沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题05 一元二次方程的解法 （知识点考点串编）-【专题重点突破】(原卷版+解析)

专题05一元二次方程的解法（知识点考点串编）【思维导图】©知识点一：直接开平方法技巧：把方程ax2+c＝0(a≠©知识点一：直接开平方法技巧：把方程ax2+c＝0(a≠这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。A．B．C．， D．，练习1．(2023·北京丰台·九年级期末）若关于x的一元二次方程有一个解为，那么m的值是（

）A．-1 B．0 C．1 D．1或-1练习2．(2023·四川南充·一模）方程（9x﹣1）2＝1的解是（）A．B．C． D．练习3．(2023·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2＝4的根，则此三角形的周长为（）A．17 B．11 C．15 D．11或15练习4．(2023·广东白云·九年级期末）解方程：©知识点二配方法技巧：将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c©知识点二配方法技巧：将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如X²＋A．－4，21 B．－4，11 C．4，21 D．－8，6练习1．(2023·海南海口·九年级期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（

）A． B． C． D．练习2．(2023·山西山阴·九年级期末）用配方法解方程时，配方后的方程是（

）A． B． C． D．练习3．(2023·广东禅城·九年级期末）一元二次方程x2﹣8x＋5＝0配方后可化为（

）A．（x﹣4）＝19 B．（x＋4）＝﹣19 C．（x﹣4）2＝11 D．（x＋4）2＝16练习4．(2023·湖南·娄底市第三中学九年级阶段练习）选择合适的方法解方程：(1)x2﹣4x＝2；(2)3(x﹣5)＝x2﹣25．©知识点三：配方法的应用©知识点三：配方法的应用例．(2023·河北·金华中学九年级阶段练习）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）A．，21 B．，69 C．4，21 D．，11练习1．(2023·贵州六盘水·九年级阶段练习）代数式x2﹣4x+5的值（

）A．恒为正 B．恒为负 C．可能为0 D．不能确定练习2．(2023·广东·深圳市龙岗区宏扬学校九年级期中）已知m是有理数，则m2﹣2m+4的最小值是（）A．3 B．5 C．6 D．8练习3．(2023·湖北省水果湖第一中学九年级阶段练习）已知关于x的多项式的最大值为5，则m的值可能为（

）A．1 B．2 C．3 D．4练习4．(2023·甘肃会宁·九年级期中）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝（x＋2）2＋1，∵（x＋2）2≥0，∴（x＋2）2＋1≥1，∴x2＋4x＋5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：因为x2－4x＋6＝（x_____）2＋______，所以当x＝_____时，代数式x2－4x＋6有最_____（填“大”或“小”）值，这个最值为_______；（2）比较代数式x2－1与2x－3的大小．©知识点四：公式法技巧：一元二次方程ax2+bx+c＝©知识点四：公式法技巧：一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0，用配方法所求出的两个根x=−b±只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法称为公式法，而把x=−b±b2−4ac2a(b²-4ac≥0)叫做一元二次方程ax²＋bx＋cA． B． C． D．练习1．(2023·广东·深圳市龙岗区宏扬学校九年级期中）用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝练习2．(2023·福建永安·九年级期中）x＝是用公式法解一元二次方程得到的一个根，则满足要求的方程是（

）A．2x2﹣2x﹣1＝0 B．2x2﹣2x＋1＝0 C．2x2＋2x＋1＝0 D．2x2＋2x﹣1＝0练习3．(2023·河北·正定县第六中学九年级阶段练习）若是某个一元一次方程的根，则这个一元二次方程可以是（）A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0练习4．(2023·江苏·景山中学九年级期末）解方程：(1)x2﹣6x﹣4＝0；(2)3y(y-1)=2(y-1)．©©知识点五：因式分解法技巧：例．(2023·天津西青·九年级期末）下列各数是方程x2＋3x－10＝0的根的是（

）A．2和5 B．－5和3 C．5和3 D．－5和2练习1．(2023·天津红桥·九年级期中）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝－4，x2＝7，则原方程可化为（

）A．（x－4）（x－7）＝0 B．（x＋4）（x＋7）＝0C．（x－4）（x＋7）＝0 D．（x＋4）（x－7）＝0练习2．(2023·重庆大渡口·九年级阶段练习）方程的解为（

）A． B． C．0 D．练习3．(2023·天津红桥·九年级期末）方程的两个根为（

）A． B． C． D．练习4．（江西省南昌市财大附中2023-2024学年九年级上学期期末联考数学试题）解方程：(1)x2﹣3x﹣10＝0(2)2x（x+3）＝x+3．©知识点六：换元法【技巧】换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．例．(2023·上海市罗南中学八年级阶段练习）设，则的值为（

）©知识点六：换元法【技巧】换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．A． B． C．或 D．或练习1．(2023·全国·八年级课时练习）已知，则的值是（

）A．3或 B．或2 C．3 D．练习2．(2023·全国·八年级课时练习），则的值是（

）A．4 B． C．4或 D．或2练习3．(2023·上海市进才中学北校八年级期中）解方程时．如果设，那么原方程可化为（

）A． B． C． D．练习4．(2023·湖北梁子湖·九年级期中）先阅读以下材料，再解答问题：在学习了一元二次方程的解法后，利用课后托管时间，数学兴趣小组的同学对一元四次方程x4－5x2＋4＝0的解法进行了如下探究：根据该方程的特点，可以把x2视为一个整体，然后设x2＝y，则x4＝y2，原方程可化为y2－5y＋4＝0.

①

解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2.∴原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.请解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，主要利用法达到了降次的目的，体现了的数学思想；（2）仿照以上方法解方程：（x2－x）2＋（x2－x）－6＝0.专题05一元二次方程的解法（知识点考点串编）【思维导图】©知识点一：直接开平方法技巧：把方程ax2+c＝©知识点一：直接开平方法技巧：把方程ax2+c＝0(a≠这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。A．B．C．， D．，答案:D解析：分析：直接利用开方法求解即可．【详解】解：，解得：，，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握直接开方法求解．练习1．(2023·北京丰台·九年级期末）若关于x的一元二次方程有一个解为，那么m的值是（

）A．-1 B．0 C．1 D．1或-1答案:A解析：分析：将代入方程，得到关于的一元二次方程，解方程求解即可，注意二次项系数不为0．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个解为，∴故选A【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的定义，解一元二次方程，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．练习2．(2023·四川南充·一模）方程（9x﹣1）2＝1的解是（）A．B．C． D．答案:C解析：分析：利用直接开平方法求解即可．【详解】解：，或，解得，，故选：C．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．练习3．(2023·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2＝4的根，则此三角形的周长为（）A．17 B．11 C．15 D．11或15答案:C解析：分析：先求出方程的解，然后根据三角形三边关系利用三角形的两边之和大于第三边判断能否构成三角形，选择满足题意的第三边，即可求出三角形的周长．【详解】解：（x﹣3）2＝4，x﹣3＝±2，解得x1＝5，x2＝1．若x＝5，则三角形的三边分别为4，5，6，其周长为4+5+6＝15；若x＝1时，6﹣4＝2＞1，不能构成三角形，则此三角形的周长是15．故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，三角形三边关系，三角形的周长，掌握一元二次方程的解法，三角形三边关系，三角形的周长是解题关键．练习4．(2023·广东白云·九年级期末）解方程：答案:x1=2，x2=-8解析：分析：先把方程变形为解（x+3）2=25，然后利用直接开平方法解方程．【详解】解：（x+3）2=25，∴x+3=±5，解得：x1=2，x2=-8．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．©知识点二配方法技巧：将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-©知识点二配方法技巧：将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如X²＋A．－4，21 B．－4，11 C．4，21 D．－8，6答案:C解析：分析：将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：∵x2+8x-5=0，∴x2+8x=5，则x2+8x+16=5+16，即（x+4）2=21，∴a=4，b=21，故选：C．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．练习1．(2023·海南海口·九年级期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（

）A． B． C． D．答案:A解析：分析：方程移项后，两边同时加上4，变形即可得到结果．【详解】方程移项得方程两边同时加上4，得即故选：A．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．练习2．(2023·山西山阴·九年级期末）用配方法解方程时，配方后的方程是（

）A． B． C． D．答案:B解析：分析：直接利用配方法进行配方即可．【详解】解：移项得：，配方得：，合并得：故选：B．【点睛】本题考查了配方法，解决本题的关键是牢记配方法的步骤，本题较基础，考查了学生对基础知识的掌握与基本功等．练习3．(2023·广东禅城·九年级期末）一元二次方程x2﹣8x＋5＝0配方后可化为（

）A．（x﹣4）＝19 B．（x＋4）＝﹣19 C．（x﹣4）2＝11 D．（x＋4）2＝16答案:C解析：分析：利用配方法求解即可．【详解】解：∵∴∴故选C．【点睛】本题考查了配方法．解题的关键在于熟练使用配方法．练习4．(2023·湖南·娄底市第三中学九年级阶段练习）选择合适的方法解方程：(1)x2﹣4x＝2；(2)3(x﹣5)＝x2﹣25．答案:(1)x1＝2+，x2＝2﹣(2)x1＝5，x2＝﹣2解析：分析：（1）利用配方法直接求解即可；（2）先移项，利用因式分解法求解即可．(1)∵x2﹣4x＝2∴x2﹣4x+4＝2+4，即(x﹣2)2＝6∴x﹣2＝±∴x1＝2+，x2＝2﹣(2)∵3(x﹣5)＝x2﹣25，∴3(x﹣5)﹣(x+5)(x﹣5)＝0，∴(x﹣5)(3﹣x﹣5)＝0，∴x﹣5＝0或﹣x﹣2＝0，∴x1＝5，x2＝﹣2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法主要有开平方法、配方法、公式法、因式分解法．©知识点©知识点三：配方法的应用例．(2023·河北·金华中学九年级阶段练习）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）A．，21 B．，69 C．4，21 D．，11答案:A解析：分析：将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：∵，∴，则，即，∴，，故选A．【点睛】本题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的求解过程．练习1．(2023·贵州六盘水·九年级阶段练习）代数式x2﹣4x+5的值（

）A．恒为正 B．恒为负 C．可能为0 D．不能确定答案:A解析：分析：直接利用配方法将原式变形，进而得出答案．【详解】解：，，，代数式的值恒为正．故选：A．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是正确配方．练习2．(2023·广东·深圳市龙岗区宏扬学校九年级期中）已知m是有理数，则m2﹣2m+4的最小值是（）A．3 B．5 C．6 D．8答案:A解析：分析：根据配方法对式子进行配方，利用非负性求解最小值即可．【详解】解：∵，当时，∴，当时，，为有理数，的最小值为故选A【点睛】本题考查了配方法的应用，然后根据非负性求出最小值，解题的关键是掌握配方法．练习3．(2023·湖北省水果湖第一中学九年级阶段练习）已知关于x的多项式的最大值为5，则m的值可能为（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案:B解析：分析：先把多项式配方，从而得=5，进而即可得到结论．【详解】解：∵=，又∵关于x的多项式的最大值为5，∴=5，解得：m=±2，∴m的值可能为2．故选B．【点睛】本题主要考查多项式的最值问题，掌握配方法是解题的关键．练习4．(2023·甘肃会宁·九年级期中）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝（x＋2）2＋1，∵（x＋2）2≥0，∴（x＋2）2＋1≥1，∴x2＋4x＋5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：因为x2－4x＋6＝（x_____）2＋______，所以当x＝_____时，代数式x2－4x＋6有最_____（填“大”或“小”）值，这个最值为_______；（2）比较代数式x2－1与2x－3的大小．答案:（1）-2；2；2；小；2；（2）解析：分析：（1）根据题干的例子配方即可；（2）通过作差法比较大小，根据偶次方的非负性即可．【详解】解：（1），当时，代数式有最小值，这个最值为2．故答案为：；2；2；小；（2），，，．【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是利用作差法比较大小．©知识点四：公式法技巧：一元二次方程ax2©知识点四：公式法技巧：一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0，用配方法所求出的两个根x=−b±只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法称为公式法，而把x=−b±b2−4ac2a(b²-4ac≥0)叫做一元二次方程ax²＋bx＋cA． B． C． D．答案:B解析：分析：判断方程有无实数解，就是看方程的解是否是能满足方程的左右两边相等的实数．【详解】A、∵，故A错误，不符合题意；B、，，，，，，，经检验，，均是原方程的解，故B正确，符合题意；C、，故无实数解，故C错误，不符合题意；D、，故无实数解，故D错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了无理方程、高次方程、分式方程的解法，二次根式的性质，解题的关键是掌握方程的解的概念，是能满足方程的左右两边相等的实数．练习1．(2023·广东·深圳市龙岗区宏扬学校九年级期中）用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝答案:C解析：分析：按照公式法求解一元二次方程的步骤，求解即可．【详解】解：判别式故选：C【点睛】此题考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求解一元二次方程的步骤．练习2．(2023·福建永安·九年级期中）x＝是用公式法解一元二次方程得到的一个根，则满足要求的方程是（

）A．2x2﹣2x﹣1＝0 B．2x2﹣2x＋1＝0 C．2x2＋2x＋1＝0 D．2x2＋2x﹣1＝0答案:D解析：分析：根据一元二次方程求根公式，对照x＝得出一元二次方程的字母系数即可得出答案．【详解】解：∵一元二次方程的根为，∵x＝是用公式法解一元二次方程得到的一个根，∴，∴满足要求的方程为：，故选：D．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键．练习3．(2023·河北·正定县第六中学九年级阶段练习）若是某个一元一次方程的根，则这个一元二次方程可以是（）A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0答案:D解析：分析：根据一元二次方程的求根公式即可得到，，，由此即可得到该方程．【详解】解：∵一元二次方程的求根公式为，而是某个一元二次方程的根，∴，，，∴该一元二次方程为3x2﹣2x﹣1＝0，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式以及一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解决本题的关键．练习4．(2023·江苏·景山中学九年级期末）解方程：(1)x2﹣6x﹣4＝0；(2)3y(y-1)=2(y-1)．答案:(1)，(2)，解析：分析：（1）求根公式求解即可；（2）因式分解求解即可．(1)解：由方程可得：∴或∴方程的解为或．(2)解：原方程去括号得：解得，∴方程的解为或．【点睛】本题考查了求根公式、因式分解解一元二次方程．解题的关键在于用适当的方法求解．©©知识点五：因式分解法技巧：例．(2023·天津西青·九年级期末）下列各数是方程x2＋3x－10＝0的根的是（

）A．2和5 B．－5和3 C．5和3 D．－5和2答案:D解析：分析：利用因式分解的方法求出一元二次方程的根即可得到答案．【详解】解：∵，∴，解得，，故选D．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键．练习1．(2023·天津红桥·九年级期中）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝－4，x2＝7，则原方程可化为（

）A．（x－4）（x－7）＝0 B．（x＋4）（x＋7）＝0C．（x－4）（x＋7）＝0 D．（x＋4）（x－7）＝0答案:D解析：分析：根据一元二次方程根与系数的关系，直接代入计算即可．【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别为，，，，，，原方程可化为．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．练习2．(2023·重庆大渡口·九年级阶段练习）方程的解为（

）A． B． C．0 D．答案:D解析：分析：方程用平方差公式因式分解为，计算求解即可．【详解】解：∵∴∴或解得：故选D．【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于使用平方差公式进行因式分解．练习3．(2023·天津红桥·九年级期末）方程的两个根为（

）A． B． C． D．答案:D解析：分析：十字交叉相乘进行因式分解，各因式值为0，求解即可．【详解】解：，解得故选D．【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于正确的进行因式分解．练习4．（江西省南昌市财大附中2023-2024学年九年级上学期期末联考数学试题）解方程：(1)x2﹣3x﹣10＝0(2)2x（x+3）＝x+3．答案:(1)x1=-2，x2=5；(2)x1=-3，x2=．解析：分析：（1）利用因式分解法求解可得；（2）移项后提取公因式分解因式求解可得．(1)解：∵x2-3x-10=0，∴（x+2）（x-5）=0，则x+2=0或x-5=0，解得x1=-2，x2=5；(2)解：移项得：2x（x+3）-（x+3）=0，提公因式得：（x+3）（2x-1）=0，∴x+3=0或2x-1=0，解得：x1=-3，x2=．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．©知识点六：换元法【技巧】换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．例．(2023·上海市罗南中学八年级阶段练习）设，则的值为（©知识点六：换元法【技巧】换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．A． B． C．或 D．或答案:D解析：分析：设，则原式变形为：，解关于m一元二次方程即可．【详解】解：设，则原式变形为：，，∴或，∴或，即的值为或，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据题意将原式整理为一元二次方程是解本题的关键．练习1．(2023·全国·八年级课时练习）已知，则的值是（

）A．3或 B．或2 C．3 D．答案:C