北京市丰台区高考数学三年（2021-2023）模拟题汇编-三角函数与解三角形

北京市丰台区高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类

汇编-三角函数与解三角形

一、单选题

1.（2023•北京丰台•统考一模）在.43C中，若2cosAsinB=SinC,则该三角形的形状

一定是（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角

形

2.（2023•北京丰台•统考一模）在平面直角坐标系XOy中，若角α以X轴非负半轴为始

边，其终边与单位圆交点的横坐标为立，则ɑ的一个可能取值为（）

2

A.-60oB.-30oC.45oD.60°

乃

3.（2022•北京丰台・统考二模）已知α=3°s,/，=1呜2,c=tan2芋，则（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

4.（2022•北京丰台•统考一模）在△ABC中，α=2,b=3,cosB=且,

则NA=()

4

A.ɪB,ɪC.至D色或笆

63666

5.（2022•北京丰台•统考二模）函数y=2co∕χ-l是（）

A.最小正周期为万的奇函数B.最小正周期为Z的偶函数

C.最小正周期为2兀的奇函数D.最小正周期为2方的偶函数

6.（2021•北京丰台・统考二模）在平面直角坐标系XOy中，角。以6为始边，它的终边

与以原点0为圆心的单位圆的交点为P1∣,yj,则sin[]+α）=（）

A.-B.--C.&D.-叵

3333

2

7.（2021.北京丰台.统考一模）在平面直角坐标系Xay中，角α以OX为始边，且Sina=

把角α的终边绕端点。逆时针方向旋转万弧度，这时终边对应的角是夕，则Sin夕=（）

A.--B.∖C.-在D.在

3333

二、填空题

8.（2022•北京丰台•统考二模）在-ABC中，a=2,⅛=√3,A=2B,则CoSB=

9.(2021•北京丰台•统考二模)函数F(X)=SinX+cosX的值域为.

10∙(2021∙北京丰台•统考二模)赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周

髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形

拼成的一个大正方形，如图1所示•类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由

3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在JlBC中，若

AF=LFD=2,则AB=.

图1图2

11.(2021∙北京丰台•统考二模)函数AX)是定义域为R的奇函数，满足

/(g-x]=∕(g+x),且当xe[O,m时，Ax)=-,*，,给出下列四个结论:

∖2J∖,2Jx-πx+π

①∕∞=0i

②万是函数/V)的周期；

③函数/(x)在区间(-1」)上单调递增；

④函数g(x)=/(ʃ)-sinI(X∈[-10,10])所有零点之和为3%.

其中，正确结论的序号是.

12.（2021•北京丰台♦统考一模）在~ASC中，α=√3,⅛=2√2,B=2Λ,则CoSA=.

三、双空题

13.(2023•北京丰台•统考一模)三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图

仍不能解决这个问题.古希腊数学家Pappus(约300-350前后)借助圆弧和双曲线给出

了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A,B两点、;取

线段AB的三等分点O,D；以B为焦点，A,。为顶点作双曲线H.双曲线”与弧AB

的交点记为E,连接CE,则∕3CE=g∕AC8.

试卷第2页，共4页

①双曲线a的离心率为;

②若NACB=T,∣AC∣=3√2,CE交AB于点尸，贝IJlOPl=.

四、解答题

14.(2023•北京丰台・统考一模)已知函数/(x)=2sin(ox+0)(0>O,O<a<Jt)的部分图

⑵若函数g(x)=/(x)sinx,求g(x)在区间0,：上的最大值和最小值.

15.(2022•北京丰台•统考一模)已知函数/(x)=sin(ftzx+9)3>0,|夕|苫)，再从条件①、

条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使J”)的解析式唯一确定.

⑴求F(X)的解析式；

(2)设函数g(x)=f(x)+/(x+¾,求g(x)在区间［0,5上的最大值.

64

条件①：/(X)的最小正周期为开；

条件②：/(X)为奇函数；

条件③：/(X)图象的一条对称轴为X=

4

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

16.(2021•北京丰台•统考一模)已知函数/(x)=SinS+Gcos>0).

Tr

(1)当0=1时，求fQ)的值；

O

(2)当函数/(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离是时，从①②③中任选一个，

补充到上面空格处并作答.①求/(X)在区间［0,∙∣］上的最小值；②求AX)的单调递增区

间；③若/(X)N0,求X的取值范围.注：如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计

分.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.A

【分析】利用内角和定理及诱导公式得到SinC=Sin(A+8),利用两角和与差的正弦函数公

式化简，代入已知等式变形再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到A-B=O,即

A=B,即可确定出三角形形状.

【详解】解：•在ABCψ,sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+β)=sinAcosB+cosAsinB,

.∙.2cosAsinB=sinC=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)=O,

A,B∈(O,π),.∙.A-B∈(-π,π),

A-B=O9即A=B,则ABC为等腰三角形.

故选：A.

2.B

【分析】根据三角函数的定义得到CoSa=且，再根据特殊角的三角函数判断即可.

2

【详解】依题意可得CoSa=且，则。=30。+h360。次€2或α=-30o+A∙36(Λk∈Z,

2

所以ɑ的一个可能取值为-30。.

故选：B

3.A

【分析】根据指数、对数函数的单调性，将“，匕，c与0或1比较，分析即可得答案.

【详解】由题意得α=3°5>3°=l,0=log3l<log32<log33=l,所以0<b<l,

所以“>>>c.

故选：A

4.A

【分析】先求出SinB,再借助正弦定理求解即可.

【详解】由c。SB=也得SinB=由正弦定理得上7=刍，3^,

4Y(4J4sinAsinB

1TC

解得SinA=彳，又a<c，故ZA<NC,ZA=-.

26

故选：A.

5.B

答案第1页，共8页

【分析】由倍角公式可得2co∕X-I=Cos2χ,可求周期；再由cos(-2x)=COS2x可得奇偶性.

【详解】由倍角公式可得y=2cos2χ-l=cos2x,所以周期为万.

又Qcos(-2x)=cos2x,：.y=2cos2XT是偶函数.

故选：B.

【点睛】本题考查倍角公式的逆用和函数的奇偶性，属于基础题.

6.A

【分析】直接利用三角函数的定义及诱导公式计算可得；

【详解】解：因为角α的终边与单位圆相交于点尸(∣,yj,所以CoSa=|,所以

.(π\2

12)3

故选：A

7.A

【分析】依题意可得∕=α+万，再利用诱导公式计算可得；

22

【详解】解：依题意尸=。+乃，因为Sina=所以siri/?=sin(2+4)=-sina=-]

故选：A

8.近

3

【分析】利用正弦定理结合二倍角的正弦公式即可得解.

【详解】解：在一ABC中,

ab

由正弦定理可得

sinAsinB

即.2=C,即----r----=G,

sin2BsinB2sinBcosBsinB

所以cosB=.

3

故答案为：立.

3

9.[-√2,√2]

【分析】化简得f(x)=√∑sin(x+?),即得解.

4

【详解】由题得f(x)=夜Sin(X+£),

4

答案第2页，共8页

所以当Sin(X+7)=-1时，f(χ)mjn=-y∕2；

当Sin(X+?)=1时,f(X)max=6.

所以函数的值域为[-及,后L

故答案为：~夜,&]

10.√13

【分析】由条件可得AZ>=3,BO=1,ZBDA=y,由余弦定理可得答案.

【详解】由题意△以为等边三角形，则∕ED4=(,所以404=国

根据条件^AFC与ABDA全等，所以AF=%>=1

在Z∖A8f>中，AD=3,BD=1

AB2=AD2+BD2-2×AD×BD×cosZBDA

=32+l2-2×l×3×f-∣J=

13

所以AB=Jm

故答案为：∖∕i^3

11.①③④

【分析】由/6-X)=//+X)可得/⑺=/(0)直接计算/(0)即可判断①；根据函数

/(X)的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断②；先判断了(X)在(0,1)的单调性，再根

据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③；根据对称性以及函数图象交点的个

数即可判断④.

【详解】对于①：由/[A)=∕(∣→X)可得f(τ)=f(0)=郎=O,故①正确；

对于②：由止τ)=∕(⅛+x)可得/3关于直线X=资称，

因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以〃万+x)=∕(-X)=-"x)

所以/(2τr+x)=-∕(x+^)=∕(x),

所以函数/(x)的周期为2万，故②不正确；

对于③：当0<xvl时，y=sinx单调递增，且y=sinx>0,

答案第3页，共8页

y=x2-πɪ÷π∙=fx-j∣-j+)一亍在OVXVl单调递减，^y>∖-π+π=-∖,

所以f(x)=产门..在o<χ<ι单调递增,因为/(x)是奇函数，

x~-7cx+π

所以函数/W在区间(-1,1)上单调递增；故③正确；

函数g(x)=/(X)-Sinl(X∈[-10,10])所有零点之和即为函数y="力与y=sinl两个函数图

象交点的横坐标之和，当Xe-f,y时,两图象交点关于Xq对称,此时两根之和等于乃，

当xe(竽,1。时两图象交点关于X=冷对称，此时两根之和等于5»,当Xe一野，一^^时

两图象交点关于X=-当对称，此时两根之和等于-3万,xe∣^-10,-∙1时两图象无交点，

2L2J

所以函数g(x)=F(X)-Sinl(Xe[-10,10])所有零点之和为3乃.故④正确；

故答案为：①③④

【点睛】求函数零点的方法：画出函数/(x)的图象，函数/(x)的图象与X轴交点的个数就

是函数“X)的零点个数；将函数/(x)拆成两个函数，MX)和g(x)的形式，根据

〃尤)=0o∕?(X)=g(x),则函数/(x)的零点个数就是函数y=〃(x)和y=g(x)的图象交点

个数；零点之和即为两个函数图象交点的横坐标之和.

12.国

3

【分析】在一ABC中，根据“=√J,b=2√Σ,8=2A,利用正弦定理结合二倍角正弦公式求解.

【详解】在-ABC中，因为a=®b=2厄B=2A,

所以=，—，即6=2丘=2血,

sinAsinBsinAsin2A2sinAcosA

解得COSA=逅，

3

答案第4页，共8页

故答案为：旦

3

13.27-3√3

【分析】①根据图形关系确定c=2α即可求解；利用面积之比

s^∖AC∖-∖CP∖sinZACP

—,进而可求出忸8=36—3,再根据IOH=IoWR求

S&BCPl∣BC∣∙∣CP∣sinZBCP

解.

【详解】①由题可得IQAl=a,∣O3∣=C,所以c=2α,

所以双曲线”的离心率为£=2；

a

②，因为N4CB=∙^,且IAcI=IBq=3√L

所以IABl=JI8+18=6,

IJTTT

又因为/8CE=-NAC8,所以NACP=—,NBCP=-,

336

所以.=也”TL"丝

S&BCPWBCHePkinNBCp-BP

所以IAPI=百忸P∣,

因为IAM=IAH+忸H=(6+1)忸4=6,解得忸4=36-3,

所以IoH=IoMTBH=7-3√3,

故答案为：2;7-3√3.

14.(l)f(x)=2sin卜+：)

(2)最大值为亚和最小值为O

【分析】(1)由图象及三角函数的性质可以得到。，。，进而得到/O)的解析式；

(2)根据三角恒等变换化筒g(x),进而分析在区间0,：上的最大值和最小值.

【详解】(1)由图象可知：7=4x(学-J]=空.∙.(v=l,

I44)ω

答案第5页，共8页

将点(：，2"弋入y=∕(x)得了《j=2sin］：+夕卜2；"=：+2屈，

Cπ

()<9<7Γ.∙.0=1

/(x)=2Sin(X+：)

j2√2

(2)g(x)=/(x)sinx=√2SinX(Sinx+cosx)=—y(sin2x-cos2x)+sinf2x-∙^1+

2

C兀，rC兀7Γ7U

由XeOq得一牙工

当2、一：=一；时，即χ=o,g(χL1=0;

当2x_；=：时,即x=3g(x)maχ=√∑;

15.(1)f(X)=Sin2x

⑵G

【分析】(1)可以选择条件①②或条件①③，先由周期计算。，再计算。即可;

(2)先求出2x+f整体的范围，再结合单调性求最大值即可.

O

(1)

选择条件①②：

由条件①及已知得T=@=万，

ω

所以0=2.

由条件②得/(r)=-f(χ),

所以/(0)=0,即Sin-=O.

解得夕=hr("wZ).

TT

因为∣e∣<5,

所以。=。，

所以/(x)=SinZr.

经检验S=O符合题意.

选择条件①③：

答案第6页，共8页

由条件①及已知得T=-=%，所以3=2.

ω

由条件③得2xj+0=E+](%eZ),

解得0=Aπ(攵∈Z).

Tt

因为∣0∣<5,

所以。=0.

所以f(χ)=SinZr.

⑵

由题意得g(x)=sin2x+sin(2x+。)，

化简得g(x)=2sin2xH--COS2x=∖∣3sin(2jf+—).

226

π

因为。≤x≤丁，

4

LL..TTCTC∑r7Γ

所以v7≤2X+7≤;-,

663

所以当2x+∕=g,即x=g时，g(x)的最大值为

626

16.(1)2；(2)答案见解析.

【分析】⑴根据0=1，由分*=si吟+6cos,求解.

(2)利用辅助角法得到/(x)=2sin[s+2),再根据函数/(χ)图象的两条相邻对称轴之间

的距离是5，得到。=2,进而得至ij/(x)=2sin(2x+]),选①：由0≤x≤],得到

^<2x+^<^,再利用正弦函数的性质求解；选②：利用正弦函数的性质，令

2k万-]≤2x+q≤2版■+],ZWZ求解；选③：将/(x)≥0,转化为2sin(2x+g)≥0,利用

正弦函数的性质求解.

【详解