2024届安徽“江南十校”3月联考数学解析

12024届安徽省“江南十校”联考数学试题评分参考一、单项选择题x2x}【解析】由2x【答案】C【答案】A【答案】B.4．已知函数f(x)=3sin(2x+Q)(|Q|<)的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若g(x)是偶函数，则Q为【解析】将函数f(x)=3sin(2x+Q)(|Q|<0个单位长度后得到g(x)的图象，【答案】B.5．酒驾严重危害交通安全．为了保障交通安全，交通法规定：机动车驾驶人每100ml血液中酒精含量达到20~79mg为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．若某机动车驾驶员饮酒后，其血液中酒精含量上升到了1.2mg/ml．假设他停止饮酒后，其血液中酒精含量以每小时20%的速度减少，则他能驾驶需要2取值范围为【解析】由f'(x)=+得f'(1)=2即ax2【答案】B8x+12=0，点M(0,)．过原点的直线与圆C相交于两个不同的点A,B,则------MA+MB的取值范围为------------------【解析】设AB的中点为点P，则MA+MB=2MP，由垂径定理知CPLOP，则可得点P的轨迹E为以OC为直径的圆（圆C内部的圆弧）【答案】D使得Tn<M恒成立的实数M的最小值为26n2)=x2n一2【答案】C3二、多项选择题9．箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况资料的统计图，因形似箱子而得名．在箱线图中（如图1箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上下底，分别是数据的上四分位数（75%分位数）和下四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）．图2为某地区2023年5月和6月的空气质量指数(AQI)箱线图．AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过200，说明污染严重．则A．该地区2023年5月有严重污染天气.B．该地区2023年6月的AQI值比5月的AQI值集中.C．该地区2023年5月的AQI值比6月的AQI值集中.D．从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月.【解析】对于A选项可以从图2所示中5月份有AQI值超过200的异常值得到判断（也可以通过异常值结合观察5月份的平均值高于中位数辅助判断）；对于B，C选项，图2中5月份的箱体高度比6月份的箱体高度小，说明5月的AQI值比6月的AQI值集中；对于D选项，虽然5月有严重污染天气，但从图2所示中5月份箱体整体上比6月份箱体偏下且箱体高度小，AQI值整体集中于较小值，说明从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月.【答案】ACD10．已知抛物线E:y2=2px的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上的点P（原点除外）反射，则反射光线平行于x轴．经过点F且垂直于x轴的直线交抛物线E于B,C两点，经过点P且垂直于x轴的直线交x轴于Q；抛物线E在点P处的切线l与x,y轴分别交于点M,N，则下列说法成立的是22A．PQ=BF.QFB．PQ=BC.OQ22C．PF=MFD．FN」l则A选项错误，又BC=2p,OQ=x，则B选项正确；对于C选项，如下图所示，过点P作x轴的平行线RH，与抛物线E的准线KH交于点H，又题意所给抛物线的光学性质可得经SPR=经MPF，又经MPF=经HPM，即PM为经HPF的角平分线，又由抛物线定义知PH=PF，结合PF=MF，可得菱形MFPH，而y轴经过线段FH中点，从而PM与y轴的交点即为点N，所以FN」l.【答案】BCD11．已知点S,A,B,C均在半径为的球面上，ΔABC是边长为2的等边三角形，SA」BC，SA=3，则三棱锥S-ABC的体积可以为() 3 3【解析】方法一：如图，设三棱锥S-ABC的外接球球心为O，ΔABC的中心为O1，连接AO,SO,AO1，延长AO1交BC于D，连接SD，则D是BC中点，所以BC」AD,又BC」SA，所以BC」平面SAD，又因SG的同侧，则在Rt‘SAG5【答案】BC.O方法二：设三棱锥S-ABC的外接球球心为O，连接AO并延长交大圆于F，过S作AD的垂线，垂直为G，可证得SG」面ABC（1）若点S在直线AF的上方，设经SAF=c,经FAG=β,则tanc=,tanβ=（2）若点S在直线AF的下方，则tanc=,tanβ=45=S‘ABC.SG=，故选BC.【答案】BC.三、填空题12．从0,2,4,6中任意取1个数字，从1,3,5中任意选2个数字，得到没有重复数字的三位数．在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为.【解析】若0在，则三位数有CA=12；若0不在，则三位数有CCA=54．所以没有重复数字的三位数有66个，其中偶数的个数是CA=24个，所以在所组成的三位数中任选一个，是偶数的概率是244 【答案】 4【解析】由f(x+2)为偶函数，得f(2一x)=f(2+x)，用2+x代换x得f(2+x)+f(x)=一6故f(x+4)=f(x)所以4是y=f(x)的一个周期交E的两渐近线分别于M,N两点,且OM」MN．若OM+MN一ON=a，则双曲线E的离心率又OM+MNON=a，所以MNON=a，在直角ΔOMN中，利用勾股定理可得MN=所以tan2θ=4,3求得tanθ= 12（负值舍去），也即tanc= atanθ【答案】.4 36四、解答题(2)若BC=2，将射线BA和CA分别绕点B,C顺时针旋转15O,30O，旋转后相交于点D(如图所示)，且所以sinCsinA+sinAcosC又因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC 12 12（2）在ΔABC中，由正弦定理得AC=sinACsin经ABC=236于是，在ΔACD中，由余弦定理得：7（1）求证：平面PAB」平面ABCD；（2）若二面角P一BD一A的大小为120。，点E在棱PD上，且PE=2ED，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.【解析】（1）证明：由余弦定理得22又因为AB（PB=B,AB,PB一平面PAB所以BD」面PAB又因为BD一平面ABCD在平面PAB内过点B作AB的垂线，交AP于F由平面PAB」平面ABCD得BF」平面ABCD建立如图所示的空间直角坐标系B一xyz8设直线CE与平面PBC所成角为θ17．某产品的尺寸与标准尺寸的误差绝对值不超过4mm就视为合格品，否则视为不合格品.假设误差服从正态分布且每件产品是否为合格品相互独立.现随机抽取100件产品，误差的样本均值为0，样本方差为4.用样本估计总体.（1）试估计100件产品中不合格品的件数(精确到1)；（2）在（1）的条件下，现出售随机包装的100箱该产品，每箱均有100件产品.收货方对每箱中产品均不放回地随机抽取进行检验且箱与箱之间检验相互独立.每箱按以下规则判断是否接受一箱产品：如果抽检的第1件产品为不合格，则拒绝整箱产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整箱产品，否则拒绝整箱产品.若整箱产品通过检验后生产方获利1000元；整箱产品被拒绝，则亏损89元，求该100箱产品利润的期望值.附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ一σ≤Z≤μ+σ)心0.6827,P(μ2σ≤Z≤μ+2σ)心0.9545,P(μ3σ≤Z≤μ+3σ)心0.9973.【解析】（1）分别用样本均值和样本标准差估计正态分布的参数μ和σ,得产品的尺寸误差X~N(0,22)，P(x<4)=P(μ2σ≤Z≤μ+2σ)心0.9545，因此估计这批产品的合格率为95.45%.所以估计100件产品中有100x0.0455=4.55心5件不合格品.···········································(69=+x=.···········································设100箱产品通过检验的箱数为Z，则Z~B(100,). 设100箱该产品的利润为随机变量X，则X=100ξ18．已知矩形ABCD中，AB=2,BC=2，E,F,G,H分别是矩形四条边的中点，以矩形中心O为原点，HF所在直线为x轴，EG所在直线为y轴，如图建立平面直角坐标系．直线HF,BC上的动------------点R,S满足OR=λOF,CS=λCF(------------(1)求直线ER与直线GS交点P的轨迹方程；(2)当λ=一时，过点R的直线m（与x轴不重合）和点P的轨迹交于M,N两点，过点N作直线l:x=3的垂线，垂足为点Q．设直线MQ与x轴交于点K，求ΔKMN面积的最大值.【解析】（1）设点P(x,y)，R(xR,0)，S(,yS)14n直线GS:y=-λx+14n②由①②消去参数λ得(y+)(y-)=-x2当λ=0时，得交点P(0,)；综上：直线ER与直线GS交点P的轨迹方程：+（2）当λ=-时，点R(-2,0)，过点R的直线m可设为x=ty-2(t子-)+3y2即(t2+3)y2-4ty-2=0设M(x1,y1),N(x1,y2)由题得Q(-3,y2)则直线MQ:y-y2=(x+3)又因为x1=ty1-2,2ty1y2=-(y1+y2)，代入上式得：-y2(ty1-2)-3y1-ty1y2+2y2-3y1(y1+y2)+2y2-3y1xk=y1-y2=y1-y2=y1-y2-y1+y25y1-y22所以直线MQ过定点所以直线MQ过定点y1-y2=y1-y252-2+Sy1-y2=y1-y252-2+t2+1而6t2+1而6(t22334所以ΔKMN面积的最大值为419．已知函数f(x)=(x_a)ex_x,aeR，f,(x)是f(x)的导函数.（1）证明：f,(x)在(_伪,+伪)上有唯一零点x0；（2）设函数g(x)=(