高一数学寒假（人教B版 第二册）第04讲 指数函数、对数函数和幂函数（学生卷）

第04讲指数函数、对数函数和幂函数【易错点总结】指数与指数函数1.根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.3.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数4.常用结论（1）画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.（2）在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.对数与对数函数1.对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.5.常用结论①.换底公式的两个重要结论(1)logab＝；(2)logambn＝logab.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.②.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.③.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.三、幂函数1.幂函数的定义一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．2.5个常见幂函数的图象与性质函数y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减图象过定点(0,0)，(1,1)(1,1)四、函数的应用（二）1．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)“对勾”函数模型y＝x＋(a>0)2.三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的单调性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax【考点剖析】考点一：指数与指数函数1．不论实数为何值时，函数图象恒过定点，则这个定点的坐标为（

）A． B．C． D．2．已知指数函数在上单调递增，则的值为（

）A．3 B．2 C． D．3．已知定义域为的函数是奇函数，则不等式解集为（

）A． B． C． D．考点二：对数与对数函数4．求函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递减区间（

）A． B． C． D．5．中国古代十进制的算筹计数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹计数的方法是：个位､百位､万位……的数按纵式的数码摆出：十位､千位､十万位……的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示.纵式横式1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则图片表示的结果和下列相同的是（

）A． B． C． D．6．定义在上的函数，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．考点三：幂函数7．幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（

）A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣68．已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．9．若四个幂函数在同一坐标系中的部分图象如图，则的大小关系正确的是（

）A． B．C． D．考点四：函数的应用10．某种溶液含有杂质，为达到实验要求杂质含量不能超过0.1%，而这种溶液最初杂质含量为2%，若每过滤一次杂质含量减少，则为使溶液达到实验要求最少需要过滤的次数为（可能用到的数据（lg2＝0.301，lg3＝0.4771）（）A．7 B．8 C．9 D．1011．我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了60%，则的值大约为（

）（参考数据：）A．1559 B．3943 C．1579 D．251212．声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（

）A．105倍 B．108倍 C．1010倍 D．1012倍【基础过关】一、单选题1．已知幂函数的图象过点，则（

）A．8 B． C．4 D．2．下列表示同一个函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与3．已知函数，则使的x的集合是（

）A． B． C． D．4．给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④5．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足.已知某同学视力的小数记录法的数据为1.6.则其视力的五分记录法的数据约为（

）（）A．4.9 B．5.0 C．5.1 D．5.26．设函数，若关于x的方程有4个不等实根，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．7．函数的图象大致为（）A． B．C． D．8．已知函数满足时恒有成立，那么实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能为（

）A． B．C． D．10．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．在上为减函数 B．在上为增函数C．函数定义域为 D．函数的增区间为三、填空题11．计算___．12．当时，不等式恒成立，实数m的取值范围是____________．四、解答题13．已知函数（且）.(1)求函数的定义域；(2)若时，函数的最大值比最小值大2，求的值.14．已知函数是奇函数．(1)求的值，判断的单调性并用定义证明之；(2)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围．15．有一种放射性元素，最初的质量为，按每年衰减(1)求两年后，这种放射性元素的质量；(2)求年后，这种放射性元素的质量（单位为：）与时间的函数表达式；(3)由（2）中的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需的时间叫作半衰期）．（精确到年，已知：，）【能力提升】一、单选题1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．2．函数的零点所在的大致范围是（

）A． B． C． D．3．函数的图象是（

）A． B．C． D．4．要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C．动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5730年（14C的半衰期），它的残余量只有原来的一半，经过科学测定，若14C的原始含量为1，则经过x年后的残留量为y=0.999879x.用放射性碳法，测得我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子中14C的残余量占原来的87.9%，试推算古莲子的生活年代约（

）（lg0.879≈-0.0560，lg0.999879≈-5.2553×10-5，结果保留整数）A．1033年前 B．1044年前 C．1055年前 D．1066年前5．已知则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、填空题6．函数的值域是，则的定义域可以是__________7．已知函数若方程恰有四个不同的实根，则的取值范围是______.三、解答题8．已知函数(1)若关于x的不等式的