2023年广东省汕头市高考数学模拟试卷及答案解析

2023年广东省汕头市高考数学模拟试卷

本试卷满分150分。共22道题。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填

写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项

的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不

能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

I.若集合A={χ∣%∙>0},B={-2,-1,I,2,3},则(CR∕∣)∩S=()

A.{-2,-1}B.{-1,1}C.{1,2,3}D.{-1}

2.已知条件p：直线x+2y-1=0与直线∕v+(α+])y-ι=o平行，条件q：a=∖,则P是

4的()

A.充要条件B,充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线被圆x2+y2=4所截得的弦长为2√31则P=()

A.1B.√3C.2D.4

4.已知点尸是抛物线E：y1=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，A,8是抛物线E上的

两点，满足I砌+1FBI=IO,FA+FB+FO=0,则P=()

A.1B.2C.3D.4

5.定义在(-1,1)上的函数/(x)满足f(X)=g(x)-g(-x)+2,对任意的X”X2∈

(-1,1),X1≠X2,恒有[/'(制)-f(X2)](ɪl~X2)>0,则关于X的不等式/(3XH)

+f(X)>4的解集为()

1112

A.(一今，÷∞)B.(-ʌ,O)C.(-8,-ʌ)D.(4，0)

6.已知函数/(x)=2s讥Qx+看)®>0)的部分图象如图所示，则使/(α+x)-f(a-x)

=O成立的a的最小正值为()

第1页共20页

7.已知正项等比数列｛α.｝的前”项和为S,,且-αι,S2,S3成等差数列.若存在两项

a,am,

j∏n^n£N*）使得｛ajn∙a11=8a/则WT■的最小值是（）

A.16B.2C.ɪD.&

33

8.正2022边形力四2…/2022内接于单位圆O,任取其两个不同顶点4∙,N∕,则I赢1+西I<1

的概率是（）

A676r675r674D673

•2021•2021"2021-2021

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.已知矩形/8CD中，AB=2,AD=X.若矩形的四个顶点中恰好有两点为双曲

线C的焦点，另外两点在双曲线C上，则该双曲线的离心率可为（）

A.√5B.ʧʒ~1C.√5+2D.^H±L

22

（多选）10.已知复数Z1,Z2,满足忆1∣∙∣Z2∣≠O,下列说法正确的是（）

A.若团∣=∣Z2∣,则Z[2=z

B.∣Z1+Z2∣≤∣Z1∣+∣Z2∣

C.若Z1Z26R,则-^-ER

z2

D.∣zιz2∣=∣zι∣∣z2∣

（多选）11.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3

个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以小，血和/3表示由甲箱取出的球

是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红

球的事件，则下列结论正确的是（）

A.事件8与事件43=1，2,3）相互独立

第2页共20页

b

∙P(A1B)=22^

c∙P(B);^∣-

O

D-P(A2∣B)⅛

(多选)12.已知定义在R上的偶函数/(x),满足/(x)”(2-x)=2,则下列结论正确

的是()

A./(x)的图像关于x=l对称

B./(x+4)Cx)

C.若函数/(x)在区间［0,1］上单调递增，则C(X)在区间［2021,2022］上单调递增

D.若函数/(x)在区间(0,1)上的解析式为/(x)=>x+l,则/(x)在区间(2,3)

上的解析式为/(X)=In(X-I)+1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13∙若A：=6C：(m€N*,m>4)-贝IJW=-------

14.设f(χ)J4'0<x<2,若/J)=∕(α+2),则α=_______.

3(χ-2)»x≥2

15.设随机变量X〜8(2,P),满足P(X若y=2Y-l,则。(Y)=.

16

16.已知我国某省二、三、四线城市数量之比为1：3：6.2022年3月份调查得知该省二、

三、四线城市房产均价为0.8万元/平方米，方差为11.其中三、四线城市的房产均价分

别为1万元/平方米，0.5万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10,8,则二线

城市房产均价为万元/平方米，二线城市房价的方差为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知函数f(X)力^Sin3XCOS3χ-cos?3(3>0)，其图像上相

邻的最高点和最低点间的距离为平.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)记C的内角/,B,C的对边分别为4,b,c,a=4,bc=∖2,/(/)=1.若

角”的平分线ZD交BC于。，求4。的长.

18.(12分)设S,为等差数列｛α,,｝的前〃项和，已知S3=α5,且及-2,ai,S5成等比数歹∣J∙

第3页共20页

（1）求数列m”｝的通项公式；

（2）若brι=2-冏，求数列｛斯∙6"｝的前〃项和7".

19.（12分）元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中

的一种，方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可

摇号三次，其规则是依次装有2个幸运号、2个吉祥号的一个摇号机，装有2个幸运号、

2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，其优

惠情况为：若摇出3个幸运号则打6折，若摇出2个幸运号则打7折；若摇出1个幸运

号则打,8折；若没有摇出幸运号则不打折.

（1）若某型号的车正好6万元，两个顾客都选中第二中方案，求至少有一名顾客比选择

方案一更优惠的概率；

（2）若你评优看中一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应

选择哪种付款方案.

20.（12分）已知如图，在多面体"CΔ尸中，AC=BC=2,ZACB=∖20°,。为48的中

点，EF//CD,EF=∖,8F，平面4EE

（1）证明：四边形EEOC为矩形：

（2）当三棱锥8EB体积最大时，求平面/E/与平面48E夹角的余弦值.

22

21.（12分）如图，已知椭圆E：%+⅛=l（a>b>0）的离心率e2，由椭圆E的四

a2b22

个顶点围成的四边形的面积为1&旧.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设N为椭圆E的右顶点，过点Λ∕（-2α,0）且斜率不为0的直线/与椭圆E相交

于点8,C（点8在MC之间），若N为线段8C上的点，且满足4⅛L3⅛,证明：

IMCIINCI

NANC=2/AMC.

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22.(12分)己知m∈N,加22,a,b为函数/(x)=—Cex-m)的两个零点，a<b,曲线

m

y=f(x)在点(。，0)处的切线方程为y=g(x),其中e=2.71828…为自然对数的底数.

(1)当x>0时,比较f(X)与g(X)的大小；

(2)若0<XI<X2,且/(xi)-f(X2)-n,证明：XO-Xl<上三+1由.

2ɪInm

第5页共20页

2023年广东省汕头市高考数学模拟试卷

本试卷满分150分。共22道题。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填

写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项

的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不

能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案;

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.若集合A={χB={-2,-1,1,2,3},贝IJ(CR∕1)CB=()

A.{-2,-1}B.{-1,1}C.{1,2,3}D.{-1}

解：：集合A={χI喘∙>o}=3χ<-2或x∙l},

β={-2,-1,1,2,3},

.∙.Cu∕={x∣-2≤x<l{,

.∙.(CR/)∩8={-2,-1).

故选：A.

2.已知条件p：直线x+2y-1=0与直线/x+(q+ι)y-1=0平行，条件［：。=1,则P是

q的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D,既不充分也不必要条件

解：直线x+2y-1=0与直线胜什(α+i)V-I=O平行，

故α+l-2°2=0,解得α=l或当α=l时，两直线重合；

2

故P是夕的既不充分也不必要条件，

故选：D.

3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线被圆x2+y2=4所截得的弦长为2√3,则P=()

A.1B.√3C.2D.4

第6页共20页

解：因为抛物线产=2*(p>0)的准线方程为X=-里，

2

.,.(V^)2+(R)2=4,解得p=2.

2

故选：C.

4.已知点方是抛物线氏y2=2px(p>0)的焦点，。为坐标原点，A,8是抛物线E上的

两点，满足∣E4∣+∣F3∣=10,FAΛ-∕⅛+FO=0,则P=()

A.1B.2C.3D.4

解：设4(xι,yι),B(X2,则∣F4∣+∣F8∣=%ι+3+%2+与=%ι+%2+P=1。，

①

由F4+FB+FO=0,知F4+FB+F。=(%ι+%2—岑，Yi+丫2)=。，所以不+&=

等②

联立①②解得p=4,

故选：D.

5.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)=g(X)-g(-x)+2,对任意的Xi,X2∈

(-1,1),X1≠X2,恒有[f(Xl)-f(X2)](Xl-X2)>0,则关于X的不等式/(3x+l)

+f(X)>4的解集为()

1112

A.(一+∞)B.(一个0)C.(-8,_.)D.(-ɜ/0)

解：对任意的XI，X2∈(-1，1),X1≠X2,恒有[f(XI)-/(X2)](Xl-X2)>0，所以f

(X)是增函数，

设h(x)=/G)-2=g(x)-g(-X),则h(x)为奇函数，且在(-1,1)上为增

函数，

所以不等式/(3χ+l)4∕(X)>4,等价于/(3x+l)-2÷∕,(x)-2>0,

即h(3x+1)+A(x)>0,亦即力(3x+l)>-A(X)=h(-x),

-1<3%+Kl

-l<x<l,解得一/VxVO,

{3%+1>—%

故选：B.

6.已知函数/(x)=2s讥(3x+^)®>0)的部分图象如图所示，则使/(α+x)-fCa-%)

第7页共20页

解：由函数/(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象知/(五*)=0,

即S讥3IKr+,)=°，由五点作图可知3,1竽+V=2ττ+2∕cτr,kEZ,

AnZB24∕c+22.r

角不彳寸3=ɪɪ，kWZ7,

又由图象可知D方,所以7›五,解得3<荐

又ω>0,所以左=0,ω=2,

所以f(%)=2sin(2x+^).

因为/(α+x)-f(a-x)=0,即/(α+x)=∕(α-χ),

所以函数/G)关于直线X=Q对称，

即有2α+'=[+kτr,keZ,解得α=竽+/keZ,

Tt

所以α的最小正值为z∙

故选:A.

7.已知正项等比数列｛斯｝的前〃项和为S7,且-Q1,52,S3成等差数列.若存在两项

a.a(m,n£N*)使得Ja∙a=8a∕则上闫的最小值是()

JIInVmnJLmn

A.16B.2C.妆D.ɪ

33

解：；正项等比数列｛斯｝的前“项和为S”且-αι,S2,S3成等差数列.

.∙.2S2=S3-m,公比4>0,

Λ2a∖+2a∖q=a∖+a∖q+a∖q2-a↑,

即：q?-q-2=0,解得g=2,

•存在Cinncin9使得Ja♦a=8a]，即。〃以"=64α∕,

Λ(ai∙2w^1)(aι∙2,rl)=64αι2,

第8页共20页

♦♦川+〃=8,

∙*∙(ʌ*+9-)(加+〃)]=工(10+旦曲)(10+6)=2,

mnmn88mn8

当且仅当"=3w=6,取等号.

即N=2,m=6,工法的最小值为2,

mn

故选：B.

8.正2022边形小山…42022内接于单位圆。,任取其两个不同顶点小，4,则I赢.+QA'∣≤1

的概率是（）

A.JZLB.-θZLC.D.-θɪ

2021202120212021

2

解：由10Ai+0Aj∣=≡∙+0A.+20A10Aj=2+2cosZAi0Aj<1'

可得CoSNAiOA

因为0W∕4O4Wτt,所以，4L4/AjOAj《冗，

,

对于任意给定的向量"ðɪj（1≤j≤2022）满足条件10Ai+OAj|41的向量的取法有

2冗.2兀一

3.20221-675

因此，I赢i+风|41的概率为P蜻-

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.已知矩形/8CD中，AB=2,AD=∖.若矩形的四个顶点中恰好有两点为双曲

线C的焦点，另外两点在双曲线C上，则该双曲线的离心率可为（）

A.√5B.遥7C.√5+2D.遥+]

22

22

解：设双曲线方程为-_2_=[矩形48C。中，AB=2,AD=L矩形的四个顶点中恰

a2,b2ɪ

好有两点为双曲线C的焦点，另外两点在双曲线C上，双曲线经过（1,1）,焦点坐标

__L

（±1,0）,可得Ja2b2=1，解得α=近二1,

222

laab占

第9页共20页

所以，该双曲线的离心率为g=-rɪ—=近」上.

a/-12

2

(14

-=11

2'2r

或双曲线经过(上，2),焦点坐标(±工，0),可得I,ab,解得°=匹二2,

222,2,i

aj+u

b=~4r

ɪ

所以，该双曲线的离心率为£=——=2+√5.

aA/5-2

2

或矩形对角线上的两个顶点为焦点时，此时2c=*TT^=2α=2-l=l,此时离

心率为：e=-≡-=V5∙

a

故选：ACD.

(多选)10.已知复数zι,Z2,满足∣zι∣*2∣≠0,下列说法正确的是()

A-若忻∣=∣Z2∣,则Z[2=Z22

B.∣z1÷z2∣≤∣z1∣÷∣z2∣

C.若Z1Z2∈R,则一-∈R

z2

D.∣Z1Z2∣=∣21∣∣Z2∣

解：对选项4设Z]=l+i,Z2=近1

222

则IZlI=IZ2l=&，z1=(l+i)⅛,Z2=(√2i)=-2'不满足Zj=Z??,

故工错误；

对选项&设zi,Z2在复平面内表示的向量分别为£Ht且；7,

4]，1Λy19LtOfV

当Z1,Z2方向相同时，∣Z1+Z2∣=∣Z[∣+∣Z2∣,

当三方向不相同时，Z+E∣<E∣+I^ζ卜

综上∣Z1+Z2∣W∣Z1出Z2∣,故8正确；

对选项C,设zι=l+i,z2=l-i,Ziz2=(l+z)(I-/)=2∈R,

—ɪʌiiLllilL-=ieR,故C错误；

Z21-i(l-i)(l+i)

对选项设zι=α+b3z2=c+difa,b,c,d≠0,

第10页共20页

z↑Z2-(a+bi)(c+力)=(ac-bd)+(ad+bc)i,

则Iz]z2I=Y(ac-bd)2+(ad+bc)2=√(ac)^+(bd)^+(ad)^+(bc),

22222222,

IzɪIIz2I=Va+b∙Vc+d=√(ac)+(bd)+(ad)+(bc)=∣zɪz2I

故。正确.

故选：BD.

(多选)11.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3

个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以小，血和血表示由甲箱取出的球

是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以8表示由乙箱取出的球是红

球的事件，则下列结论正确的是()

A.事件8与事件4(i=l，2,3)相互独立

B∙P(A⑻*

c∙P(B)ɔ∣-

O

D∙P%∣B)脸

解：由题意得尸(Jl)P(42)――^P(/3)='

2510

先小发生，此时乙袋中有5个红球，3个白球和3个黑球，则P(8∣4)=-L,

11

先出发生，此时乙袋中有4个红球，4个白球和3个黑球，则P(5∣4≈)ɪɪ,

11

先刈发生，此时乙袋中有4个球，3个白球和4个黑球，则尸(用念)='，

11

：.PCA∖B)=P(5μ∣)P(小)=-L,故8正确；

22

P(A2B)=P(B∖A2)P(A2)P(m8)=P(8出)P(43)=&，

5555

P(B)=P(B∣A1)P(小)+P(8/2)P(A2)+P(8出)P(A3)=且，故C错误；

22

P(Ji)P(B)≠PCA∖B),P(A2)≠P(A2B),P(A3)P(B)≠P(A3B),故/错误；

P(B∣A2)P(A2).ɪ,故。正确.

P(B)45

故选：BD.

(多选)12.已知定义在R上的偶函数/(x),满足/(x)4∕(2-χ)=2,则下列结论正确

的是()

第11页共20页

A.f(x)的图像关于x=l对称

B./(x+4)=∕(x)

C.若函数f(x)在区间［0,1］上单调递增，则/(x)在区间［2021,2022］上单调递增

D.若函数/(x)在区间(0,1)上的解析式为/(x)=lnx+l,则/(x)在区间(2,3)

上的解析式为.f(x)—In(X-I)+1

解：根据题意，依次分析选项：

对于4函数/(x)满足/(x)4∕(2-χ)=2,则/Cr)的图像关于点(1,1)对称，A

错误；

对于8,/(x)是偶函数且满足/是)+f<2-χ)=2,则有/(-χ)+/-(2-χ)=2,即

f(x)+f(x+2)=2,

同时有/(x+2)4∕(x+4)=2,则有/(x+4)=f(x),8正确；

对于C,函数/(x)在区间［0,1］上单调递增，且/(x)的图像关于点(1,1)对称，则

f(x)在［1,2］上也是增函数，

又由/(x+4)=∕(x),则/(x)在区间［2021,2022］上单调递增，C正确；

对于。，若x∈(2,3),X-2∈(0,1),则/(x-2)—In(x-2)+1,又由/(x)4/(X

-2)=2,则/(x)=2-In(χ-2)-1=1-In(χ-2),。错误；

故选：BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13∙若A：=6C：(m£N*,m>4>贝U机=_Z_.

解：由题意可得mCm-1)(∕n-2)=6∙πt(∏rl)(πr2)(πτ3),

4×3×2×1

解得加=7或加=0(舍去)或〃?=1(舍去)或加=2(舍去)或m=3(舍去)，

故答案为：7.

14.设f(χ)=<'0<x<2,若/J)=/(α+2),则q=JL.

kj-

b(x-2),x>29-

解：Y函数f(x)=［4'0<x：2,

K；

［3(X-2),X≥2

.∙.函数每一段均单调递增，

又∙.∕(α)=∕(α+2),

第12页共20页

ʧa=3(α+2-2),

.∖α=工(O舍)，

9

故答案为：1.

9

15.设随机变量X〜8(2,p),满足p(χ>l)=∙^且若Y=NT-1,则。(X)=_巨_.

162

解：Y随机变量X〜8(2,p),

：.P(X=O)=1-P(X>l)=1--ɪʒ.zɪ=(I-P)2,解得P=旦，

16164

∙'∙d(X)=2×τ^×(1~⅜)4

44o

-D(K)=D(2X7)=22D(X)=4×⅜4∙

O/

故答案为：1.

2

16.已知我国某省二、三、四线城市数量之比为1：3：6.2022年3月份调查得知该省二、

三、四线城市房产均价为0.8万元/平方米，方差为11.其中三、四线城市的房产均价分

别为1万元/平方米，0.5万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10,8,则二线

城市房产均价为2万元/平方米,二线城市房价的方差为29.9.

解：设二线城市房产均价为X,方差为y,因为二、三、四线城市数量之比为1：3：6,

二、三、四线城市房产均价为0.8万元/平方米，三、四线城市的房产均价分别为1万元/

平方米，0.5万元/平方米，

所以需x4⅛Xp⅛X°∙&

解得：x=2(万元/平方米)，

由题意可得上XΓv+(9-0只产叶且义口。+3_()8)2]+_LX[8+(0.5-0.8)2]=11,

解得：y=29.9.

故答案为：2；29.9.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(IO分)己知函数f(X)sin3Xcos3χ-cos?3(3>0)，其图像上相

邻的最高点和最低点间的距离为J443一.

(1)求函数/(x)的解析式;

第13页共20页

(2)记448C的内角4B,C的对边分别为〃，b,cfa=4f从=12,f(A)=L若

角4的平分线4。交BC于。，求的长.

解(1因为

1√31/兀、

f(x)=V^Sin3XCOS°X-COS3XF=cSin23XFcos23X=Sin(2。χ--τ-)

ZNNb

设函数/(x)的周期为7,

2

由题意6尸+4=4+牛，

2

即(_2£_)2=2L―,解得3=ι,

'23'4

Tr

所以f(x)=sin(2x-τ-)∙

6

⑵由/(/)=1得：sin(2k-^^τ~)=1,

6

即2A1~=2k兀V~，k∈Z-解得A=k兀V~，k∈Z-

因为∕∈[0,π],所以A号，

因为N的平分线/。交BC于。，

所以SNBC=SAABD+sfCD，

.兀•兀.兀

^HΠT1-bcsin^^c1-AADn-sin—41-1⅛A∙ArlD-sιn-»

/oΔbNb

可得AD=Ebc,

b+c

2222

由余弦定理得：,α=∂+c-2bccosA=Cb+c)-3bcf而bc=12,

得(⅛÷c)2=52,

因此ʌŋɪɔɪsʌ/g•

2√1313

18.(12分)设S,为等差数列｛z｝的前〃项和，已知S3=45,且02-2,。3,S5成等比数歹I」.

(1)求数列｛〃”｝的通项公式；

(2)若b=2飞离＞，求数列｛α,Jb"｝的前〃项和7".

解：(1)设等差数列｛α,,｝的公差为d,∙.∙S3="5,且B-2,。3,S5成等比数列.

.∙.3αι+3d=αι+4d,(α2-2)S5,即(a]+2d)2=(ai+d-2)(5m+10d),

解得m=l,d=2；4ι=O=d(舍去).

∙*∙6f1=1,d=2；

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工=1+2(77-1)=2n-1.

(2)由(1)可得：s,=n(l+2n-l)=12,

λΛ

bn=2^"=2

.,.an*bn-(2n-1)∙-A-

2n

；•数列｛“∕6"｝的前n项和T"=L+V-+且#••.+2rrJ.

222232n

-LT”—JL+一3一+.§,∙∙∙+,2n.-3+2R-

2423242n2nH

ɪ(l-ɪ)

J2”纽I

相减可得：lτn=X+2(.ɪ,+.ɪ+—+.ɪ..)-Zn-],=-lj-2X

2222232n2nH21」2nH

2

化为T〃=3-包旦.

2n

19.（12分）元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中

的一种，方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可

摇号三次，其规则是依次装有2个幸运号、2个吉祥号的一个摇号机，装有2个幸运号、

2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，其优

惠情况为：若摇出3个幸运号则打6折，若摇出2个幸运号则打7折：若摇出1个幸运

号则打8折；若没有摇出幸运号则不打折.

（1）若某型号的车正好6万元，两个顾客都选中第二中方案，求至少有一名顾客比选择

方案一更优惠的概率；

（2）若你评优看中一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应

选择哪种付款方案.

解：（1）选择方案二比方案一更优惠，

则需要至少摸出一个幸运球，

设顾客不打折即三次没摸出幸运球为事件儿

则2X2X3=X

n4×4×416

故所求概率P=I-P（A）P（A）=I-G⅛）2（4分）

Io256

⑵若选择方案一，则需付款Io-0.6=9.4（万元）.5分）

若选择方案二，设付款金额为X万元，

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则X可能的取值为6,7,8,10,

P(X=6)铢⅛*,P(X=7)=2X2X3+%:才2X2X1*,

P(X=8)∕X2X3+QE∕+2X2X1WP(XnO)喉,(9分)

故X的分布列为

X67810

P1573

^16^16____^16^16

所以E(X)=6XτjV+7X-^+8xI+10X-⅛=7.9375(万元)＜》4(万元)，

16161616

所以选择第二种方案更划算∙（12分）

20.（12分）已知如图，在多面体ZBCE尸中，AC=BC=2,ZJCS=120°,。为48的中

点，EF//CD,EF=I,8F，平面4EF.

（1）证明：四边形ERoC为矩形；

（2）当三棱锥/-8E尸体积最大时，求平面/EP与平面/8E夹角的余弦值.

解：（1）因为NZCB=120°,AC=BC=2,。为48的中点，

所以CΣ>"L∕8,且CA=BCSin30°=1,

又因为E尸=1,所以CD=EF,因为E/〃C。，

所以四边形EFDC为平行四边形，

因为8F_L平面NER£7七平面/EF,所以BFLEF,所以CO_L8F,

因为4B=B,BF,ZBu平面48兄所以CO_L平面/8R。尸U平面/8尸,

所以C"DF,所以四边形EEDC为矩形.

（2）由（1）可知I,EZtL平面48尸，8F_L平面ZER∕1F⊂5P≡AEF,

所以8尸,ZRAB=2√BC2-CD2=2√3,

所以三棱锥A-BEF的体积:

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V4SΛABFEF=⅛AFBF<⅛<AF2+BF2）⅛AB2=1,

当且仅当AF=BF时等号成立，此时FDLAB,

据（1）,以。为坐标原点，分别以D4,CD,DF所在的直线为X,夕，Z轴建立空间直角

坐标系Dxyz如图所示：

由已知可得下列点的坐标：A(√3,0,0),B(-√3,0,0),F(0,0,√5),

E(0,-1,√3),

所以瓶=(-2√^,0,0>AE=(-√3,-1,√3);

设平面的法向量为彘(χ,y>z)，则号至=-Fx-y+Ez=°.

m∙AB=-2∖∕3x=0

取y=«,则x=0,z—1,

所以平面/8E的一个法向量为∖=(0,√3,1)，

因为而0,）是平面力E/的法向量，

二_M4

设平面4样与平面ZHE夹角为e,贝IJCOSθI∏rBFI

~∣m∣-IBFI^2∙√6^4

故平面AEF与平面ABE夹角的余弦值为亚.

eΛ,由椭圆E的四

ab2

个顶点围成的四边形的面积为16√ξ.

（1）求椭圆E的标准方程；

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(2)设/为椭圆E的右顶点，过点Λ∕(-2α,0)且斜率不为。的直线/与椭圆E相交

于点8,C(点8在MC之间)，若N为线段BC上的点，且满足匪工聿斗，证明：

IMCIINCI

因为©上」，b2+c2-a2,所以a=2c,b=V3c>

a2

所以c-1∙,α=4,b=2V^,

22

所以椭圆E的标准方程为二上=1.

1612

(2)证明：由(1)可知A/(-8,0),设直线/的方程为X=叩-8(机＞0),

22

其与椭圆E：卡■号3=1的交点为8(χι,ʃɪ),C(X2,”)，

fX2y2

联立416+12-L得（4+3〃於）/-48"ψ+144=0,

X=Iny-8

Δ=（48机）2-4（4+3加2）×144>0,即机>2,

Kepi48m144

为+丫2=二。，yl-y2=T^T'

4+3m4+3m

-

IMBy1cr,.y1*

设点N(X°，次)，因为Aɪ