2022-2023学年浙江省杭州市八区市九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

2022-2023学年浙江省杭州市八区市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

l.sin45。的值是（）

A.1D.72

2.下列事件中，属于随机事件的是（)

A.从地面向上抛的硬币会落下B.射击运动员射击一次，命中10环

C.太阳从东边升起D.有一匹马奔跑的速度是70米/秒

3.如图，线段AB,CD相交于点O,AC//BD,若04=6,0C=3,0D=

2,则05的长是（）

A.3B.4C.5D.6

4.若扇形的圆心角为120。，半径为6,则扇形的面积为（）

A.27rB.47rC.127rD.247r

5.如图，将一个含30。角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点C的对应

点为点C',若点C'落在延长线上，则三角板ABC旋转的度数是（）

A.60°B.90°C.120°D.150°

6.关于抛物线y=Q—2）2—4,下列说法：①图象开口向上;②图象与x轴有两个交点；③当％=-2时,

y有最小值-4.正确的是（）

A.①②B.①③D.①②③

7.如图，A8是。。的直径，C是。。上任意一点（不与A,8重合），设N4乙B,NC所

对的边分别为a,b,c,贝）

A.c=asinA

B.a=ccosA

C.a=ctanA

D.a=btanX

8.凸透镜成像的原理如图所示，力D〃〃/BC.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的距离之比为

4245

----

A.5599

9.已知点(%i，yi),8(%2，、2)在二次函数y=一2a%+>0)的图象上，右％>、2,则必有()

A.>1B./<冷V1

C.|%i—1|<|亚一1|D.%—1|>\x2-1|

10.计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比.下面是同一个任务进行到不同

阶段时进度条的示意图：

当任务完成的百分比为x时，线段"N的长度记为火乃.下列描述正确的是()

A.当％1>牝时，d(%D>d(%2)B.当d(%i)>d(%2)时，>x2

C.当第i+久2=1时，d(%i)=d(x2)D.当％i=2冷时，dQq)=2d(七)

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.若微=[,则呼=

12.如图，四边形ABC。的顶点A、B、C在。。上，若N4BC=130。，则

AAOC=.

13.学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明

与小红同车的概率是.

14.如图，把两张宽度都是3a”的纸条交错的叠在一起，相交成角a.则重叠部分的

面积为.

15.汽车刹车后行驶的距离s（单位：巾）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s=15t-6t2,汽车刹车

后到停下来前进了米.

16.如图，面积为4的正方形A3。中，E尸G8分别是各边的中点，将边两端点分别

和对边中点连结，所得阴影部分为各边相等的八边形，则八边形每条边的长度是

三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题6分）

对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：

抽取件数（件）501002005008001000

合格频数4795188480763949

合格频率0.940.950.940.960.950.95

（1）估计任抽一件衬衣是合格品的概率（结果精确到0.01）.

（2）估计出售2000件衬衣，其中次品大约有几件.

18.（本小题8分）

如图，。4=。8,A8交0。于点C,D,OE是半径，且。E14B于点F.

（1）求证：AC=BD.

（2）若CD=8,EF=2,求。。的半径.

o

AC

E

19.（本小题8分）

一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线.求铅球的落地点离运动员有多远（结果保留根号）？

20.（本小题10分）

如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30。，从甲楼顶部B处测得乙楼顶部C处的俯角是45。,

已知两楼之间的距离4。=30m,求这两幢楼的高度（结果保留根号）.

□

□

□

□楼

□

□

□

21.（本小题10分）

如图，在等腰三角形A8C中，AB=47,点。是BC的中点，点E,F分别在线段AC上，连结

AD,EF交于点G,乙CEF=2乙CAD.

(1)求证：AABCs^EFC.

(2)若BE=2DE,=求萼的值.

CrZuc

22.(本小题12分)

已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点4(一1,1)和8(2,4).

(1)求mb满足的关系式.

(2)当自变量x的值满足一1WxW2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围.

(3)若函数图象与X轴无交点，求。2+。2的取值范围.

23.(本小题12分)

如图，。。的半径为1,直径AB,的夹角乙4。。=60。，点P是筋上一点，连接PA,PC分别交CD

AB于点N.

(1)若PC1AB,求证：PA1CD.

(2)当点P在命上运动时,

①猜想：线段AM与CN有怎样的数量关系，并给出证明.

②求证：P4+PC=焉

A红

D

答案和解析

I.【答案】C

【解析】解：由特殊角的三角函数值可知，Sin45。=苧.

故选：C.

直接根据特殊角的三角函数值进行解答即可.

本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键.

2.【答案】B

【解析】解：A、从地面向上抛的硬币会落下，是必然事件，不符合题意；

8、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，符合题意；

C、太阳从东边升起，是必然事件，不符合题意；

D,有一匹马奔跑的速度是70米/秒，是不可能事件，不符合题意.

故选：B.

根据事件发生的可能性大小判断即可.

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不

可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也

可能不发生的事件.

3.【答案】B

【解析】解：AC//BD,

•••Z.C=乙D,Z.X=Z.B,

AOC^ABOD,

O£_OA

“历一砺’

•••OA=6,OC=3,OD=2,

_3__6_

"2=OB"

AOB=4.

故选：B.

根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得=〃=贝lUAOCs^BOD,由相似三

角形的性质得照=焉，代入数值即可求解.

UUUD

本题主要考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例时解题关键.

4.【答案】C

【解析】解：•••扇形的半径为6,圆心角为120。，

•••扇形的面积是：当叱=127r.

360

故选：C.

根据扇形的面积公式进行计算即可.

本题考查了扇形面积的计算.熟记公式是解题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：旋转角是NB4B'=180°-30。=150°.

故选：D.

根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解.

本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键.

6.【答案】A

【解析】解：由抛物线y=(x—2)2—4,

因为a=1>0,开口向上，

故本①正确；

B、当y=0时，(％-2产-4=--4久=0,

•••4=16+16=32>0,

•••方程有2个不相等的实数解，

••.抛物线与无轴有2个交点，

故②正确；

•••抛物线开口向上，顶点为(2,-4),

・••当x=2时，y有最小值—4,

故③错误.

故选：A.

利用二次函数图象和的性质对①③进行判断通过判断(久-2>-4=0的根的情况对②进行判断.

本题主要考查抛物线与无轴的交点，对二次函数的性质的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行

判断是解此题的关键.

7.【答案】D

【解析】解：•••4B是。。的直径,

ZC=90°,

•.•N4AB,NC所对的边分别为a,b,c

..4a4b4Aab

••smA=conA=一，tanA=ctanZ=一，

ccba

•••c=岛，故A不符合题意;

a=btanA,故区C不符合题意，。符合题意.

故选：D.

先根据圆周角定理得出NC=90。，再由锐角三角函数的定义即可得出结论.

本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键.

8.【答案】A

【解析】解：・・・孔〃),CGLI,BO1/,

・•・四边形OBCG为矩形，

OB=CG,

vAH1HO,BO1HO,

AHF^ABOF],

.AH__HF\_5

••丽一~OF[~4f

tAH_5

''~CG~4"

•••物体被缩小到原来的吉

故选：A.

先证出四边形08CG为矩形，得到。B=CG,再根据△力HF1SAB00,求出缘，从而得到物体被缩小到

L(J

原来的几分之几.

本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行解答是解题的

关键.

9.【答案】D

【解析】解：,二次函数y=ax2-2ax+b(a>0),

•••开口向上，对称轴为直线x=—策=1,

,点力Qi，%),BQ2,%)在二次函数y=a——2a久+6(a>0)的图象上，yr>y2>

4(%,%)到对称轴的距离大于点B(X2,>2)到对称轴的距离，

•••ki-1|>%-1L

故选：D.

由抛物线的解析式得到开口向上，对称轴为直线％=1,然后判断A、8两点到对称轴的距离即可得出结

论.

本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形

结合解题是关键.

10.【答案】c

【解析】解：A、当%1>切时，d(%i)与d(X2)可能相等，可能不等，本选项不符合题意.

B、当d(%i)>d>2)时,刀1>久2或/<乂2，本选项不符合题意.

A、当久2=1时，d(x])=八刀2)，正确，本选项符合题意.

D、当%1=2%2时，4/)<2d(%2)本选项不符合题意.

故选：C.

根据弧，弦和圆心角的关系，利用图象判断即可.

本题考圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

11.【答案】J

【解析】解：•.郎=%

b4

••・4a=3b,

•••a=二3b7,

4

将其代入中得：

b

原式=理=罡=工，

bb4

故答案为：)

由比例的基本性质，可得4a=3b,进而得a='b,代入计算即可.

4

本题考查了比例的性质，及分式的化简计算，如何利用比例关系进行代换是解题的关键.

12.【答案】100°

【解析】解：如图，在优弧AC上取点连接A。，CD,

•••AABC=130°,

.­./.ADC=180°-/.ABC=50°,

.­./.AOC=2/.ADC=100°.

故答案是：100°.

首先在优弧AC上取点。，连接AD,CD,由圆的内接四边形的性质，可求得N4DC的度数，然后由圆周角

定理，求得N20C的度数.

此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质.此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数

形结合思想的应用.

13.【答案】1

【解析】解：用4B,C分别表示给九年级的三辆车，

画树状图得：

开始

小明ABC

/K/4\

ARCABCABC

•••共有9种等可能的结果，小明与小红同车的有3种情况，

...小明与小红同车的概率是：

故答案为：

首先用A,B,C分别表示给九年级的三辆车，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果

与小明与小红同车的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案.

此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

【解析】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形A8CD,贝此=

过A作/于E,贝1L4E=3,

Z.ABE=a,

AE3

A4Bn=~：—=-：—

sinasina

3

BC=AB=—

sina

重叠部分的面积是：^X3=£

故答案为高.

根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABC。，由已知得N4BE=a,过A作4E1BC于E,由勾股定理

可求BE、AB,BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案.

本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30。角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实

际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键.

15.【答案】等

O

【解析】解：s=15t-6t2=-6(t-|)2+Y，

汽车刹车后到停下来前进了整米.

O

故答案为：g

O

根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出S的最大值即可得出结论.

本题考查了二次函数的应用，利用配方法，找出二次函数的顶点式是解题的关键.

16.【答案】乎

6

【解析】解：AG,DE交于M,AG与CH交于N,连接MH,DN,作NK14。于K,

・正方形的面积是4,

•••正方形的边长是2,

•••四边形ABCD是正方形，E,G分别是A8,0c中点，

四边形AEG。是矩形，

M是AG,OE的中点，

•••H是中点，

是AAGD的中位线，

11

・•.MH=^DG=1,

MA—MD，

・•・MHLAD,

AM=yjAH2+MH2=JI2+(1)2=苧,

.SAMHSAANK,

AM：AN=MH：NK=AH：AKf

令HK=x,

1

・•・1：(1+%)=I：NK,

1

・•・NK=其％+1),

由正方形的对称性知ZXDN=45°,

...KD=NK=5(%+1),

•••HK+DK=DH,

1

.,.%+-(%+1)=1,

12

・•・NK=2(%+I)=§,

VAM：AN=MH：NK,

2

:

•'-TAN/：3f

.2/5

AN=---

2AA5/5<5

・・

•MN=AN-AM=D--------ZO

故答案为：g.

6

连接MH,DN,作NK14D于K,由正方形的性质，相似三角形的性质求出K8长的，从而求出AN的

长，即可解决问题.

本题考查中点四边形，正方形的性质，关键是由正方形的性质求出”的长.

17.【答案】解：(1)由表可知，估计任抽一件衬衣是合格品的概率为0.95；

(2)次品的件数约为2000x(1-0.95)=100(件).

【解析】（1）根据大量重复实验下，频率稳定的数值即可估计任抽一件衬衣是合格品的概率；

（2）用总数量x（1-合格的概率）列式计算即可.

本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动

的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是

这个事件的概率.

18.【答案】⑴证明：••・OEA.AB,

•••CF=DF,

■■■0A-0B,

•­.AF=BF,

•••AF-CF=BF-DF,

AC=BD；

(2)解：设。。的半径是r,

•••CO2=CF2+OF2,

r2=42+(r-2)2,

r=5,

.•・o。的半径是5.

【解析】（1）由垂径定理得到CF=DF,由等腰三角形的性质得到AF=BF,从而证明4C=BD；

（2）设。。的半径是r,由勾股定理，垂径定理列出关于r的方程，即可求出。。的半径.

本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程.

19.【答案】解：由图可知抛物线的顶点坐标为（4,3）,

•••设抛物线的解析式为y=a（x-4）2+3,

把（0,1.5）代入得，1,5=a（0一4）2+3,

解得：a=一备，

•••铅球所经过路线的函数表达式为y=-*（比-4产+3；

令y=0得，0=—1久—4）2+3,

解得：X[=4—4V舍），冷=4+4V-2>

铅球的落地点离运动员有（4+4，1）米远.

【解析】设抛物线的解析式为y=a（x-4T+3,用待定系数法求解即可；令y=0得关于x的一元二次方

程，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可.

题的关

质是解

数的性

二次函

数法与

待定系

练掌握

合并熟

形结

，数

应用

中的

问题

实际

数在

次函

了二

考查

本题

键.

E,

于

C作

：过

】解

【答案

20.

，

矩形

E是

AOC

边形

则四口

口

CD,

E=

m,A

=30

AD

CE=口

楼

0°,

=3

DAC

,v^

中

在口

g，

m)，

073(

=1

x30

=苧

~AD

CD=口

口

,

VSm

=lO

CD

AE=

。，

45

BE=

••NC

中，•

BCE

在RtA

0m,

=3

=AD

CE

BE=

0质)

0+1

=(3

AE

BE+

AB=

高为

乙楼

+

为(30

甲楼高

答：

可得到

角形即

直角三

D,解

=C

,AE

30m

D=

E=A

得到C

性质

形的

根据矩

E,

4B于

E1

C作C

】过

【解析

结论.

键.