江苏省南京市2023届高三二模数学试题含答案

南京市2023届高三年级第二次模拟考试

数学

注意事项：

1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.

2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.

3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.

1.集合A={xeN∣l<x<4}的子集个数为（）

A.2B.4C.8D.16

2.己知复数Z满足访=2—i,其中i为虚数单位，则I为（）

A.-l-2iB.l+2iC.-l+2iD.l-2i

Λ+R

3.在..ABC中，角A,B,C的对边分别为a,h,C.若ZJSin----^=CSin8,则角C的大小为（）

2

π„π„2π5π

A.-B.-C.—D.—

6336

4.在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同.已知①乙没有

参加跑步；②若甲参加铅球，则丙参加标枪；③若丙没有参加铅球，则甲参加铅球.下列说法正确的为（）

A丙参加了铅球B.乙参加了铅球

C.丙参加了标枪D.甲参加了标枪

5.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生

即太极生两仪原理，如图所示（图中•表示太极，<表示阳仪、,表示阴仪）.若数列的每一项都代表太极衍

生过程中经历过的两仪数量总和，即/为天一对应的经历过的两仪数量总和0,々为衍生到地二时经历过

的两仪数量总和2,%为衍生到天三时经历过的两仪数量总和4,…，按此规律，则《5为（）

太极

天一M

阳仪阴仪地二

天三,・■

”♦♦地四

天五，，・,♦

，，，地六

天七，0，・■♦•

，，，，地八

天九UM∙MM

，，，，/，"，,地十

大衍图

A.84B.98C.112D.128

6.直角三角形ABC中，斜边AB长为2,绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体.若该几何体外

接球表面积为等，则AC长为()

A.ɪB.1C.√2D.百

2

22

7.已知椭圆U0+2r=l(α>b>θ),F为其左焦点,直线y=依化>0)与椭圆C交于点A,B,且

AF±AB.若NABF=30°,则椭圆C的离心率为()

A.且B力C.立D.逅

3366

8.已知函数/(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为r(x)∙若对任意XeR有r(x)>l,

/(l+x)+∕(l-x)=0,且/(0)=—2,则不等式/(x7)>x-l的解集为()

A(θ,+∞)B.(1,+8)C.(2,+∞)D.(3,+∞)

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选

或有错选的得O分.

9.在的展开式中()

A.常数顼为160B.含f项的系数为60

C.第4项的二项式系数为15D.所有项的系数和为1

10.若实数x,y满足工_9=1,则()

2

22

A.∣X∣>V2B.X+y≥2C.)<gD.∣x-V2y∣≤λ∕2

11.已知函数/(X)=卜A—/，«>0.下列说法正确为()

A.若α=l,则函数y=∕(x)与y=l的图象有两个公共点

B.若函数y=∕(x)与V="的图象有两个公共点，则o<α<ι

C.若。>1,则函数y=∕(∕(X))有且仅有两个零点

D.若y=/(X)在X=XI和X=X2处的切线相互垂直，则玉+々=0

12.已知四棱柱ABeD-4AGR的底面ABCD为正方形，AA=AB,/4AB=乙4/。=60°,则()

A.点A在平面ABCo内的射影在AC上

BAG，平面A8。

C.AG与平面ABO的交点是的重心

D.二面角4一8。一C的大小为45。

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

13.若直线x—2y+a=0被圆X2+卜2一2》一2y+1=0截得的弦长为2,则实数〃的值为.

14.累函数/(X)=d(αeR)满足:任意XeR有/(τ)="x),且1)<∕(2)<2,请写出符合上述

条件的一个函数/(x)=.

15.一个袋子中有"(〃eN*)个红球和5个白球，每次从袋子中随机摸出2个球.若“摸出的两个球颜色不相

同”发生的概率记为〃(〃)，则〃(〃)的最大值为.

16.大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称"赵爽弦图”(如图1).某

数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：.ABC为正三角形，AD，BE,C/围成的/5瓦'也为正三角

形.若。为BE的中点，①一DEF与.A5C的面积比为；②设AD=XA3+〃AC,则％+〃=

四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的

文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知/(x)=SinGX_6coss,ω>0.

3π

(1)若函数/(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为微,求/的值;

ITTʌTT

(2)若函数/(x)的图象关于K，0对称，且函数/(x)在0,-上单调，求。的值.

18.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，q=2,(n-2)S,,+1+2α,,+l=nSz,,rt∈N*.

(1)求数列｛《,｝的通项公式；

1117

(2)求证：—+—++~<T2-

a：a0。二16

19.在梯形ABC。中，ABCD,2D90?,AB=2近,AD=DC=0，如图L现将Z∖AD。沿

对角线AC折成直二面角P-AC-3,如图2,点M在线段BP上.

(1)求证：APVCM；

(2)若点M到直线AC的距离为坡，求她∙的值.

5BP

20.进行独立重复试验，设每次成功的概率为P(O则失败的概率为I-P,将试验进行到恰好出

现『次成功时结束试验，以X表示试验次数，则称X服从以『，P为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记

为X~NB(r,p).

(1)若X~NB[3,;),求P(X=5);

(2)若X~N5∣2,Q),"∈N*,"≥2∙

①求fp(x=i);

/=2

3

②要使得在〃次内结束试验的概率不小于一，求〃的最小值.

4

21已知函数/(x)=α"τTog∕,a>l.

(1)若a=e,求证：/(x)≥l5

(2)若关于X的不等式/(x)<l的解集为集合B,且求实数α的取值范围.

22.已知抛物线C：V=》和圆G：(%—3)2+y2=2.

(1)若抛物线G的准线与X轴相交于点T,MN是过G焦点E的弦，求7M∙7N的最小值；

(2)已知P,A,8是抛物线G上互异的三个点，且P点异于原点.若直线24，P3被圆。2截得的弦

长都为2,且9=依，求点P的坐标.

南京市2023届高三年级第二次模拟考试

数学

注意事项：

1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.

2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.

3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试

卷及答题卡上.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.

L集合A={x∈N∣l<x<4}的子集个数为（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【解析】A={x∈N∣l<x<4}={2,3},故子集个数为2?=4,故选：B

已知复数满足其中为虚数单位，则为()

2.Ziz=2-i,iI

A.-l-2iB.l+2iC.-l+2iD.l-2i

【答案】C

2-i(2-i)×(-i)_

【解析】z=^—=―——=-l-2ι,则z=-l+2i,故选：C

ɪI7X(T)

A+B

3.在一ABC中，角A,B,C的对边分别为“，b,c.若。Sin=CSinB,则角C

2

的大小为（）

5π

D.

~6

【答案】B

AΛ.R

【解析】⅛sin—-=csinB=CSinB,

CCC

即sinBcos—=sinCsinB=2sin-cos-sinBB∈(0,π),则SinBA0,

222

C

—∈

2

则COSC≠0,故SinC=」，∈I0,-^∙j,故C=巴，C=四，故选：B

2222V2；263

4.在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同.已

知①乙没有参加跑步；②若甲参加铅球，则丙参加标枪；③若丙没有参加铅球，则甲参加铅

球.下列说法正确的为（）

A.丙参加了铅球B.乙参加了铅球

C.丙参加了标枪D.甲参加了标枪

【答案】A

【解析】由①乙没有参加跑步，则乙参加铅球或标枪，

若乙参加铅球，则丙就没有参加铅球，由③可知甲参加铅球，故矛盾，所以乙参加标枪，

显然丙没有参加标枪，则丙参加铅球，甲参加跑步，

综上可得：甲参加跑步，乙参加标枪，丙参加铅球，故选：A

5.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文

化中的太极衍生即太极生两仪原理，如图所示（图中•表示太极，，表示阳仪、）表示阴

仪）.若数列的每一项都代表太极衍生过程中经历过的两仪数量总和，即4为天一对应的经

历过的两仪数量总和0,外为衍生到地二时经历过的两仪数量总和2,生为衍生到天三时经

历过的两仪数量总和4,…，按此规律，则《5为（）

太极

天一N

阳仪Q°t■阴仪地二

天三Q•■

4<♦♦地四

天五Q，・

，，，♦♦♦地六

天七!<«•»»»

C

地八

天九UM∙

〃〃产地十

大衍图

C.112D.128

【答案】C

【解析】《5表示衍生到天十五时经历过的两仪数量总和，则

∕=2x（2+4+6+8+10+12+14）=112.

故选：C

6.直角三角形ABC中，斜边AB长为2,绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何

体.若该几何体外接球表面积为画，则AC长为（）

3

A.昱B.1C.√2D.√3

2

【答案】D

【解析】设AC=，〃，因为AB=2，所以BC=JAB2-AC?=∖∣4-病,

绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体为圆锥，设圆锥外接球的半径为R,

所以4πN=则，解得R=空,设外接球的球心为0,则球心在直线AC上，

33

/r-\2

所以4一机2+〃?一2=3,解得％=6.故选：D

33

7.已知椭圆U*→左=l（G＞力＞0）,尸为其左焦点，直线y="（%＞（））与椭圆C交于

点A,B,且AFLAB∙若NAjBE=30°,则椭圆C的离心率为（）

AS'BRC币D"^

3366

【答案】A

【解析】设椭圆的右焦点为尸2,连接A工，BF2,故四边形AFBK为平行四边形,

设IA目=m,ZABF'=30°,则I冏=2加，忸闾=IAFl=加，

2

∣BF∣+∣B∕^∣=2m-^-m=2a,m=-a,

△BF6中，(2c)2=[gα)+[α)一2XgaXgaXCoSl20。，

整理得到4c2=啰土，即C=且α,故e=£=YZ，故选：A

93a3

8.已知函数/(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为r(x)∙若对任意XeR有

Γ(x)>Ly(l+x)+∕(l-x)=0,且F(O)=—2,则不等式((X-l)>xT的解集为

()

A.(θ,+∞)B.(l,+∞)C.(2,+∞)D.

(3,÷∞)

【答案】D

【解析】设g(χ)=f(χ)-X,则g'(χ)=∕'(χ)-l>O恒成立，故函数在R上单调递增.

/(l+x)+∕(l-x)=0,则/(2)+f(O)=0,即/(2)=2,故g⑵=F⑵-2=0.

/(x-l)>x-l,即g(x-l)>O,即g(x—l)>g(2),故χ-l>2,解得x>3.

故选：D

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5

分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分.

A.常数顼为160B.含f项的系数为60

C.第4项的二项式系数为15D.所有项的系数和为1

【答案】BD

对选项A：取r=3得到常数项为C：(—2丫=—160,错误:

对选项B：取r=2得到含/项的系数为C：(—2『=60,正确;

对选项C：取r=3得到第4项的二项式系数为C：=20,错误;

/八6

对选项D：取X=I得到所有项的系数和为1--=1,正确.

Iιj

故选：BD

10.若实数X,y满足二一丁=1,则()

2

A.∣x∣≥^2.B.χ~+y~≥2C.ɪ<—D.

∣Λ-√2J∣≤√2

【答案】AB

【解析】对选项A：x2=2+2y2≥2,故国20,正确；

对选项B：x2+y2=2+3y2≥2,正确；

对选项C：取x=2,y=l,满足三一y2=ι,此时工<1不成立，错误；

2X2

对选项D:取χ=∣,y=一乎，满足5—9=1,此时卜一&丁|=2,错误.

故选：AB

11.已知函数/(X)=P-«>0.下列说法正确的为()

A.若α=l,则函数y=∕(x)与y=l的图象有两个公共点

B.若函数y=∕(x)与y=/的图象有两个公共点，则o<“<ι

C.若。>1,则函数y=∕(∕(X))有且仅有两个零点

D.若y=∕(x)在X=Xl和X=W处的切线相互垂直，则x∣+∕=0

【答案】BCD

【解析】对选项A：/(x)=FT=1,故e，=o(无解)或e*=2,X=In2,错误;

’2

.∖∣∙∣,_ʌ4~+α>0?

对选项B：f(x)=∖exl-a∖=a-,故e—Y+a或=—4+。，故V,

11[-a+a>Q

且4+α≠-q2+q,解得o<α<ι,正确；

对选项C：取/(x)=0,则e*=α,x=l∏fl.a>l,则x=lnα>0,

设g(x)=X-In%,g'(x)=1-工>0在(1,+∞)上恒成立，

则g(x)在(l,+∞)上单调递增，则g(x)>g⑴=1>0,故a>lng,

y=∕(∕(X))=0,则/(X)=卜*-α∣=Inα,X=In(α+Ina)或X=In(a—lna),正

确；

对选项D：当炉-4和e'2-α同时为正或者同时为负时不成立，

,v2,

不妨设/(χ)=e"—a,∕(xl)=e',/(x2)=-e'+a,∕(x2)=-e'∖

jv

则f'(xi)-f'(x2)=-e⅛∙e'=一9+%=-1,故西+々=0，正确.

故选：BCD

12.已知四棱柱ABCD-AiBtCiDi的底面ABCD为正方形，AAi=AB,

o

ZAiAB=ZA1AD=6Q,贝IJ()

A.点Al在平面ASC。内的射影在AC上

B.AG_L平面43。

C.AG与平面48。的交点是.AfO的重心

D.二面角4一6。一C的大小为45。

【答案】ACD

【解析】设A41=α,AB=b，AO=c，正方形的边长为1，

贝!]α∙0=IXlXCOS60°=；,«∙c=1×1×cos60o=ɪ,t>.c=O，

对选项A：AAi=AB,NAAB=NAAD=60。，根据对称性知，点Al在平面ABCZ)内

的射影在的角平分线上，即在AC上，正确；

j

对选项B：AC1=a+b+c,∖B--arb,

--/••\/■\-2-•-j

AG∙A5=(α+b+c)(—ci+hj——a+h—cι∙c—b*c———≠0,错误；

对选项C：设AC,3。相交于0,AG与4。交于。点，

。即为AC与平面ABQ的交点，

AB

则第=e⅛=2'A°为./血中如边上的中线’故。为。的重心，正确;

对选项D：连接用A与AG相交于H,连接"0,根据对称性知

又AC上BD,HoU平面B∣BD,ACU平面CBD,

11

故NHOC为二面角片一8。-C的平面角，HC=-a+-b+^c,

,,„2(11V21-21-2,1,1,,“√2

故"C=-a+-h+-c-a+—b+—c-ab-a∙c+-c∙h--<故//C=----,

Ik22J44422

B

HO=AAi=I,OC=—故N"OC=45°,正确

2

故选：ACD.

【点睛】关键点睛：本题考查了空间几何投影，垂直关系，二面角，意在考查学生的计算

能力，空间想象能力和综合应用能力，其中，把空间关系的证明转化为空间向量的运算，

可以简化过程，是解题的关键.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡

相应位置上.

13.若直线x-2y+α=0被圆f+y2—2χ-2y+l=0截得的弦长为2,则实数“的值为

【答案】1

【解析】x2+y2-2x-2y+l=0,K∣J(x-l)2+(y-l)2=1,圆心为(1』)，半径r=l,

弦长为2,则直线过圆心，即l-2+α=0,解得α=l.

14.嘉函数/(x)=Xfl(αwR)满足:任意XeR有〃—χ)="χ),且/(T)<"2)<2,

请写出符合上述条件的一个函数/(X)=.

【答案】χ∣(答案不唯一)

222

【解析】取F(X)=则定义域为R,且/(—χ)=(―χ)5=/=/(χ),

2

/(-1)=1."2)=2^m满足F(T)<f(2)<2.

15.一个袋子中有"("wN*)个红球和5个白球，每次从袋子中随机摸出2个球.若“摸出的

两个球颜色不相同”发生的概率记为p("),则p(")的最大值为.

【答案】I

()CC5n_IOn10

【解析】P(町=H=("+5)("+4)="2+9〃+20=；，

2〃

对勾函数y=x+4在（0,病）上单调递减，在（而,+8）上单调递增,

故当〃=4或〃=5时，〃+乡有最小值为9,故'（＞；^^币=5・

n

16.大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称"赵爽弦

图”（如图1）.某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：_ABC为正三角形，AD，BE,

Cf围成的.QEF也为正三角形.若。为BE的中点，①.QE尸与JIBC的面积比为

___________；②设AD=ZIA3+〃AC,则几+〃=.

【解析】如图:

连接AE，由题意知一A80w6CE,C4尸，且。,E,E分别为BE,CEA。的中点,

AABD=BCE=LCAF,所以SMF=SAE/=gs

t

S.ΛBC=S.AFC+Sλbd+SBCE^^SDEF=DEF,得—7•

ɔABC'

AD=AB+BD=AB+-BE=AB+-(BC+CE^=AB+-(BC+-CF]

2212)

_,__.142

BC=AC-AB^CF=AF-AC=-AD-AC化简得Ao=—AB+-4C，

2f77

所以几+〃=]+1=,

四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时

应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知/(x)=sin(υx-5/3cosωx,<υ>0.

(1)若函数/(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为求的值；

(2)若函数/(x)的图象关于(三,0)对称，且函数/(x)在θɪ上单调，求”的值.

【解析】(1)因为/(x)=Sin的一6COSftzX=2ɪsin‹yχ-cosωx-2sinfω%--

、22JI3√

JT

因为函数/(χ)图象的两条相邻对称轴之间的距离为不，

所以LT=三，则丁=兀，所以T=型=π,解得。=2,

22co

所以/(x)=2Sinl2x-∙≡］,所以电］=2sin(2x型一工=2sin≡=2×-=

(2)由f(x)=2sin(OX-1)，函数/(x)的图象关于(半°)对称，

Ttmπ

所以-------=kit,kwZ,所以G=3左+1,ZeZ,

33

ππππωπ

由XGO,-,ω>0,则①x-§e-i,V-3j,

TtCO兀/π

JT---------≤-10

又函数/(χ)在0,-上单调，所以432,解得0<G≤—,

ω>0八3

所以当Z=O时0=1.

18.已知数列｛。“｝的前”项和为s“，α∣=2,(n-2)Sn+i+2an+l=nSn,∏∈N*.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

1117

(2)求证：—+—++—<77.

q4an16

［解析］(1)(〃一2)Sll+l+2an+i=nSll,则(〃—2)Sn+i+2(ξ,+1-5,,)=nSll,

SS

整理得到咯M=(〃+2)“故(“+ij(；+2厂而R，

SsS

故("是常数列,故(；1、=丁片=1，即s,,=M"+ι),

rt(n+l)Jn[n+l)1x2'，

当〃≥2时，an=Sn-Sll^=n(∕?+l)-n(π-l)=2n,

验证〃=1时满足，故4=2〃

ɔ1_11_ɪfɪ______

(~，a；4n'An2-1212〃一12n+∖),

1111Ifl11111>1Ifl11

2

α1a；<7；42(35572n-l2∏+1J42(32n+∖)

11157

<—+—X—=一<一.

4231216

19.在梯形ABC。中，ABCD,ID90?,AB=20，4O=0C=√5，如图1•现

将ZkADC沿对角线AC折成直二面角P-AC-B,如图2,点M在线段B尸上.

(1)求证：APlCM；

ɔ/cRM

(2)若点M到直线AC的距离为处，求——的值.

5BP

【解析】(I)AC=√2+2=2-NCAB=ZA8=45°,

J8C2=4+8-2×2×2√2×-=4，故3C=2,则ZAe6=90。，即ACLCB,

2

又平面P4C，平面ACB,平面PAC平面ACδ=AC,

CB±AC,CBU平面Aa3,故CBL平面P4C,APU平面Q4C,则CB_LAP，

又Q4,PC,PCcCB=C,PC,CBU平面PCB,所以APJ,平面PCB,

又CMU平面PC8,则AP_LCM.

(2)设Ae中点为。，AB中点为Q,以04,。。,。P为％y，z轴建立空间直角坐标系,

如图所示：

z.

M

B

有A(l,O,O),C(-1,O,O),P(0,0,1),B(-l,2,0),

设翳^=%,则溺=X序，设M(X,χz),则(χ+ι,y—2,z)=2(ι,-2,ι),

则用(九—1,2—24/L)，CA=(2,0,0),CM=(λ,2-2λ,λ),

/■、2

点M到直线AC的距离为毡，则CM2='+CA∙CM,

55I∣CA∣J

即；12+(2—2/1)2+；12=9+(2],即25丸2—40/1+16=0,解得几=±，

''312/ɔ

.,,BM4

所cr以——=--

BP5

20.进行独立重复试验，设每次成功的概率为“(0<"<l),则失败的概率为1-〃，将试验

进行到恰好出现厂次成功时结束试验，以X表示试验次数，则称X服从以r,0为参数的

帕斯卡分布或负二项分布，记为X~NB(r,p).

(I)若X~NB,g),求P(X=5);

(2)若X~NB(2,g),n∈N*>n≥2.

①求fP(X=i);

3

②要使得在〃次内结束试验的概率不小于一，求〃的最小值

4

【解析】⑴因为X~N43,£|,所以P(X=5)=Cj[gVf1IY18

JI3；381

(2)①因为X~NB(2,g),〃eN*，"≥2,

所以P(X=i)=CτR]，(i≥2),

所啥（X力2口哆?哆假看

_22+133+144+1n«+1〃+1

_—―-•-4--------------4---------------r-•---------------I-------

2'I2I22323242"~,TT

1

所

-,-_〃+1、3以-<

②zx由z①x可知λ1———≥-,4-

2"4

ʌ〃+1/、π+2n+1nC

立an=~^Γ(“≥2)，r则ll%-a,=F-----=-西<O，

所以%=———单调递减，又％=—>—，¾=—<—，

2"164165

所以当〃≥5时空∙≤;,则〃的最小值为5∙

21.已知函数/(x)=α'TTog,rx,a>l.

⑴若α=e,求证：/(x)>l;

⑵若关于X不等式/(x)<l的解集为集合8,且求实数〃的取值范

围.

【解析】⑴若α=e,则"x)=eATTogeX=e*τ-Inx,xw(。,”)，

所以∕'(x)=eZ一J,又y=e*τ与y=-J在(O,+8)上单调递增，

所以/'(x)=exτ-g在(O,+⑹上单调递增，

又/'(1)=0,所以当0<x<l时/'(x)<0,当x>l时_P")>0,

所以/(x)在((M)上单调递减，在(l,+∞)上单调递增，

所以/(x)在％=1处取得极小值即最小值，所以/(x)>/(1)=1.

(2)因为F(X)=优rT-Iog/,a>l,x∈(0,+∞),

χ

所以f'(x∖=a-'Ina一——,显然y=∕T]n"与y=-一|一在(0,+“)上单调递增,

XlnQXIna

所以/'(X)在(0,+8)上单调递增，

当x→o时/'(χ)→-8,χ→+∞时r(x)→+∞,

所以存在演∈(o,+8)使得r(XO)=0，

所以当0<x</时r(x)<O,当x>xt)时/x)>0,

所以/(X)在(O,XO)上单调递减，在(%,48)上单调递增，

又/⑴=1,由(1)可知α=e时有y(χ)≥l