2023-2024学年上海市松江区高二年级上册期末考试数学试题（含解析）

2023-2024学年上海市松江区高二上册期末考试数学试题

一、填空题

1.过点力(2,3),且法向量是7=(4,3)的直线的点法向式方程是.

【正确答案】4(x-2)+3(y-3)=0

【分析】利用直线的点法式方程写出即可.

【详解】根据直线的点法式方程可得直线的点法式方程.4(x-2)+3(y-3)=0

故4(x-2)+3(y-3)=0

2.用数学归纳法证明1号€+...4二53£^,心1)时涕一步应验证的不等式是.

【正确答案】1+沁2

【详解】由条件知n的第一个值为2,所以第一步应验证的不等式是1+沿2.

3.若数列｛%｝为等比数列，且6+%=1,%+%=2,则《5+46=____.

【正确答案】128

【分析】设公比为夕,由笃区=g2,贝!|%+%6=(4+。2)，4代入求解即可,

a\+°2

【详解】设公比为4,则/=生土幺=2,所以~+%6=(%+%)，"=128.

a\+a2

故128

4.若直线/的斜率为〃，倾斜角为a且则左的取值范围是.

【正确答案】

(分析】直接利用斜率和倾斜角的关系来得答案.

【详解】-：k=tana,且争,

44

二.%4-1或A21,

即k的取值范围是.

故答案为.(-8,-1]<41,+8)

5.某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下，则甲在比赛中

得分的方差为

078

10579

213

1129

【正确答案】32.25##32-##—

44

【分析】先计算出甲比赛中得分的均值，再利用方差公式可求得结果.

【详解】甲在比赛中得分的均值为戛=,(7+8+10+15+17+19+21+23)=15,

8

方差为一=1x[(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82J=32.25.

故答案为.32.25

二、解答题

6.直线N-2=0与直线y=2x-1的夹角大小等于.(结果用反三角函数值表示).

【正确答案】arctan2

【分析】先分别求出两条直线的斜率，再套用夹角公式即可求出答案.

【详解】直线？-2=0与直线y=2x-l的斜率分别为0和2,设它们的夹角为

0-2

所以tan0=--~-=2,则0=arctan2.

1+0x2

故答案为.arctan2

三、填空题

7.已知数列｛““｝的前〃项和S“=2"”-2.则数列｛%｝的通项公式为.

【正确答案】4=2,

-S,,n>2

【分析】根据公式勺=:n；求解即可.

【详解】解：当”=1时，«1=S,=22-2=2；

+,

当〃22时，a„=Sn-S,,T=2向一2-(2"-2)=2"-2"=2".

因为4=2也适合此等式，所以q=2”.

故%=2"

8.已知圆锥的体积为且乃，母线与底面所成角为则该圆锥的表面积为.

33-----------

【正确答案】37

【分析】设圆锥底面半径4O=O8=r,则母线长/=S/=2r,高SO=®-,

则，=.有厂=YE乃，求出厂=1,l=SA—2,该圆锥的表面积为5=万”+乃/，由此能

33

求出结果.

【详解】解：・•・圆锥的体积为正乃，母线与底面所成角为

33

如图，设圆锥底面半径42=08=厂，则母线长/=S/=2r,高S0=JJr,

解得r=1,/=SA=2,SO=y/i,

该圆锥的表面积为S=7vrl+nr1=2万+打=3万.

本题考查圆锥的表面积的求法，考查圆锥的性质、体积、表面积等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

9.已知直线/过点尸（-4,1）,且与直线w:3x-y+l=0的夹角为arccos通，则直线/的方程

10

为.

【正确答案】4x-3y+19=0或x=-4.

【分析】先求tan（arccos噜），再根据夹角公式求得直线/的斜率，利用点斜式即可求出直

线/的方程.

【详解】设直线/的斜率为上,

因为cos（arccos宏叵）=主叵,且arccos豆叵为锐角,

101010

所以sin(arccos-cos2(arccos，

3/TTsin(arccos----)1

所以tangs十卜:一第=「前1，解得心屋4

cos(arccos-]0)

故过点尸(-41)，且与直线〃z:3x-y+l=0的夹角为arccos通的直线/的方程

10

4

为尸1=§(工+4),即4x-3y+19=0.

当直线/的斜率不存在时，此时直线/的方程x=-4,符合题意.

所以直线/的方程为4工-3歹+19=0或户-4.

故4工一3歹+19=0或x=—4

10.如图所示，设正三角形7；边长为凡”用是7；的中点三角形，4为[除去£讨后剩下三个

三角形内切圆面积之和，求!吧(4+4+L+4)=.

12

【分析】第一个中点三角形481G的边长为对应的内切圆半径r=；J(；a)2_(；a)2,从

而求得4,再根据相似的性质可得｝=；,依次类推，从而根据无穷小数列即可求解.

44

【详解】记第一个中点三角形为正三角形△44G，则△44G边长为1%

内切圆半径为r-；_(；a)2=~~a，

~9na2Tta2

所以4=7ixx3=----=----

14416

因为△A2B2C2与448c相似，并且相似比是1:2,

则面积的比是1:4,所以

2164

因为正△43G与正△的面积的比也是1：4,所以4=整X&J,

叫i__L]鱼

所以lim（4+4+…+4）=Hm16（_=」:=^-.

"T8'7〃TOO1112

1--1--

44

故答案为.蒋

11.已知集合/=｛x|x=2"-l,"€：＜｝,3=｛x|x=2",neN，｝,将中的所有元素按从

小到大的顺序排列构成一个数列｛«„｝,设数列｛«„｝的前〃项和为\,则使得5„＞1000成立的

最小的«的值为.

【正确答案】36

【分析】由题可得2"为数列｛《,｝的2一+〃项，且利用分组求和可得当1+“=43+2"”-2,

通过计算即得.

【详解】由题意，对于数列｛。,,｝的项2"，其前面的项1,3,5,....2--leA，共有2”T项,

23

2,2,2,--,2"€5,共有〃项，所以2"为数列｛勺｝的2"-'+”项，

+|

n=[（2xl-l）+（2x2-1）+----^2xZ-'_,]d2+缓+••+2'）=4-'+2'-；

可算得2'T+6=38（项），阳=64,$38=1150,

因为%7=63,a36=61,a｝5=59,所以，=1086,S｝6=1023,S｝5=962,

因此所求〃的最小值为36.

故36.

12.已知递增数列｛勺｝共有2017项，且各项均不为零，。刈7=1,如果从｛〃,,｝中任取两项4，%，

当，＜_/时，%仍是数列｛%｝中的项，则数列加“｝的各项和$2。"=.

【正确答案】1009

【详解】•.•当时，盯-。,仍是数列｛为｝中的项，而数列｛%｝是递增数列，

aaa

•*-„-a,i<„~„-2<%—%<••<an-a]<a„

所以必有%=4,a,,-%-=4…=%，利用累加法可得：

（〃一1”“=2（囚+生+…％）,故S.=”区，得S.7=型器=1009,

故答案为1009.

点睛：本题主要考查了数列的求和，解题的关键是单调性的利用以及累加法的运用，有一定

难度；根据题中条件从｛《｝中任取两项《,力,当时，4-。,仍是数列｛。“｝中的项，结

合递增数列必有an-a,-=4,a„-a„_2=a2---an-a｝=a„_t,利用累加法可得结果.

四、单选题

13.已知直线4：Kx+y+l=0与直线/z：&x+y-1=0,那么"匕=七''是"〃〃2'’的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】C

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可

【详解】解：当匕=的时，“〃2,而当〃〃2时，k\=k],

所以"匕=&"是"〃〃2”的充分必要条件，

故选：C

14.设48为两个随机事件，以下命题错误的为（）

A.若48是独立事件，尸（/）=；,P（8）=|，则尸（点）4

B.若48是对立事件，则户（月u8）=l

C.若48是互斥事件，尸（/）=1，P⑻二,则尸（4U8）=」

326

D.若p（7）=g,尸⑻=；，且尸（砌=（,则48是独立事件

【正确答案】C

【分析】利用互斥公式、独立公式、对立公式满足的条件可以一一判断.

【详解】对于A：当48是独立事件时，否也是独立事件，

1x（1-|）=A正确；

对于B：当48是对立事件时，P（AUB）=P（A）+P（B）=l,B正确；

对于C：当45是互斥事件，PQ）=！，P（8）=1,则尸（NU8）=P（/）+P（8）=1+!==,C

错；

对于口：；尸（万）=：,，尸（8）=*,二.尸（7））（8）=；乂［=：=尸（78）,故7,5是独立事件，

即48是独立事件，D正确.

故选：C

15.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内

切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方

盖”的体积之比应为兀：4.若正方体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为（）

A.16B.16-73C.—D.--

33

【正确答案】C

【分析】由已知求出正方体内切球的体积，再由己知体积比求得“牟合方盖”的体积.

【详解】正方体的棱长为2,则其内切球的半径r=l,

4、4

正方体的内切球的体积V球=y7TXl?=~7C,

V球714416

又由已知^T"

故选C.

本题考查球的体积的求法，理解题意是关键，是基础题.

16.已知点。（0,0）、4（2,3）和线（5,6）,记线段4综的中点为勺，取线段4邛和6线中的

一条，记其端点为4、%使之满足（内卜5）（|。用-5）＜0,记线段4月的中点为取

线段/曲和《片中的一条，记其端点为4、B2,使之满足（|。4|-5）（|04卜5）＜0,依次下

去，得到点6、鸟、月、L、P八L,则!吧|4用=（）

A.V2B.6C.也D.3

【正确答案】A

【分析】计算出线段4当上到原点距离等于5的点为P的坐标，分析可知［、£、L、P,、、

L的极限为P（3,4）,利用极限的定义以及两点间的距离公式计算可得结果.

【详解】由（|。41-5）（|08卜5）＜0得1和|O周一个大于5一个小于5,

设线段4综上到原点距离等于5的点为尸（xj）,

由后丁=5且W=Y，得x=3,y=4,

所以线段4综上到原点距离等于5的点为尸（3,4）,

若（|。4|-5川。8卜5）<0,则其、旦应在点5（3,4）的两侧,

所以第一次应取4、可、4、层、L中必有一点在尸（3,4）的左侧，一点在P（3,4）的右侧,

因为片、2、L、2、L是中点，所以片、£、L、B、L的极限为P（3,4）,

所以!吧|40=|4尸卜7（2-3）2+（3-4）2=V2.

故选：A.

五、解答题

17.已知直线4：3x+y+2=0：l2.mx+2y+n=0

（1）若/j,求加的值；

（2）若〃〃2,且直线4与直线人之间的距离为折，求4的方程.

2

【正确答案】（1）-§

（2）3x+y+12=0或3x+y-8=0.

【分析】（1）由两直线垂直，可得斜率乘积为-1,列方程可得答案；

（2）由两直线平行，斜率相等可求出切的值，再由两平行线间的距离公式列方程可求出〃的

值,即可求出直线方程.

【详解】（1）设直线44的斜率分别为配左2,则勺=-3,6=-5.

若4U，

则k、xk?=芋=-1,

2

m=——

3

（2）若/J/,则一3=-3=>〃2=6,

4可以化简为3/+^+]=0'

又直线4与直线的距离d=—^=屈'

Vio

;.〃=24或"=-16,

所以直线方程为3x+y+12=0或3x+y-8=0.

18.如图，在四棱锥P-MC。中，底面N5C。为直角梯形，BCHAD,AB1BC,ZADC=45°,

PAlnABCD,AB=AP=\,AD=3.

(1)求点。到平面P8C的距离；

(2)求二面角8-PC-。的平面角的余弦值.

【正确答案】(1)立(2)及叵

211

【分析】(1)建立空间直角坐标系，计算平面P8C的法向量，由点面距离的向量公式即得

解；

(2)计算平面PC。的法向量，结合(1)中平面尸8c的法向量，利用二面角的向量公式即

得解

(1)由题意，尸4_L平面力3CO,BC//AD,AB1BC,

.-.AB1AD

以力为坐标原点，所在直线为x/,z轴建立如图所示的空间直角坐标系

则尸(0,0,1),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,3,0),

设平面PBC的一个法向量为［=(x,y,z),

方二(1,0,-1),1BC=(0，2,0),CD=(-1，1，0),

n•PB=x-z=0■/口一

则n.BC=2y=0'取日‘何片⑴°'[)'

F西V2

点D到平面PBC的距离d==三

H2

(2)由(1)可得平面尸8c的一个法向量为］=(1,0,1),

设平面PCD的一个法向量为加=(a,6,c),

PC=(1,2,-1),CD=(-1，1，0),

inPC=a+2b—c=0口/口一

则丽・京…+b=。'取a”得"=(1/，3)，

设二面角8-尸。-。的平面角为a,由图得二面角为钝角

.r।ni-n4-2>/22

故cosa二一一一=--j==------

|加||〃|V2211

19.全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续〃天监测

空气质量指数(力0/),数据统计如下:

频率

组距y

0.008

0.007

0.006

0.005

0.004

0.003

0.002

0.0011空气质量指数3g/m3)

O50100150200250x

空气质量指

[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,250)

数(〃g/-3)

空气质量等

空气优空气良轻度污染中度污染重度污染

级

天数2040m105

(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出必加的值，并完成频率分布直方图;

(2)在空气质量指数分别属于［50,100)和［150,200)监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天,

再从中任意选取2天，求事件两天空气都为良”发生的概率.

【正确答案】(1)〃=100,机=25,直方图见解析

【分析】(1)根据频率的定义可求得〃，从而求得优，进一步计算每组的频率，从而完成频

率分布直方图；

(2)根据分层抽样的定义可以确定空气质量指数为［50,100)和［150,200)的监测天数中分别抽

取4天和1天，再根据古典概率模型计算公式即可求解.

20

【详解】(1)因为0.004x50=—,解得〃=100,

因为20+40+w+10+5=100,解得m=25,

完成频率分布直方图如图:

频率

组距

0.008

0.007

0.006

0.005

0.004

0.003

0.002

0.001空气质量指数(Ng/nP)

O50100150200250x

(2)空气质量指数为［50,100)和［150,200)的监测天数中分别抽取4天和1天,

在所抽取的5天中，将空气质量指数为［50,100)的4天分别记为。力,。,1,将空气质量指数

为［150,200)的1天记为e.

从中任取2天的基本事件分别为(明分)，(a©,(a"),(a,e),(b,c),(h,d),(h,e),(c,d),(c,e),

(d,e),共10天,

其中事件A“两天空气都为良”包含的基本事件为(%b),(a,c),(a,d),(b,c),(4d),(c,d),

共6天，

所以事件A“两天空气都为良”发生的概率P=

20.已知等差数列｛《,｝的前〃项和为S“，且邑=-18,儿=0.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若求证：数列也｝是等差数列.

n

(3)求数列｛同｝的前〃项和

【正确答案】(1)4=212

(2)见解析

Jl\n-n',\<n<5

⑶"[n2—11»+60,M>6

【分析】(1)设等差数列｛%｝的首项为4、公差为d,利用等差数列的前〃项和公式得到关

于q和d的方程组，进一步求出通项公式；

(2)先利用等差数列的前〃项和公式求出S,和"，再利用等差数列的定义进行证明；

(3)利用绝对值的代数意义和分类讨论思想，按14〃45或"26分别进行求和.

【详解】(1)解：设等差数列｛"“｝的首项为《、公差为d,

因为S2=-18,S„=0,

2q+d=-18

所以

llq+55d=0'

a=-10

解得A

d=2

所以勺=T0+2(〃-l)=2/-12,

即数列｛q｝的通项公式为=2〃-12.

(2)解：由(1)得：s“=MT0；"T2)=._1]%

2=鼠=〃-11,

n

则%-"=K〃+1)T1]-(〃T1)=1，

所以数列｛"｝是等差数列.

(3)解：当时，％=2〃-12<0,

12

Tn=_q-a2-------an=-(a]+a2+--+an)=-Sn=i\n-nf

当〃26时，an=2n-l2>0f

Tn=-ax-a2-%-a4-a5+a6+%+…+q

=/+出+/+4+牝+4+〃7+•,•+2包+出+〃3+〃4+。5)

=Sn—2S5=/-11〃+60；

11n-n2,i<n<5

综上所述,

/-11〃+60,〃>6

21.若数列｛a,,｝的前”项和为S"，且满足等式。“+2S”=3.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)能否在数列｛%｝中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？说明理由；

2

(3)令"=1呜。“+；,记函数〃x)=b„x+2b“亦+b,,2("eN*)的图像在x轴上截得的线段

32

长为C“，设7],=：(CG+C2c3+…+C._£)5N2),求7；,,并证明.心学；…T”><

4-n

1T-^-

【正确答案】(1)a„=—T；(2)不存在，理由见解析；(3)4一1,证明见解析.

3।n——

2

【分析】(1)由递推式，结合q,,2S“的关系易得｛%｝是首项为1,公比为:的等比数列，写

出通项公式即可.

(2)令