函数的概念及基本初等函数对数与对数函数课件理新

函数的概念及基本初等函数对数与对数函数课件理新汇报人：文小库2023-12-20函数的概念基本初等函数对数与对数函数函数的应用数学建模与实例分析习题及答案目录函数的概念01

函数的定义函数是一种数学关系函数是两个数集之间的映射关系，即对于定义域中的每一个自变量，都有唯一一个因变量与之对应。函数的表示方法函数可以用解析式、图象、表格等形式表示。函数的定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。每个自变量只能对应一个因变量，每个因变量只能对应一个自变量。一一对应性对于每一个自变量的取值，因变量的值是确定的。确定性函数在定义域内是连续的，即自变量的微小变化会导致因变量的微小变化。连续性函数的特性常数函数常数函数是指因变量的值始终为常数的函数。一次函数一次函数是指形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数。二次函数二次函数是指形如y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。反比例函数反比例函数是指形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数。幂函数幂函数是指形如y=x^n（n为常数）的函数。对数函数对数函数是指形如y=log_a(x)（a为常数，a>0且a≠1）的函数。函数的分类基本初等函数02幂函数定义$y=x^n$，其中n为实数。当n为正整数时，幂函数为n次多项式。当n为分数时，幂函数为分式函数。当n为负数时，幂函数为复数函数。幂函数的性质幂函数具有n阶导数，且导数表达式与n有关。当n为正整数时，幂函数的导数为$nx^{n-1}$。当n为分数时，幂函数的导数为$\frac{n}{x}x^{n-1}$。当n为负数时，幂函数的导数为$\frac{n}{x}x^{n-1}$。幂函数$y=a^x$，其中a为正实数且不等于1。指数函数定义指数函数具有n阶导数，且导数表达式与a和n有关。当a大于1时，指数函数是递增的；当0小于a小于1时，指数函数是递减的。指数函数的性质指数函数$y=\log_ax$，其中a为正实数且不等于1。对数函数具有n阶导数，且导数表达式与a和n有关。当a大于1时，对数函数是递增的；当0小于a小于1时，对数函数是递减的。对数函数对数函数的性质对数函数定义三角函数定义$\sinx$、$\cosx$和$\tanx$。三角函数的性质三角函数具有周期性、奇偶性、单调性等性质。三角函数$\arcsinx$、$\arccosx$和$\arctanx$。反三角函数定义反三角函数具有单调性、奇偶性等性质。反三角函数的性质反三角函数对数与对数函数03对数的意义对数是一种用来表示大数的数学符号，它能够将大数的计算转化为小数的计算，简化计算过程。对数的定义对数是一种数学运算，表示为log(a)，其中a是底数，n是对数值。它表示的是a的n次方等于多少。对数表的使用在实际应用中，常用对数表来查找不同底数的对数值。对数表通常以10为底数，用lg表示；以自然常数e为底数，用ln表示。对数的概念log(a)b=log(b)a/log(b)a，其中a和b均大于0且不等于1。换底公式对数恒等式对数的运算性质log(a)a=1，log(a)1=0，log(a)无穷大=无穷大（当a>0且a不等于1）。log(a)b+log(a)c=log(a)(b*c)；log(a)b-log(a)c=log(a)(b/c)；log(a)(b^n)=nlog(a)b。030201对数运算性质y=log(a)x（a>0且a不等于1），x在定义域内取值时，y为定值。对数函数的定义当底数a>1时，函数y=log(a)x为增函数；当0<底数a<1时，函数y=log(a)x为减函数。这是因为当a>1时，随着x的增大，函数值y逐渐增大；当0<a<1时，随着x的增大，函数值y逐渐减小。对数函数的性质对数函数及其性质函数的应用04函数的图像及性质函数图像的绘制通过描点法、切线法等绘制函数的图像，以便直观地观察函数的形态和变化趋势。函数性质的研究研究函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，以了解函数在不同区间上的变化规律。VS通过导数法、极值法等方法求函数的最大值和最小值，以及对应的自变量取值。最大值与最小值的性质研究最大值和最小值的性质，如唯一性、存在性等，以便更好地理解和应用。最大值与最小值的求法函数的最大值与最小值极值的定义与求法定义函数的极值，并介绍极值的求法，如导数法、极值定理等。拐点的定义与求法定义函数的拐点，并介绍拐点的求法，如二阶导数法等。同时，也要研究拐点的性质，以便更好地理解和应用。函数的极值与拐点数学建模与实例分析05根据实际问题的特点和要求，选择合适的函数模型进行建模。例如，线性回归模型、指数模型、对数模型等。建立数学模型利用数学方法对模型进行求解，得到模型的参数和预测值。求解模型将模型的预测值与实际数据进行比较，检验模型的准确性和可靠性。模型检验根据模型的检验结果，对模型进行优化和改进，提高模型的预测能力和准确性。模型优化利用函数模型解决实际问题以自然对数为底数的对数模型，用于描述变量之间的对数关系。自然对数模型以10为底数的对数模型，用于描述变量之间的对数关系。常用对数模型利用对数回归方法建立的对数模型，用于预测因变量与自变量之间的对数关系。对数回归模型对数模型的应用01明确问题明确实际问题的背景和目标，确定建模的目的和意义。02收集数据收集与实际问题相关的数据，为建模提供基础数据。03建立模型根据实际问题的特点和要求，选择合适的函数模型进行建模。04求解模型利用数学方法对模型进行求解，得到模型的参数和预测值。05模型检验将模型的预测值与实际数据进行比较，检验模型的准确性和可靠性。06模型优化根据模型的检验结果，对模型进行优化和改进，提高模型的预测能力和准确性。数学建模的基本步骤和方法习题及答案06答案2首先求导数$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$，由于在区间$(0,1)$上，$f'(x)<0$，所以函数$f(x)$在区间$(0,1)$上单调递减。题目1求函数$f(x)=x^2+2x$在区间$[-1,1]$上的最大值和最小值。答案1首先求导数$f'(x)=2x+2$，令$f'(x)=0$得$x=-1$。在区间$[-1,1]$上，当$x=-1$时，$f(x)$取得最小值$f(-1)=1$；当$x=1$时，$f(x)$取得最大值$f(1)=5$。题目2求函数$f(x)=\frac{1}{x}$在区间$(0,1)$上的单调性。基本初等函数的习题及答案对数与对数函数的习题及答案题目3：求函数$f(x)=\log_2(x^2+1)$在区间$(0,+\infty)$上的值域。答案3：首先令$t=x^2+1$，则当$x\in(0,+\infty)$时，$t\in(1,+\infty)$。由于$\log_2t$在$(1,+\infty)$上是单调递增的，所以当$t\in(1,+\infty)$时，$\log_2t>\log_21=0$。因此，函数$f(x)=\log_2(x^2+1)$在区间$(0,+\infty)$上的值域为$(0,+\infty)$。题目4：求函数$f(x)=\log_3(2x-\frac{5}{3})$在区间$\left(\frac{5}{6},\frac{7}{9}\right)$上的定义域。答案4：首先令$t=2x-\frac{5}{3}$，则当$x\in\left(\frac{5}{6},\frac{7}{9}\right)$时，$t\in\left(-\frac{5}{6},-\frac{1}{3}\right)$。由于$\log_3t$在$\left(-\frac{5}{6},-\frac{1}{3}\right)$上是有定义的（因为$\log_3(-\frac{5}{6})$和$\log_3(-\frac{1}{3})$都是实数），所以函数$f(x)=\log_3(2x-\frac{5}{3})$在区间$\left(\frac{5}{6},\frac{7}{9}\right)$上的定义域为$\left(\frac{5}{6},\frac{7}{9}\right)$。题目5求函数$y=x^2+\log_3(x^2+1)$在区间$(0,+\i