安徽省江淮十校2024届高三第二次联考试题数学

江淮十校2024届高三第二次联考数学试题2023.11命审单位：安庆一中命审人：洪汪宝吴礼琴陈晨注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知为虚数单位，复数满足，则A. B. C. D.2.已知集合，集合，则A. B. C. D.3.已知点是的重心，，，则A. B. C. D.4.已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是A. B. C. D.5.已知等差数列的前项和为，若，，则使成立的的最大值为A.16 B.17 C.18 D.196.已知角为第二象限角，且满足，则A. B. C. D.7.在正四棱台中，，点是底面的中心，若该四棱台的侧面积为，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.8.已知函数，若函数有四个不同的零点，，，且，则的取值范围是A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知且，则下列不等关系一定成立的是A. B.C. D.10.在正四棱柱中，，，分别为棱，的中点，则下列判断正确的是A.直线与直线互为异面直线B.平面C.平面截该四棱柱得到的截面是五边形D.平面与棱的交点是棱的中点11.将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象，若在区间内有最值，则实数的取值范围可能为A. B. C. D.12.已知数列的前项和为，且，则下列判断正确的是A.B.当为奇数时，C.当为偶数时，D.数列的前项和等于三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为______.14.已知，且，则的最小值为______.15.内接于球的四棱锥的底面是等腰梯形，四条侧棱均相等，，，，，侧棱与底面所成角的大小为，则球的表面积为______.16.设正整数满足不等式，则的最小值等于______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知集合，函数的值域为集合.（1）当时，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求正数的取值范围.18.（本小题满分12分）已知函数（其中且）是奇函数.（1）求，的值并判断函数的单调性；（2）已知二次函数满足，且其最小值为.若对，都，使得成立，求实数的取值范围.19.（本小题满分12分）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，为其外接圆的圆心，，.（1）求的大小；（2）若，求边长的最值.20.（本小题满分12分）如图（1），在边长为4的菱形中，，点是边的中点，连交对角线于点，将沿对角线折起得到如图（2）所示的三棱锥.（1）点是边上一点且，连，求证：平面；（2）若二面角的大小为，求二面角的正弦值.图（1） 图（2）21.（本小题满分12分）各项均为正数的数列的首项，且满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和.22.（本小题满分12分）已知函数.（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）若函数有两个零点且，求证：.江淮十校2024届高三第二次联考数学试题参考答案题号123456789101112选项BDDBBCACBDACACDBCD一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.B【解析】由条件可知，所以，故选B.2.D【解析】由已知得，，则，故选D.3.D【解析】由条件知，所以，所以，故选D.4.B【解析】由条件知解得或，又函数是上的偶函数，所以，，，其对称轴方程为，根据条件可知，解得，故选B.5.B【解析】设等差数列的公差为，根据条件得，解得，又，解得，于是，显然，，所以，，当时，，故选B.6.C【解析】由条件可知，整理得，因角为第二象限角，所以，于是两边同除以，得，因，解得，故选C.7.A【解析】由已知条件得该四棱台的斜高为，侧棱长为，根据得，又，所以四边形是平行四边形，于是，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角，根据余弦定理可知，故选A.8.C【解析】作出函数的大致图象，可知，，于是，所以，，即，所以，于是，故选C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.9.BD【解析】由条件知，又，所以B，D正确.10.AC【解析】根据条件作出图形得到A正确，B错误，C正确，平面与棱的交点是棱的一个三等分点，D错误.故选AC.11.ACD【解析】由条件可知，由，解得，于是，解得，因，所以当时，；当时，；当时，.故选ACD.12.BCD【解析】由条件知，，当为奇数且时，，也符合，所以当为奇数时，，B正确；当为偶数时，，A错误，C正确；于是，，所以数列的前项和为，D正确.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】【解析】由已知得，由得，所以，于是.14.【答案】6【解析】由知，所以，当且仅当，时等号成立，最小值为6.15.【答案】【解析】作于点，则根据条件可得，，设四边形的外接圆半径大小为，圆心到的距离为，则，解得，，根据侧棱与底面所成角的大小为知点到平面的距离为.设球的半径为，则，解得，所以球的表面积为.16.【答案】6【解析】对所给不等式两边同时取自然对数，则，于是.构造函数，，求导得，令，，求导得，所以函数在上单调递减，则，所以，于是函数在上单调递减，所以，解得，又，所以，于是，又是正整数，所以的最小值等于6.四、解答题：本大题共6小题，共70分.17.（本小题满分10分）解：因所以（1）当时，，解得，所以于是（2）由条件知集合是集合的真子集，又所以且两等号不能同时成立，解得又，所以正数的取值范围为18.（本小题满分12分）解：（1）由条件可知函数的定义域为，由是奇函数知，即，解得，所以，又，于是对任意的恒成立，即对任意的恒成立，解得，所以，又，因在上单调递增，且，所以在上单调递减，在上单调递增，于是函数在上单调递增.（2）由（1）知当时，函数的值域为又根据条件得且，当时，，则函数的值域为，于是，所以，解得，因此实数的取值范围为.19.（本小题满分12分）解：（1）延长交外接圆于点，则，所以由，得，解得，因，所以，（2）在中，由正弦定理得，于是，因，所以，于是所以边长的最大值为，最小值为4.解：（1）连，由条件知点是的重心，则，又，所以，于是.因平面，平面，所以平面.（2）设，以点为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间坐标系，如图所示，因，，则为二面角的平面角，于是，因，，所以，所以，，，，，于是，，设平面的法向量为，则，即，解得，不妨取，则又平面的法向量为则，所以二面角大小的正弦值为.21.（本小题满分12分）解：（1）由得，两边同除以，得，即，于是，因，所以，因此即，又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，所以，于是，所以，，上述两式相减得所以.22.（