析】首先对/(x)=(x—3)e‘求导，可得析(x)=(尤-2)e，,令/'(尤)<0,解可得答案

【详解】解：/'(x)=[(x—3)e」=e*+(x—3)e*=(x—2)e*

由广(x)<0得x<2,

故/(x)的单调递减区间是(-8,2)

故答案为：(-8,2)

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17、(1)极大值/⑴=e；极小值〃2)=e]

(2)a>0

【解析】(1)利用导数来求得了(%)的极大值和极小值.

(2)由不等式/(无)21分离常数a,通过构造函数法，结合导数来求得。的取值范围.

【小问1详解】

x

当〃=。时，/(%)=---e----，

X—X+1

,⑺_-(2xT)]e*(九2_3彳+2小(龙一1)(%一2)1

HX)=(x2-x+l)2=gx+.=(8+1)2,

令/'(x)=0,可得x=l或2

所以〃龙)在区间(f,1),(2,田)"'(耳>0"(月递增；

在区间(l,2),/(x)<0,/(x)递减.

故当％=1时.函数/(x)有极大值/⑴=e,

2

故当x=2时，函数/(x)有极小值/(2)=、e；

【小问2详解】

由f(x)>1,WeA+a>x2—x+1»

可化为a>x2-x+l-ex»

令g(x)=x?-x+l-e'(x20),有g'(x)=2x-l-e'(x>0),

令7z(x)=2x—l—e*(x>0),有h'(x)=2-e*,

令〃(x)>0,可得0Wx<ln2,可得函数丸(x)的增区间为[0,In2),减区间为(In2,+8),

有/?(%)V/?(ln2)=21n2—1—2=21n2—3<0,

可知g'(x)<0,有函数g(x)为减函数，

有g(X)max=g(0)=0,

故当xe[0,+8)时，若/(幻21恒成立，则实数。的取值范围为。之0

【点睛】求解不等式恒成立问题，可利用分离常数法，结合导数求最值来求解.在利用导数研究函数的过程中，如果一

阶导数无法解决，可考虑利用二阶导数来进行求解.

18、(1)证明见解析

【解析】(1)设AE=t(0</<2),求出。E=(lj,—1),AD=(—1,0,—1),利用向量法能求出。石，AO；

(2)求出平面D'EC的法向量〃=(1,1,2),利用向量法能求出直线AC与平面。'EC所成角的正弦值

【小问1详解】

证明：设AE=/(0W/«2),D\0,0,1),E(l,t,0),A'(l,0,1),D(0,0,0),

D'E=A'D=(-1,0,-1),

D'EA'D=-l+0+l=0>

:.EfE±AD；

【小问2详解】

当E为AB的中点时，E(1,1,O),C(0,2,0),A(l,0,0),。'(0,0,1),

AC=(-1,2,0),ED'=EC=(-1,1,0),

设平面的法向量”=(x,y,z),

,n-ED'=-x-y+z=0

则)取x=l,得”=(1,1,2),

n-EC=-x+y=0

设直线AC与平面D'EC所成角为e,

则直线AC与平面D'EC所成角的正弦值为:

\n-AC\1V30

sin。=

\n\-\AC\-30"

19、(1)a=0.3,72000人;

(2)众数2.25；中位数2.04.

【解析】(1)根据所有小长方形面积和为1即可求得参数。，结合题意求得用水量不少于3吨对应的频率，再求频数

即可；

(2)根据频率分布直方图直接写出众数，根据中位数的求法，结合频率的计算，即可容易求得结果.

【小问1详解】

由频率分布直方图，可知：

(0.04+0.08x2+0.12+0.16+2。+0.42+0.50)x0.5=l,解得a=0.3；

月均用水量不少于3吨的人数为：(0.12+0.08+0.04)x0.5x60x1()4=72000(人)

【小问2详解】

由图可估计众数为2.25；

设中位数为x吨，因为前5组的频率之和0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,

而前4组频率之和0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0,5,所以2<x<2.5,

由0.50x(x-2)=0.5—0.48,可得x=2.04,

故居民月均用水量的中位数为2.04吨.

20、(1)a=l；(2)4

【解析】(1)根据奇函数的定义了(尤)+/(-%)=0,代入化简得4-4必=4-进而可得。的值；(2)设

可得/?(—%)+/处=4,根据奇函数的性质得进而可得结果.

【详解】解：(1)因为/(x)=1g字竺是奇函数，所以〃%)+/(-尤)=0,

2-x

2+ax2-ax^