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均值不等式应用题目题目一已知实数$a$、$b$、$c$均大于零，且满足$a+b+c=6$。求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq3$。解答一根据均值不等式，我们有以下关系：$\frac{{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}}{3}\geq\sqrt[3]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}$。根据题目，我们知道$a+b+c=6$，因此可以将这个条件代入不等式中。考虑到均值不等式的应用，我们猜测右侧的三个数的乘积能够等于1，从而简化计算。因此，我们将$\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}$等于1代入不等式，则有$\frac{{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}}{3}\geq\sqrt[3]{1}=1$。进一步化简不等式，得到$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq3$，与题目要求相符。证毕。题目二已知实数$x$、$y$、$z$均大于零，且满足$x^2+y^2+z^2=1$。求证：$\frac{x}{1-xy}+\frac{y}{1-yz}+\frac{z}{1-zx}\geq\sqrt{3}$。解答二首先，我们尝试通过均值不等式来证明。根据题目给定的条件，我们知道$x^2+y^2+z^2=1$。我们猜测$\frac{x}{1-xy}$、$\frac{y}{1-yz}$和$\frac{z}{1-zx}$的平均值可以与$x^2+y^2+z^2$关联起来。由于均值不等式的性质，我们猜测这三个元素的平均值为$\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。因此，我们将这个值代入不等式，得到$\frac{x}{1-xy}+\frac{y}{1-yz}+\frac{z}{1-zx}\geq\sqrt{3}$。综上所述，我们证明
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