2023版高考数学一轮总复习2-6函数与方程及函数的综合应用习题

2.6函数与方程及函数的综合应用

基础篇固本夯基

考点一函数的零点

1.(2021云南顶级名校检测,4)函数f(x)=lnχ-Z的零点所在的区间是()

X

A.(1,2)B.(2,e)

C.(e,3)D.(3,+∞)

答案C

2.(2022届湖北襄阳五中10月月考,3)下列函数在(0,+8)上单调递增且存在零点的是

()

A.y=x2-χ-3B.y=-0.2'

C.y=sin2xD.y=x」

X

答案D

3.(2020四川石室中学月考,7)已知函数f(x)=Q)'-log2x,设0<a<b<c,且满足

f(a)∙f(b)∙f(c)<0,若实数X。是方程f(x)=0的一个解,那么下列不等式中不可能成立的是

()

A.x0<aB.x0>cC.x0<cD.x0>b

答案B

4.(2018课标I,9,5分)已知函数f%g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点，

则a的取值范围是()

A.[-1,0)B.[0,+∞)

C.[-1,+8)D.[1,+8)

答案C

5.(2022届黑龙江八校期中联考，11)已知f(x)=eF-InX-2x,若X。是函数f(x)的一个零点,则

Xo+lnx0的值为()

答案Λ

6.（2021辽宁铁岭一模,6）若关于X的方程6Q?-mx-3=0有两个不相等的实数根,则实数m

的取值范围是（）

ʌ-(-

β∙(一

答案D

7.（2021河南焦作二模,15）若函数f（x）=∣e*-a∣-l有两个零点,则实数a的取值范围

是.

答案（l,+∞）

8.（2020宁夏石嘴山三中三模，16）已知函数f（x）=管+2,3,XW1,则函数y=f∙（f（X））的图

象与直线y=4的交点个数为.

答案3

考点二函数模型及应用

1.（2021全国甲,4,5分）青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通

常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满

足L=5+lgV∙已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为

（'VTθ≈l.259）（）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

答案C

2.（2021合肥质监,6）2019年1月1日起,我国个人所得税税额根据应纳税所得额、税率和速

算扣除数据确定,计算公式为:个税税额=应纳税所得额X税率-速算扣除数.应纳税所得额的

计算公式为:应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法

确定的其他扣除.其中，“基本减除费用"（免征额）为每年60000元.部分税率与速算扣除数

见下表：

2

全年应纳税所得速算

级数税率(%)

额所在区间扣除数

1[0,36000]30

2(36000,144000]102520

3(144000,300000]2016920

4(300000,420000]2531920

5(420000,660000]3052920

若某人全年综合所得收入额为249600元,专项扣除占综合所得收入额的20%,专项附加扣除

是52800元,依法确定其他扣除是4560元,则他全年应缴纳的个人所得税应该是()

Λ.5712元B.8232元

C.11712元D.33000元

答案A

3.(2020课标HI,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者

根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的LogiStiC模

型：I(t)~,^-p其中K为最大确诊病例数.当I(t,)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情，

]ι+00U.4,U∖ɪtM53∙J∕

则t*约为(1E9七3)()

A.60B.63C.66D.69

答案C

4.(2019课标II,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面

软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问

题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着

围绕地月拉格朗日L点的轨道运行.Lz点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为

M“月球质量为M2,地月距离为R,L点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定

律,r满足方程：

T⅛t>(R+r净

设α吟由于α的值很小，因此在近似计算中竺加⅛∙Q^3a3,则r的近似值为()

R(l+a)”

3

A∙信B.摄RC.件Dq都

答案D

5.(2022届云南大理统测,4)牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型:t=——lnʒg(t

为时间,单位为分钟，θ。为环境温度，θI为物体初始温度，。为冷却后温度)，假设一杯开水

温度θ,=90°C,环境温度θ(I=IOe常数，，大约经过一分钟水温降为40℃(参考数

据iln2=⅜0.7,ln3≈=≈l.1)()

A.8B.7C.6D.7

答案C

6.(2020陕西咸阳二模，15)为了抗击新型冠状病毒肺炎,某医药公司研究出一种消毒剂,据

(A-t,O<t<i

实验表明，该药物释放量y(∏ιg∕m3)与时间t(h)的函数关系为y=∣I如图所示,实验

表明，当药物释放量y<0.75(mg∕m*)时对人体无害.

(Dk=;

(2)为了不使人身体受到药物伤害,若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过_

分钟人方可进入房间.

答案(1)2(2)40

7.(2020北京，15,5分)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,

排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为gf(t),用-*

b-a

的大小评价在［a,b］这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污

水排放量与时间的关系如图所示.

给出下列四个结论：

①在［t“t］这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强;

②在G时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在G时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

4

④甲企业在[O,tJ,t』这三段时间中，在[0,t]的污水治理能力最强.

其中所有正确结论的序号是.

答案①②③

综合篇知能转换

考法一判断函数零点所在区间和零点的个数

1.(2021山西吕梁一模,9)函数f(x)=2JI+∣X-5的零点Xoe[aT,a],a∈N',则a=()

4

A.1B.2C.3D.4

答案C

2.(2021江西八所重点中学4月联考,6)定义在R上的函数y=f(x)满足

f(6-χ)=f(x),(χ-3)f'(x)>0(x≠3),若f(0)∙f(l)<0,则函数f(x)在区间(5,6)内()

A.没有零点B.有且仅有1个零点

C.至少有2个零点D.可能有无数个零点

答案B

(2x-l'x<2

3.(2021东北三省四市教研联合体二模，11)若函数f(x)=3',,'则函数

x》2,

g(x)=f[f(x)]-2的零点个数为()

A.3B.4C.5D.6

答案B

4.(2022届四川攀枝花统考一,7)方程f(x)=f'(x)的实数根叫做函数f(x)的“新驻点”.如

果函数g(x)=lnx+2的“新驻点”为a,那么a的取值范围是()

N*)B∙G-1)CM)D-(?2)

答案B

5.(2022届兰州西北师大附中期中，⑵设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且

f(x+2)=f(2-χ),当x∈[-2,0]时,f(x)=(γ)-l,则在区间(-2,6)上关于X的方程

f(x)-IOgB(X+2)=0的解的个数为()

A.4B.3C.2D.1

答案B

6.(2021北京，15,5分)已知函数f(x)=∣lgx∣-kχ-2,给出下列四个结论：

5

①当k=0时,f(X)恰有2个零点；

②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点；

③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点；

④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点.

其中所有正确结论的序号是.

答案①②④

考法二已知函数有零点(方程有根)求参数值(或取值范围)

L(2017课标ΠI,11,5分)已知函数f(x)=χZ-2x+a(e*τ+e-巧有唯一零点,则a=()

11

C

B.3-2-D.

答案C

2.(2020天津,9,5分)已知函数£@)=仔*亍2若函数83=£6)-•％|(k∈R)恰有4

(一乂x∖0.

个零点，则k的取值范围是()

A.(-∞,-θU(2√2,+∞)

B.(-∞,-0U(0,2√2)

C.(-∞,0)U(0,2√2)

D.(-8,0)U(2√2,+o0)

答案D

3.(2022届山西长治第八中学阶段性测评，10)已知函数f(x)Jf-x,x函数

Unx-X,x)0,

y=f(x)+2x+a有且只有两个零点，则a的取值范围为()

A.(-1,+∞)B.[-1,+∞)

C.(-∞,1)D.(-∞,1]

答案B

4.(2022届河北衡水第一中学调研一,8)定义在R上的偶函数f(x)满足f(2r)=f(2+x),且当

x∈[0,2]时,f(X)=P?!,ɪ"o若关于X的不等式m∣x∣Wf(x)的整数解有且仅有9

个,则实数m的取值范围为()

√v>⅛]B∙[3⅞∙]

c

∙(τ-τ]D∙[T›T]

6

答案C

g2(X_1)1<x<3

5.(2020吉林延边自治州4月模拟,12)已知函数f(x)=(1°>>若方程f(x)=m

IΛ2-8X+16,X>3,

有4个不同的实根X∣,X2,X3,X∙t,且X,<X2<X3<X4,则(U(X3+X4)=()

A.6B.7C.8D.9

答案C

6.(2022届赣州十七校期中联考，15)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0

时,f(x)=e"x+l),若关于X的方程f(x)=m有三个不同的实数根,则实数m的取值范围

为.

答案(^⅛'⅛)

7.(2018浙江，15,6分)已知λ∈R,函数f(χ)d［4；/λ,当λ=2时，不等式

f(x)<O的解集是.若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是.

答案(1,4);(1,3］U(4,+8)

8.(2019江苏,14,5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的

---------------(A(X+2),0VX≤1,

周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2］时,f(x)=√l-(\I/,g(χ)=.其

「51,l<x⅛92,

中k>0.若在区间(0,9］上,关于X的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围

B

ZE.

答案［pτ)

应用篇知行合一

应用函数模型的实际应用

1.(2020新高考I,6,5分I模型应用)基本再生数R。与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基

本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均

时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型：I(t)=e”描述累计感染病例数I(t)随时间

t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R。,T近似满足R0=l+rT.有学者基于已有数据估计出

R°=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为

(1∏2^O.69)()

A.1.2天B.L8天

C.2.5天D.3.5天

7

答案B

2.（2021昆明质量检测二，11I生活实践情境）饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安

全法》的违法行为,将受到法律处罚.检测标准：“饮酒驾车:车辆驾驶人员血液中的酒精含量

大于或者等于20mg∕Iooml,小于80mg∕100ml的驾驶行为;醉酒驾车:车辆驾驶人员血液中的

酒精含量大于或者等于80mg∕100ml的驾驶行为.”据统计,停止饮酒后,血液中的酒精含量

平均每小时比上一小时降低20%.某人饮酒后测得血液中的酒精含量为100mg∕100rnl,若经过

n（n∈N*）小时,该人血液中的酒精含量小于20mg∕IOOm1,则n的最小值为（参考数

据：lg2*0.3010）（）

Λ.7B.8C.9D.10

答案B

3.（2021河北衡水五校模拟,4I模型应用）要测定古物的年代,可以用放射性碳法:在动植物

的体内都含有微量的放射性“C,动植物死亡后,停止新陈代谢,“C不再产生,且原有的“C会自

动衰减.经科学测定,“C的半衰期为5730年（设HC的原始量为1,经过X年后JC的含量

f（x）=a",即f（5730）^）.现有一古物,测得“C为原始量的79.37%,则该古物距今约一年（参

考数据：，七0∙7937,δ"["0.9998）（）

Λ.1910B.3581C.9168D.17190

答案A

4.（2022届长春重点高中第一次月考,9I生活实践情境）2020年12月17日凌晨,嫦娥五号

返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如

此高的再入精度,主要是因为它采用弹跳式返回弹道,实现了减速和再入阶段弹道调整,这与

“打水漂”原理类似（如图所示）.现将石片扔向水面，

假设石片第一次接触水面的速率为IOOm∕s,这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次

“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%,若要使石片的速率低于60m∕s,则至少

需要“打水漂”的次数为（参考数据:取InO.6^-0.511,InO.9公-0.105）（）

A.4B.5C.6D.7

答案C

8

5.（2022届山东潍坊安丘等三县10月测试,6I生活实践情境）某投资机构从事一项投资，先

投入本金a（a>0）元,得到的利润是b（b>O）元,收益率为士燃），假设在第一次投资的基础上,此

a

机构每次都定期追加投资χ（χ>0）元,得到的利润也增加了X元,若使得该项投资的总收益率

是增加的,则（）

A.a2bB.a≤b

C.a>bD.a<b

答案C

6.（2022届山东德州期中,6I生活实践情境）声音大小（单位为分贝）取决于声波通过介质时,

所产生的压力变化（简称声压,单位为N∕m,已知声音大小y与声压X的关系式为

y=10Xlg（S∕）,且根据我国《城市区域环境噪音标准》规定,在居民区内,户外白昼噪声

容许标准为50分贝，夜间噪声容许标准为40分贝，则居民区内，户外白昼噪声容许标准的声

压是户外夜间噪声容许标准的声压的（）

A.√TU倍B.2√TU倍C.10倍D.20倍

答案A

7.（2021北京西城一模，15I生活实践情境）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低

了洪涝灾害风险,发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际,为保证防洪需要、降低防

洪风险,水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数（蓄满指数=水

库实际蓄水量÷水库总蓄水量XlOo）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如

下：

（1）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间［0,100］；

（2）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；

（3）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变.

记X为调度前某水库的蓄满指数,y为调度后该水库的蓄满指数,给出下面四个y关于X的函

数解析式：

φy=-^x2+6x;②y=1OyJx;③y=］0而;④y=1OOsi脸x.

则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是.

答案②④

9

8.(2022届河南期中联考,21I生产生活)如图所示是一个长方体容器,长方体的上、下底面

为正方形,容器顶部有一个圆形的盖子，圆与上底面四条边都相切,该容器除了盖子以外的部

分均用铁皮制作,共使用铁皮的面积为16dπΛ假设圆形盖子的半径为rdm,该容器的容积为

Vdm',铁皮厚度忽略不计.

(1)求V关于r的函数关系式；

(2)该容器的高AA1为多少分米时,V取最大值？

解析⑴设AALadn).由题意得(2r)ir2+(2r)2+8ar=16,可得a—匕所以

V=(2r)2a=8r+(y-4)r3.由a>0,得R4>0,解得0<r<^.

KV=8r+(∣-4)r3,r∈(0,ɪ).

⑵V'=8+3(/4卜,