华东师大版七年级数学下册压轴题攻略专题08二元一次方程组的应用(方案,销售利润,数字,几何图形,图表)压轴题五种模型全攻略(原卷版+解析)

专题08二元一次方程组的应用(方案,销售利润,数字,几何图形,图表)压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一二元一次方程组的应用——方案问题】 1【考点二二元一次方程组的应用——销售、利润问题】 3【考点三二元一次方程组的应用——数字问题】 5【考点四二元一次方程组的应用——几何问题】 7【考点五二元一次方程组的应用——图表问题】 9【过关检测】 12【典型例题】【考点一二元一次方程组的应用——方案问题】例题：(2023·山东·日照市北京路中学七年级期中）今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．(1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案，并把符合要求的租车方案都列出来；(3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车每辆租金每次120元，请从（2）中的方案里选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【变式训练】1．(2023·浙江省锦绣江山外国语学校七年级期中）某校在2021年组织七年级学生参加研学活动，租用二种不同型号的客车，每辆座位如下表：客车型号AB人数/辆2849若租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800元.(1)求租用A，B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？(2)现有七年级14个班级的学生588人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，为节约成本，则租用A型客车和B型客车各多少辆，需要花费多少钱？【考点二二元一次方程组的应用——销售、利润问题】例题：(2023·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共50个，花去1600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：进价（元/个）售价（元/个）冰墩墩3550雪容融3040(1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？(2)这50个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（每种至少一个），且恰好用完.那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？【变式训练】1．(2023·广东·东莞外国语学校七年级期中）临近年春节，西安疫情形势较为严峻，对确诊病例所在地区实行区域管控，严格履行疫情防控措施．为防范疫情，某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元．(1)求甲、乙两种消毒液的单价；(2)为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将的消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中每瓶均装满，若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分能使总损耗最小？求出此时需要的两种空瓶的数量．【考点三二元一次方程组的应用——数字问题】例题：(2023·湖北武汉·七年级期末）一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大63，这样的两位数共有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式训练】1．(2023·重庆江津·七年级阶段练习）甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的151倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1089．求这两个两位数？如果设甲数为x，乙数为y．则得方程组(

)A． B．C． D．2．(2023·山东烟台·七年级期末）一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得到的新数与原数的和是99．原来的两位数是__________．【考点四二元一次方程组的应用——几何问题】例题：(2023·内蒙古·乌拉特前旗第三中学七年级期中）如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为厘米和厘米，则依题意列方程组正确的是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．(2023·四川乐山·七年级期末）如图，面积为的正方形，分成个全等的长方形和一个面积为的小正方形，则小长方形的长和宽分别是（）A．， B．， C．， D．，2．(2023·辽宁大连·七年级期末）如图，在大长方形中，放入六个相同的小长方形，求阴影部分的面积．【考点五二元一次方程组的应用——图表问题】例题：(2023·福建省永春第五中学七年级期中）已知下表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求m，n的值．【变式训练】1．(2023·安徽合肥·七年级期末）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元．营养品信息表营养成分每千克含铁42毫克配料表原料每千克含铁甲食材50毫克乙食材10毫克(1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？2．(2023·湖北·武汉市第二初级中学七年级阶段练习）童威在某商店给妈妈购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打相同的折扣，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：购买商品A的数量（个）购买商品B的数量（个）购买总费用（元）第一次购物8161440第二次购物7151314第三次购物9171252.8(1)以折扣价购买商品A、B是第________次购物；(2)求出商品A、B的标价；(3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？【过关检测】一、选择题1．（2023春·浙江·七年级专题练习）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用180元购买A、B、C三种奖品（三种都买），A种每个10元，B种每个20元，C种每个40元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，共有几种购买方案（

）A．8种 B．9种 C．10种 D．11种2．（2023秋·四川达州·八年级统考期末）已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数，所列方程组正确的是（

）A． B．C． D．3．（2023春·浙江·七年级专题练习）被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜，于2020年通过国家验收正式开放运行，这是南仁东教授率团队历时20多年，从追赶到建成了世界最大且最灵敏的射电望远镜．为进一步了解这一科技创举，班级计划购买《南仁东传》和中国天眼模型．若购买1本《南仁东传》和1个中国天眼模型需要860元，班级拿出2020元购买了7本《南仁东传》和2个中国天眼模型．若设每一本《南仁东传》为x元，每一个中国天眼模型y元，则可列二元一次方程组为（

）．A． B． C． D．4．（2023春·浙江·七年级专题练习）用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为个长方形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为个长方无纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为（

）．A．4 B．6 C．8 D．10二、填空题5．（2023秋·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期末）一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得到的新数与原数的和是99，设原来的两位数个位数字是x，十位数字是y，可列方程组______．6．(2023秋·山东青岛·八年级统考期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，已知型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元．若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则不同的购买方案共有种___________．7．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）三月初某书店销售A、B两种书籍，销售36本A书籍和25本B书籍收入3495元，销售24本A书籍和30本B书籍收入3330元，月底发现部分书籍有污迹，决定对有污迹的书籍进行打六折促销，张老师根据实际购买了原价或打折的两种书籍，共花费3150元，其中购买的A种打折书籍的本数是购买所有书籍本数的，张老师购买A种打折书籍________本．8．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图①，有若干片相同的拼图，若将其沿相同方向无缝隙拼在一起，它们的底部位于同一条直线上．当分别用3片，10片拼图拼时（如图②，③所示），对应的长度分别为14，35（单位：cm），则图①中的拼图长______cm．三、解答题9．(2023秋·湖南益阳·八年级统考期末）在太原市部分区域实施临时静默管理期间，某超市推出甲、乙两种防疫保供䖻菜套餐，售价分别为75元/份、50元/份．已知静默管理期间，该超市共配送两种蔬菜套餐380份，总额为22750元，求该超市静默管理期间配送两种蔬菜套餐各多少份?10．（2023春·全国·七年级专题练习）用一元一次方程解决问题：某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图，如果长方体盒子的长比宽多，求这种药品包装盒的体积．11．(2023春·山东滨州·七年级统考期末）在某学校组织的“科学艺术节”活动中，掷飞镖游戏规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外部分，若掷在圆周上或大圆外重新掷一次，掷中一次记一个点．有效次数共八次．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下图，那么小明的得分是多少？请写出解答过程．12．（2023秋·安徽合肥·七年级合肥市第四十五中学校考期末）某鞋店正举办开学特惠活动，如图为活动说明．小李打算在该店同时购买两双鞋，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券．(1)若小李参加特惠活动需花费420元，比使用折价券多花20元，则两双鞋的原件为多少元？(2)若小李计算后发现使用折价券与参加特惠活动两者的花费相差60元，则两双鞋的原价相差多少元？13．(2023秋·广东深圳·八年级统考期末）某商场第1次用39万元购进，两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如表（总利润=单价利润×销售量）：价格商品进价（元/件）售价（元/件）1200135010001200(1)该商场第1次购进，两种商品各多少件？(2)商场第2次以原进价购进，两种商品，购进商品的件数不变，而购进商品的件数是第1次的2倍，商品按原售价销售，而商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5.4万元，则种商品是按几折销售的？14．（2023秋·辽宁沈阳·七年级沈阳市第七中学校考期末）某商场从厂家购进了两种品牌篮球共80个，已知购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元，品牌篮球每个进价100元，品牌篮球每个进价80元．(1)求购进两种品牌篮球各多少个？(2)在销售过程中，品牌篮球每个售价150元，售出30个后出现滞销；商场决定打折出售剩余的品牌篮球，品牌篮球每个按进价加价20%销售，很快全部售出，两种品牌篮球全部售出后共获利2080元，求品牌篮球打几折出售？15．（2023秋·安徽宣城·七年级统考期末）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元．营养品信息表营养成分每千克含铁42毫克配料表原料每千克含铁甲食材50毫克乙食材10毫克(1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？16．(2023秋·全国·八年级专题练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”那么，你能回答以下问题吗？(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？(3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！17．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）自行车厂计划一年生产安装24000辆自行车，若1名熟练工和2名新工人每月一共可安装800辆自行车．且每名熟练工比每名新工人每月多安装200辆自行车．(1)每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装多少辆自行车?(2)如果工厂招聘m（其中m大于0且小于8）名新工人，使得新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务．①工厂有哪几种新工人的招聘方案?②若每名熟练工每月工资为6000元，每名新工人每月工资为4000元，那么工厂可适当安排熟练工和新工人人数，使新工人的人数多于熟练工，且工厂每月支出的工资总额最少，请直接写出工厂每月支出工资总额最小值．专题08二元一次方程组的应用(方案,销售利润,数字,几何图形,图表)压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一二元一次方程组的应用——方案问题】 1【考点二二元一次方程组的应用——销售、利润问题】 3【考点三二元一次方程组的应用——数字问题】 5【考点四二元一次方程组的应用——几何问题】 7【考点五二元一次方程组的应用——图表问题】 9【过关检测】 12【典型例题】【考点一二元一次方程组的应用——方案问题】例题：(2023·山东·日照市北京路中学七年级期中）今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．(1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案，并把符合要求的租车方案都列出来；(3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车每辆租金每次120元，请从（2）中的方案里选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨(2)方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．(3)最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元【分析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据要一次运送31吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各租车方程；（3）根据总租金=每辆车的租车费用×租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，依题意，得：，解得：．答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨．（2）解：依题意，得：3a+4b=31，∴．又∵a，b均为正整数，∴或或，∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．（3）解：方案1所需租金为100×9+120×1=1020（元）；方案2所需租金为100×5+120×4=980（元）；方案3所需租金为100×1+120×7=940（元）．∵1020＞980＞940，∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，分别求出三种租车方案所需费用．【变式训练】1．(2023·浙江省锦绣江山外国语学校七年级期中）某校在2021年组织七年级学生参加研学活动，租用二种不同型号的客车，每辆座位如下表：客车型号AB人数/辆2849若租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800元.(1)求租用A，B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？(2)现有七年级14个班级的学生588人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，为节约成本，则租用A型客车和B型客车各多少辆，需要花费多少钱？【答案】(1)A型车每辆的租金为300元，B型车每辆的租金为500元(2)租用A型客车14辆，B型客车4辆，需要花费6200元；租用A型客车7辆，B型客车8辆，需要花费6100元【分析】（1）设A型车每辆的租金为x，B型车每辆的租金为y，根据已知租用方案，列出方程组，解之即可；（2）设租用A型车辆a辆，B型车辆b辆，得到关于a，b的二元一次方程，求出正整数解，可得方案．（1）解：设A型车每辆的租金为x，B型车每辆的租金为y，由题意可得：，解得：，∴A型车每辆的租金为300元，B型车每辆的租金为500元；（2）设租用A型车辆a辆，B型车辆b辆，28a+49b=588，化简得：4a+7b=84，∴，∴当b=4，a=14，需要花费14×300+4×500=6200元；当b=8，a=7，需要花费7×300+8×500=6100元，∴租用A型客车14辆，B型客车4辆，需要花费6200元；租用A型客车7辆，B型客车8辆，需要花费6100元．【点睛】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，注意题中有干扰数据．【考点二二元一次方程组的应用——销售、利润问题】例题：(2023·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共50个，花去1600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：进价（元/个）售价（元/个）冰墩墩3550雪容融3040(1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？(2)这50个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（每种至少一个），且恰好用完.那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？【答案】(1)20个，30个(2)再次购进冰墩墩6个，雪容融13个或冰墩墩12个，雪容融6个【分析】（1）设冰墩墩和雪容融分别进了x个和y个，根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）先计算出所得利润，然后列出二元一次方程求出整数解即可．（1）解：设冰墩墩和雪容融分别进了x个和y个，有题意得解得答：冰墩墩和雪容融分别进了20和30个；（2）由表格得，设再次购进冰墩墩和雪容融分别为a个和b个，∴35a+30b=600∴∵a，b为正整数∴可得，∴再次购进冰墩墩6个，雪容融13个或冰墩墩12个，雪容融6个．【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程（组）是解题关键．【变式训练】1．(2023·广东·东莞外国语学校七年级期中）临近年春节，西安疫情形势较为严峻，对确诊病例所在地区实行区域管控，严格履行疫情防控措施．为防范疫情，某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元．(1)求甲、乙两种消毒液的单价；(2)为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将的消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中每瓶均装满，若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分能使总损耗最小？求出此时需要的两种空瓶的数量．【答案】(1)甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元(2)分装成的瓶，的瓶时，总损耗最小，此时需要的空瓶个，的空瓶个【分析】（1）设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元，根据“购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元”，列出二元一次方程组，解之即可；（2）设分装的免洗手消毒液瓶，的免洗手消毒液瓶，根据需将的消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗，列出二元一次方程，结合，均为非负整数得出各分装方案，选择最小的方案即可．（1）解：设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元，依题意得：，解得：，答：甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元；（2）设需要的空瓶个，的空瓶个，依题意得：，，，均为非负整数，或或，当，时，总损耗为；当，时，总损耗为；当，时，总损耗为；，分装成的瓶，的瓶时，总损耗最小，此时需要的空瓶个，的空瓶个．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．【考点三二元一次方程组的应用——数字问题】例题：(2023·湖北武汉·七年级期末）一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大63，这样的两位数共有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】设原两位数的个位为x，十位为y，则这个两位数为10y+x，所以交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数为10x+y，再列方程10x+y−10y−x=63，找出符合条件的正整数解即可．【详解】解：设原两位数的个位为x，十位为y，则这个两位数为10y+x，交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数为10x+y，则10x+y−10y−x=63，整理得：x−y=7，又∵x，y为正整数，且0<x<9，0<y<9，∴或∴这个两位数为：92或81．故选A．【点睛】本题考查的是二元一次方程的应用，二元一次方程的正整数解，理解题意，用代数式正确的表示出一个两位数是解题的关键．【变式训练】1．(2023·重庆江津·七年级阶段练习）甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的151倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1089．求这两个两位数？如果设甲数为x，乙数为y．则得方程组(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】设甲数为x，乙数为y．根据题意，列出二元一次方程组即可求解．【详解】解：设甲数为x，乙数为y．根据题意，得方程组，故选A【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键．2．(2023·山东烟台·七年级期末）一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得到的新数与原数的和是99．原来的两位数是__________．【答案】27【分析】设十位数字为x，个位数字为y，本题中2个等量关系为：个位数字-十位数字=5，（10×十位数字+个位数字）+10×个位数字+十位数字=99，根据这两个等量关系可列出方程组．【详解】解：设个位数字为x，十位数字为y，由题意，得，解得：，即原来的两位数是27．故答案为：27．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是熟练用十位数字和个位数字表示出两位数的值．【考点四二元一次方程组的应用——几何问题】例题：(2023·内蒙古·乌拉特前旗第三中学七年级期中）如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为厘米和厘米，则依题意列方程组正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据图示可得：大长方形的宽可以表示为x＋2y，宽又是75厘米，故x＋2y＝75，大长方形的长可以表示为2x，或x＋3y，故2x＝3y＋x，整理得x＝3y，联立两个方程即可．【详解】解：根据图示可得，故选：B．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．【变式训练】1．(2023·四川乐山·七年级期末）如图，面积为的正方形，分成个全等的长方形和一个面积为的小正方形，则小长方形的长和宽分别是（）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：大正方形的边长为：，小正方形边长为：，设小长方形的长为，宽为，依题意得：，解得：，小长方形的长为，宽为．故选：B．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．2．(2023·辽宁大连·七年级期末）如图，在大长方形中，放入六个相同的小长方形，求阴影部分的面积．【答案】阴影部分的面积为【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出小长方形的长与宽，再利用阴影部分的面积=大长方形的面积-6×小长方形的面积，即可求出结论．【详解】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，依题意得：，解得：，∴阴影部分的面积为14×（6+2×2）-6×8×2=44（）．答：阴影部分的面积为44．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【考点五二元一次方程组的应用——图表问题】例题：(2023·福建省永春第五中学七年级期中）已知下表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求m，n的值．【答案】m=15，n=9【分析】右边的数为，的相邻右边是18，正下方的第三个数是30，根据题意列出方程组即可求解．【详解】根据题意以及表格数据，有：，解得，答：m的值为15，n的值为9．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，明确题意，列出二元一次方程组是解答本题的关键．【变式训练】1．(2023·安徽合肥·七年级期末）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元．营养品信息表营养成分每千克含铁42毫克配料表原料每千克含铁甲食材50毫克乙食材10毫克(1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？【答案】(1)甲食材每千克的进价为40元，乙食材每千克的进价为20元(2)该公司每日购进甲食材400千克，乙食材100千克【分析】（1）设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元建立方程求解即可（2）抓住两个等量关系列方程求解：一是甲、乙两种食材每日购买的进价和为18000；二是制成营养品的含铁量与甲、乙两种食材含铁量的和相等，列出方程组即可求解．（1）设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由题意，得4×2a－5×a＝60，解得a＝20，则2a＝40．答：甲、乙两种食材每千克的进价分别是40元、20元；（2）设该公司每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，由题意，得解得【点睛】本题考查了一元一次方程及一元二次方程组的应用，找出等量关系列方程是解题关键．2．(2023·湖北·武汉市第二初级中学七年级阶段练习）童威在某商店给妈妈购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打相同的折扣，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：购买商品A的数量（个）购买商品B的数量（个）购买总费用（元）第一次购物8161440第二次购物7151314第三次购物9171252.8(1)以折扣价购买商品A、B是第________次购物；(2)求出商品A、B的标价；(3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？【答案】(1)三(2)商品A的标价为72元，商品B的标价为54元(3)商店是打八折出售这两种商品的【分析】（1）根据买到A、B商品多，且花钱少来判断即可；（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，列出方程组求出x和y的值；（3）设商店是打m折出售这两种商品，根据题意列出方程求解即可．（1）根据图表可得童威第三次购物花的钱最少，买到A、B商品又是最多，所以童威以折扣价购买商品A、B是第三次购物，故答案是：三；（2）（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据题意，得，解得：，答：商品A的标价为72元，商品B的标价为54元；（3）设商店是打m折出售这两种商品，由题意得，，解得：m=8．答：商店是打八折出售这两种商品的．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．【过关检测】一、选择题1．（2023春·浙江·七年级专题练习）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用180元购买A、B、C三种奖品（三种都买），A种每个10元，B种每个20元，C种每个40元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，共有几种购买方案（

）A．8种 B．9种 C．10种 D．11种【答案】C【分析】有两个等量关系：购买A种奖品钱数购买B种奖品钱数购买C种奖品钱数；C种奖品个数为1或2个．设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解．【详解】解：设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个，当C种奖品个数为1个时，根据题意得，整理得：，∵m、n都是正整数，，∴，2，3，4，5，6；当C种奖品个数为2个时，根据题意得，整理得：，∵m、n都是正整数，，∴，2，3，4；∴有种购买方案，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．要注意题中未知数的取值必须符合实际意义．2．（2023秋·四川达州·八年级统考期末）已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数，所列方程组正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】关键描述语是：十位上的数字比个位上的数字大1；新数比原数小9．等量关系为：①十位上的数字＝个位上的数字；②原数＝新数．【详解】解：根据十位上的数字比个位上的数字大1，得方程；根据对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，得方程．列方程组为．故选：D．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，需掌握的知识点是两位数的表示方法：十位数字个位数字．3．（2023春·浙江·七年级专题练习）被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜，于2020年通过国家验收正式开放运行，这是南仁东教授率团队历时20多年，从追赶到建成了世界最大且最灵敏的射电望远镜．为进一步了解这一科技创举，班级计划购买《南仁东传》和中国天眼模型．若购买1本《南仁东传》和1个中国天眼模型需要860元，班级拿出2020元购买了7本《南仁东传》和2个中国天眼模型．若设每一本《南仁东传》为x元，每一个中国天眼模型y元，则可列二元一次方程组为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】设每一本《南仁东传》为x元，每一个中国天眼模型y元，根据两种买法各列一个方程组成方程组即可．【详解】解：设每一本《南仁东传》为x元，每一个中国天眼模型y元，由题意得：，故选A．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可．4．（2023春·浙江·七年级专题练习）用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为个长方形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为个长方无纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为（

）．A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【分析】三个图中阴影部分都是正方形，根据前两个阴影面积列方程组求长方形的边长，再计算图③阴影面积．【详解】解：图①中阴影面积是，边长为，图②阴影面积是，边长为，设矩形长为，宽为，根据题意得解得所以图③阴影面积为故选：A．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，确定数量关系是解答的关键．二、填空题5．（2023秋·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期末）一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得到的新数与原数的和是99，设原来的两位数个位数字是x，十位数字是y，可列方程组______．【答案】【分析】设原来的两位数个位数字为x，十位数字为y，本题中2个等量关系为：个位数字-十位数字，十位数字+个位数字个位数字+十位数字，根据这两个等量关系可列出方程组．【详解】解：设原来的两位数个位数字是x，十位数字是y，根据题意，得．故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是熟练用十位数字和个位数字表示出两位数．6．(2023秋·山东青岛·八年级统考期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，已知型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元．若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则不同的购买方案共有种___________．【答案】3【分析】设购进A种型号的汽车为a辆，B种型号的汽车为b辆，根据题意列二元一次方程，根据整数解即可求解；【详解】解：设购进A种型号的汽车为a辆，B种型号的汽车为b辆，根据题意得，，整理得：，∴，∵为正整数，当，，，符合题意，∴共有3种方案，故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程，根据整数解求解是解题的关键．7．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）三月初某书店销售A、B两种书籍，销售36本A书籍和25本B书籍收入3495元，销售24本A书籍和30本B书籍收入3330元，月底发现部分书籍有污迹，决定对有污迹的书籍进行打六折促销，张老师根据实际购买了原价或打折的两种书籍，共花费3150元，其中购买的A种打折书籍的本数是购买所有书籍本数的，张老师购买A种打折书籍________本．【答案】15【分析】设A种书籍的售价为x元，B种书籍的售价为y元，根据题意列二元一次方程求出x，y的值，设原价购买A种书籍本，打折购买A种书籍本，原价购买B中书籍本，打折购买B种书籍本，根据题意得，整理得到，表示出，由均为正整数得到方程的解，由此得到答案．【详解】解：设A种书籍的售价为x元，B种书籍的售价为y元，则，解得，设原价购买A种书籍本，打折购买A种书籍本，原价购买B中书籍本，打折购买B种书籍本，则，整理得：，∴，∴，得，∵均为正整数，∴（舍去）或（舍去）或，故答案为：15．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的解，正确理解题意，列得方程组或二元一次方程是解题的关键．8．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图①，有若干片相同的拼图，若将其沿相同方向无缝隙拼在一起，它们的底部位于同一条直线上．当分别用3片，10片拼图拼时（如图②，③所示），对应的长度分别为14，35（单位：cm），则图①中的拼图长______cm．【答案】8【分析】拼图由长方形部分和半圆突出部分，利用二元一次方程解出即可．【详解】如图，设每个拼图的长由x和y两部分组成，则根据图二和图三可列出两个方程：解得：所以拼图长为：故答案为：8【点睛】本题考查二元一次方程在图形中的应用，找到等量关系是本题关键．三、解答题9．(2023秋·湖南益阳·八年级统考期末）在太原市部分区域实施临时静默管理期间，某超市推出甲、乙两种防疫保供䖻菜套餐，售价分别为75元/份、50元/份．已知静默管理期间，该超市共配送两种蔬菜套餐380份，总额为22750元，求该超市静默管理期间配送两种蔬菜套餐各多少份?【答案】该超市静默管理期间配送甲、乙两种蔬菜套餐各150份，230份．【分析】设该超市静默管理期间配送甲、乙两种蔬菜套餐各x份，y份，则该超市共配送两种蔬菜套餐份，总额为元，根据题意可列出二次一次方程组即可求解．【详解】解：设该超市静默管理期间配送甲、乙两种蔬菜套餐各x份，y份，根据题意得：解得答：该超市静默管理期间配送甲、乙两种蔬菜套餐各150份，230份．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系，列出方程．10．（2023春·全国·七年级专题练习）用一元一次方程解决问题：某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图，如果长方体盒子的长比宽多，求这种药品包装盒的体积．【答案】【分析】要求长方体的体积，需知长方体的长、宽、高，再结合图形寻找等量关系，求出后代入长方体体积公式，即可得出结果．【详解】设这种药品包装盒的宽为，高为，则长为，根据题意可得，解得，∴长为，宽为，高为，则体积，则这种药品包装盒的体积为．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是用宽表示出长．11．(2023春·山东滨州·七年级统考期末）在某学校组织的“科学艺术节”活动中，掷飞镖游戏规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外部分，若掷在圆周上或大圆外重新掷一次，掷中一次记一个点．有效次数共八次．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下图，那么小明的得分是多少？请写出解答过程．【答案】76分【分析】设掷中A区得x分，掷中B区得y分，根据小华和小芳的得分列出二元一次方程组，再通过变形直接得到小明的得分．【详解】解：设掷中A区得x分，掷中B区得y分，依题意，得，，得．答：小明的得分为76分．【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际问题，解决此题的关键是读懂题目，理清数量之间的关系．12．（2023秋·安徽合肥·七年级合肥市第四十五中学校考期末）某鞋店正举办开学特惠活动，如图为活动说明．小李打算在该店同时购买两双鞋，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券．(1)若小李参加特惠活动需花费420元，比使用折价券多花20元，则两双鞋的原件为多少元？(2)若小李计算后发现使用折价券与参加特惠活动两者的花费相差60元，则两双鞋的原价相差多少元？【答案】(1)设两双鞋的原价分别为300元和200元(2)两双鞋的原价相差300元【分析】（1）设两双鞋的原价分别为x元和y元，，根据“参加特惠活动需花费420元，比使用折价券多花20元”列方程组求解即可；（2）设两双鞋的原价分别为a元和b元，且，然后分两种情况列式求解．【详解】（1）设两双鞋的原价分别为x元和y元，．由题意得，解得，答：设两双鞋的原价分别为300元和200元．（2）设两双鞋的原价分别为a元和b元，且．①当使用折价券比参加特惠活动花费多60元时，由题意得，整理得，与矛盾，此情况不成立．②当参加特惠活动比使用折价券花费多60元时，由题意得，整理得，答：两双鞋的原价相差300元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可．13．(2023秋·广东深圳·八年级统考期末）某商场第1次用39万元购进，两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如表（总利润=单价利润×销售量）：价格商品进价（元/件）售价（元/件）1200135010001200(1)该商场第1次购进，两种商品各多少件？(2)商场第2次以原进价购进，两种商品，购进商品的件数不变，而购进商品的件数是第1次的2倍，商品按原售价销售，而商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5.4万元，则种商品是按几折销售的？【答案】(1)商场第1次购进A商品200件，B商品150件(2)B种商品打九折销售的【分析】（1）设第1次购进A商品x件，B商品y件，根据该商场第1次用39万元购进A、B两种商品且销售完后获得利润6万元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设B商品打m折出售，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：设第1次购进A商品x件，B商品y件．根据题意得：，解得：．答：商场第1次购进A商品200件，B商品150件．（2）设B商品打m折出售．根据题意得：，解得：．答：B种商品打九折销售的．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．14．（2023秋·辽宁沈阳·七年级沈阳市第七中学校考期末）某商场从厂家购进了两种品牌篮球共80个，已知购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元，品牌篮球每个进价100元，品牌篮球每个进价80元．(1)求购进两种品牌篮球各多少个？(2)在销售过程中，品牌篮球每个售价150元，售出30个后出现滞销；商场决定打折出售剩余的品牌篮球，品牌篮球每个按进价加价20%销售，很快全部售出，两种品牌篮球全部售出后共获利2080元，求品牌篮球打几折出售？【答案】(1)购进品牌篮球50个，购进品牌篮球30个(2)7折【分析】（1）设购进品牌篮球个，则购进品牌篮球个，根据两种品牌篮球共80个和购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元可列出方程组求解即可；（2）设品牌篮球打折出售，根据两种品牌篮球全部售出后共获利2080元列出方程解决问题．【详解】（1）解：设购进品牌篮球个，则购进品牌篮球个，，解得，故购进品牌篮球50个，购进品牌篮球30个；（2）解：设品牌篮球打折出售，依题意有：，即：，解得：，故品牌篮球打7折出售．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，掌握题意，找出题目中的等量关系，列出方程并解答是关键．15．（2023秋·安徽宣城·七年级统考期末）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元．营养品信息表营养成分每千克含铁42毫克配料表原料每千克含铁甲