2022-2023学年河南省漯河市郾城区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省漂河市邸城区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若关于x的一元二次方程/一ax+6=0的一个根是2,贝!!a的值为（）

A.2B.3C.12D.5

2.下列事件中，属于不可能事件的是（）

A.经过红绿灯路口，遇到绿灯B.射击运动员射击一次，命中十环

C.掷一枚质地均匀硬币，正面朝上D.从一个只装有白球的袋中摸球，摸出红球

3.下列方程中，没有实数根的是（）

A.x2=xB.x2+1=0C./+2%+1=0D.x2+2x—1=0

4.关于函数y=—J—的图象，有下列说法：

①对称轴为直线x=-1;②抛物线开口向上；③图象经过原点；④从图象可以判断出，当比＞-1时，y

随着工的增大而减小.其中正确的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

5.如图，点4B、C在正方形网格的格点上，贝UtanNB2C=（）

A.1

D•亨

6.如图，在RtAABC中，NB=90。，BC=1,AB=2,将△ABC绕点4顺时针旋

转90。得到连接CC',贝UCC'的长为（）

A.4

B.6

C-AHO

D.2V~5

7.如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为6米，拱高

CD（弧的中点到水面的距离）为1米，若水面下降1米，则此时水面的宽度为（

A.5米

B.6米

C.7米

D.8米

8.如图，4、B、C是O。上的三个点，乙48c=45。，连接40,过点。作。E1BC交

BC于点0,交。。于点瓦若点。是。E的中点，则N40E的度数为（）

A.120°

B.135°

C.140°

D.150°

9.如图，△48C和△?!£）£1是以点4为位似中心的位似图形，且CE=24E,则下列结

论中正确的是（）

A4D1

A•屈，

B・加

C.DE//BC

口SUDE_1

・S^BC4

10.如图，直线y=巾%与双曲线y=（交于4B两点，过点4作4Mlx轴，垂足为点M,连接BM,若

S-BM=4,则k的值为（）

A.-4B.4D.8

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

1L苯自/则上

12.不透明袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机地摸出2个球，则这两

个球都是红球的概率是.

13.如图，。。是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F,且乙4=4

90°,BC=5,CA=4,则。。的半径是.

CEu

14.如图，扇形。4B的圆心角为60。，OA=4cm,过点力作4D1OB于点A

D,以。为圆心，。。的长为半径画弧交。力于点C,则图中阴影部分的面/

积是,/\

°DB

15.如图，在△4BC中，AB=6,C4=4,点。为力C中点，点E在4B上，当A

AE为时，△ABC与以点4D、E为顶点的三角形相似./\

BN--------------------------xc

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题10分)

(1)计算：COS245°+tan60°cos30°；

(2)解方程：%2—1=3%—3.

17.(本小题9分)

如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题:

(1)A4316与44BC关于坐标原点。成中心对称，则/的坐标为；

(2)BC与BiQ的位置和数量关系为；

(3)将△ABC绕某点逆时针旋转90。后，其对应点分别为4(-1，-2)，B2(l,-3),C2(0,-5),则旋转中心的

坐标为.

18.(本小题9分)

如图，在平面直角坐标系中，一次函数为=治％+6与反比例函数为=§的图象相交于4(-2,3),

两点.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式;

(2)过点B作BP〃x轴交y轴于点P,求44BP的面积;

(3)根据函数图象，直接写出为＜%时所对应的％的取值范围•

19.(本小题9分)

已知某抛物线的对称轴为直线比=2,且过(1,4)和(0,7)两点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)填空：

①当0WXW3时，y值所对应的范围是；

②若将此抛物线向下平移m个单位与x轴有公共点时，则小的范围是

20.（本小题9分）

已知：如图，2B是O。直径，直线I经过。。的上一点C,过点2作直线2的垂线，垂足为点。，AC平分

乙DAB.

（1）求证：直线［与。。相切；

（2）若NZMB=60°,CD=3,求。。的半径.

21.（本小题9分）

为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测.某学校大门48高6.5

米，学生DF身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头4的仰角为30。，

当学生刚好离开体温检测有效识别区域CD段时，在点C处测得摄像头4的仰角为60。，求体温检测有效识别

区域CD段的长（结果保留根号）

人体测温摄像头

学

校

大

门

J咻------藐平O——「

I体温检测有效识别区I类排队区!

BE

22.(本小题10分)

数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40元，厂家要求售价在40〜70元之间,

若以每箱70元销售平均每天销售30箱，价格每降低1元平均每天可多销售3箱.

(1)现该商场要保证每天盈利900元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元?

(2)当每箱纯牛奶售价为多少元时，每天获得的利润最大?

23.(本小题10分)

如图1,在Rt△48C中，NB=90。，ZC=30°,BC=4,点、D,E分另Ij是边BC,4C的中点，连接。立将4

EDC绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为a.

普用图

(1)问题发现

①当a=0。时，胎=;

②当a=180。时，至=.

(2)拓展探究

试判断：当0。3。＜360。时，器的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.

AE

(3)问题解决

当AEDC旋转至DE〃/1C时，请直接写出BD的长.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：•••关于x的一元二次方程/-ax+6=0的一个根是2,

2?—2a+6=0,

解得a=5.

故选：D.

根据关于光的一元二次方程久2-a*+6=。的一个根是2,将x=2代入方程即可求得a的值.

本题考查了一元二次方程的解，正确记忆能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解是解题关键.

2.【答案】D

【解析】解：4经过红绿灯路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意；

3、射击运动员射击一次，命中十环，是随机事件，不符合题意；

C、掷一枚质地均匀硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；

。、从一个只装有白球的袋中摸球，摸出红球，属于不可能事件，符合题意；

故选：D.

根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不

可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也

可能不发生的事件.

3.【答案】B

【解析】解：4、方程整理得/—久=0,

则4=b2-4ac=(-1)2-4xlx0=l>0,方程有两个不相等的实数根，所以4选项不合题意；

B、x2+1—0,

则d=b2—4ac=02—4xlxl=—4<0,方程没有实数根，所以B选项符合题意；

C、*2+2%+1=0,

则d=炉-4ac=22-4x1X1=0,方程有两个相等的实数根，所以。选项不合题意；

D、X2+2%—1=0,

则4=b2-4ac=22-4xlx(-1)=8>0,方程有两个不相等的实数根，所以。选项不合题意.

故选:B.

分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+人乂+°=0(a丰0)的根与4=b2—4ac有如下关系：当4=

b2-4ac>0H^,方程有两个不相等的实数根；当/=-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当/=

b2-4ac<0时，方程无实数根.

4.【答案】C

【解析】解：丫a=-1<0,

••・抛物线开口向下，所以②错误；

•­,y=—x2—2x=—(x+l)2+1,

••・抛物线的对称轴为直线x=-l,所以①正确；

当x=0时，y=0,

.••图象经过原点，所以正确；

当%>-1时，y随x的增大而减小，所以③正确；

综上所述，正确的说法有①③④3个.

故选：C.

利用抛物线的顶点式和二次函数的性质分别进行判断.

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x-h)2+k中，对称轴

为x=%,顶点坐标为(h,k).

5.【答案】A

【解析】解：连接BC,

B

A1

C

由题意得:

AC2=I2+22=5,

BC2=M+22=5,

AB2=I2+32=10,

AC2+BC2=AB2,

.•.△48C是直角三角形,

.­.NACB=90°,

在ABC中，tanNBAC=%=4|=1，

ACV5

故选：A.

连接BC,先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得乙4cB=90。，然后在RtAABC

中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题

的关键.

6.【答案】C

【解析】解：；AB=90°,BC=1,AB=2,

AC=yjAB2+BC2=<5，

由旋转得：AC=AC,^CAC'=90°,

CC'=AC2+CA2=/lO.

故选：C.

先根据勾股定理计算ac的长，由旋转的性质得△C4C'是等腰直角三角形，并由勾股定理可得结论.

本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，证明△力cc'是等腰直角三角形是解题的关

键.

7.【答案】D

【解析】解：如图，以。为圆心，连接。C、。4、OB,

由题意可得，。为弧4B的中点，

•••Z-AOD=Z.BOD,

•・,OA=OB,

•••OD1AB,AC=BC,

设0。=r,则oc=OD-CD=丫-1,

在RtAAOC中，。42=。。2+4。2,AC=^AB=3,

・厂2=0_1)2+9,

解得：r=5,

二主桥拱所在圆的半径56；

由题意得，水面下降为EF,连接。E,

•••水面下降1米，

0G=。。一1=4-1=3(m),

则EG=V0£2-OG2=,52—32=4(m)，

EF=2£G=8m,即水面的宽度为8zn.

故选：D.

以。为圆心，连接。C、OA,0B,根据三线合一定理可得。D148,AC=BC,设。D=r,则。C=。£>—

CD=-1,再根据勾股定理即可求出半径；水面下降为EF,连接0E,根据水面下降1米，可得0G=

3m,再根据勾股定理即可求得答案.

本题考查了勾股定理和垂径定理，灵活运用所学知识，掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧,

是解决本题的关键.

8.【答案】D

【解析】解:连接。C,如图,

•・,点D是半径0E的中点，

11

・•・OD=^0E=^0C,

•・,OD1BC,

・•.Z.OCD=30°,

•••乙DOC=60°,

•・•AAOC=2/.ABC=2x45。=90°,

・•・z^0E=90o+60°=150°.

故选：D.

连接。c，利用直角三角形的性质求出ZOCD=30。，则ND。。=60。，再根据圆周角定理得到乙4OC=

2乙ABC=90°,然后计算乙4OC+”。。即可.

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的

一半.

9.【答案】C

【解析】解：ABC和△力DE是以点4为位似中心的位似图形，

・•.Z.AED=Z-C,

DE//BC,故。正确；

•••CE=2AE,

,AE

**—=—,

AC3

.竺_竺_工三一殁一工S*DE_（吗2_占2_工

・・・/,B,。选项不正确,

故选：C.

根据题意可得△ADE〜△ABC,进而根据相似三角形的性质即可求解.

本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

10.【答案】A

【解析】解：•直线y=与双曲线y=g交于48两点，

・•・点/与点8关于原点中心对称，

**•LOAM=S^OBM，

而S-1BM—4,

**•LOAM=2,

•1,4肉=2，

・・•反比例函数图象在第二、四象限，

・•.kV0,

•••k=—4.

故选：A.

根据反比例的图象关于原点中心对称得到点人与点8关于原点中心对称，则=S^OBM，而S—BM=

4,SA%”=2,然后根据反比例函数y=§（k力0）系数k的几何意义即可得到k=-4.

本题考查了反比例函数y=决丰0）系数k的几何意义：从反比例函数y=±（k手0）图象上任意一点向无轴

和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为由.

11.【答案】2

【解析】解：••・京=，

•••3%=x+y,即2%=y,

=2,

x

故答案为：2.

根据比例的性质可得2%=y,进而即可求解.

本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

12.【答案】■

【解析】解：记袋子中的3个红球为红1,红2,红3,2个白球记为白1,白2,

开始

______________-----------------------------------------一

第I球红1红2红3白I白2

第2球红2红3白I白2红I红3白I白2红I红2白I白2红I红2红3门2红I红2红3白I

由树状图得，共有20种等可能出现的结果，其中，两个球都是红球的结果有6种，

••・从袋子中随机地摸出2个球，则这两个球都是红球的概率是P=£=k，

故答案为：余

记袋子中的3个红球为红1,红2,红3,2个白球记为白1,白2,由树状图得，共有20种等可能出现的结

果，其中，两个球都是红球的结果有6种，即可得.

本题考查了用列表法或树状图法求概率，解题的关键是理解题意，正确画出树状图.

13.【答案】1

【解析】解：在Rt△力BC中，

•••ZX=90°,BC=5,CA=4,

AB=VBC2-XC2=3,

•••。。为/?1448。的内切圆，切点分别为D,E,F,

BD=BE,AD=AF,CF=CE,

如图，连接。D,OF,

•••O。为RtAABC的内切圆，

0D14B,OFVAC,OD=OF,

/.ODA=Z.A=Z.OFA=90°,

四边形4D0F是正方形，

设。。=OF=AFAD=x,贝"CT=CE=4-x,BD=BE=3—x,

,•1CE+BE=5,

••-4-x+3-x=5,

■■■x=1,

则O。的半径为1.

故答案为：1.

先根据勾股定理求出力B=3,由切线长定理得8D=BE,AD=AF,CF=CE,设。£）=OF=4F==

x,贝！|CF=CE=4—x,BD=BE=3-x,然后根据CE+BE=5,求解即可.

本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，正方形的判定与性质，切线长定理等知识，解题的关键是熟

练掌握切线长定理.

14.【答案】（2，^-|兀）＜:爪2

【解析】解：在RtAAOD中，Z0=60°,0A=4cm,

/LOAD=30°,

1

.・.OD=-AO=2cm,

・••AD—y/~3OD—2y/~3cm^

2

・•・阴影部分的面积为:X2X273-嘤々=2^3-|7T（cm2）.

L36U3

故答案为：（2V~3-|7r）cm2.

根据阴影部分的面积等于△4。0的面积减去扇形COD面积求即可.

本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式S=等7是解题的关键.

15.【答案】3或号

【解析】解：当祭=祭时，

乙4=乙4,

.\LAED-LABC,

.厂AB-AD6x2。

.•.AE=k=『3,

当冷副

•••乙4=乙4,

.••△/DE〜△ABC,

人口AC-AD4x24

:-AE=^r=—=^

综上，2E=3或$

故答案为：3或？

先得到AD=|XC=2,再分笠=第与黑=*两种情况讨论即可解答.

本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是分类讨论思想的运用及熟练掌握相似三角形的判定定理.

16.【答案】解：(1)COS245°+tan60°cos30°

=2；

(2)x2-l=3x-3,

(x+1)(久—1)=3(久-1),

即(尤一1)Q+1—3)=0,

x-1=0或x—2=0,

解得：Xr=1,久2=2.

【解析】(1)根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解；

(2)根据因式分解法解一元二次方程即可求解.

本题考查了特殊角的三角函数值，解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键.

17.【答案】(2,2)平行且相等(0,-1)

【解析】解：⑴根据图得，点B(-2,-2),

•・•△4/16与44BC关于坐标原点。成中心对称，

.­.81(2,2),

故答案为：(2,2)；

⑵•・•△4/©与△48C关于坐标原点。成中心对称，

BC//BrCr,BC=BiG，

故答案为：平行且相等；

(3)如图所示，连接A/，BB2,分别作垂直平分线交于Q(0,-1),

即旋转中心的坐标为(0,-1),

故答案为：(0,-1).

(1)根据原点对称的两点的横纵坐标互为相反数，据此解答；

(2)根据中心对称即可解答；

(3)画出A4B2c2，连接44，BB2,分别作垂直平分线交于(0,-1),即可解答.

本题考查旋转，解题的关键是掌握旋转的性质，中心对称.

18.【答案】解:(1)•••点4(—2,3)在反比例函数、2=§上，

3=鹭,

-L

k2=-6,

・・・反比例函数表达式为丫2=?，

•・•点8(皿-2)在反比例函数为=?上，

m=3,

••・8(3,-2),

•••点4(-2,3),点B(3,—2)在一次函数月=k1X+b上，

(—2kl+力=3

(3七+力=—2'

解得，d

・•・一次函数的表达式为yi=-％+1；

(2)・.•过点8作8尸〃》轴交y轴于点P,8(3,-2),

・•・尸(0,-2),

BP=3,

••SURP=/P•仇一坊)

=1x3x[3-(-2)]

=gx3x5

_竺.

一T;

(3)观察图象得，当一2v%v0或无>3时，y1<y2-

【解析】(1)将点4(-2,3)代入反比例函数丫2=§，进行计算得反比例函数表达式为、2=F，将点

8(皿一2)代入3/2=型上得8(3,-2),根据点4(一2,3),点8(3,-2)在y1=七％+b上得[："0一：，进行

计算得一次函数的表达式为月=-X+1；

(2)过点B作BP〃x轴交y轴于点P,B(3,-2)得P(0,—2),可得BP=3,即可得•必一力?)，进

行计算即可得；

(3)观察函数图象即可得.

本题考查了一次函数，反比例函数，三角形面积问题，解题的关键是理解题意题，掌握这些知识点.

19.【答案】3WyW7爪23

【解析】解：(1)设抛物线解析式为y=ax2+hx+c(aW0),

••・抛物线的对称轴为直线久=2,且过(1,4)和(0,7)两点，代入得：

a+b+c=4'

c=7

，a=1

解得：b——4,

.c=7

••.抛物线解析式为y=X2-4X+7；

(2)①"y=%2—4%+7=(x-2)2+3,

抛物线开口向上，顶点坐标为(2,3),如图,

••・当x=0时，取得最大值7,

当久=2时，取得最小值3,

.•.当0<%<3时，y值所对应的范围是3<y<7,

故答案为：3WyW7.

②,顶点坐标为(2,3),

・••若将此抛物线向下平移爪个单位与x轴有公共点时，则根的范围是小>3,

故答案为：m>3.

(1)待定系数法求解析式即可求解；

(2)①根据解析式可得开口方向向上，顶点坐标为(2,3),对称轴为直线x=2,进而可得当0W久W3时,

x=0时，取得最大值，进而即可求解.

②根据函数图象以及顶点坐标，结合题意，即可求解.

本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

20.【答案】⑴证明：如图，连接。C,

•••AC平分

•••Z-DAC=Z.BAC,

•••OA=OC,

Z.OCA=Z.BAC,

・•・Z-DAC=LOCA,

・•.OC//AD,

vAD1I,

・•.OC1Z,

•••OC为。。的半径，

•・•直线I与。。相切；

(2)解：过点。作。E1AC于E,

1

贝lL4E=EC="C,

•・•乙DAB=60°,

・••/-DAC=/-BAC=30°,

在RtZkADC中，^DAC=30°,CD=3,

则AC=2CD=6,

AE=3,

CAAE3

OA=------=-7=r=2QV3

cosZ-OAE巡'

2

.・・。。的半径2/1.

【解析】(1)连接。C,根据角平分线的定义得到ND4C=NB4C,根据等腰三角形的性质得到N0C4=

^BAC,等量代换得到NZMC=NOC4证明。C〃/ID,根据平行线的性质得到。Cl根据切线的判定定

理证明结论；

(2)过点。作。E14C于E,根据垂径定理得至IJAE=EC=^AC,根据直角三角形的性质计算，得到答案.

本题考查的是切线的判定、垂径定理、直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线

是圆的切线是解题的关键.

21.【答案】解：由题意得，BG=CE=DF=1.5米,

AG=AB-BG=5米，

在Rt△ADG中，tan30°=—■==--f

DGDG3

解得DG=5/3,

在RtzMCG中，tcm60。=丝=乙=同

解得CG=苧,

•••CD=DG-CG=岑^米.

答：体温检测有效识别区域CD段的长为竽米.

【解析】由题意可求得4G=5米，分另IJ在RtAADG和Rt△力CG中，利用三角函数的求出DG和CG,最后根

据CD=DG—CG可得出答案.

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.

22.【答案】(1)解：设每箱售价为x元，根据题意得：

(x-40)[30+3(70-%)]=900

化简得：x2-120x4-