2023高考数学复习练29　函数的图象与性质

板块五函数与导数

微专题29函数的图象与性质

高考定位L以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的

定义域、最值与值域、奇偶性和单调性；2.利用函数的性质推断函数的图象；3.

利用图象研究函数性质、方程及不等式的解集，综合性较强.

真题演练感悟高考练真题明方向

1.(2022.北京卷)已知函数y(x)=∙p%,则对任意实数X,有()

A十一x)+AX)=OB：*一x)—/U)=0

C.A-x)+Λ%)=1D次-%)—∕Λ)=∣

答案C

一一12Λ2X

解析函数/U)的定义域为R,Λ-ɪ)-14-o-χ~1-LOXJ所以一一x)+∕W=ι_|_>+

LI乙LI4ɪI4

[Or=1，故选C.

1十Z

TrTT

2∙(2022∙全国甲卷)函数Hx)=(3'-3r)∙cosx在区间L]，3的图象大致为()

y↑y

答案A

1Q

解析法一(特值法)取X=1,贝Uy=(3-W)CoSI=WCOSl>0；

取尤=-1,则y=q—3)cos(-l)

=—ɜeos1<0.

结合选项知选A.

法二令尸於)，

则7(—x)=(3r-3r)CoS(―x)=—(3∙v-3r)c0sX=一八X),

所以函数y=(3*-3x)cosx是奇函数，排除B,D；

1Q

取X=1,则y=(3—3)CoSl=WeOSl>0,排除C.故选A.

3∙(2022∙新高考II卷)已知函数人x)的定义域为R,且√U+y)+yU—y)=√3!Ay),/1)

22

=1,则Ebyu)=()

A.13B.—2

C.0D.1

答案A

解析因为1)=1,

所以在J(x+y)+f(x~y)=Λ%M37)中，

令尸1,

得/U+D+/U—1)=∕3(∕∏),

所以/U+D+/U—l)=∕(x),①

所以yu+2)+凡X)=Ax+1).②

由①②相加，得/U+2)+«r—1)=0,

故yu+3)+y(x)=o,

所以式x+3)=~AX),

所以兀x+6)=—/U+3)=rU),

所以函数火X)的一个周期为6.

在Λχ+y)+.*%—丁)=/(X)Λy)中，

令y=o,得∕U)+Λχ)=∕U)∕(0),

所以/0)=2.

令x=y=l,得)2)+γθ)=∕0求1),

所以12)=—L

由"H-3)=-∕U),

得J3)=-/(0)=-2,Λ4)=-Λ1)=-1,

Λ5)=-Λ2)=l,^6)=-A3)=2,

所以∕Π)+∕(2)+∙∙∙+犬6)=1—1—2—1+1+2=0,

22

根据函数的周期性知，E涡Λ)=∕U)+y(2)+火3)+44)=1—1—2—1=—3,故选A.

4.(2021.新高考I卷)函数负%)=|21-1|一2111%的最小值为.

答案1

解析函数式X)=I2x—1|-2InX的定义域为(0,÷∞).

①当x>；时，∕Λ)=2Λ-1—21n%,

“j22(x—1)

所以/(x)=2—^=^•

当如<1时，f(x)<0,

当x>l时，f'(x)>0,

所以/U)在1)上单调递减，

在(1,+8)上单调递增，

所以yu)min=/u)=2—1—2In1=1；

②当OaWT时，Λx)=l-2χ-21nx,

显然7U)在(o,I上单调递减，

所以X%)min=-21n∣=21n2

=In4>lne=l.

综上，Xx)min=l.

热点聚焦分类突破研热点析考向

热点一函数的概念与表示

I核心归纳

1.复合函数的定义域

(1)若«x)的定义域为［m,川，则在.*g(x))中，由m≤^(x)≤z?解得X的范围即为式g(x))

的定义域.

(2)若∕g(X))的定义域为O，川,则由WtWXWzZ得到g(x)的范围,即为兀0的定义

域.

2.分段函数

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集.

'2'~x,x≤0,

例1(1)(2022・济宁质检)已知函数/)=[OgP,χ>0,则欢T))=()

2

A.-2B.2

CL；D.；

(2)已知函数«r)=请声，则函数的定义域为()

A.(-∞,1)B.(—8,—1)

C.(-∞,-1)U(-1,O)D.(-∞,-1)U(-1,1)

答案(I)A(2)D

'2,~x,x≤0,

解析(i),.,y(x)=,iog∣Λ>Λ>O,

.2

.∙.∕-1)=22=4,

,

∙∙M-D)=Λ4)=log14=-2,故选A.

(2)令1—2:0,即2y,即x<0.

.∙JU)的定义域为(一8,0).

-ɪ来J(LI)X—1<0,

函数Fr中，有,

x+l≠O,

解得x<l且—1.

故函数)一的定义域为(-8,-1)U(-1,1).

规律方法1.形如.*g(χ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.

2.对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求

解.

训练1(1)设。是含数1的有限实数集，/(X)是定义在。上的函数.若凡r)的图象绕

原点按逆时针方向旋转事后与原图象重合，则在以下各项中，次1)的可能取值只能

是()

A.√3B坐

C坐D.0

—e'9X0,

(2)(2022・南京模拟)设函数段)=I二一’1,、若胆。))=4，则α=________.

.JΓ+2X+4,XW0.

答案(I)B(2)ln2

解析(1)根据题设知，函数人力的图象绕原点按逆(顺)时针方向旋转,伏=0,1,…,

11)后仍与原图象重合.

若y∏)=0,即点41,O)是的图象上的点，将其分别绕原点按逆(顺)时针方向

旋转方，得到点坐，，和A"(半，一，两点，它们都在於)的图象上，

即厝］=±今与函数的定义矛盾，所以排除D；

类似地，若∕∏)=坐，将点(1,制绕原点按顺时针方向旋转会可得∕∏)=—坐；

若∕U)=√5,可得TU)=一小，都不符合函数的定义，故选B.

(2)∙.”>0时，/x)=-eτ<0,

XWO时，√(x)=∕+2x+4=(x+1)2+323,

由TU)=4,得√+2%+4=4(Λ≤0),

解得X=O或x--2,

.∖Λα)=O不存在，舍去，

.∙J(a)=-2,则一e"=—2,解得α=ln2.

热点二函数的性质

I核心归纳

1.函数的奇偶性

(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：

y(x)是偶函数=/(一幻=AX)=式凶)；

Tu)是奇函数=.八一X)=—fix).

(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数X奇函数是偶函数).

2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.

3.函数图象的对称中心或对称轴

(1)若函数/U)满足关系式.*α+x)=Ab—x),则函数y=Ax)的图象关于直线X=牛

对称.

(2)若函数«x)满足关系式/(α+x)+∕(α-x)=2A,则函数y=∕ζx)的图象关于(α,Z?)

对称.

考向1奇偶性与单调性

例2若定义在R上的奇函数在(一8,0)上单调递减，且犬2)=0,则满足求X

—1)20的X的取值范围是()

A.[-l,1]U[3,+∞)B.[-3,-l]U[0,1]

C.[-l,O]U[1,+∞)D.[-l,O]U[1,3]

答案D

解析因为函数为定义在R上的奇函数，则.*O)=o.

又火X)在(-8,0)上单调递减，且7(2)=0,画出函数人X)的大致图象如图(1)所示,

则函数人九一1)的大致图象如图(2)所示.

当XWO时，要满足求x—1)20,

则Tu-I)W0,得一IWXW0.

当x>0时，要满足求X-1)2O,

则於一1)20,得1≤Λ<3.

故满足犹χ-l)20的X的取值范围是[-1,O]U[1,3].

考向2奇偶性、周期性与对称性

例3(I)设函数1工)的定义域为R,yu+1)为奇函数，yu+2)为偶函数，当χ∈[i,

2］时，yU)=αx2+b.若夫0)+人3)=6,-

B.-∣

A.-T

CZD，

2

(2)(2022•全国乙卷)已知函数/U),g(x)的定义域均为R,且./U)+g(2—x)=5,g(x)

22

一/(工一4)=7.若y=g(x)的图象关于直线元=2对称，g(2)=4,则EIy(Z)=()

A.-21B.-22

C.-23D.-24

答案(I)D(2)D

解析(1)由于/(x+l)为奇函数，

所以函数_Ax)的图象关于点(1,0)对称，

即有人犬)+大2—幻=0,

所以/1)+7(2-1)=0,得.*1)=0,

即a+b=0①.

由于7U+2)为偶函数，所以函数加)的图象关于直线尤=2对称，

即有火x)一八4-X)=0,

所以Λ0)+∕(3)=-Λ2)+∕(l)=-4α-∕j+fl+/?=~3a=6②.

根据①②可得a=—2,b=2,

所以当x∈[l,2]时，.*X)=—2√+2.

根据函数/U)的图象关于直线x=2对称，且关于点(1,0)对称，可得函数/U)的周

期为4,

，、，、，、，、2

所以｛I)=娟=-/1)=2X(1)-2=∣∙

(2)由y=g(x)的图象关于直线x=2对称，

可得g(2+x)=g(2-χ).

由g(x)—4)=7得g(2+x)-χ尤-2)=7,

又“r)+g(2—x)=5即兀r)+g(2+无)=5,

所以2)=-2,

由2)=—2得/(X—2)+y(χ-4)=-2,

所以人χ-4)=∕U),

所以函数兀V)是以4为周期的周期函数.

由“r)+g(2—x)=5可得,*0)+g(2)=5,

又g(2)=4,所以可得式0)=1,

又“r)+∙∕U+2)=—2,

所以次0)+<2)=—2,

Λ-i)+ΛD=-2,

得穴2)=—3,ΛD=Λ-1)=-1,

又)3)=中-1)=—1,

/4)=/(0)=1,

22

所以石_")=4l)+42)+5液3)+5液4)=6X(-1)+6X(-3)+5X(—1)+5Xl=

一24.故选D.

规律方法1.若兀r+α)=-∕(x)(或/'(x+α)=

jrɪ-),其中危)≠0,则y(x)的周期为2间.

2.若的图象关于直线x=a和x=b对称，则/(x)的周期为2|a一例.

3.若VX)的图象关于点(α,0)和直线尤=6对称,则於)的周期为4∣α一切.

训练2(1)(2022•西安模拟)设y=∕U)是定义在R上的函数，若下列四条性质中只有

三条是正确的，则错误的是()

A.y=/(X)为［0,+8)上的减函数B.y=∕(x)为(一8,0］上的增函数

C.y=∕(x+1)为偶函数D√(0)不是函数的最大值

(2)(2022.广州模拟)已知7U)是定义域为R的偶函数，Λ5.5)=2,g(x)=(χ-1)/U).

若g(x+l)是偶函数，则g(—0.5)=()

A.-3B.—2

C.2D.3

答案(I)A(2)D

解析(1)由y=*x+l)为偶函数，得函数y="x)的图象关于X=I对称，

假设A,B正确，则有7(x)max=*0),所以D错误，

y=∕U+l)不可能为偶函数，由此判断出C,D错误，与已知矛盾，

由此判断答案A,B中一个正确一个错误，C,D正确，

而A,C矛盾，由此确定A错误.

(2)因为g(x)=(χ-l)∕(x),g(x+l)是偶函数，

所以g(x+l)=犹x+l)是偶函数，

因为y=x是奇函数，

所以yu+1)是奇函数，

所以—尤+1)=—/U+1),用一九一1替换X,得/U+2)=一4-x),

又«r)为R上偶函数，

；.而+2)=—Λ0,

.∙.yrα+2)+2]=—∕u+2)=AX),

.∙√U+4)=Ax),

∙∙JU)是周期为4的周期函数，

所以g(—0.5)=-L第一0.5)=LML5)=1.轨5.5)=1.5X2=3.

热点三函数的图象

I核心归纳

1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有

平移变换、伸缩变换、对称变换.

2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，解不等式、求解函数的零点等

问题.

Y

例4(1)(2022.上饶二模)函数凡r)=汨二三的大致图象为()

(2)已知函数"r)=2x-x—1,则不等式y(χ)>O的解集是()

A.(-l,1)B.(-∞,-1)U(1,+∞)

C.(0,1)D.(-∞,O)U(1,+∞)

答案(I)B(2)D

—X

解析(1)成一X)=1r+2、=—Λχ)，函数为奇函数，排除C；

221

,

0<∕(2)=22+2-2<4=2排除AD,故选B.

(2)在同一平面直角坐标系中画出〃(X)=2。g(x)=x+l的图象如图.

由图象得交点坐标为(0,1)和(1,2).

又“r)>0等价于2*>x+l,

结合图象，可得XVO或x>l.

故7U)>o的解集为(一8,o)U(i,+∞).

规律方法确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单

调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.

训练3(1)(2022.全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大

致图象，则该函数是()

—X3+3xA3-X

A∙y=/+]Bj=K

2xcosx2sinX

Cj=x2+lD∙y=？TT

(ɪ—b)2

(2)(2022.佛山质检)函数IAX)=2-------------的图象如图所示，则()

A.4>0,0<⅛<lB.α>0,~i<b<Q

C.α<0,—1<⅛<0D.<7<0,0<⅛<l

答案(I)A(2)D

解析(1)对于选项B,当x=l时，y=0,与图象不符，故排除B；

对于选项D,当x=3时，y=∣sin3>0,与图象不符，故排除D；

对于选项C,当0<尤时，0<cosχVl,故>=半胃<善7或1,与图象不符,

所以排除C.故选A.

序

(2)由题图可知，/(0)=2—<1=2°,

故!<0,故α<0,

(xF2

函数“r)=2—的图象关于直线x=b对称，

由题图可知，0<⅛<l,故选D.

高分训练对接高考重落实迎高考

一'基本技能练

1.(2022.重庆八中测试)已知函数.*x)的定义域为(0,+∞),则函数F(X)=AX+2)

+产G的定义域为()

A.(-2,3]B.[-2,3]

C.(0,3]D.(0,3)

答案A

,-----[Λ+2>0,

解析函数∕7(x)=∕(x+2)+q5有意义需满足1>0解得一2‹xW3.

2.(2022.海南模拟)下列函数中，既是偶函数又在(0,+8)上单调递增的函数是

()

A.y=lnxB.γ=∣x∣÷1

C.>'=-x2÷lD.y=3"w

答案B

解析对于A,函数y=lnx定义域是(0,+∞),不是偶函数，A不是；

对于B,函数y=∣x∣+l定义域为R,是偶函数且在(0,+8)上单调递增，B是；

对于C,函数y=—x2+l定义域为R,是偶函数且在(0,十8)上单调递减，C不

是；

对于D,函数y=3"∣定义域为R,是偶函数且在(0,+8)上单调递减，D不是.

故选B.

x2—2x+2,无＞0,

3.已知函数√（x）={,1,、的值域为口，+8）,则α的最小值为（）

、X∖ci,XWO

A.1B.2

C.3D.4

答案A

解析由已知得

当尤＞0时，/U）=f—2x+2=（x—iy+l,值域为［1,+∞）;

当x≤0时，fi^x）=~x+a,

值域为［α,+∞）;

;函数）幻的值域为［1,+∞）,

.∙.α21,则α的最小值为1.故选A.

4.函数危）=InqlXI+1+cosX在［―兀,兀］上的大致图象为（）

解析由题知人x)的定义域为R,八一x)=*x),所以./U)是偶函数，排除A；

√(π)=ln√π+l-l<lne-1=0,排除B,D.故选C.

5.(2022•梅州二模)设函数段;)=

log2(6—x),XV1,

-则火—2)+40g26)=()

Iθ2rvl',Gl,

A.2B.6C.8D.10

答案B

flθg2(6—x),x<1,

解析因为/(χ)=j

[2X*,

所以八-2)=log28=3,Xlog26)=21og26-1=3,

所以八-2)+y∏og26)=6.故选B.

6.已知函数y(x)=-χ∣x∣,且大加+2)+八2〃2—1)<0,则实数机的取值范围为()

A.(-8,—ʃjB.(-∞,3)

C.(3,+∞)D.f—+∞J

答案D

解析对於)=—x∣M,其定义域为R,且式-X)=X∣Λ∣=-/U),故7U)为R上的奇

函数；

又当x>0时，兀0=—/,其在(0,+8)单调递减；

当XVO时，於)=x2,其在(一8,0)单调递减；

又7U)是连续函数，故yu)在R上是单调递减函数；

则次用+2)+式2机-l)V0,

即人加+2)中1—2机)，

则m+2>l-2机，解得机>一：.故选D.

7.(2022∙蚌埠三模)已知定义域为R的偶函数次x)满足∕U+x)=∕α-r),∕g)=l,

则)

3

A.-2B.-1

3

C.lD，2

答案C

解析因为函数7U)是定义域为R的偶函数，所以兀T)=A—X),

又因为yu+x)=y(i—%),

所以犬2—x)=Ax),

则12—x)=A—X),即/(2+x)=∕(x),

所以八X)的周期为T=2.

•(一步彳-％)=娘=L

8.定义在R上的奇函数兀x),满足7U+2)=—/(x),当0≤x≤l时,贝X)=X,RlJΛ%)≥∣

的解集为（）

「1I、「13]

A∙g,+∞JB∙∣J,2_

■131「13一

C.4%+],4%+万（⅛∈Z）D.2k+y2%+]（ZeZ）

答案C

解析由题意，函数y（x）满足«x+2）=—/（x）,可得«r）=ZU+4）,

所以函数/U）是周期为4的函数，

又由人犬）为R上的奇函数，

可得人一无）=一八》），

所以7U+2）=A—幻，

可得函数兀0的图象关于χ=l对称，

因为当o≤x≤ι时yu）=x,

可得函数/U）的图象，如图所示，

]3

解得X=]或X=y

所以不等式7U）23的解集为

-13^

4&+/,以+]（A∈Z）.故选C.

2χ

9.（多选）（2022•漳州一模）己知函数危）=F¾,则（）

A./U）的定义域为RB√（X）是偶函数

C.函数y=∕（x+2022）的零点为0D.当x>0时，凡r）的最大值为:

答案AD

解析对A,由解析式可知7U）的定义域为R,故A正确；

对B,因为犬幻+人一犬)=K+不=0,可知/U)是奇函数，故B不正确;

2(x+2022),U,丁丁儿

对C,γ=∕x+2022)≈-(-ɪ0,得EI光=—2022,故C不正确；

v+2022)s+9

ɔɔɔ1

对D,当x>0时，OVyU)=不利=—g≤-K=?当且仅当χ=3时取等号,

'+2∖∣X]

故D正确.故选AD.

10.(多选)对于函数/(x)=x∣x∣+x+l,下列结论中错误的是()

A√(x)为奇函数By(X)在定义域上是单调递减函数

C√(x)的图象关于点(0,1)对称D次x)在区间(0,+8)上存在零点

答案ABD

解析Λ%)=ι,,,1C'由图象可知，图象关于点(0,1)对称，

R-HX+1,x^0,

因此不是奇函数，在定义域内函数为增函数，在(0,+8)上没有零点.

故选ABD.

11.(2022.宝鸡三模)已知函数7U)是定义域为R的奇函数，当XVO时，∕U)=2∖

则∕0og27)=.

答案T

解析因为函数/U)是定义域为R的奇函数，

且当XVO时，∕x)=2∙∖

所以χiog27)=-Λ-log27)=-ʌɪogz^=-2吗=-∣.

12.(2022.赤峰模拟)写出一个同时具有下列性质①②③的函数RX)=.

①*-x)=∕(x);②当XG(0,+8)时，*χ)>0;③/(X1X2)=/(XI)：穴了2).

答案答案不唯一)

解析由题意，要求犬X)为偶函数且值域为(O,+∞).

若满足於1尤2)=73)於2),

则/U)可以为嘉函数，则有巩X)=ɪ2满足条件.

二'创新拓展练

13.(多选)(2022・沈阳模拟)已知>=")是定义域为R的奇函数，且y=*x+2)为偶

函数，若当χ6[0,2]时，«x)=；log3(x+a2),下列结论正确的是()

A.α=lBAI)=A3)

C<2)=A6)D.fl,2022)=-1

答案BD

解析根据题意，y(x)是定义域为R的奇函数，

则人一九)=一Λχ),

又由函数八x+2)为偶函数,

则函数/U)的图象关于直线x=2对称，

则|-x)=Λ4+x),

即有兀r+4)=-Xx),

即7U+8)=-∕U+4)=Λx),

所以犬X)是周期为8