湖南省娄底新化县联考2023-2024学年数学九年级第一学期期末达标测试试题含解析

湖南省娄底新化县联考2023-2024学年数学九年级第一学期期末达标测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，二次函数y=ax1+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．下列结论：①1a﹣b=0；②（a+c）1＜b1；③当﹣1＜x＜3时，y＜0；④当a=1时，将抛物线先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x﹣1）1﹣1．其中正确的是（）A．①③ B．②③ C．②④ D．③④2．小明同学以正六边形三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径，向外作三段圆弧，设计了如图所示的图案，已知正六边形的边长为1，则该图案外围轮廓的周长为（）A． B． C． D．3．如图，点的坐标是，是等边角形，点在第一象限，若反比例函数的图象经过点，则的值是（）A． B． C． D．4．关于反比例函数y＝﹣的图象，下列说法正确的是（）A．经过点(﹣1，﹣4)B．图象是轴对称图形，但不是中心对称图形C．无论x取何值时，y随x的增大而增大D．点(，﹣8)在该函数的图象上5．若与相似且对应中线之比为，则周长之比和面积比分别是（）A．， B．， C．， D．，6．下列事件属于随机事件的是（）A．抛出的篮球会下落B．两枚骰子向上一面的点数之和大于1C．买彩票中奖D．口袋中只装有10个白球，从中摸出一个黑球7．下列各式与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．8．下列事件中，必然事件是（）A．一定是正数B．八边形的外角和等于C．明天是晴天D．中秋节晚上能看到月亮9．计算（的结果为（）A．8﹣4 B．﹣8﹣4 C．﹣8+4 D．8+410．在△ABC中，若|cosA．45° B．60° C．75° D．105°11．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，连接，将线段绕点顺时针旋转90°，点的对应点恰好落在直线上，则的值为（）A．2 B．1 C． D．12．下列事件是必然事件的为（）A．明天早上会下雨 B．任意一个三角形，它的内角和等于180°C．掷一枚硬币，正面朝上 D．打开电视机，正在播放“义乌新闻”二、填空题（每题4分，共24分）13．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．14．如图，在中，，若，则的值为_________15．如图，两弦AB、CD相交于点E，且AB⊥CD，若∠B＝60°，则∠A等于_____度．16．如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C，D分别落在边BC下方的点C′，D′处，且点C′，D′，B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G.设AB＝t，那么△EFG的周长为___(用含t的代数式表示)．17．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为______．18．在锐角中，＝0，则∠C的度数为____．三、解答题（共78分）19．（8分）已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE（1）求证：△BDE∽△BCA；（2）如果AE=AC，求证：AC2=AD•AB．20．（8分）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x、月销售量y、月销售利润w（元）的部分对应值如下表：售价x（元/件）4045月销售量y（件）300250月销售利润w（元）30003750注：月销售利润＝月销售量×（售价－进价）（1）①求y关于x的函数表达式；②当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过40元/件，该商店在今后的销售中，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若月销售最大利润是2400元，则m的值为．21．（8分）在平面直角坐标系中，已知P（,）,R（,）两点，且，，若过点P作轴的平行线，过点R作轴的平行线，两平行线交于一点S，连接PR，则称△PRS为点P，R，S的“坐标轴三角形”.若过点R作轴的平行线，过点P作轴的平行线，两平行线交于一点，连接PR，则称△RP为点R，P，的“坐标轴三角形”.右图为点P，R，S的“坐标轴三角形”的示意图.（1）已知点A（0，4），点B（3，0）,若△ABC是点A，B，C的“坐标轴三角形”，则点C的坐标为；（2）已知点D（2，1），点E（e，4），若点D，E，F的“坐标轴三角形”的面积为3，求e的值.（3）若的半径为，点M（，4），若在上存在一点N，使得点N，M，G的“坐标轴三角形”为等腰三角形，求的取值范围.22．（10分）如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点（1）求此反比例函数和一次函数的解析式．（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x取值范围．23．（10分）用适当的方法解方程：（1）（2）．24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，矩形DEFG的顶点G、F分别在边AC、BC上，D、E在边AB上．（1）求证：△ADG∽△FEB；（2）若AD＝2GD，则△ADG面积与△BEF面积的比为．25．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的点，CD与⊙O相切于点D，连结BD、AD．（1）求证；∠BDC＝∠A．（2）若∠C＝45°，⊙O的半径为1，直接写出AC的长．26．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，．（1）将绕点逆时针旋转得到，点，对应点分别是，，请在图中画出，并写出，的坐标；（2）以点为位似中心，将作位似变换且缩小为原来的，在网格内画出一个符合条件的．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【解析】分析：根据二次函数图象与系数之间的关系即可求出答案．详解：①图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），∴二次函数的图象的对称轴为x==1，∴=1，∴1a+b=0，故①错误；②令x=﹣1，∴y=a﹣b+c=0，∴a+c=b，∴（a+c）1=b1，故②错误；③由图可知：当﹣1＜x＜3时，y＜0，故③正确；④当a=1时，∴y=（x+1）（x﹣3）=（x﹣1）1﹣4将抛物线先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x﹣1﹣1）1﹣4+1=（x﹣1）1﹣1，故④正确；故选：D．点睛：本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是熟知二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型．2、C【分析】根据正六边形的边长相等，每个内角为120度，可知图案外围轮廓的周长为三个半径为1、圆心角为240度的弧长之和．【详解】由题意可知：

∵正六边形的内角，∴扇形的圆心角，

∵正六边形的边长为1，

∴该图案外围轮廓的周长，

故选：C．【点睛】本题考查了弧长的计算公式，正多边形和圆，正六边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．3、D【分析】首先过点B作BC垂直OA于C,根据AO=4，△ABO是等辺三角形，得出B点坐标，迸而求出k的值.【详解】解：过点B作BC垂直OA于C，

∵点A的坐标是(2,0)

，AO=4，

∵△ABO是等边三角形∴OC=

2，BC=∴点B的坐标是(2，),把(2，)代入，得:k=xy=故选：D【点睛】本题考查的是利用等边三角形的性质来确定反比例函数的k值．4、D【分析】反比例函数的图象时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；在不同象限内，y随x的增大而增大，根据这个性质选择则可．【详解】∵当时，∴点（，﹣8）在该函数的图象上正确，故A、B、C错误，不符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质及代入求点坐标是解题的关键．5、B【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可．【详解】解：与相似，且对应中线之比为，其相似比为，与周长之比为，与面积比为，故选：B.【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比，相似三角形面积比是相似比的平方是解答此题的关键．6、C【解析】根据随机事件,必然事件,不可能事件概念解题即可.【详解】解：A.抛出的篮球会下落,是必然事件,所以错误,B.两枚骰子向上一面的点数之和大于1,是不可能事件,所以错误,C.买彩票中奖.是随机事件,正确,D.口袋中只装有10个白球，从中摸出一个黑球,,是不可能事件,所以错误,故选C.【点睛】本题考查了随机事件的概念,属于简单题,熟悉概念是解题关键.7、A【分析】根据同类二次根式的概念即可求出答案．【详解】解：（A）原式＝2，故A与是同类二次根式；（B）原式＝2，故B与不是同类二次根式；（C）原式＝3，故C与不是同类二次根式；（D）原式＝5，故D与不是同类二次根式；故选：A．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．8、B【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】A、a2一定是非负数，则a2一定是正数是随机事件；B、八边形的外角和等于360°是必然事件；C、明天是晴天是随机事件；D、中秋节晚上能看到月亮是随机事件；故选B．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．9、B【分析】先按照平方差公式与完全平方公式计算，同时按照二次根式的除法计算，再合并即可得到答案．【详解】解：故选B．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法与二次根式的除法运算是解本题的关键．10、C【分析】根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．【详解】由题意，得

cosA=12，tanB=1，

∴∠A=60°，∠B=45°，

∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．

故选C11、D【分析】根据已知条件可求出m的值，再根据“段绕点顺时针旋转90°”求出点B坐标，代入即可求出b的值．【详解】解：∵点在直线上，∴，∴又∵点B为点A绕原点顺时针旋转90°所得，∴点B坐标为，又∵点B在直线，代入得∴故答案为D．【点睛】本题考查了一次函数与旋转的相关知识，解题的关键是能够根据已知条件得出点B的坐标．12、B【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案．【详解】解：A、明天会下雨，是随机事件，不合题意；B、任意一个三角形，它的内角和等于180°，是必然事件，符合题意；C、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意；D、打开电视机，正在播放“义乌新闻”，是随机事件，不合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了随机事件以及必然事件，正确掌握相关定义是解题关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、且【分析】根据根的判别式和一元一次方程的定义得到关于的不等式，求出的取值即可．【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∵，∴且，

解得：且，

故答案为：且．【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于的不等式是解此题的关键．14、【分析】根据相似三角形的性质，得出，将AC、AB的值代入即可得出答案．【详解】即DC=故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．15、30【解析】首先根据圆周角定理，得∠A=∠BDC，再根据三角形的内角和定理即可求得∠BDC的度数,从而得出结论．【详解】∵AB⊥CD，∴∠DEB=90°,∵∠B＝60°∴∠BDC＝90°-∠B=90°-60°=30°,∴∠A=∠BDC=30°,故答案为30°.【点睛】综合运用了圆周角定理以及三角形的内角和定理．16、2t【分析】根据翻折的性质，可得CE=，再根据直角三角形30度所对的直角边等于斜边的一半判断出，然后求出，根据对顶角相等可得，根据平行线的性质得到，再求出，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质表示出EF，即可解题．【详解】由翻折的性质得，CE=是等边三角形，的周长=故答案为：．【点睛】本题考查折叠问题、等边三角形的判定与性质、含30度的直角三角形、平行线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17、1【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．【详解】解：连接，

由网格可得，，即，

∴为等腰直角三角形，

∴，

则，故答案为1.【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．18、75°【分析】由非负数的性质可得：，可求，从而利用三角形的内角和可得答案．【详解】解：由题意，得sinA＝，cosB＝，解得∠A＝60°，∠B＝45°，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，故答案为：75°．【点睛】本题考查了非负数的性质：偶次方、三角形的内角和定理，特殊角的三角函数值，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题（共78分）19、(1)证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由BA•BD=BC•BE得，结合∠B=∠B，可证△ABC∽△EBD；（2）先根据BA•BD=BC•BE，∠B=∠B，证明△BAE∽△BCD，再证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的对应边长比例可证明结论.【详解】（1）证明：∵BA•BD=BC•BE．∴，∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BCA；（2）证明：∵BA•BD=BC•BE．∴，∵∠B=∠B，∴△BAE∽△BCD，∴，∵AE=AC，∴，∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD，∴∠B=∠ACD.∵∠BAC=∠BAC∴△ADC∽△ACB，∴.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两三角形相似的判定方法是解题的关键．相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③根据两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例得两个三角形相似.20、（1）①y＝－10x＋700；②当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最大，最大利润是4000元．（1）1.【分析】（1）①将点（40，300）、（45，150）代入一次函数表达式：y=kx+b即可求解；②设该商品的售价是x元，则月销售利润w=y（x－30），求解即可；（1）根据进价变动后每件的利润变为[x-(m+30)]元，用其乘以月销售量，得到关于x的二次函数，求得对称轴，判断对称轴大于50，由开口向下的二次函数的性质可知，当x=40时w取得最大值1400，解关于m的方程即可．【详解】（1）①解：设y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）根据题意得：,解得：∴y＝－10x＋700②解：当该商品的进价是40－3000÷300＝30元设当该商品的售价是x元/件时，月销售利润为w元根据题意得：w＝y（x－30）＝（x－30）（－10x＋700）＝－10x1＋1000x－11000＝－10（x－50）1＋4000∴当x＝50时w有最大值，最大值为4000答：当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最大，最大利润是4000元．（1）由题意得：

w=[x-(m+30)]（-10x+700）

=-10x1+（1000+10m）x-11000-700m

对称轴为x=50+

∵m＞0

∴50+>50

∵商家规定该运动服售价不得超过40元/件

∴由二次函数的性质，可知当x=40时，月销售量最大利润是1400元

∴-10×401+（1000+10m）×40-11000-700m=1400

解得：m=1

∴m的值为1．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，正确列式并明确二次函数的性质，是解题的关键．21、（1）（3，4）；（2）或；（3）m的取值范围是或.【分析】（1）根据点C到x轴、y轴的距离解答即可；（2）根据“坐标轴三角形”的定义求出线段DF和EF，然后根据三角形的面积公式求解即可；（3）根据题意可得：符合题意的直线MN应为y=x+b或y=－x+b．①当直线MN为y=x+b时，结合图形可得直线MN平移至与⊙O相切，且切点在第四象限时，b取得最小值，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得b的最小值，进而可得m的最大值；当直线MN平移至与⊙O相切，且切点在第二象限时，b取得最大值，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得b的最大值，进而可得m的最小值，可得m的取值范围；②当直线MN为y=－x+b时，同①的方法可得m的另一个取值范围，问题即得解决.【详解】解：（1）根据题意作图如下：由图可知：点C到x轴距离为4，到y轴距离为3，∴C（3，4）；故答案为：（3，4）；（2）∵点D（2，1），点E（e，4），点D，E，F的“坐标轴三角形”的面积为3，∴，，∴，即=2，解得：e=4或e=0；（3）由点N，M，G的“坐标轴三角形”为等腰三角形可得：直线MN为y=x+b或y=－x+b.①当直线MN为y=x+b时，由于点M的坐标为（m，4），可得m=4－b，由图可知：当直线MN平移至与⊙O相切，且切点在第四象限时，b取得最小值.此时直线MN记为M1N1，其中N1为切点，T1为直线M1N1与y轴的交点.∵△ON1T1为等腰直角三角形，ON=，∴，∴b的最小值为－3，∴m的最大值为m=4－b=7；当直线MN平移至与⊙O相切，且切点在第二象限时，b取得最大值.此时直线MN记为M2N2，其中N2为切点，T2为直线M2N2与y轴的交点.∵△ON2T为等腰直角三角形，ON2=，∴，∴b的最大值为3，∴m的最小值为m=4－b=1，∴m的取值范围是；②当直线MN为y=－x+b时，同理可得，m=b－4，当b=3时，m=－1；当b=－3时，m=－7；∴m的取值范围是.综上所述，m的取值范围是或.【点睛】本题是新定义概念题，主要考查了三角形的面积、直线与圆相切的性质、等腰三角形的性质和勾股定理等知识，正确理解题意、灵活应用数形结合的思想和分类讨论思想是解题的关键.22、（1），y＝－x－1；（1）x＞1或－4＜x＜0【分析】（1）先把A（-4，1）代入求出m=-8，从而确定反比例函数的解析式为；再把B（n，-4）代入求出n=1，确定B点坐标为（1，-4），然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；（1）观察图象得到当-4＜x＜0或x＞1

时，一次函数的图象都在反比例函数图象的下方，即一次函数的值小于反比例函数的值．【详解】（1）把A（-4，1）代入得m=-4×1=-8，∴反比例函数的解析式为；把B（n，-4）代入得-4n=-8，解得n=1，∴B点坐标为（1，-4），把A（-4，1）、B（1，-4）分别代入y=kx+b得，解方程组得，∴一次函数的解析式为y=-x-1；（1）观察函数图象可得反比例函数的值大于一次函数的值的x取值范围是：-4＜x＜0或x＞1．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式；求反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标就是把两个图象的解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标．也考查了待定